matematika ekonomi

MACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI
DAN BISNIS
Bagian 3
Pertemuan 4, 5 dan 6
MATEMATIKA BISNIS
Tonaas Marentek, M.Si
MACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI
DAN BISNIS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
FUNGSI
FUNGSI LINIER
SISTEM PERSAMAAN LINIER
PENERAPAN FUNGSI LINIER
FUNGSI NON LINIER
PENERAPAN FUNGSI NONLINIER
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
MACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI
DAN BISNIS
TARGET :
Mahasiswa/i mampu menjelaskan secara tepat
dan dapat mengerjakan persoalan matematika
fungsi dan dapat menghubungkan dan
menerapkannya dalam ekonomi dan bisnis
SILABUS MATERI
FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
1. FUNGSI
 fungsi dan relasi/hubungan
 variabel bebas dan terikat
 sistem koordinat cartesius
 fungsi dengan 1 variabel bebas
 fungsi dengan 2 atau lebih variabel bebas
2. FUNGSI LINIER




kemiringan dan titik potong sumbu
Bentuk umum fungsi linear
menentukan persamaan garis
hubungan dua garis lurus
SILABUS MATERI
FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
 penyelesaian SPL : 2 persamaan dgn 2 variabel
 persamaan ketergantungan linear dan
ketidakkonsistenan
 4. PENERAPAN FUNGSI LINIER







fungsi permintaan
fungsi penawaran
keseimbangan pasar 1 dan 2 macam produk
pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar
pengaruh pajak terhadap kesejahteraan
pengaruh subsidi terhadap kesejahteraan
pengaruh batas maksimum terhadap kesejahteraan
SILABUS MATERI
FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
PENERAPAN FUNGSI LINIER (sambungan)
 pengaruh batas minimum terhadap kesejahteraan
 pengaruh kuota produksi terhadap kesejahteraan
 pengaruh tarif dan kuota impor terhadap
kesejahteraan
 analisis pulang pokok
 fungsi belanja komsumsi dan tabungan
 fungsi belanja investasi
 fungsi belanja pemerintah
 fungsi belanja ekspor impor
 fungsi belanja keseluruhan (aggregate)
 keseimbangan pasar produk
SILABUS MATERI
FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
5. FUNGSI NON LINIER
 fungsi kuadrat
 fungsi pangkat tiga
 fungsi rasional
 lingkaran
 elips
SILABUS MATERI
FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINIER







fungsi permintaan
fungsi penawaran
keseimbangan pasar pasar
fungsi permintaan total
fungsi produksi
Kurva transformasi produksi
kurva indiverens
SILABUS MATERI
FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
 fungsi eksponen
 fungsi logaritma
8. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
 bunga majemuk
 fungsi pertumbuhan
1. FUNGSI
PENDAHULUAN
Penerapan Fungsi dalam bidang ekonomi dan
bisnis merupakan salah satu bagian yang
sangat penting untuk dipelajari, karena:
Persoalan ekonomi dan bisnis yang dinyatakan
dalam model matematika biasanya dinyatakan
dengan fungsi
1. FUNGSI
1. FUNGSI
1. FUNGSI
FUNGSI DAN HUBUNGAN/RELASI
Fungsi adalah suatu hubungan antara dua buah
variabel atau lebih, dimana masing-masing
dari dua buah variabel atau lebih tersebut
saling pengaruh-mempengaruhi.
•Sebuah Variabel adalah suatu jumlah yang
mempunyai nilai yang berubah-ubah pada suatu
soal.
•Variabel yang terdapat dalam suatu fungsi
dapat dibedakan atas varibel bebas
(independent variabel) dan variabel yang
dipengaruhi/tidak bebas (dependent variabel).
1. FUNGSI
Koefisien adalah bilangan atau angka yang
terkait pada dan terletak di depan suatu variabel
dalam sebuah fungsi.
Konstanta adalah bilangan atau angka yang
(kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi
tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait
pada suatu variabel tertentu).
y = 5 + 0,8x
y : variabel terikat
x : variabel bebas
0,8 : koefisien variabel x
5 : konstanta
Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum
adalah: y = f(x)
Contoh :
a)
Y = f (X) atau Y = f (X1, X2)
X, X1, X2
= variabel bebas (independent
variabel)
Y = variabel yang dipengaruhi (dependent
Variabel)
b)
Y = a + bX
a dan b = Konstanta
Y = variabel yang dipengaruhi (endogenous
variable)
X = variabel bebas (exogenous)
1. FUNGSI
MACAM-MACAM FUNGSI
(1). DARI SEGI JUMLAH VARIABEL BEBAS:
a. Fungsi Konstan
Y = C…….Y = 3.
Y
Y=3
3
0
X
1. FUNGSI
b. Fungsi Dengan Satu Bariabel Bebas: Y = f(X)
Y = aX + b …….Y = 2X + 4 ……....Fungsi Linier.
Y = aX2 + bX + c….Y = X2-3X+2….Parabola.
Y = aX ……Y = 2X…………………..Fungsi Eksponen.
c. Fungsi Dengan Dua Variabel Bebas Atau Lebih:
Y = f(X1, X2):
Y = 4X1 + 3X2 + 2 …….……Fungsi Linier;
Y = 2.X10,6. X20,3…………..…Fungsi Pangkat.
Y = 2X12 + 3X1X2 – 6X22 …….Fungsi Kuadrat.
1. FUNGSI
(2). FUNGSI DARI SEGI LETAK VARIABEL
a. Fungsi Implisit
AX + BY + C = 0…..2X – 2Y + 3 = 0
atau: 2X – 2Y = -3 atau:
-2X + 2Y = 3.
(X dan Y berada dalam satu ruas)
b. Fungsi Eksplisit
Y = aX + b …..Y = 2X + 3.
Y: Variabel terikat, dan
X: Variabel bebas.
1. FUNGSI
(3). FUNGSI DARI SEGI BENTUK KURVANYA
FUNGSI
FUNGSI ALJABAR
FUNGSI NON-ALJABAR
1.FUNGSI LINIER
2. FUNGSI KUADRAT:
a. Parabola
b. Lingkaran
c. Ellips
d. Hiperbola
3. FUNGSI POLINOMIAL
4. FUNGSI RASIONAL.
1. FUNGSI EKSPONEN
2. FUNGSI LOGARITMA
3. FUNGSI TRIGONOMETRI
1. FUNGSI
CONTOH-CONTOH FUNGSI ALJABAR:
(1). Fungsi Linier:
Y = aX + b..….(a≠0)……Y= 2X+4.
(2). Fungsi Kuadrat Parabola:
Y = aX2 + bX + c…..(a≠0)……Y = X2 - 3X + 2.
(3). Fungsi Polinomial:
Y = aX3 +bX2 +cX + d….(a≠0)
Y = X3 + 2X2 + X + 3.
(4). Fungsi Rasional :
Y = (aX + b) / (cX + d)….(c≠0)
Y = (2X+2)/(X+1).
1. FUNGSI
CONTOH-CONTOH FUNGSI NON ALJABAR:
(1). Fungsi Eksponen:
Y = a.bX + c....... (a ≠ 0)
Y = 2.3X + 3
Y = 3X + 2
Y = 2.3X
Y = 3X.
(2). Fungsi Logaritma:
Y = aLog X ….. (a ≠ 0)
Y = Log X
Y = 2 Log X.
KERJAKAN SOAL DIBAWAH INI !
Gambarlah grafik fungsi
a. Y = 2x + 1
b. Y = X2 - 2x
c. Y = X2 - 3X + 2
d. Gambarlah titik- titik ( 0 , 8 ) ;( 2 , 4 ); ( 4, 0) ; dan (6 ,-4 )
. Tunjukkan bahwa titik – titik tersebut terletak pada sebuah
garis lurus !
