diktat kuliah kalkulus peubah banyak

DIKTAT KULIAH
KALKULUS PEUBAH BANYAK
(IE-308)
BAB 5
INTEGRAL LIPAT
Diktat ini digunakan bagi mahasiswa
Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik
Universitas Kristen Maranatha
Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
BANDUNG
2012
Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan
dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
BAB 5. INTEGRAL LIPAT
5.1. Integral Lipat Dua/ Integral Ganda / Double Integrals
Bila f(x) fungsi variabel tunggal x, maka integral untuk x dalam interval
, adalah:
Dari definisi definite integral, maka masalah adalah masalah luas dibawah kurva f(x). Bila
interval
dibagi menjadi n subinterval dengan lebar
setiap subinterval seperti yang ditunjukkan dibawah ini,
dan dipilih titik,
, dari
Gambar 5.1.
Setiap persegi empat diatas memiliki tinggi
dan dengan menghitung luas dari setiap
persegi empat dapat ditaksir pendekatan luas sebagai berikut :
Untuk mendapatkan luas lebih akurat maka diambil nilai limit bila n menuju tak hingga
(infinite) dan dari definisi definite integral :
Bila integrasi fungsi variabel tunggal, range adalah suatu interval (ruang 1 dimensi), maka
dalam fungsi 2 variabel integrasi dilakukan atas jangkauan range berupa daerah/region dalam
(ruang 2 dimensi). Jadi jika fungsi
adalah fungsi 2 variabel, maka
Jika daerah dalam
adalah persegi empat yang dinyatakan :
Yang berarti: jangkauan untuk x dan y adalah
dan
Berikut gambar dari permukaan S yang menggambarkan
panjang R.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
atas daerah persegi
Halaman 92
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.2.
Persoalan integral ganda disini menjadi mencari volume dibawah permukaan S dan diatas
daerah/region R yang terletak pada bidang datar xy.
Region R dibagi menjadi sub-region dengan membagi interval
menjadi n
subintervals dan membagi interval
menjadi m subintervals. Sehingga R akan
terbagi menjadi sederetan persegi panjang yang kecil dan untuk masing-masing persegi
panjang dipilih sebuah titik
. Berikut gambar sketsa dimaksud:
Gambar 5.3.
Diatas setiap persegi panjang kecil dibangun kotak dengan tinggi
Berikut adalah gambar sketsa
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 93
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.4.
Tiap persegi panjang kecil sebagai luas basis
dan tinggi
kotak-kotak kecil tersebut dinyatakan oleh
S adalah mendekati,
sehingga volume
. Total volume dibawah permukaan
Digunakan notasi double sum ( Σ ) karena kita menjumlahkan volume dalam arah x dan y .
Taksiran volume lebih baik dan akurat didapat dengan mengambil n dan m lebih besar dan
semakin besar kita semakin baik, sehingga untuk mendapat nilai volume akurat dicari limit
dimana kedua n dan m menuju tak hingga (infinity).
Definisi formal dari double integral untuk fungsi 2 variabel diatas persegi panjang R adalah
Ada persamaan dan perbedaan dengan notasi integral tunggal. Digunakan 2 notasi integral (
yang menyatakan kita bekerja dalam dua dimensi dan dA yang menyatakan area/luas
sebagai differential. (differential dA bisa dinyatakan dengan dx dy ).
Tafsiran double integral dari
atas persegi empat R adalah volume dibawah fungsi
(dan diatas bidang - xy). Atau,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 94
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.2. Integral teriterasi
Bila pada bagian lalu integral ganda di definisikan, maka pada bagian ini dipelajari
bagaimana menghitung integral ganda pada daerah persegi panjang
.
Teorema Fubini
Jika
adalah fungsi kontinu pada daerah
maka,
Bentuk integral diatas disebut integral teriterasi.
Cara menghitung integral ganda dilakukan dengan menghitung berurutan integral terhadap
differential dy atau dx. Bila perhitungan pertama dilakukan terhadap dy (integral dalam),
maka batas dari integral dalam adalah batas y yang disyaratkan dan urutan perhitungan
kedua adalah integrasi terhadap dx (integral luar) dan batas dari integral luar adalah batas x
yang disyaratkan. Demikian sebaliknya bila perhitungan pertama dilakukan terhadap dx.
Misalkan ingin dihitung:
Bila perhitungan pertama dilakukan terhadap dy (integral dalam), maka batas dari integral
dalam adalah batas y yang disyaratkan yaitu 𝑐, 𝑑 .
Perhitungan dilakukan dengan menahan x tetap dan dilakukan integrasi terhadap dy, sama
seperti melakukan proses integrasi variabel tunggal. Hasil dari integrasi ini akan
menghasilkan fungsi yang hanya muncul variabel x dan perhitungan kedua dilakukan
terhadap dx (integral luar).
Bandingkan dengan turunan parsial, dimana proses penurunan dilakukan satu demi satu
terhadap x lalu terhadap y, maka proses integrasi ganda juga kurang lebih seperti demikian.
Contoh 5.2.1. Hitung double integral berikut ini terhadap daerah R,
,
Jawab
,
Cara 1
Dilakukan perhitungan pertama integrasi terhadap y sebagai integral dalam. Sehingga integral
teriterasi dinyatakan sbb.:
Perhitungan integral dalam terhadap dy dilakukan dengan menganggap x adalah tetap :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 95
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Berikutnya dilakukan proses integrasi luar terhadap dx, sehingga didapat :
Cara 2
Pengerjaan dilakukan dengan proses integrasi pertama terhadap x, kemudian terhadap y.Dan
didapat hasil sbb.:
Cara 1 & 2 memberikan hasil yang sama, jadi urutan pengerjaan tidak berpengaruh.
