MEKANIPKAKUANTU M

MEKANIPKAKUANTU
M
Dra. Suparmi, M.A., Ph.D
1
BAB I
REVIEW DAN BATAS-BATAS FISIKA KLASIK
Tujuan khusus dari penyajian review batas-batas fisika klasik dan kuantisasi besaran
fisis agar mahasiswa mampu
1.memahami bahwa fisika klasik yang dikembangkan berdasarkan fisika Newton tidak
dapat menjelaskan hasil eksperimen tentang radiasi yang dipancarkan oleh benda-benda
yang panas dan juga eksperimen dalam daerah mikroskopik yaitu benda-benda seukuran
dengan atom
2. membedakan antara kuantisasi secara klasik dan kuantisasi secara kuantum.
3. memahami bahwa konsep kekekalan energi juga berlaku dalam system kuantum
4. memahami korespondensi antara klasik dan kuantum.
5. menyarikan materi kuliah yang cocok untuk diajarkan pada siswa SMA/MAN
1.1 Pendahuluan
Pada akhir abad ke 19 dan awal abad ke 20 terjadi krisis dalam fisika. Serangkaian
hasil eksperimen menunjukkan bahwa konsep –konsep Fisika yang berdasarkan hukumhukum Newton tidak bisa digunakan untuk menjelaskan hasil eksperimen sehingga
diperlukan konsep baru yang tidak sama dengan konsep fisika klasik.
Pengembangan konsep baru ini adalah hasil kerja sama yang sangat mengagumkan
antara dugaan yang radikal yang diusulkan oleh kelompok teoritis dengan eksperimen
yang brilian yang dilakukan oleh kelompok eksperimen sehingga mendorong munculnya
teori kuantum. Bab ini bertujuan untuk menggambarkan latar belakang krisis atau
pergolakan fisika yang terjadi; walaupun kurang tepat bila ditinjau dari sejarah
pengembangan fisika, namun pemaparan konsep baru dengan cara ini akan mempermudah
para pembaca untuk melakukan transisi dari mekanika Newton ke kategori mekanika
kuantum sedemikian hingga mekanika kuantum tidak terlalu misterius. Dengan
memperkenalkan konsep baru seperti sifat radiasi dari partikel, sifat gelombang dari
partikel, dan kuantisasi besaran fisis yang tercakup dalam pembahasan sifat-sifat partikel
yang baru akan didiskusikan pada bab-bab berikut ini.
1.2. Tinjauan Umum Radiasi Benda Hitam
Bila sebuah benda dipanaskan, maka akan terlihat memancarkan radiasi. Dalam
keadaan setimbang cahaya yang dipancarkan meliputi rentang seluruh frekuensi, yang
mana distribusi spektrumnya tergantung pada frekuensi atau panjang gelombang dan
temperatur.
Daya pancaran J (X,T), didefinisikan sebagai energi yang dipancarkan pada
panjang gelombang ( l ) tertentu persatuan luas, dan persatuan waktu. Riset secara teoritis
dalam bidang radiasi thermal sudah dimulai sejak tahun 1859, dilakukan oleh Kirchoff,
yang telah menunjukan bahwa untuk l tertentu, perbandingan daya pancaran E terhadap
absorbsivitas A, yang didefinisikan sebagai fraksi- radiasi (sinar) datang pada panjang
gelombang ( l ) yang diabsorbsi oleh benda, adalah sama untuk semua benda.
Dalam menyelidiki emisi dan absorbsi, Kirchhoff menggunakan dua plat sejajar
dan terlihat bahwa dalam keadaan setimbang besarnya emisi dan absorbsi sama untuk
setiap l , maka rasio E/A untuk dua plat tersebut harus sama besar. Kemudian ia
mengamati benda hitam, yaitu sebuah benda yang mampu menyerap semua radiasi yang
jatuh padanya, sehingga A = 1 dan J ( l ,T) merupakan fungsi yang bersifat universal.
2
Untuk menyelidiki sifat-sifat J( l ,T) diperlukan sumber yang terbaik dari radiasi
benda hitam. Solusi praktis untuk keperluan ini dipilih benda berongga yang pada bagian
dindingnya dilubangi dengan ukuran yang sangat kecil dan seluruh permukaan dindingnya
dicat hitam. Radiasi akan keluar dari lubang kecil tersebut bila benda berongga tersebut
dipanaskan pada suhu T. Bila benda hitam tidak memancarkan radiasi maka tidak ada
apapun yang bearada di dalam lubang karena bila ada sinar yang masuk ke dalam lubang,
sinar tersebut akan segera terserap, Bila ada berkas cahaya yang jatuh ke dalam rongga
juga tidak punya kesempatan untuk keluar dari rongga tersebut, karena benda hitam
tersebut mengabsorbsi secara total maka radiasi yang keluar darinya disebut ”Radiasi
Benda Hitam”. Bila lubang rongga cukup kecil maka cahaya yang diabsorbsi sama dengan
yang diradiasikan. Maka perlu difahami distribusi radiasi dalam rongga yang dindingnya
bersuhu T.