2. Fungsi Linier
2. Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi yang paling
sederhana karena hanya mempunyai satu
variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel
bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai
fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan
linier adalah:
y = a + bx; dimana a adalah konstanta dan b
adalah koefisien (b≠0).
Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit
berikut: Ax + By + C = 0
2. Fungsi Linier
Sesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada
koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier).
Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus
tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b
pada persamaan y = a + bx. Koefisien ini untuk mengukur
perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari
perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a
adalah penggal garis pada sumbu vertikal (sumbu y).
Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0.
Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan
perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan
dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien
yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi:
Kemiringan = m =
2. Fungsi Linier
Sebagai contoh, y = 15 – 2x, kemiringannya adalah –
2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit
variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.
2. Fungsi Linier
Bentuk umum (bentuk kemiringan titik
potong)/ eksplisit :
Y = a+bX
a dan b = konstanta, b≠ 0
Y = variabel tidak bebas
X = variabel bebas
2. Fungsi Linier
Bentuk umum implisit :
AX + BY+C = 0
nilai kemiringannya : - (A/B) dan
titik potong dengan sumbu Y : (0, -C/B)
2. Fungsi Linier
Menentukan Pers.Garis
Sebuah persamaan linier dapat dibentuk
melalui beberapa macam cara, antara lain: (1)
metode dua titik dan (2) metode satu titik dan
satu kemiringan.
Metode Dua Titik
Apabila diketahui dua titik A dan B dengan
koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2),
maka rumus persamaan liniernya adalah:
2. Fungsi Linier
Menentukan Pers.Garis
Contoh :
misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka
persamaan liniernya adalah:
4y – 12 = 2x – 4
4y = 2x + 8
Y = 0,5x + 2
2. Fungsi Linier
Menentukan Pers.Garis
Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan
Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu
kemiringan
(m)dapat
dibentuk
sebuah
persamaan linier dengan rumus sebagai berikut;
y – y1 = m (x – x1)
Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan
m=0,5 maka persamaan liniernya adalah:
y – y1 = m (x – x1)
y – 3 = 0,5(x – 2)
Y – 3 = 0,5x – 1
Y = 0,5x + 2
2. Fungsi Linier
Menentukan Pers.Garis
• Persamaan sebuah garis yang
menelusuri/melewati satu buah titik
(X1,Y1) yaitu :
Y  Y1
tg  b 
X  X1
Y  Y1  b X  X 1 
Y  bX  Y1  bX 1 
2. Fungsi Linier
Menentukan Pers.Garis
 Dua garis linier dapat berimpit, sejajar, tegak lurus dan
berpotongan.
Dengan persamaan garis linier :
g1 : Y = bX + a
g2 : Y’= b’X + c maka,
 Dua garis (g1 dan g2) akan sejajar bila tg α kedua garis tersebut
sama atau b = b’
 Dua garis akan tegak lurus bila tg α kedua garis pertama
dikalikan tg β garis kedua sama dengan minus 1 atau b.b’ = -1
 Dua garis akan berimpit bila kedua persamaan garis tersebut
identik
 Dua garis akan berpotongan bila b ≠ b’
LATIHAN
1. Gambarkan grafik fungsi: Y = 3X + 2
2. Sebuah garis melewati titik A(2,1) dan
B(3,4). Ditanyakan persamaan garisnya!
3. Hitung titik potong P dari dua persamaan
garis:
Y = 4X + 2 dan Y = X - 4
TUGAS RUMAH
1. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu y pada persamaan garis berikut ini:
a. 3x – 2y + 12 = 0
b. 2x – 5y – 10 = 0
c. 4x – 6y = 10
2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat berikut carilah persamaan garis lurusnya:
a. (3,5) dan (10,2)
b. (-6,-4) dan (10,8)
3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan
garis lurusnya:
a. (2,6), m = 0,4
b. (5,8), m = -1,6
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode
eliminasi:
a. 2x – 3y = 5 dan 3x – 2y = -4
b. 4x + 3y = 16 dan x – 2y = 4
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode
substitusi:
a. x – y = 2 dan 2x + 3y = 9
b. x – y = -1 dan 3x + 2y = 12
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode
determinan:
a. x + y = 5 dan 2x + 3y = 12
b. 2x – 3y = 13 dan 4x + y = 15
3. Sistem Persamaan Linier
3. Sistem Persamaan Linier
Penyelesaian suatu sistem persamaan linier
adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi
secara serentak (simultan) semua persamaanpersamaan dari sistem tersebut. Atau secara
sederhana penyelesaian sistem persamaan linier
adalah menentukan titik potong dari dua
persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat
digunakan untuk penyelesaian suatu sistem
persamaan linier, yaitu:
(1). Metode Substitusi,
(2). Metode Eliminasi, dan
(3). Metode Determinan.
3. Sistem Persamaan Linier
Metode Subtitusi
Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan x+4y=23 ?
Jawab:
Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x+4y=23
dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.
x = 23-4y Þ 2x + 3y = 21
2(23-4y) + 3y = 21
46 – 8y + 3y = 21
46 – 5y = 21
25 = 5y
y=5
Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan.
y = 5 Þ 2x + 3y = 21
2x + 3(5) = 21
2x + 15 = 21
2x = 21 – 15
x = 6/2
x=3
Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan
pasangan (3,5)
3. Sistem Persamaan Linier
Metode Eliminasi
Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x2y=7 dan 2x+4y=10 ?
Jawab:
Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y
3x - 2y = 7 |x 2| 6x – 4y = 14
2x + 4y = 10 |x 1| 2x + 4y = 10 +
8x + 0 = 24
x =3
Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu
persamaan.
x = 3 Þ 3(3) - 2y = 7
-2y = 7 – 9
2y = 2
y=1
Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan
tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)
3. Sistem Persamaan Linier
Metode determinan
ax + by = c
dx + ey = f
Nilai x adalah: x =
Nilai y adalah; y =
Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu
3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akan diselesaikan
dengan cara determinan:
3. Sistem Persamaan Linier
Metode determinan
Nilai x adalah: x =
Nilai y adalah; y =
Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi
kedua persamaan tersebut adalah himpunan
pasangan (3,1)
4. Penerapan Fungsi Linier
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
Fungsi linier adalah suatu fungsi yang sangat
sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan
bisnis dalam menganalisa dan memecahkan
masalah-masalah ekonomi.
Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan
masalah
ekonomi
dan
bisnis
dapat
disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam
model yang berbentuk linier.
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang
ekonomi dan bisnis adalah:
 Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar 1 dan 2 macam produk
 Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap
Keseimbangan Pasar.
 Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap
Kesejahteraan
 Pengaruh batas minimum dan maksimum
terhadap kesejahteraan
 Pengaruh
kuota
produksi
terhadap
kesejahteraan
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
(sambungan) :
 Pengaruh tarif dan kuota impor terhadap
kesejahteraan
 Analisis p
 Fungsi belanja komsumsi dan tabungan
 Fungsi belanja investasi
 Fungsi belanja pemerintah
 Fungsi belanja ekspor impor
 Fungsi belanja keseluruhan
 Keseimbangan pasar produk
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FS PERMINTAAN
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk
yang diminta oleh konsumen dengan harga produk.
Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka
jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa
jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik.
Sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring
ke kiri)
Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:
Qx = f (Px)
Qx = a – b Px
Atau
Px =a/b – 1/b Qx
dimana: Qx = Jumlah produk x yang diminta
Px = Harga produk x
a dan b = parameter
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FS PERMINTAAN
Bentuk umum fungsi permintaan
P
Q  a  bP
atau
a 1
P  Q
b b
a
b
Kurva Permintaan
0
a
Q
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FS PERMINTAAN
12
10
8
P
Qd = a - bPx
6
4
2
0
0
5
10
Q
15
20
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FS PENAWARAN
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk
yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk.
Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka
jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga
sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang
ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai
slope positif (miring ke kanan)
Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:
Qx = f (Px)
Qx = -a + b Px
Atau
Px = a/b + 1/b Qx
dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan
Px = Harga produk x
a dan b = parameter
Contoh:
Fungsi pernawaran P = 3 + 0,5Q
Fungsi Penawaran
P
Q   a  bP
atau
a 1
P  Q
b b
Kurva Penawaran
a
b
a
0
Q
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FS PENAWARAN
P
12
10
8
6
P
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR
Pasar suatu macam barang dikatakan berada
dalam keseimbangan (equilibrium) apabila
jumlah barang yang diminta di pasar tersebut
sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.
Secara matematik dan grafik ditunjukan oleh
kesamaan:
Qd = Qs
atau
Pd = Ps
yaitu perpotongan kurva permintaan dengan
kurva penawaran.
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR
Y-Values
12
10
8
6
Y-Values
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR
Qd  Qs
P
Qs
Pe
E
Qd
0
Qe
Q
Contoh Kasus 1 :
Diketahui : Fungsi Permintaan ; Q = 15 – P
Fungsi Penawaran ; Q = - 6 + 2P
Ditanyakan : Pe dan Qe ?...
Jawab : keseimbangan pasar; Qd = Qs
P
15 – P = - 6 + 2P
15
21 = 3P,
Qs
7
= 15 – 7 = 8
E
3
0
Q = 15 – P
Jadi, Pe = 7
Qd
8
15
Qe = 8
Q
P=7
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR 2 PRODUK
Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi
oleh permintaan barang. Ini bisa terjadi pada dua macam
produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi
(produk pengganti) atau secara komplementer (produk
pelengkap).
Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak
tanah dengan gas elpiji, dan lain-lain.
Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan
gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya.
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR 2 PRODUK
Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk
saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi
penawaran produk yang berinteraksi mempunyai dua
variabel bebas.
Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah jumlah
yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah :
(1) harga produk itu sendiri, dan
(2) harga produk lain yang saling berhubungan.
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR 2 PRODUK
Notasi fungsi permintaan menjadi:
Qdx = ao – a1Px + a2Py
Qdy = bo + b1Px - b2Py
Sedangkan fungsi penawarannya:
Qsx = -mo + m1Px + m2Py
Qsy = -no + n1Px + n2Py
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR 2 PRODUK
Dimana:
Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X
Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px = Harga produk X
Py = Harga produk Y
a0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta.
Syarat keseimbangan pasar dicapai jika:
Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
KESEIMBANGAN PASAR 2 PRODUK
Contoh :
Diketahui
fungsi
permintaan
dan
fungsi
penawaran dari dua macam produk yang
mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut:
Qdx = 5- 2Px + Py
Qdy = 6 + Px - Py
Dan
Qsx = -5 + 4Px - Py
Qsy = -4 - Px + 3Py
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar !
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA
KESEIMBANGAN PASAR
Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas
penjualan suatu barang akan menyebabkan
produsen menaikkan harga jual barang
tersebut sebesar tarif pajak per unit (t),
sehingga fungsi penawarannya akan berubah
yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan
berubah pula.
Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:
Ps = f(Q) + t atau
Qs = f(P - t)
SUBSIDI
Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas
penjualan suatu barang akan menyebabkan
produsen menurunkan harga jual barang tersebut
sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi
penawarannya akan berubah yang pada akhirnya
keseimbangan pasar akan berubah pula.
Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi:
Ps = f(Q) - s atau
Qs = f(P + s)
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
PENGARUH PAJAK-SPESIFIK TERHADAP
KESEIMBANGAN PASAR
Pengaruh Pajak.
Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu
barang menyebabkan harga jual barang
tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak,
produsen
akan
berusaha
mengalihkan
(sebagian) beban pajak tersebut kepada
konsumen.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit
barang yang dijual menyebabkan kurva
penawaran bergeser ke atas, dengan penggal
yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika
sebelum pajak persamaan penawarannya P = a
+ bQ maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a
+ bQ + t = (a + t) + bQ.
 Contoh Kasus 2 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
pajak; t = 3 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah
pajak ?...
Penyelesaian :
Dimisalkan sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 . Sesudah pajak, harga
jual yang ditawarkan oleh produsen menjadi lebih tinggi, persamaan
penawarannya berubah dan kurvanya bergeser keatas.
Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5 Q + 3 = 6 + 0,5 Q
Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q
Keseimbangan Pasar : 15 – Q = 6 +0,5Q
 - 1,5Q = - 9
Q=6
P = 15 – Q = 15 – 6 = 9
Jadi, sesudah pajak ; P’e = 9 dan Q’e = 6
Jadi, Kurvanya adalah sebagai berikut :
P
15
9
7
6
3
0
Q's (sesudah pajak)
Qs
E'
(sebelum pajak)
E
Qd
6
8
15
Q
Beban Pajak
 Beban pajak yang ditanggung konsumen (tk)
Rumus : tk = P’e – P
Dalam contoh kasus diatas, tk = 9 – 7 = 2
 Beban pajak yang ditanggung produsen (tp)
Besarnya bagian dari beban pajak yang ditanggung oleh
produsen (tp) adalah selisih antara besarnya pajak per unit
barang (t) dan bagian pajak yang menjadi tanggungan
konsumen (tk).
Rumus : tp = t – tk
Dalam contoh kasus 2, tp = 3 – 2 = 1
 Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah (T)
Rumus : T = Q’e X t
Dalam contoh kasus 2, T = 6 X 3 = 18
PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP
KESEIMBANGAN PASAR
 Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan
berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; bukan diterapkan
secara spesifik (misalnya 3 rupiah) per unit barang. Meskipun
pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik, menaikan
harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan,
namun analisisnya sedikit berbeda.
 Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P)
maka, dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari
harga jual, persamaan penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP
t : pajak proporsional dalam %
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
a
b
a l  t 
P

Q atau Q   
P
l  t  l  t 
b
b
 Contoh Kasus 3 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
t = 25%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah
pajak ?...
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 , sesudah pajak, persamaan
penawarannya akan berubah, sementara permintaannya tetap
P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% = 0,25 :
P = 3 + 0,5 Q + 0,25
P = 3 + 0,75 Q
Keseimbangan Pasar : Pd = Ps
15 - Q = 3 +0,75Q
-1,75Q = -12
Q = 6,6
Jadi, sesudah pajak : P’e = 8,4 dan Q’e = 6,6
Pajak yang diterima oleh pemerintah dari setiap unit barang adalah :
t x P’e = 0,25 x 8,4 = 2,1
Kurvanya adalah :
P
Q's
E'
8,4
E
Qs
7
Qd
0
6,6
8
Q
 Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen untuk setiap barang yang
dibeli adalah tk = P’e – Pe = 8,4 – 7 = 1,4
 Sedangkan yang ditanggung produsen adalah : tp = t – tk = 2,1 – 1,4 = 0,7
 Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T = Q’e x t = 6,6 x 2,1 = 13,86.
PENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN
PASAR
 Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh karena
itu ia sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan itu,
pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan
pengaruh pajak, sehingga kita dapat menganalisisnya seperti ketika
menganalisis pengaruh pajak. Subsidi dapat bersifat spesifik dan
dapat juga bersifat proporsional.
 Pengaruh Subsidi. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan
sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi
lebih rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos
produksinya menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih
murah.
 Dengan subsidi sebesar s, kurva penawaran bergeser sejajar
kebawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada
sumbu harga.
Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka
sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ.
 Contoh Kasus 4 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
subsidi;
s = 1,5 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q
keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?...
