OSN Guru Matematika OSN Guru Matematika SMA

Pembahasan Soal
ocsz
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA
OSN Guru Matematika SMA
(Olimpiade Sains Nasional)
Disusun oleh:
Pak Anang
Halaman 2 dari 26
PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA
TINGKAT PROPINSI
TANGGAL 7 JUNI 2012
By Pak Anang (http://pak
(http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com)
anang.blogspot.com)
1. Pak Tamrin sedang membuat rencana pembelajaran Matematika kelas X materi aturan
sinus. Agar siswa lebih memahami untuk apa belajar aturan sinus, Pak Tamrin akan
memanfaatkan materi sebelumnya yang dapat mengantarkan ke pembelajaran aturan sinus.
Permasalahan apa dalam materi prasyarat yang dapat mengantarkan pemahaman pada
materi aturan sinus tersebut?
Pembahasan:
Materi prasyarat:
(1) Siswa mampu menghitung operasi bilangan real.
(2) Siswa mampu menunjukkan garis tinggi segitiga.
(3) Siswa mampu memahami definisi perbandingan trigonometri sinus
Pada aturan sinus, siswa harus bisa mendefinisikan garis tinggi segitiga dari salah satu sisi
segitiga dengan melihat pengertian sinus pada materi pembelajaran sebelumnya.
Sebagai contoh perhatikan segitiga ABC di bawah:
C
b
a
A
B
D
Dengan melihat garis tinggi AD, dimana AD bisa didefinisikan menggunakan sinus sudut A
maupun sinus sudut B, siswa akan dapat menemukan pemahaman rumus aturan sinus.
Garis tinggi CD bisa dinyatakan sebagai perbandingan sinus dari sudut A dan B:
<=
sin : =
⇒ <= = > sin :
>
<=
sin @ =
⇒ <= = A sin @
A
A
>
=
sin : sin @
Dari dua nilai <= tersebut, siswa diberi pemahaman bahwa nilai CD dapat dihubungkan
menjadi aturan sinus apabila ada salah satu dari variabel yang mempengaruhi nilai CD
tersebut tidak diketahui.
Jadi, dari persamaan A sin @ = > sin : akan diperoleh persamaan aturan sinus
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 3 dari 26
2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran “Siswa dapat menentukan sisa pembagian suku
banyak f(x) dengan suku banyak berbentuk (x – a), Pak Soleh memilih lintasan belajar
sebagai berikut:
(1) Mengingatkan kembali pembagian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) yang
dapat ditulis dalam bentuk f(x) = g(x).H(x) + S(x) dengan H(x) hasil bagi dan S(x) sisa
pembagian.
(2) Memandang g(x) = x – a sehingga f(x) = (x – a)H(x) + S(x)
(3) Menentukan S(x) dengan memandang f(x) berlaku untuk semua x, termasuk x = a.
Pendekatan yang dipilih oleh Pak Soleh untuk mencapai tujuan pembelajaran dengan
lintasan belajar seperti itu disebut pendekatan …
Pembahasan:
Model pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran kontekstual dengan pendekatan
konstruktivisme.
Kegiatan belajar dikemas menjadi proses mengonstruksi pengetahuan, bukan menerima
pengetahuan sehingga belajar dimulai dari apa yang diketahui peserta didik. Penanaman
konsep pembagian suku banyak diawali dengan memberikan contoh dasar dari pembagian
sebuah bilangan bulat, dan mengaplikasikannya ke dalam sebuah pembagian fungsi. Lalu
konsep sisa pembagian suku banyak diperkuat dengan menemukan pembuat nol salah satu
fungsi yang mengakibatkan nilai sisa pembagian suku banyak bisa dinyatakan sebagai nilai
fungsi dari pembuat nol fungsi pembagi.