Rapat energi dari radiasi yang dipancarkan oleh benda hitam menurut teori secara
klasik dideskripsikan dalam dua hukum radiasi yang saling bertentangan yaitu 1) Hukum
radiasi yang diusulkan oleh Rayleigh –Jeans yang sesuai dengan hasil eksperimen hanya
pada bagian spectrum yang mempunyai panjang gelombang yang panjang atau pada
frekuensi yang rendah, 2) Hukum radiasi menurut Wien hanya sesuai dengan hasil
eksperimen pada spectrum dengan panjang gelombang pendek atau pada frekuensi yang
tinggi. Dengan memunculkan suatu konstanta baru yang disebut konstanta Planck, h, yang
terkait dengan energy dari radiasi benda hitam, 3) Planck dapat menunjukkan bahwa
terdapat interpolasi antara spectrum radiasi benda hitam menurut Rayleigh =Jeans dan
Wien, bahkan spectrum yang diusulkan Planck mencakup seluruh rentang frekuensi baik
yang tercakup dalam spectrum Rayleigh-Jeans dan Wien, lihat skema pada gambar 1.
Kirchhoff menunjukan bahwa berdasarkan hukum Thermodinamika ke II, radiasi
dalam rongga bersifat isotropis yaitu fluks radiasi bersifat homogen dalam seluruh bagian
rongga dan dalam semua arah, besarnya radiasi sama untuk semua bagian rongga yang
suhunya sama, T. Hubungan antara daya pancaran dan rapat energi dinyatakan sebagai:
( 1.1 )
4 J (l , T )
u (l , T ) =
c
dimana:
u (l , T ) = rapat energi
J (l , T ) = daya emisi / pancaran yaitu energy yang dipancarkan pada panjang
gelombang l per satuan luas, per
satuan waktu.
Rapat
Energi R-J
Rapat energi adalah besaran
fisis yang hanya berarti secara
teoritis, berdasarkan argumentasi
Wien
Planck
yang sangat umum menurut Wien
adalah:
u (l , T ) = l-5 f(l,T) (1.2)
Gambar 1. 1 Rapat energy
sebagai fungsi
hw
kT
hw
kT
dimana
f ( l , T ) adalah
fungsi dengan variabel tunggal yang
belum
diketahui
dan
untuk
memudahkan
pembahasannya
variabel l , panjang gelombang
radiasi, diubah kedalam variabel u ,
3
frekuensi radiasi, dengan menggunakan fakta bahwa
dl
u (u , T ) = u (l , T )
du
c
= u (l , T ) 2
u
( 1.3 )
sehingga hukum radiasi Wien pada persamaan (1.2) dapat ditulis menjadi;
( 1.4 )
æu ö
m (u ,T ) @ u × g ç ÷
èT ø
Implikasi dari hukum ini, yang diperkuat oleh hasil eksperimen yang ditunjukkan
pada gambar (1.2) adalah:
1. Dengan diketahuinya distribusi spektrum radiasi benda hitam pada temperatur
tertentu, distribusi spektrum pada temperatur yang lain dapat ditentukan dengan
persamaan (1.4).
2. bila f ( x) atau g ( x) dari fungsi di atas mempunyai harga maksimum untuk x > 0,
maka lmax yaitu harga l pada u (u , T ) maksimum, dapat dinyatakan sebagai:
b
lmax = , b adalah konstanta umum.
T
u (l , T )
T5
lT
Gambar 1.2. Bukti hasil eksperimen pers 1.2,
sebagai fungsi
lT
u (l , T )
T5
æu ö
Wien memprediksikan g ç ÷ mempunyai bentuk
èT ø
pu
æu ö
g ç ÷ = Ce- T
èT ø
( 1.5 )
4
Pada tahun 1900, Rayleigh mengusulkan hukum radiasi sebagai:
4u 2
u (u , T ) = 3 kT
c
k = konstanta Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/derajat.