Penyelesaian :
Tanpa subsid, Pe = 7 dan Qe = 8 . Dengan subsidi, harga jual yang ditawarkan
oleh produsen menjadi lebih rendah, persamaan penawaran berubah dan
kurvanya bergeser turun.
Penawaran tanpa subsidi : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5
P = 1,5 + 0,5 Q  Q = -3 + 2P
Permintaan tetap
: P = 15 – Q 
Q = 15 – P
Maka, keseimbangan pasar :
Qd = Qs
15 – P = -3 + 2P  18 = 3P, P = 6
Q = 15 – P  15 - 6 = 9
Jadi dengan adanya subsidi : P’e = 6 dan Q’e = 9
 Jadi kurvanya sebagai berikut :
P
15
Qs
Q's
E
7
6
(tanpa subsidi)
(dengan subsidi)
E'
Qd
3
1,5
0
89
15
Q
Bagian Subsidi yang Dinikmati
 Bagian subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya bagian
dari subsidi yang diterima, secara tidak langsung, oleh
konsumen (sk) adalah selisih antara harga keseimbangan tanpa
subsidi (Pe ) dan harga keseimbangan dengan subsidi (P’e )
 Dalam contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1.
 Bagian subsidi yang dinikmati produsen.
 Dalam contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5.
 Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah. Besarnya
jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah (S) dapat dihitung
dengan mengalikan jumlah barang yang terjual sesudah subsidi
(Q’e) dengan besarnya subsidi per unit barang (s).
 Dalam contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5.
KESEIMBANGAN PASAR KASUS DUA MACAM BARANG
 Bentuk Umum :
Qdx : jumlah permintaan akan X
Qdy : jumlah permintaan akan Y
Px : harga X per unit
Py : harga Y per unit
Qdx  f Px , Py 
Qdy  g Py , Px 
 Contoh Kasus 5 :
Diketahui : permintaan akan X; Qdx = 10 – 4Px + 2Py
penawarannya; Qsx = -6 + 6Px
permintaan akan Y; Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px
penawarannya; Qsx = -3 + 7 Py
Ditanyakan : Pe dan Qe untuk masing-masing barang tersebut ?...
Penyelesaian :
1)Keseimbangan pasar barang X
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
10Px – 2Py = 16
2)Keseimbangan pasar barang Y
Qdy = Qsy
9 – 3Py + 4Px = -3 + 7 Py
4Px – 10 Py = - 12
3.
Dari 1 ) dan 2 )
10 Px  2 Py  16
1
10 Px  2 Py  16
4 Px  10 Py  12  2,5 10 Px  25Py  30 
23Py  46
Py  2
Py = 2 , masukkan ke 1) atau 2), diperoleh Px = 2
Masukkan kedalam persamaan semula, sehingga didapat nilai Qxe =
6, dan nilai Qye = 11.:
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
ANALISIS PULANG POKOK
Pulang Pokok (Break Even); Apabila
penerimaan total dari hasil penjualan produk
sama dengan biaya total yang dikeluarkan
perusahaan.
TR = TC
TR = P.Q dan
TC = FC + VQ
Dimana;
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA KOMSUMSI DAN TABUNGAN
 Fungsi Konsumsi;
C = a + bYd
Dimana;
C = Konsumsi
Yd = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan
a
= Konsumsi dasar tertentu yg tidak tergantung pada
pendapatan
b = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)
 Fungsi Tabungan;
S = -a + (1-b)Yd
Dimana;
S = Tabungan
a = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan
Yd = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan
(1-b) = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
 Fungsi belanja investasi menunjukan hubungan
antara :
jumlah belanja investasi oleh investor
dan
beberapa variabel ekonomi dalam perekonomian
yang mempengaruhinya pada suatu periode
waktu tertentu.
Variabel-variabel :
1.
Tingkat bunga
2.
Pendapatan riil
3.
Pajak bisnis/perusahaan
4.
Laba yang diharapkan dan keyakinan bisnis
5.
Pemanfaatan kapasitas (capacity utilization)
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
Model matematika Fungsi belanja investasi :
I=f(Y, r, Tb, PR, CU)
Dimana :
I = jumlah belanja investasi
Y= pendapatan riil (variabel paling utama mempengaruhi
variabel belanja)
r = tingkat bunga pasar
Tb= pajak bisnis
PR= profil yang diharapkan dan keyakinan bisnis
CU= pemanfaatan kapasitas
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
• Fungsi investasi dengan 1 var bebas pendapatan :
sebagai Variabel penentu utama I=f(Y)
• bentuk persamaan liniaer :
I = I0 + I1y (persamaan belanja investasi)
I= belanja investasi oleh investor
Y= pendapatan riil
I0 = belanja investasi autonomos
I1 = kecenderungan berinvestasi marginal ( c1+i1 <0 )
• Fungsi investasi dengan 1 var bebas tingkat bunga :
I=f(r)
• bentuk persamaan liniaer :
I = I0 + I1r (persamaan belanja investasi)
I= belanja investasi oleh investor
r= tingkat bunga pasar
I0 = faktor-faktor lain yang mempengaruhi belanja investasi
I1 = koofisien yang sesuai dengan tingkat bunga
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA INVESTASI
Latihan 1 :
Misalkan telah diketahui fungsi belanja investasi dari suatu perekonomian
I = 30 + 0,2Y
a. Berapa besar belanja investasi autonomous
b. Berapa nilai investasi total apabila tingkat pendapat 50
c. Gambar kan fungsi belanja investasi dalam satu diagram !
Latihan 2 :
Fungsi belanja investasi dari suatu perekonomian adalah I = 3000 – 100r,
dimana I adalah nilai belanja investasi dalam miliar rupiah dan r adalah
tingkat bunga pasar dalam presentase
a. Berapa besar belanja investasi jika tingkat bunga (r) yang berlaku di
pasar 15% ?
b. Berapa besar belanja investasi, jika bunga (r) yang berlaku di pasar
10%?
c. Gambarkan fungsi belanja investasi dalam satu diagram!
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA PEMERINTAH :
FUNGSI BELANJA PEMERINTAH : hubungan jumlah
belanja pemerintah dengan kebijakan yang diputuskan
oleh pemerintah
VARIABEL BELANJA PEMERINTAH : VARIABEL
EKSOGEN
G = f(Y, Kebijakan) (mat : fungsi konstanta)
G : jumlah belanja pemerintah
Y : pendapatan riil dalam perekonomian
Kebijakan : keputusan yang dibuat oleh pemerintah dan
disetujui oleh Legistatif
G = G0 (mat : persamaan linear)
G : belanja pemerintah
G0 : belanja pemerintah otonom
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA PEMERINTAH :
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA PEMERINTAH :
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA EKSPOR DAN IMPOR
FUNGSI BELANJA EKSPOR : hubungan jumlah belanja
ekspor (oleh eksportir) dengan tingkat pendatan riil atau
PDB luar negeri (GDP or real time) dan tingkat
pertukaran mata uang (currency exchange rate) dalam
perekonomian pada suatu periode waktu tertentu.
Bentuk Fungsional : X = f(Y*, R)
X : jumlah belanja ekspor
Y* : tingkat pendapatan riil luar negeri
R : tingkat pertukaran mata uang
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA EKSPOR DAN IMPOR
(Fungsi belanja ekspor terhadap tingkat pertukaran mata
uang)
Bentuk Persamaan Linier : X = X0 – x1R
X : jumlah belanja ekspor
Y* : tingkat pendapatan riil luar negeri
R : tingkat pertukaran mata uang
X0
: faktor yang mempengaruhi belanja ekspor
X1 : koofisien yang sesuai dengan tingkat pertukaran mata uang
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA EKSPOR DAN IMPOR
(Fungsi belanja ekspor terhadap tingkat pendapatan riil
domestik PDB)
Bentuk Fungsi Konstanta : X = X0
X : jumlah belanja ekspor
X0: belanja ekspor otonom
Tingkat belanja ekspor : Variabel Eksogen sehingga
tidak ada hub. Dengan tingkat pendapatan riil.
