Fungsi Analitik

Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Fungsi Analitik
(Bagian Pertama)
Supama
Jurusan Matematika, FMIPA UGM
Yogyakarta 55281, INDONESIA
Email:[email protected], [email protected]
(Pertemuan Minggu IV)
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Outline
1
Fungsi Variabel Kompleks
2
Pemetaan/Transformasi/Mappings
3
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Di dalam kuliah kalkulus telah disampaikan pengertian
fungsi. Misalkan A, dan B himpunan tak kosong. Relasi f
dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x ∈ A terdapat
dengan tunggal y ∈ B sehingga y = f (x).
Diberikan himpunan A ⊂ C. Fungsi f yang didefinisikan
pada A adalah suatu aturan yang memasangkan setiap
z ∈ A dengan w ∈ C. Dalam hal ini, bilangan kompleks w
disebut nilai fungsi f di titik z, dan ditulis f (z). Jadi,
w = f (z)
Fungsi f dari A ⊂ C ke C dinotasikan
f :A→C
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Diberikan fungsi kompleks f : A ⊂ C → C
Himpunan A disebut domain definisi (daerah definisi).
Di dalam fungsi variabel kompleks, perlu dibedakan antara
pengertian domain dan domain definisi. Domain definisi
suatu fungsi belum tentu merupakan domain.
Apabila domain definisi suatu fungsi f tidak disebutkan
secara eksplisit, maka disepakati bahwa sebagai domain
definisi adalah himpunan terbesar di dalam C sehingga
fungsi f terdefinisikan pada himpunan tersebut.
Sebagai contoh, apabila f (z) =
f adalah {z ∈ C : z 6= 1}.
1
z−1 ,
maka domain definisi
Selanjutnya, domain definisi fungsi f dinotasikan dengan
Df .
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Diberikan fungsi f dan z ∈ Df dengan z = x + iy . Misalkan
nilai f di z adalah w, yaitu
f (z) = w
Apabila w = u + iv , maka dapat dituliskan
f (x + iy ) = u + iv
Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa u dan v
masing-masing ditentukan oleh pasangan variabel real
(x, y ). Atau dengan kata lain
u = u(x, y )
dan
v = v (x, y )
Jadi,
f (z) = u(x, y ) + iv (x, y )
(1)
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Dari persamaan (1) dapat dilihat adanya keterkaitan antara
fungsi variabel kompleks dan fungsi 2 variabel real (x, y ).
Secara sama, tentunya f (z) dapat pula dikaitkan dengan fungsi
2 perubah real (r , θ), yaitu
f (z) = f (r (cos θ + i sin θ)) = u(r , θ) + iv (r , θ)
Example
Jika f (z) = z + z + i|z|, maka
p f (z) = 2x + i
u(x, y ) = 2x dan v (x, y ) = x 2 + y 2
p
x 2 + y 2 . Jadi,
Example
Tentukan u(r , θ) dan v (r , θ) jika diketahui f (z) =
z 2 −1
z .
(2)
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Berbeda halnya dengan fungsi variabel real yang bernilai
tunggal, maka fungsi variabel kompleks dapat bernilai
tidak tunggal. Tentunya hal ini mudah dipahami, mengingat
1
f (z) = z 4 bernilai empat untuk setiap 0 6= z ∈ C.
Jika n ∈ N dan c0 , c1 , c2 , . . . , cn masing-masing konstanta
kompleks dengan c0 6= 0, maka
Pn (z) = c0 z n + c1 z n−1 + . . . + cn−1 z + cn
disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n.
Hasil bagi dua fungsi suku banyak disebut fungsi pecah
rasional.
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Seringkali fungsi variabel real dan bernilai real disajikan
dengan suatu grafik pada suatu bidang datar.
Hal ini tidak dapat dilakukan untuk fungsi variabel
kompleks dengan rumus w = f (z), mengingat w dan z
keduanya berada di dalam bidang datar (bukan garis).
Pada dasarnya, fungsi f dengan rumus w = f (z) dapat
digambarkan dengan cara memasangkan setiap z = (x, y )
di dalam domain definisinya dengan suatu titik
f (z) = (u, v ).
Untuk lebih mempermudah penyajian, pada umumnya
diperlukan 2 bidang kompleks, yang pertama disebut
bidang-z dan yang kedua dinamakan bidang-w, meskipun
untuk fungsi-fungsi yang cukup sederhana dapat
digunakan satu bidang kompleks saja.
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Beberapa Contoh
Example
Diketahui f (z) = z + z̄ + iz z̄. Gambarkan f (L) jika
(a) L = {z : |z| = 1}.
(b) L = {z : |z| = 2}.
Example
Gambarkan bayangan bidang kompleks Z oleh pemataan
f (z) = |z|2 + i(z + z).
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df dan z0 titik
limit Df . Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk z
mendekati z0 , ditulis
lim f (z) = L
z→z0
jika untuk setiap z yang cukup dekat dengan z0 tetapi
z 6= z0 berakibat f (z) cukup dekat dengan L.
Dalam bahasa matematika, limz→z0 f (z) = L jika untuk
setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan δ > 0
sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan 0 < |z − z0 | < δ
berakibat
|f (z) − L| < Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Apabila z0 = x0 + iy0 , maka dengan mengingat pengertian
nilai mutlak, definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai
berikut: limz→z0 f (z) = L jika untuk setiap bilangan real
> 0 terdapat bilangan δ > 0psehingga untuk setiap
z = x + iy ∈ Df dengan 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ
berakibat
|f (z) − L| < Sifat-sifat limit diberikan dalam beberapa teorema berikut.