Artinya dalam pendekatan konstruktivisme ini siswa diajak untuk mempelajari konsep
dasar pembagian suku banyak dengan melihat metode pembagian bilangan yang sudah
mereka pahami sebelumnya, kemudian mengkonstruksinya menjadi konsep dasar
pembagian suku banyak, lalu konsep tersebut ditingkatkan sehingga siswa dapat dapat
dipancing dan menemukan ide dan pengetahuan konsep atau prinsip baru dan diharapkan
mampu menemukan strategi belajarnya masing-masing.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 4 dari 26
3. Seorang guru matematika kelas X sedang merencanakan pembelajaran materi aturan
cosinus. Agar siswa memahami pentingnya materi aturan cosinus ini, guru itu memikirkan
bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran)
sebelum menurunkan aturan cosines tersebut!
Pembahasan:
Lintasan belajar menurunkan rumus aturan kosinus:
(1) Mengingatkan kembali bahwa pada segitiga sembarang juga berlaku perbandingan
trigonometri serta aturan Pythagoras dengan cara menarik garis tinggi segitiga. Dan
mengingatkan juga bahwa garis tinggi segitiga tersebut membagi segitiga menjadi dua
segitiga siku-siku.
C
C
>
A
K
A
D
B
A
K
>
A
B
D
(2) Memandang salah satu segitiga siku-siku dan menyatakan aturan Pythagoras yang
berlaku.
AI = <= I + @= I
(3) Menyatakan perbandingan sinus dan kosinus pada segitiga siku-siku yang lain.
<=
⇒ <= = > sin :
sin : =
>
:=
cos : =
⇒ := = > cos :
>
(4) Menghubungkan aturan Pythagoras dan perbandingan trigonometri yang telah
didapatkan, sehingga didapatkan persamaan untuk menurunkan rumus aturan
kosinus.
AI = <= I + (K − :=)I
(5) Menurunkan rumus yang telah didapatkan, dengan mengingatkan kembali tentang
perkalian faktor (N − O)I dan identitas trigonometri (sinI N + cos I N = 1).
(6) Menemukan aturan cosinus:
AI = > I + K I − 2>K cos :
(7) Melakukan analisis yang sama untuk menemukan aturan cosinus yang lain:
> I = AI + K I − 2AK cos @
K I = AI + > I − 2A> cos <
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 5 dari 26
4. Pak Hidayat akan mengukur kemampuan dalam mengukur jarak dari titik C ke bidang BPD
dalam ruang dimensi tiga seperti di bawah ini
P
G
E
H
F
D
C
A
B
Oleh karena penilaian dilakukan sambil Pak Hidayat membimbing siswa dalam
menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep itu ia perlu mengetahui standar
penilaian yang praktis dan sederhana. Standar penilaian tersebut berupa kemampuankemampuan dalam menerapkan prosedur penentuan jarak titik ke bidang. Apa yang
menjadi kemampuan kunci (penentu kebenaran secara keseluruhan) dalam menentukan
jarak tersebut?
Pembahasan:
Konsep mencari jarak titik C ke bidang BPD:
Buat garis ℊ pada bidang yang melalui C dan tegak lurus bidang BPD.
Jika titik tembus garis ℊ pada bidang BPD adalah Q, maka jarak C ke bidang BPD adalah CQ.
Langkah-langkahnya:
Memperluas bidang BPD dengan melukis perpanjangan garis DP dan perpanjangan garis CH
hingga berpotongan di titik R. Serta menarik garis dari titik B ke R. Didapatkan bidang DBR.
Melukis garis pada bidang ABCD yang melewati C dan memotong tegak lurus BD di titik S.
Menghitung panjang CS, CR dan SR.
Melukis segitiga CSR dengan titik Q berada di SR sedemikian sehingga CQ tegak lurus
dengan SR.
R
Menghitung CQ menggunakan perbandingan atau aturan cosinus.
G
P
H
E
F
Q
D
A
C
S
B
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 6 dari 26
5. Tranformasi mempunyai banyak jenis sehingga guru perlu menyederhakan proses
pembelajaran. Tuliskan dengan singkat dan jelas proses pembelajaran tersebut!
Pembahasan:
1. Mengingatkan tentang persamaan garis.
2. Memberi stimulus tentang empat jenis transformasi, translasi (pergeseran), refleksi
(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).