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA EKSPOR DAN IMPOR
FUNGSI BELANJA IMPOR : hubungan jumlah belanja
impor (oleh eksportir) dengan tingkat pendatan riil
domestik dan tingkat pertukaran mata uang (currency
exchange rate) dalam perekonomian pada suatu periode
waktu tertentu.
Bentuk Fungsional : M = f(Y, R)
M : jumlah belanja impor
Y* : tingkat pendapatan riil domestik
R : tingkat pertukaran mata uang
M berbanding lurus dengan Y dan juga R
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA EKSPOR DAN IMPOR
(Fungsi belanja impor terhadap pendapatan)
Bentuk Persamaan Linier : M = M0 – m1Y
M : belanja impor
Y : tingkat pendapatan riil domestik
R : tingkat pertukaran mata uang
M0
: faktor yang mempengaruhi belanja impor
m1 : kecenderungan marginal untuk mengimpor
Fungsi belanja impor terhadap tingkat pertukaran mata
uang dianggap konstan
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA KESELURUHAN (AGGREGATE)
Fungsi belanja keseluruhan adalah fungsi yang menunjukan
antara nilai belanja keseluruhan (aggregate expenditure) dan
nilai dari semua komponen belanja yang dilakukan oleh para
pelaku ekonomi dalam perekonomian.
1. Belanja komsumsi
2. Belanja investasi
3. Belanja pemerintah
4. Belanja ekspor impor
AE = C + I + G + (X-M)
Sehingga :
AE = f(Y, Tp,r,W,D,CR,CC,TB,PR,CU,G,Y*,R)
AE= Belanja keseluruhan
CR=kredit konsumen
Y=Tingkat pendapatan (variabel yang plg berpengaruh)
CC=keyakinan konsumen
Tp=pajak perseorangan
TB=pajak bisnis/perusahaan
r=tingkat bunga pasar
PR=profit yang diharapkan investor
W=kekayaan konsumen
CU=pemanfaatan kapasitas
D=Hutang konsumen
G=belanja pemerintah
Y*=pendapatan riil atau PDB luar negeri
R=tingkat pertukaran mata uang
4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR
FUNGSI BELANJA KESELURUHAN (AGGREGATE)
fungsi belanja keseluruhan dengan 1 var
bebas AE=f(Y)
Persamaan linier : AE=AE +(c +i -m )Y
0
1
1
1
AE0 =jumlah dari semua komponen belanja otonom
C1=kecenderungan marginal untuk komsumsi
I1= kecenderungan marginal untuk investasi
m1=kecendurungan marginal untuk impor 0<(c1+i1-m1)<1
5. Fungsi NonLinier
5. FUNGSI NONLINEAR
BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (PECAHAN)
BERUPA GARIS LENGKUNG / BUKAN GARIS LURUS (LINIER :GARIS
LURUS)
Fungsi Kuadrat (pers. Parabola vertikal)
Y = f(X) = aX2 + bX + c
Dimana; Y = Variabel Terikat
X = Variabel Bebas
a, b, dan c = konstanta, dan a ≠ 0
Koordinat titik puncak dapat diperoleh dengan
rumus;
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI KUADRAT
BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (PECAHAN)
BERUPA GARIS LENGKUNG (LINIER :GARIS LURUS)
Fungsi Kuadrat (pers. Parabola vertikal)
Y = f(X) = aX2 + bX + c
Dimana; Y = Variabel Terikat
X = Variabel Bebas
a, b, dan c = konstanta, dan a ≠ 0
Koordinat titik puncak dapat diperoleh dengan
rumus;
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat (pers. Parabola vertikal)
Y = f(X) = aX2 + bX + c
Akar kuadrat :
Fungsi Kuadrat (pers. Parabola
Horisontal)????????????????????
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI KUADRAT
 Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan
memotong sumbu X di dua titik yg berlainan.
 Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka keatas dan
menyinggung sumbu X di dua titik yg berimpit.
 Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka keatas dan tidak
memotong maupun menyinggung sumbu X.
 Jika a < 0 dan D > 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan
memotong sumbu X di dua titik yg berlainan.
 Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan
menyinggung sumbu X di dua titik yg berimpit.
 Jika a < 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan tidak
memotong maupun menyinggung sumbu X.
Nilai a : menentukan parabola terbuka ke atas atau ke bawah
Diskriminan D menyatakan apakah parabola memotong, menyinggung
atau tidak memotong menyinggung sumbu X.
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI KUADRAT
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PANGKAT TIGA
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI RASIONAL
BENTUK UMUM :
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI RASIONAL
Dalam bidang Cartesius, kurvanya akan berbentuk hiperbola dan
mempunyai sepasang sumbu hiperbola dan mempunyai sepasang
sumbu Asimtot.
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI RASIONAL
5. FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI RASIONAL
Fungsi Rasional istimewa yang diterapkan dalam Ekonomi dan Bisnis
(sumbu asimtot berimpit dengan sb X dan Y) :
Y = a/X atau XY=a dimana a>0
(sumbu asimtot tidak berimpit dengan sb X dan Y) :
(X-h)(Y-k)=C
h = sumbu asimtot tegak
K = sumbu asimtot datar
(h,k) = titik pusat
C = Konstanta positif
6. Penerapan Fungsi NonLinier
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
PENDAHULUAN
Hub Fungsional antara variabel ekonomi dan bisnis tidak
selalu berbentuk linier tapi juga nonlinier.
Artinya : Perubahan suatu Variabel dependent/terikat
diakibatkan oleh perubahan Variabel independent/bebas
adalah tidak tetap.
a. Fungsi permintaan
b. Fungsi penawaran
c. Keseimbangan pasar
d. Fungsi penerimaan total
e. Fungsi produksi
f. Kurva transformasi produksi
g. Kurva indiverens
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PERMINTAAN
Fungsi permintaan nonlinier : Fs Kuadrat dan Fs rasional
Fs. Kuadrat :
1. P = f(Q); P = c+bQ-a𝑸𝟐
P = Harga produk
Q = Jumlah produk yang diminta
a, b dan c adalah konstanta (a<0)
a<0 persamaan parabola terbuka ke bawah.
2. Q=f(P); Q = c+bP-a𝑷𝟐 (akan berbentuk parabola terbuka
ke bawah)
Grafik fungsi permintaan kuadrat hanya diambil dari
sebagian parabola yang terletak di kuadran I. (+,+)
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PERMINTAAN
Fungsi permintaan nonlinier : Fs Kuadrat dan Fs rasional
Fs. Rasional :
1. P =
𝒄
𝑸
atau P.Q = c
P = Harga produk
Q = Jumlah produk yang diminta
c = konstanta positif (c>0)
Berbentuk hiperbola sama sisi
2. (Q-h)(P-k)=c
h = sumbu asimtot tegak
k = sumbu asimtot datar
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PENAWARAN
Bentuk Umum :
dengan :
P = Harga produk
Q = Jumlah produk yang ditawarkan
a, b dan c adalah konstanta, a>0.
1. P = c + bQ + aQ2 (parabola terbuka keatas)
2. Q = c + bP + aP2 (parabola terbuka kekanan)
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PENAWARAN
Contoh ;
Jika fs penawaran ditunjukan oleh Q=5P2–10P
Gambarkan fungsi tersebut ?
1. Cari koordinat titik potong
2. Cari titik puncak parabola tsb
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
KESEIMBANGAN PASAR
Jumlah dan Harga Keseimbangan pasar dapat
diperoleh :
1. secara geometri dengan menggambarkan
kurva permintaan dan penawaran secara
bersama-sama dalam satu diagram
2. Secara aljabar menggunakan metode
eliminasi atau subtitusi.