Theorem
Jika limz→z0 f (z) ada, maka nilainya tunggal.
Sebagai akibat langsung Teorema di atas, jika nilai
limz→z0 f (z) tidak tunggal, maka limz→z0 f (z) tidak ada.
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Seperti telah diterangkan dalam kuliah Kalkulus, dalam
hitung limit fungsi real hanya ada satu limit kiri dan satu
limit kanan. Hal ini mudah dimengerti, karena persekitaran
titik x0 hanyalah berupa suatu penggal garis (selang).
Akibatnya, apabila limx→x0 f (x) tidak ada (dan bukan limit
semu), maka untuk menunjukkannya cukup mudah dan
sederhana, yaitu dengan cara menunjukkan limit kiri tidak
sama dengan limit kanan, yang artinya nilai limx→x0 f (x)
tidak tunggal.
Sementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatu
titik z0 tidak lagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatu
lingkaran. Akibatnya, konsep limit kiri dan limit kanan
menjadi tidak sesederhana konsep tersebut di dalam
kalkulus fungsi real.
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Berangkat dari konsep limit satu arah, kontraposisi
Teorema ketunggalan limit dapat diklarifikasi dengan
menggunakan pengertian limit fungsi sepanjang suatu
kurva.
Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df , z0 titik limit
Df , dan kurva K yang melalui z0 . Limit f (z) untuk z
mendekati z0 di sepanjang kurva K dikatakan sama
dengan L, ditulis
lim
z→z0 , z∈K
f (z) = L
jika untuk setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan
δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ K dengan 0 < |z − z0 | < δ
berakibat
|f (z) − L| < Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi tersebut dan
Teorema sebelumnya diperoleh pernyataan sebagai
berikut.
Theorem
Jika limz→z0 f (z) ada, maka untuk setiap pasang kurva
K1 , K2 ⊂ Df yang melalui z0 , limz→z0 , z∈K1 f (z) dan
limz→z0 , z∈K2 f (z) keduanya ada dan
lim
z→z0 , z∈K1
f (z) =
lim
z→z0 , z∈K2
f (z)
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Sebagai akibat langsung, diperoleh:
Corollary
Jika ada kurva K1 , K2 ⊂ Df yang melalui z0 sehingga
lim
z→z0 , z∈K1
f (z) 6=
maka limz→z0 f (z) tidak ada.
lim
z→z0 , z∈K2
f (z)
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Contoh
Example
2
−1)(x+1)
+ i (y
Jika f (z) = x 22xy
, maka tunjukkan bahwa
+2y 2
(x 2 −2)(y +2
limz→0 f (z) tidak ada.
Bukti: Jika K1 dan K2 masing-masing adalah kurva dengan
persamaan y = 0 dan y = x, maka berturut-turut diperoleh:
i. limz→0, z∈K1 f (z) = limx→0
−(x+1)
2(x−2)
2
= 41 .
2
−1)(x+1)
ii. limz→0, z∈K2 f (z) = limx→0 ( x 22x
) + ( (x(x−2)(x+2)
= 14 ) =
+2x 2
2
3
+ i 41 .
Selanjutnya, dari (i) dan (ii), terbukti bahwa limz→0 f (z) tidak
ada.
Limit Fungsi
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Teorema berikut ini menerangkan hubungan antara limit fungsi
kompleks dengan limit fungsi real dua perubah.
Theorem
Jika diketahui f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ), z0 = x0 + iy0 , dan
L = A + iB, maka
lim f (z) = L
(3)
z→z0
jika dan hanya jika
lim
(x,y )→(x0 ,y0 )
.
u(x, y ) = A dan
lim
(x,y )→(x0 ,y0 )
v (x, y ) = B
(4)
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Contoh
Example
Tentukan limz→1+i (z 2 + z1 ).
Penyelesaian: Terlebih dahulu dituliskan
z2 +
y
1
x
) + i(2xy − 2
)
= (x 2 − y 2 + 2
2
z
x +y
x + y2
Selanjutnya, karena
x
) =
x2 + y2
y
lim (2xy − 2
) =
x + y2
(x,y )→(1,1)
lim
(x,y )→(1,1)
(x 2 − y 2 +
maka
lim (z 2 +
z→1+i
1
, dan
2
3
2
1
1
3
) = + i( ). z
2
2
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi
Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut
Lemma
Jika limz→z0 f (z) ada, maka terdapat r > 0 sehingga f (z)
terbatas pada N(z0 , r ) ∩ Df − {z0 }.
Theorem
Jika limz→z0 f (z) dan limz→z0 g(z) keduanya ada dan c ∈ C,
maka
i. limz→z0 {f (z) + g(z)} ada, dan
lim {f (z) + g(z)} = lim f (z) + lim g(z)
z→z0
z→z0
z→z0
ii. limz→z0 cf (z) ada, dan
lim cf (z) = c lim f (z)
z→z0
z→z0
Fungsi Variabel Kompleks
Pemetaan/Transformasi/Mappings
Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut
iii. limz→z0 f (z)g(z) ada, dan
lim f (z)g(z) = lim f (z) lim g(z)
z→z0
iv. limz→z0
f (z)
g(z)
lim
z→z0
z→z0
z→z0
ada, dan
limz→z0 f (z)
f (z)
, asal lim g(z) 6= 0
=
z→z0
g(z)
limz→z0 g(z)
Theorem
Jika Pn (z) = c0 z n + c1 z n−1 + c2 z n−2 + . . . + cn , maka
lim Pn (z) = Pn (z0 )
z→z0
Limit Fungsi