3. Menegaskan bahwa translasi adalah pergeseran yang berkaitan dengan vektor, jadi
matriks translasinya hanya matriks baris dan arah pergeseran mengikuti aturan sumbu
kartesius.
4. Menegaskan bahwa refleksi adalah pencerminan terhadap sebuah garis tertentu yang
bertindak sebagai sumbu simetri, sambil menanamkan kembali sifat bayangan
pencerminan dan aturan sumbu kartesius.
5. Menegaskan bahwa rotasi adalah perputaran terhadap sebuah titik pusat sebesar sudut
putar dan dipengaruhi oleh arah putar, sambil menanamkan kembali sifat-sifat
penjumlahan sudut trigonometri.
6. Menegaskan bahwa rotasi adalah perbesaran/pengecilan (perkalian) suatu bangun
tanpa mengubah bentuk bangun geometri tersebut yang ditentukan oleh pusat dilatasi
dan faktor skala dilatasi.
7. Mengingatkan bahwa transformasi juga bisa dinyatakan ke dalam sebuah matriks
transformasi, sambil menanamkan kembali sifat fungsi invers matriks.
8. Menegaskan bahwa untuk menemukan persamaan bayangan hasil transformasi harus
melalui proses invers terlebih dahulu.
9. Mengingatkan kembali bahwa transformasi berurutan bisa dinyatakan ke dalam
komposisi transformasi, sambil menanamkan kembali sifat komposisi fungsi.
10. Menyimpulkan bentuk-bentuk matriks transformasi terhadap jenis transformasi,
sehingga peserta didik bisa menentukan strategi belajar sendiri untuk memperkuat
konsep transformasi bidang dan transformasi terhadap kurva.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 7 dari 26
6. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:
C
γ
20 cm
β
A
B
30 cm
Skor total untuk jawaban tersebut adalah 3. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman
penskorannya!
Pembahasan:
Pedoman penskoran:
1. Menentukan sudut A (1 poin)
2. Menuliskan rumus aturan sinus (1 poin)
3. Menyelesaikan perhitungan aturan sinus (1 poin)
Total skor maksimal: 3 poin.
Pedoman penskoran:
UVWAV =
XYZ[ OA\] ^V_`[ZW`ℎ
×3
XYZ[ bAYcVbAW
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 8 dari 26
7. Seorang siswa SMA kebingungan ketika menentukan nilai komposisi fungsi (g o f)(0). f dan
g adalah fungsi bernilai real dengan f(x) = √N − 1 dan g(x) = x2. Ketika dikerjakan melalui
(g o f)(x) = x – 1 diperoleh nilai (g o f)(0) = -1. Apabila dikerjakan melalui proses g(f(0))
diperoleh nilai f(0) = √−1 yang tidak mungkin ada. Konsep apa yang belum dipahami oleh
siswa tersebut?
Pembahasan:
Konsep pengertian fungsi, domain (daerah asal fungsi) dan range (daerah hasil) pada fungsi
dan komposisi fungsi.
Nilai N = 0 mengakibatkan f(0) tidak terdefinisi yang akan menyebabkan komposisi tidak
terdefinisi untuk nilai N = 0.
Jika gh menyatakan daerah hasil fungsi f, dan =i menyatakan daerah asal fungsi ], maka
fungsi f dan fungsi ] dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi (] ∘ f)(N), jika
gh ∩ =i ≠ ∅.
Misalnya, daerah asal yang diperbolehkan untuk fungsi pecahan, maka nilai penyebut tidak
boleh nol. Sementara untuk fungsi akar, nilai di dalam akar harus lebih besar dari nol.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 9 dari 26
8. Seorang guru SMA sedang melakukan proses pembelajaran materi persamaan matriks AX =
B. Tujuan pembelajaran yang diharapkan adalah mampu menentukan matriks X. Apa cara
yang paling tepat yang ia lakukan untuk gagasan memperoleh matriks itu telah dikuasai
siswa apa belum?