Kurva keseimbangan bisa kombinasi antara
fungsi linier dan fungsi nonlinier
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
KESEIMBANGAN PASAR
Contoh : fungsi permintaan dari suatu produk
adalah (Q+4)(P+2)=36 dan fungsi
penawarannya P=Q+2
a. Carilah harga dan jumlah keseimbangan
pasar secara aljabar
b. Gambarkan keseimbangan pasar
tersebut dalam satu diagram!
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PENERIMAAN TOTAL
Penerimaan total dari suatu produsen adalah
hasil kali antara harga per unit produk
dengan jumlah yang dijual TR=P.Q
Jika fs permintaan dinyatakan dengan P=b-aQ,
maka persamaan penerimaan total :
TR=(b-aQ)Q = bQ-a𝑄 2 (parabola terbuka kebawah shg
akan memtong sb Q di 2 titik Q=0 dan Q=b/a dengan titik
puncak yang maksimum)
Titik puncak =
−𝑏 −(𝑏)2
,
2𝑎
4𝑎
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
FUNGSI PRODUKSI
Produksi adalah proses penggabungan
atau pengkombinasian faktor produksi
(input) yang mengubahnya menjadi
barang atau jasa (output).
Hubungan antara jumlah output yang
dihasilkan dan kombinasi jumlah input
yang digunakan disebut sebagai fungsi
produksi atau fungsi produk total.
• Secara umum fungsi produksi dapat ditulis :
Q = f(L, K, T, W)
dimana :Q = jumlah barang dan jasa
(output)
L = tenaga kerja
K = modal
T = tanah
W = wirausaha/skill
• Persamaan di atas menunjukkan fungsi
produksi dengan 4 input atau 4 variabel
bebas.
 Dalam kesempatan ini akan dibahas fungsi
produksi dengan satu input variabel, yaitu
tenaga kerja.
Q = f(L)
dimana :Q = jumlah barang dan jasa (output)
L = tenaga kerja
 Dari fungsi produksi tersebut dapat diketahui
produk marjinal dari tenaga kerja (marginal
product of labor/MPL) dan produk rata-rata dari
tenaga kerja (average product of labor).
Produk marjinal dari tenaga kerja
adalah tambahan produk total sebagai
akibat adanya tambahan satu unit tenaga
kerja.
Produk rata-rata dari tenaga kerja
adalah produk total dibagi dengan jumlah
tenaga kerja yang digunakan
HUBUNGAN TP, AP dan MP
Hubungan antara TP dengan MP
Hubungan antara TP dengan AP
Hubungan antara MP dengan AP
Tahapan Dalam Kegiatan Berproduksi
Tahap
1
• Dimulai dari titik 0 sampai
dengan AP maksimum
 AP = MP
pada saat AP maksimum
• AP meningkat sampai titik
puncak  produktivitas
per tenaga kerja tinggi
 TP naik dengan
kecepatan tinggi
• Nilai MP positif
• Nilai TP masih rendah
Tahap
2
• Dimulai setelah AP
maksimum (AP = MP)
sampai dengan MP = 0
• AP menurun
 TP naik dengan
kecepatan yang semakin
melemah
• Nilai MP positif
• Nilai MP = 0
 TP maksimum
Tahap
3
• Dimulai setelah MP = 0
• AP menurun
 kecepatan TP semakin
berkurang
• Nilai MP negatif
 Input ditambah justru
TP semakin berkurang
Tahap I :
menunjukkan
tenaga kerja
yang masih
sedikit, apabila
ditambah akan
meningkatkan
total produksi,
produksi ratarata dan
produksi
marginal.
Tahap II :
Produksi total terus meningkat
sampai produksi maksimum
sedang rata-rata produksi
menurun dan produksi marginal
menurun sampai titik nol.
Tahap III :
Penambahan tenaga kerja
menurunkan total produksi, dan
produksi rata-rata, sedangkan
produksi marginal negatif.
Berbagai Bentuk Fungsi Produksi
• Fungsi produksi jangka pendek mempunyai
beberapa bentuk, antara lain :
- Fungsi kuadrat (quadratic function)
- Fungsi pangkat tiga (cubic function)
- Fungsi pangkat (power function)
• Dari ketiga bentuk fungsi produksi ini yang
paling ideal adalah fungsi pangkat tiga.
• Fungsi ini dimulai dengan hasil marginal yang
semakin meningkat (increasing marginal
returns) kemudian diikuti hasil marginal yang
semakin menurun (decreasing marginal returns).
Bentuk persamaan dai fungsi pangkat tiga
:
Q = a + bL + cL2 + dL3
dimana, nilai konstanta a diasumsikan nol,
karena sesuai dengan teori ekonomi : jika
tidak ada input, maka tidak ada outputnya.
 gambar idem depan
Bentuk persamaan fungsi kuadrat :
Q = a + bL + cL2
Nilai konstanta a diasumsikan nol.
Bentuk fungsi produksi ini dimulai dengan
hasil marginal yang semakin menurun
(decreasing marginal returns) dan tidak
mempunyai hasil marginal yang menaik.
Fungsi produksi ini tidak mempunyai tahap
1.
 Bentuk fungsi produksi yang ketiga adalah
berbentuk fungsi pangkat, yang dirumuskan :
Q = aLb
Bentuk grafiknya tergantung besarnya nilai
pangkat b.
Jika b > 1  mempunyai hasil marginal yang
semakin menaik
Jika b = 1  hasil marginal konstan
Jika b < 1  hasil marginal yang semakin
berkurang
 Untuk b > 1  hanya mempunyai tahap I
Untuk b < 1  hanya mempunyai tahap II dan III
Untuk b = 1  fungsi linear (garis lurus)
Kurva Transformasi Produksi
• Suatu proses produksi dapat menghasilkan
dua atau lebih produk yang berbeda, baik
dalam jenisnya maupun mutunya.
• Dua atau lebih produk yang berbeda ini
dihasilkan dengan menggunakan input yang
sama dan teknologi yang sama.
• Jika suatu perusahaan yang menghasilkan
dua jenis produk atau lebih dengan
menggunakan teknik yang berbeda tidak
dapat dianalisis dengan kurva transformasi
produksi.
Kurva transformasi produksi dapat
didefinisikan sebagai titik-titik kombinasi
antara jumlah dua jenis produk yang dapat
dihasilkan dengan menggunakan faktor
produksi (input) tertentu.
Misalkan jumlah kedua jenis produk itu
adalah X dan Y, kurva transformasi
produksi menunjukkan hubungan sebagai
berikut : jika jumlah jenis produk X
ditambah, maka jumlah produk Y akan
berkurang atau sebaliknya.
Secara ekonomi kurva transformasi
produksi dianggap cekung terhadap titik
asal (origin).
Semakin jauh kurva transformasi produksi
dari titik asal 0, berarti semakin banyak
output yang dihasilkan dan semakin
banyak input yang dibutuhkan.
Kurva transformasi produksi dapat berupa
sebagian dari kurva parabola, elips,
hiperbola atau lingkaran yang terletak di
kuadran I.
Contoh :
Suatu perusahaan menghasilkan dua jenis baja
dengan mutu yang berbeda, yaitu X dan Y
dengan proses produksi yang sama. Kurva
transformasi produksi untuk sejumlah input
yang digunakan dinyatakan dengan persamaan
X = 20 – 4Y – Y2
a. Berapakah jumlah produk baja X dan Y
terbanyak yang dapat dihasilkan ?
b. Berapakah jumlah produk baja X dan Y
akan dihasilkan agar supaya X = 4Y ?
c. Gambarkan kurva transformasi tersebut !