( 1.6 )
1.3 Hukum radiasi Rayleigh- Jeans
Pers (1.6) dapat dijabarkan dengan meninjau rapat radiasi dari medan radiasi yang dalam
keadaan kesetimbangan thermodinamik dimana rata-rata energi satu gelombang EM setiap
1
satu derajat kebebasan adalah kT. Marilah kita tinjau banyaknya derajat kebebasan
2
medan radiasi yang ditentukan dengan menggunakan vektor potensial A di dalam kubus
yang rusuknya a. Kita juga menganggap bahwa di dalam kubus tidak terdapat muatan
ataupun arus listrik, dan permukaan dalam dinding kubus bersifat sebagai pemantul
sempurna sehingga kubus disebut sebagai medan radiasi yang berbentuk rongga dimana
penampang rongga dua dimensi ditunjukkan pada gambar 1.3. Berdasarkan pers
d’Alembert:
1 d2
)A( r, t ) = 0
(1.7)
c 2 dt 2
Persamaan differensial pada pers. (1.7) dapat diselesaikan dengan metode pemisahan
variabel, yaitu dengan memisalkan A( r, t ) = A( r )T (t ) dan bila dimasukkan ke dalam pers.
(1.7) akan diperoleh
2
(T Ñ 2 A( r ) - A(2r ) d 2 T ) = 0
(1.7a)
c dt
Dan bila pers (1.7a) dibagi dengan A(r)T(t) diperoleh
(
Ñ2 -
1 d2
1 2
1 d2
æ1 2
)
Ñ A( r ) = 2 2 T = kons tan = - k 2 (1.7b)
ç Ñ A( r ) - 2 2 T = 0 sehingga
Tc dt
A
Tc dt
èA
Pada pers (1.7b) terdapat dua differensial orde 2 dengan variabel yang berbeda, posisi dan
waktu, maka keduanya harus sama dengan konstanta, -k2, sehingga diperoleh dua
penyelesaian dengan variabel yang sudah terpisah, yaitu merupakan fungsi posisi dan
fungsi waktu saja,
1
(1). Ñ 2 A( r ) = -k2 atau Ñ 2 A( r ) + k 2 A( r ) = 0
(1.7c)
A
yang penyelesaiannya tergantung pada bentuk fungsi vektor medan A(r), dan
1 d2
d 2T
2
(2)
T
=
k
atau
+ k 2 c 2T = 0 yang mempunyai penyelesaian
2
2
2
Tc dt
dt
T = C exp {ikct} = C exp{ iwt}
(1.7d)
Vektor potensial yang merupakan fungsi posisi dan waktu dapat dituliskan kembali
sebagai A(r,t) =A(r) exp(iwt) yang terurai menjadi dua komponen yaitu
A(r,t) =A(r) cos(wt) dan A(r,t) =A(r) sin(wt)
w
dimana k =
dan pers ( 1.7 ) menjadi
c
5
(
Ñ2 +
w2
c2
)A( r ) = 0
atau
(
Ñ 2 + k 2 )A( r ) = 0
(1.8)
Karena didalam kubus tak ada muatan, maka berdasarkan Coulomb gauge,
div A = Ñ. A = 0
(1.9)
Kondisi di atas ekivalen dengan arah rambatan gelombang bidang dalam kotak. Untuk
setiap vektor gelombang k, ada dua komponen amplitude A yang saling tak tergantung
(terdapat dua arah polarisasi) dari vektor potensial, yaitu
A(r) = A sin (k.r) atau A(r) = A cos (k.r)
dan dari kondisi A.k = 0 diperoleh Ax k x + Ay k y + Az k z = 0
dimana k x2 + k y2 + k z2 = k 2 =
w2
c2
k+dk
ky
p
a
(a)
p
a
(a)
kx
(b)
Gambar 1.3 (a)Ilustrasi eigenfrekuensiGEM yang digambarkan sebagai titik-titik
dalam bidang dua dimensi. Banyaknya eigenfrekuensi yang terletak antara dua
lingkaran yang berjari-jari k dan k +dk adalah dN b) Medan radiasi dalam rongga
Dengan menggunakan kondisi bahwa komponen tangensial dari vektor medan A berharga
nol pada permukaan pemantul dinding kubus bagian dalam, maka komponen vektor
gelombang kx, ky, dan kz dapat dijabarkan dari komponen vector yang memenuhi kondisi di
atas yaitu
A sin (k.r) =0
yang menghasilkan
sin (kx x) =0, sin (ky y) = 0, sin (kz z) = 0
dan dari masing-masing persamaan memberikan harga
ny
n
n
kx = x p
ky =
p k z = z p , dimana nx, ny, nz = 1,2,3,…
a
a
a
Bilangan nx, ny, nz dibatasi hanya untuk bilangan positif bulat saja karena kita hanya
mendiskusikan gelombang stasioner yang terkungkung dalam kubus yang berada
dikuadran pertama (dibatasi oleh sumbu-sumbu x, y, dan z positif).
Gambar 1.3 menunjukkan titik-titik kisi yang terletak pada kuadran pertama dari koordinat
1
bola yang tidak lain adalah
dari bagian volume bola. Setiap titik kisi mewakili satu
8
eigen frekuensi. Dengan menggunakan geometri bola kita dapat menentukan banyaknya
6