Pembahasan:
Memberikan pertanyaan diskusi tentang menyajikan sistem persamaan linear dalam bentuk
matriks dan menyelesaikannya nilai variabel pada sistem persamaan linear menggunakan
persamaan matriks AX = B atau XA = B.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 10 dari 26
9. Jumlah akar-akar persamaan 2N n + 3N o − 16N p + 3N I + 2 = 0 adalah ....
Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema Vieta:
Ar N r + Arst N rst + ArsI N rsI + … + At N + Au = 0
Maka jumlah akar-akarnya adalah:
Nt + NI + Nv + … + Nr = −
Arst
0
=− =0
Ar
2
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 11 dari 26
10. Fungsi f memenuhi Of(NO) = f(N) untuk semua bilangan real N dan O. Bila f(4) = 1006
maka (2012) = ....
Pembahasan:
1 ∙ f(4 ∙ 1) = 1006
503 ∙ f(4 ∙ 503) = 1006
1006
f(2012) =
503
f(2012) = 2
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 12 dari 26
11. Nilai dari
2013
2013
2013
2013 2013
+
+
+
+ …+
1
1+2 1+2+3 1+2+3+4
1 + 2 + ⋯ + 2012
adalah ....
Pembahasan:
2013 2013
2013
2013
2013
+
+
+
+ …+
1
1+2 1+2+3 1+2+3+4
1 + 2 + ⋯ + 2012
IutI
⇔ {
2013
r(r|t)
I
r}t
IutI
⇔ {
r}t
IutI
⇔ {
r}t
4026
\(\ + 1)
:
@
+
\ (\ + 1)
4026 = :(\ + 1) + @(\)
Untuk \ = 0, didapatkan : = 4026.
Untuk \ = −1 didapatkan @ = −4026
IutI
⇔ {
r}t
4026
4026
−
(\ + 1)
\
Dengan memasukkan nilai indeks \ didapatkan sebuah persamaan yang saling mencoret
satu sama lain, yaitu:
4026 4026
4026 4026
4026 4026
4026 4026
−
•+~
−
•+~
−
• + ……… +~
−
•
1
2
2
3
3
4
2012 2013
⇔ 4026 − 2
⇔ 4024
⇔~
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 13 dari 26
12. Kedua akar persamaan N I − 63N + Y = 0 adalah bilangan prima. Banyaknya nilai Y yang
mungkin adalah ....
Pembahasan:
N I − 63N + Y = 0
Misalkan kedua akar persamaan tersebut adalah A dan > dan A < >.
Akan diperoleh:
A + > = 63 dan A> = Y
Karena A + > adalah bilangan ganjil maka salah satu dari A atau > adalah bilangan ganjil dan
yang lain adalah bilangan genap.
Tidak mungkin keduanya ganjil atau keduanya genap.
Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2. Jadi salah satu dari A atau > adalah 2.
Misalkan A = 2, maka > = 61.
Y = A> = (2)(61) = 122.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 14 dari 26
13. Keliling suatu segitiga adalah 10 cm. Jika panjang sisi adalah bilangan bulat maka luas
paling besar yang mungkin adalah .... cm2.
Pembahasan:
Keliling suatu segitiga maksimum jika segitiga tersebut berbentuk segitiga sama sisi.
Karena panjang sisi harus bilangan bulat, maka jika keliling segitiga 10 cm. maka
kemungkinan sisi-sisi segitiga yang mengakibatkan luasnya paling besar adalah: 3, 3, dan 4.
Dengan menggunakan teorema Heron untuk menghitung luas segitiga:
• = ‚c(c − A)(c − >)(c − K)
Dimana c = I Y`WVWV\] = I (A + > + K)
t
t
1
1
c = Y`WVWV\] = × 10 = 5
2
2
• = ‚c(c − A)(c − >)(c − K) = √5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 1 = 2√5 cmI
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 15 dari 26
14. tan N + tan(90° − N) = 6. Nilai cos 2N yang mungkin adalah ....