Penyelesaian :
a. X terbesar apabila Y = 0, sehingga X = 20
Y terbesar apabila X = 0, maka 0 = 20 – 4Y – Y2
atau Y2 + 4Y – 20 = 0
Y12 = 2.9 dan -4.9
b. Dengan mensubtitusikan X= 4Y ke dalam X = 20-4YY^2, maka diperoleh:
4Y = 20-4Y-Y^2
Y^2 +8Y-20 = 0
(Y+10) (Y-2) = 0
Y1 = -10 (tidak memenuhi)
Y2 = 2
X2 = 4(2) = 8
Jadi jumlah yang harus diproduksi adalah X = 8 dan Y = 2
LATIHAN
Dari kurva transformasi produksi berikut
tentukan nilai X dan Y maksimum yang
dapat dihasilkan:
a. X = 36 – 6Y^2
b. Y = 45 – 9X^2
6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR
KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI
PROSES PRODUKSI > 2 ATAU LEBIH JENIS PRODUK BERBEDA
(JENIS MAUPUN MUTU) = MENGGUNAKAN INPUT DAN
TEKNOLOGI YANG SAMA
KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI : TITIK-TITIK KOMBINASI ANTARA
JUMLAH 2 JENIS PRODUK YANG DAPAT DIHASILKAN DENGAN
MENGGUNAKAN FAKTOR PRODUKSSI (INPUT TERTENTU)
MIS. JUMLAH KEDUA JENIS PRODUK ITU X DAN Y, JIKA JUMLAH
JENIS PRODUK X BERTAMBAH MAKA Y BERKURANG ATAU
SEBALIKNYA.
SECARA EKONOMI KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI DIANGGAP
CEKUNG TERHADAP TITIK ASAL, SEHINGGA SEMAKIN JAUH
KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI DARI TITIK ASAL O SEKAMIN
BANYAK INPUT YANG DIBUTUHKAN.
KURVA DAPAT BERUPA SEBAGIAN DARI KURVA PARABOLA,
HIPERBOLA, ELIPS DAN LINGKARAN.
KURVA INDIFERENS
• Setiap orang di dunia ini memerlukan konsumsi
barang dan jasa untuk memenuhi kebutuhan
sehari-hari agar bisa mempertahankan
kelangsungan hidupnya.
• Barang dan jasa yang dikonsumsi oleh setiap
konsumen bermacam-macam jenis dan
jumlahnya.
• Disamping itu, setiap konsumen yang rasional
akan berusaha memaksimumkan kepuasan atas
barang dan jasa yang dikonsumsinya.
• Dalam dunia nyata seorang konsumen akan
memilih diantara ribuan barang dan jasa yang
ada.
• Tetapi, untuk keperluan analisis, maka kita
memisalkan hanya ada dua macam barang yang
dikonsumsi, yaitu barang X dan Y.
• Kombinasi konsumsi dari dua macam barang
atau jasa akan dianalisis menggunakan kurva
indeferens.
• Hal ini karena kurva indiferens menunjukkan
semua kombinasi dua macam barang yang
dapat memberikan tingkat kepuasan atau
utilitas yang sama bagi konsumen.
• Disebut indiferens karena pada titik-titik di
sepanjang kurva akan memberikan kepuasan
yang sama.
• Jadi, kurva indiferens menunjukkan titik-titik
kombinasi dari barang X dan Y yang dapat
memberikan tingkat kepuasan atau utilitas
total yang sama bagi konsumen.
• Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi
utilitas yang berbentuk :
U = f (X, Y)
di mana,
U = Tingkat utilitas atau kepuasan total
konsumen
X = Jumlah barang X yang dikonsumsi
Y = Jumlah barang Y yang dikonsumsi
• Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam
bidang koordinat Cartesius, maka akan
tampak seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Kurva Indiferens
• Gambar 1 menunjukkan sumbu horizontal
menunjukkan jumlah barang X yang dapat dikonsumsi
oleh konsumen dalam waktu tertentu dan sumbu
vertikal menunjukkan jumlah barang Y yang dapat
dikonsumsi oleh konsumen dalam waktu tertentu.
• Misalkan konsumen memilih kombinasi di titik A, maka
jumlah barang X yang dapat dikonsumsi sebanyak X1
dan jumlah barang Y yang dapat dikonsumsi
sebanyak Y1.
• Tetapi, jika konsumen memilih kombinasi di titik B,
maka jumlah barang X yang dapat dikonsumsi
sebanyak X2 dan jumlah barang Y yang dapat
dikonsumsi sebanyak Y2.
• Jadi, baik kombinasi di titik A maupun di titik B
konsumen mempunyai kepuasan yang sama atau
indiferens.
• Kurva indiferens mempunyai kemiringan
negatif, karena jika barang X bertambah
konsumsinya, maka barang Y akan berkurang
konsumsinya oleh konsumen agar tingkat
kepuasan konsumen tetap.
• Kurva indiferens cembung terhadap titik asal (0,
0). Ini berarti semakin banyak barang X yang
dikonsumsi, maka semakin sedikit jumlah barang
Y yang harus konsumen korbankan untuk
mendapatkan tambahan konsumsi barang X (ΔX).
Hal ini dikenal dengan hukum tingkat substitusi
marginal yang menurun.
• Dengan kata lain, semakin langka suatu barang,
semakin besar pula nilai substitusinya terhadap
suatu barang yang akan digantinya.
Secara matematis kurva indiferens akan
mempunyai kemiringan (ΔY/ΔX) yang
semakin kecil, bila bergerak pada kurva
indiferens semakin kebawah.
Bila parameter U dalam persamaan utilitas
diubah-ubah besarnya menjadi U1, U2
dan U3, maka akan diperoleh sehimpunan
kurva indiferens yang satu sama lainnya
tidak saling memotong. Ini disebut peta
indiferens (indifference maps).
Gambar 2. Sekumpulan Kurva Indeferens
• Peta indiferens adalah grafik yang menunjukkan
selera konsumen.
• Setiap kurva dalam peta indiferens mencerminkan
tingkat kepuasan atau utilitas yang berbeda.
• Misalkan, konsumen memilih di titik C(X2, Y1) akan
memberikan kepuasan yang lebih besar dibandingkan
di titik A(X1, Y1). Selanjutnya kombinasi di titik D(X3,
Y1) akan memberikan kepuasan yang lebih besar
daripada di titik C(X2, Y1).
• Perbedaan kepuasan konsumen ini, karena titik A
terletak pada kurva indiferens U1, titik C pada kurva
indiferens U2 dan titik D pada U3.
• Jadi, kuva indiferens yang terletak semakin jauh dari
titik asal menunjukkan tingkat konsumsi barang yang
lebih banyak atau tingkat kepuasan total yang besar.
• Kurva indiferens pada peta indiferens tidak saling
berpotongan satu sama lain.
• Pada Gambar 3 terlihat bahwa :
Untuk U1 : 0X1 + 0Y1 = 0X2 + 0Y2, dan
Untuk U2 : 0X1 + 0Y1 = 0X2 + 0Y3
• Karena kedua persamaan di sisi kiri sama, maka
kedua persamaan di sisi kanan harus sama pula,
maka diperoleh :
0X2 + 0Y2 = 0X2 + 0Y3
• Jika kedua sisi persamaan ini dikurangi 0X2, maka
diperoleh:
0Y2 = 0Y3
• Hal ini terbukti tidak benar, sebab 0Y2 menunjukkan
bahwa lebih banyak barang yang dikonsumsi oleh
konsumen dibandingkan 0Y3. Dengan demikian,
konsumen akan memilih 0Y2
Kurva indiferens memiliki 5 sifat, yaitu :
1. Kurva indiferens menunjukkan tingkat kepuasan
atau utilitas yang konstan terhadap setiap
kombinasi yang terdapat di sepanjang kurva
indiferens;
2. Kurva indiferens mempunyai kemiringan negatif;
3. Kurva indiferens cembung terhadap titik asal (0,
0);
4. Kurva indiferens yang makin jauh dari titik asal,
semakin tinggi tingkat kepuasan atau utilitasnya;
5. Kurva indiferens tidak saling memotong satu
dengan lainnya.