Pembahasan:
tan N + tan(90° − N) = 6
⇔
tan N + cot N = 6
sin N cos N
⇔
+
=6
cos N sin N
sinI N + cosI N
=6
⇔
sin N cos N
1
⇔
=6
1
sin
2N
2
1
⇔
sin 2N =
3
sinI 2N + cosI 2N = 1
⇔
cos 2N = ‚1 − sinI 2N
1
9
⇔
cos 2N = „1 −
⇔
2
cos 2N = ± √2
3
⇔
8
cos 2N = „
9
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 16 dari 26
15. Garis 3N + 4O = 12 memotong ellips 9N I + 16O I = 144 di titik A dan B. Terdapat titik P
pada ellips sehingga luas segitiga PAB adalah 3 satuan luas. Titik P semacam itu sebanyak ....
Pembahasan:
3
3N + 4O = 12 ⇒ O = 3 − N
4
v
Substitusi O = 3 − p N ke persamaan
elips:
9N + 16O = 144
3 I
⇔
9N I + 16 ~3 − N• = 144
4
9
9
⇔ 9N I + 16 ~9 − N + N I • = 144
2
16
⇔
9N I + 144 − 72N + 9N I = 144
⇔
18N I − 72N = 0
⇔
18N (N − 4) = 0
_`b>†A‡ \ZW
⇔
N = 0 A‡A† N = 4
Untuk N = 0 ⇒ O = 3
Untuk N = 4 ⇒ O = 0
I
I
• c`]V‡V]A = 3
1 4 0
N O
0 3
ˆ‰
‰+Š
Š+‰
‰ˆ = 3
N O
4 0
2 0 3
1
|12 + 3N + 4O| = 3
2
12 + 3N + 4N = −6
3N + 4O = −6
Perpotongan garis 3N + 4O = −6
dengan elips adalah letak titik P.
3
3N + 4O = −6 ⇒ O = −2 − N
4
v
Substitusi O = 3 − p N ke persamaan
elips:
9N I + 16O I = 144
3 I
I
⇔
9N + 16 ~−2 − N• = 144
4
9 I
I
⇔ 9N + 16 ~4 + 3N + N • = 144
16
I
⇔
9N + 64 + 48N + 9N I = 144
⇔
18N I + 48N − 80 = 0
⇔
9N I + 24N − 40 = 0
Cek diskriminan persamaan kuadrat
tersebut:
= = (24)I − 4(9)(−40) = 2016
Jadi persamaan kuadrat tersebut
memiliki dua akar berbeda.
Sehingga titik P pada elips ada 2.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 17 dari 26
16. Misalkan a > 0, A = {(x, y)l y ≤x3, y ≥0, 0 ≤ x ≤ a}, dan B = {(x, y)l y ≤x3, y ≥0, 0 ≤ x ≤ 1},
Nilai a yang mungkin agar luas daerah B empat kali luas daerah A adalah ....
Pembahasan:
t
•†Ac @ = ‘ N v ^N
u
’
•†Ac : = ‘ N v ^N
u
Nilai a yang mungkin agar luas daerah B empat kali luas daerah A:
•†Ac @ = 4 •†Ac :
t
’
‘ N ^N = 4 ‘ N v ^N
u
⇔
v
u
1 p ’
1 p t
“ N ” = 4“ N ”
4
4
u
u
1
= Ap
4
• 1
1 1
A = „ = „ = √2
4
2 2
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 18 dari 26
17. Himpunan solusi dari |N|v − 7N I + 7|N| + 15 < 0 adalah ....
Pembahasan:
|N|v − 7N I + 7|N| + 15 < 0 –
N v − 7N I + 7N + 15 < 0, untuk N ≥ 0
(−N)v − 7N I − 7N + 15 < 0, untuk N < 0
−N v − 7N I − 7N + 15 < 0
N v + 7N I + 7N − 15 > 0
(N − 1)(N + 3)(N + 5) > 0
⇔
_`b>†A‡ \ZW
⇔ N = 1 A‡A† N = −3 A‡A† N = −5
N v − 7N I + 7N + 15 < 0
(N + 1)(N − 3)(N − 5) < 0
⇔
_`b>†A‡ \ZW
⇔ N = −1 A‡A† N = 3 A‡A† N = 5
−
+
−1
3
−
5
+
−
—˜ = {N|N < −1 A‡A† 3 < N < 5}
−5
+
−3
−
1
+
—˜ = {N| − 5 < N < −3 A‡A† N > 1}
Jadi daerah penyelesaiannya adalah irisan dua HP tersebut:
−
−
−5
+
−5
−3
−3
+
−1
−
1
−1
1
3
+
−
3
5
+
5
—˜ = {N|−5 < N < −3 A‡A† 3 < N < 5} = {N|3 < |N| < 5}
TRIK SUPERKILAT:
Dengan menganggap bahwa N I = (−N)I = |N|I
Maka persamaan |N|v − 7N I + 7|N| + 15 < 0 bisa ditulis ulang menjadi:
|N|v − 7|N|I + 7|N| + 15 < 0
(|N| + 1)(|N| − 3)(|N| − 5) < 0
⇔
pembuat nol
⇔ |N| = −1 atau |N| = 3 atau |N| = 5
Daerah penyelesaian adalah |N| < −1 atau 3 < |N| < 5.
Himpunan penyelesaian |N| < −1 tidak memenuhi. Sehingga daerah penyelesaian yang
memenuhi adalah 3 < |N| < 5, yang ekuivalen dengan −5 < N < −3 atau 3 < N < 5.
+
−5
−
−3
−1
+
1
3
−
5
+
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 19 dari 26
18. Rata-rata dari 3 bilangan adalah 4 lebih besar dari bilangan terkecil dan 7 lebih kecil dari
bilangan terbesar. Median ketiga bilangan itu adalah 8. Jumlah ketiga bilangan itu adalah ....
Pembahasan:
Bilangan tersebut adalah:
(N̅ − 4), (N̅ + A), (N̅ + 7)
Dimana, median adalah 8.
N̅ + A = 8
Kita cari dulu nilai A:
(N̅ − 4) + (N̅ + A) + (N̅ + 7)
∑N
N̅ =
⇒ N̅ =
\
3
⇔ 3N̅ = 3N̅ + 3 + A
⇔ A = −3
Sehingga,
N̅ + A = 8 ⇒ N = 8 − A
⇔ N = 8 − (−3)
⇔ N = 11
Jadi jumlah ketiga bilangan tersebut adalah,
∑N
⇒ ∑N = \N̅ = 3(11) = 33
N̅ =
\
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 20 dari 26
19. Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dan panjang AC adalah 15 cm. Titik D di sisi BC
sehingga sudut BAD = sudut CAD. Luas segitiga ADC = 30 cm2. Panjang BD adalah ....
Pembahasan:
A
°°
15
B
D
Panjang AC = 15 cm.
C
∠@:= = ∠<:= = œ
Luas segitiga ADC = 30 cm2.
1
1
@=
• :=< = := :< sin œ ⇒ 30 = ∙ := ∙ 15 ∙
2
2
:=
1
⇔ 30 = ∙ 15 ∙ @=
2
⇔ @= = 4 cm
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 21 dari 26
20. Bilangan asli 2 angka yang selisih antara bilangan itu dan hasil kali kedua angkanya adalah
12 sebanyak ....
Pembahasan:
Misalkan bilangan itu adalah NO,
1 ≤ N ≤ 9 dan 1 ≤ O ≤ 9, N, O ∈ bilangan bulat.
Dimana N adalah puluhan, dan O adalah satuan.
Berarti bilangan NO bisa ditulis menjadi 10N + O.
Selisih antara bilangan tersebut dengan hasil kali kedua angkanya adalah 12.
(10N + O) − NO = 12
10N + (1 − N)O = 12
(10 − O)N + O = 12
Dari persamaan tersebut diperoleh nilai O untuk N ≠ 1 dan O ≠ 10.
12 − 10N
12 − O
atau O =
N=
1−N
10 − O
Solusi dari soal tersebut dengan menggunakan trial dan error adalah:
N = 2 dan O = 8.
N = 3 dan O = 9.