Kurva-kurva yang memenuhi kelima sifat tersebut
untuk menunjukkan kurva indiferens adalah
lingkaran, hiperbola dan parabola.
Kurva Indiferens yang Berbentuk
Lingkaran
• Lingkaran X2 + Y2 = a2, yang titik pusatnya
dipindahkan ke titik (a, a), sehingga
rumusnya menjadi :
(X-a)2 + (Y-a)2 = a2, atau
X + Y + √2XY = a
• Bila parameter a diubah, maka akan
diperoleh sehimpunan kurva lingkaran.
• Tetapi yang dipakai hanyalah busur
seperempat lingkaran yang menyinggung
sumbu X dan Y di titik (a, 0) dan (0, a).
Kurva Indiferens yang Berbentuk
Hiperbola
• Hiperbola sama sisi XY = a, yang dapat digeser
sejajar sampai pusatnya berimpit dengan titik (-h, -k)
di kuadran ketiga, sehingga persamaannya menjadi :
(X + h)(Y + k) = a
Sumbu
asimtot tegak X = -h dan,
asimtot datar Y = -k
Titik potong sumbu X = (a/k) – h
Titik potong sumbu Y = (a/h) – k
• Bila parameter a diubah, maka akan diperoleh
sehimpunan kurva hiperbola sama sisi.
• Tetapi yang digunakan hanyalah bagian hiperbola di
kuadran 1.
Kurva Indiferens yang Berbentuk
Parabola 2 2
• Parabola Y = X /a , yang dipindahkan sejajar sehingga titik
puncaknya berada pada garis Y = -k dengan sumbu X-nya
berubah menurut h(a + 1), maka persamaannya menjadi :
Y + k = {X - h(a + 1)}2 / a2
√(Y + k) = (X – ha – h) / a ; atau
(X – h) / √(Y + k + h) = a
• Bila parameter a diubah, maka titik puncak parabola bergeser
sepanjang garis Y = -k dan membentuk sehimpunan kurva
parabola
Titik potong sumbu X = h(a + 1) + a √k
Titik potong sumbu Y = h2 {1 + (1/a)}2 – k
Contoh
 Jika kurva indiferens dari seorang konsumen
ditunjukkan oleh persamaan X+Y √2XY = a dan
seandainya kepuasan dapat diukur, berapakah jumlah
barang X sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya
tetap 15 satuan?
Diketahui X = 3 dan a = 15
X+Y √2XY = a
3+Y √2(3)Y = 15
X+Y √6Y = 15
√6Y = 12 – Y
6Y = 144-24Y +Y^2
0 = 144-30Y +Y^2
(Y-24) (Y-6) = 0
Y1 = 24
Y2 = 6
Contoh
 Seorang konsumen mengkonsumsi dua macam barang, yaitu X dan
Y dengan tingkat keputusan ditunjukkan oleh persamaan XY + Y
+6X = a-6. Berapakah jumlah maksimum dari barang X yang dapat
dikonsumsikan bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?
Diketahui a = 30
XY + Y + 6X = a-6
XY + Y + 6X = 30-6
XY + Y + 6X + 6 = 30
Y(X+1) + 6(X+1) = 30
(X+1) (Y+6) = 30
Titik pusat hiperbola (-1,-6)
Jumlah maksimum barang X yang dapat dikonsumsi terjadi bila
tidak ada barang Y yang akan dikonsumsi (Y=0) atau X = 30/6 -1 =
4
7. Fungsi Eksponen
Fungsi Logaritma
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
Y=f(X)=𝒃𝒙
Y=Var tak bebas, X=var bebas, b=bil nyata positif lebih dari 1
FUNGSI EKSPONEN DENGAN BASIS b>1.
FUNGSI EKSPONEN DENGAN BASIS 0<b<1.
FUNGSI EKSPONEN DENGAN BASIS bilangan irasional
e=2,71828… disebut dengan Fungsi Eksponen asli.
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI LOGARITMA
LOGARITMA : PANGKAT DARI SUATU BILANGAN POKOK
UNTUK MENGHASILKAN SUATU BILANGAN TERTENTU.
MIS. 5^2=25. ini berarti bahwa eksponen 2 sebagai logaritma
dari 25 dengan bilangan pokok 5.
Biasanya ditulis : 𝟓𝑳𝒐𝒈 𝟐𝟓 = 𝟐, sehingga secara umum:
𝒀 = log 𝒃 𝑿
Y adalah logaritma dari X dengan bilangan pokok b, atau
X=𝒃𝒀 .
Bilangan pokok yang lasim adalah 10 (logaritma biasa
dilambangkan dengan log) dan e=2,71828… disebut
logaritma asli/logaritma natural dilambangkan dengan
log 𝒆 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑳𝒏
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI LOGARITMA
7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI LOGARITMA
8. Penerapan Fungsi Eksponen
7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
BUNGA MAJEMUK
Suatu modal awal tertentu P yang dibunga majemukan
secara tahunan pada suku bunga I selama n tahun akan
mempunyai nilai F pada akhir tahun.
𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊) 𝒏
Bila m kali dalam setahun :
𝒊 𝒎.𝒏
𝑭 = 𝑷(𝟏 + )
𝒎
Bila secara kontinu
𝑭 = 𝑷e 𝒊𝒏
7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
BUNGA MAJEMUK
Contoh : seorang menabung uang di bank sebanyak Rp
1.000 dengan bunga 10% per tahun. Berapa besar nilai
uangnya setelah 3 tahun. Apabila :
a. Bunga dibayar tahunan
b. Bunga dibayar semesteran
c. Bunga dimajemukan secara kontinu
7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
FUNGSI PERTUMBUHAN
MIS. Jumlah TK adalah Fs dari jumlah penjualan tahunan
suatu perusahaan, penjualan adalah fs dari pengeluaran
iklan, jumlah persediaan barang jadi adalah fs dari hari kerja
produksi. Dll (macam-macam fungsi pertumbuhan)
Sifat : meningkat secara monoton.
2 jenis fungsi pertumbuhan :
1. Fungsi gompertz. menggambarkan pertumbuhan
penduduk
2. Fungsi pengajaran. Menggambarkan pertumbuhan
pendidikan manusianatau sering disebut kurva belajar
7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
KURVA GOMPERTZ
Kurva Gompertz dinyatakan oleh persamaan :
𝑵 = 𝒄𝒂𝑹𝒕
N=jumlah penduduk pada tahun t
R=tingkat pertumbuhan
a=proporsi pertumbuhan awal
c=tingkat pertumbuhan dewasa
t=jumlah tahun
7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
KURVA GOMPERTZ
Contoh: pertumbuhan jumlah tenaga kerja sebuah
perusahaan diperkirakan akan mengikuti kurva Gompertz
𝑵 = 𝟏𝟎𝟎(𝟎, 𝟎𝟐)𝟎,𝟓𝒕 . Carilah jumlah tenaga kerja pada awal
tahun, akhir tahun dan setelah tiga tahun
7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN
KURVA BELAJAR
BENTUK : Y= 𝒄 − 𝒂𝒆−𝒌𝑿 . dengan c,a dan k adalah positif.
Dalam ekonomi dan bisnis dapat digunakan untuk fungsi
biaya dan fungsi produksi.
Contoh :
Suatu barang yang dihasilkan sebanyak Y unit per hari dan
selama X hari kerja produksi dinyatakan oleh fungsi
𝒀 = 𝟐𝟎𝟎 𝟏 − 𝒆−𝟎,𝟏𝑿
Berapa unit yang dihasilkan per hari setelah 10 hari kerja?
SELAMAT MEMPERSIAPKAN UTS