Jadi, jumlah bilangan adalah 2 buah. Bilangan tersebut adalah 28 dan 39.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 22 dari 26
21. Nilai sin2 1o + sin2 3o + sin2 5o + … + sin2 89o adalah ....
Pembahasan:
sinI 1° + sinI 3° + sinI 5° + … + sinI 89°
⇔ (sinI 1° + sinI 89°) + (sinI 3° + sinI 87°) + … + (sinI 44° + sinI 46°) + sinI 45°
⇔ (sinI 1° + sinI (90° − 1°)) + (sinI 3° + sinI (90° − 3°)) + … + (sinI 44° + sinI(90° − 44°)) + sinI 45°
⇔ (sinI 1° + cos I 1°) + (sinI 3° + cosI 3°) + … + (sinI 44° + cosI 44°) + sinI 45°
I
1
⇔ 1
žŸ
+ŸŸ
1Ÿ+ Ÿ
…ŸŸ+
Ÿ¡
1 + ~ √2•
2
II h’¢£¤¥
⇔ 22 +
⇔ 22,5
1
2
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 23 dari 26
22. Diberikan barisan geometri yang suku-sukunya merupakan bilangan bulat positif. Suku
ketiga barisan itu adalah 2012. Jumlah tiga suku pertama barisan itu adalah ....
Pembahasan:
2012 = 2I × 503
Faktor kuadrat dari 2012 adalah 4.
Karena ketiga sukunya bilangan bulat positif dan ¦v = A[ I , maka rasio barisan geometri
tersebut yang mungkin adalah [ = 2.
¦v = A[ I ⇔ A =
Xr =
¦v 2012 2012
= I =
= 503
[I
2
4
A([ r − 1) 503(2v − 1)
=
= 503 × 7 = 3521
[−1
2−1
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 24 dari 26
23. Suatu almari memuat 8 buku matematika, 5 buku fisika dan 7 buku kimia. Diketahui bahwa
tidak ada buku yang sama. Banyak cara penyusunan berbeda yang bisa dilakukan pada
buku-buku ini, jika semua buku Matematika harus berdekatan adalah ....
Pembahasan:
Karena semua buku Matematika harus diletakkan secara berdekatan, maka semua buku
Matematika harus dianggap hanya menjadi 1 buku saja, sehingga jumlah semua buku
dianggap 1 + 5 + 7 = 13 buku.
Jadi, banyak cara menyusun 13 buku adalah: 13!
Sedangkan banyak cara menyusun 8 buku Matematika adalah: 8!
Jadi, banyak cara penyusunan berbeda yang bisa dilakukan jika semua buku harus
berdekatan adalah:
8! 13! ≈ 2,51 × 10tp cara.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 25 dari 26
24. Untuk a > 0 dan a ≠ 1, nilai
t
N(A «¨ − 1)
¬
lim ª
¨→u
A−1
¨
adalah ....
Pembahasan:
lim -
¨→u
N ®A
lim -
¨→u±
lim -
¨→u²
t«
¨
− 1¯
A−1
N ®A
t«
¨
N ®A
t«
¨
¨
° = ‡V^AY A^A
¨
− 1¯
° =1
A−1
¨
− 1¯
° =A
A−1
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com
Halaman 26 dari 26
25. Suatu nomor telepon bebentuk ABC-DEF-GHIJ, dengan masing-masing huruf
mempresentasikan angka berbeda. Angka pada masing-masing bagian terurut menurun. A
> B > C, D > E > F, G > H > I > J. Selanjutnya D, E, dan F adalah angka-angka genap
berurutan. G, H, I, dan J adalah angka-angka ganjil berurutan. A + B + C = 9. Angka A adalah
....
Pembahasan:
Karena D, E, F adalah angka genap berurutan, maka kemungkinannya adalah 864 dan 642.
G, H, I, J adalah angka ganjil berurutan, maka kemungkinannya adalah 9753 dan 7531.
Jadi angka 3, 4, 5, 6, dan 7 mustahil digunakan pada A, B, C.
Angka yang mungkin digunakan pada ABC hanya 9, 8, 2, 1, 0.
Karena, A + B + C = 9, maka kemungkinan nilai dari ABC adalah hanya 8 + 1 + 0.
810-642-9753
Jadi nilai angka A adalah 8.
Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2012 ini sangat mungkin jauh dari sempurna
mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan
pembahasan soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran
serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang.
Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2012 by http://pak-anang.blogspot.com