Contoh 5.2.2. Hitung double integral berikut ini terhadap daerah R,
,
Integrasi dilakukan pertama terhadap y,
Contoh 5.2.3. Hitung double integral berikut ini terhadap daerah R,
,
Integrasi pertama dilakukan terhadap x.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 96
Rudy Wawolumaja
Contoh 5.2.4.
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Hitung double integral berikut ini terhadap daerah R,
,
Contoh 5.2.5.
Hitung double integral berikut ini terhadap daerah R,
,
Substitusi :
Sehingga didapat
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 97
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Bila kita melakukan integrasi pertama terhadap x maka penyelesaian akan lebih rumit.
Substitusi:
Sehingga,
Perhitungan jelas diatas lebih rumit, jadi sebagai tip untuk alasan praktis urutan perhitungan
sebaiknya dipilih urutan yang memberikan perhitungan yang paling sederhana. (karena cara 2
dilakukan untuk maksud menunjukkan alas an saran diatas, perhitungan tidak dilanjutkan).
Teorema
Jika
maka,
Contoh 5.2.6. Hitung
dan dilakukan integrasi pada daerah persegi empat
,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 98
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
UK Maranatha 2012
Halaman 99
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.3. Integral Ganda batasan Umum
Jika pada bagian yang lalu dilakukan proses integrasi atas daerah persegi empat, maka pada
bagian ini akan dipelajari daerah yang tidak segi empat, lebih umum.
dimana D adalah sembarang daerah pembatas. Ada dua jenis daerah pembatas.
Berikut gambar sketsa daerah pembatas :
Gambar 5.5.
Daerah pembatas tersebut dinyatakan dengan standard notasi sbb. :
Untuk kasus 1
Untuk kasus 2.
Untuk kasus 1 dimana
integral didefinisiskan :
Untuk kasus 2 dimana
integral didefinisikan :
Teorema
1.
2.
, dimana c adalah suatu konstanta (constant).
3. Jika daerah D dapat di bagi menjadi dua daerah terpisah D1 dan D2 maka integral dapat
ditulis sebagai :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 100
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 5.3.1. Hitung integral atas daerah D.
(a)
,
(b)
, D adalah daerah yang dibatasi
(c)
dan
, D adalah segitiga dengan ujung titik
.
,
, dan
.
Solusi
(a)
,
(b)
, D adalah daerah dibatasi oleh
Digambarkan dalam sketsa berikut ini :
dan
.
Gambar 5.6.
Sehingga bisa dinyatakan dalam rumusan ketidaksamaan :
Sehingga perhitungan integralnya:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 101
Rudy Wawolumaja
(c)
Multivariable Calculus
, D adalah segitiga dengan koordinat titik ujung
UK Maranatha 2012
,
, dan
Gambar sketsa D adalah sbb.:
Gambar 5.7.
Sisi pembatas segi tiga dapat diperoleh persamaan garisnya, seperti yang dinyatakan dalam
gambar sketsa diatas. Ada dua cara untuk menyatakan daerah pembatas, yaitu pertama
dengan menyatakan y = f(x) dan kedua dengan menyatakan x = f(y). Untuk cara pertama,
maka daerah pembatas adalah:
dimana,
Cara kedua dengan menyatakan x sebagai f(x):
Maka daerah pembatas dinyatakan sebagai:
Solusi dengan cara 1
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 102
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Solusi dengan cara 2
Cara ini lebih ringkas dari cara 1:
Contoh 1 menunjukkan solusi yang bisa dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara 1 melakukan
urutan integrasi, pertama terhadap x kemudian terhadap y dan cara 2 melakukan urutan
integrasi pertama terhadap y kemudian terhadap x.
Terkadang ada persoalan yang solusinya hanya dengan 1 cara, apakah cara 1 atau cara 2 saja.
Contoh 5.3.2. Hitung integral berikut :
(a)
(b)
Solusi
(a)
Bila kita mencoba meng integrasi terhadap y maka tidak bisa karena kita membutuhkan y2
didepan exponential. Maka dapat dicoba dengan membalik urutan yaitu melakukan integrasi
pertama terhadap x, kemudian terhadap y. Namun untuk itu kita harus melakukan
penyesuaian untuk batas integralnya, dan cara yang terbaik adalah dengan menggambarkan
sketsa daerah pembatas dan menata ulang pernyataan batasan nya. :
Dari rumusan integral diketahui ketidaksamaan yang mendefinisikan daerah pembatas
adalah:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 103
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dari ketidaksamaan diatas kita tahu batas bawah daerah pembatas adalah kurva
dan
batas atas daerah pembatas adalah
dan batas pembatas tersebut terletak antara
dan
.
Berikut ini sketsa dari daerah pembatas :
Gambar 5.8.
Karena urutan proses integrasi ditukar menjadi pertama integrasi terhadap x, maka kita perlu
menyatakan pembatas integrasi x sebagai fungsi y, x = f(y). Sehingga didapat :
Garis pembatas horizontal x mulai dari
y mulai dari 0 sampai 9.
and berakhir pada
dan jangkauan dari
Sehingga pernyataan integral awal ekivalen dengan pernyataan berikut dan hasil perhitungan:
(b)
Sama dengan contoh 2a, disini proses integrasi terhadap x tidak dapat dilakukan, sehingga
dicoba urutan dibalik, untuk itu batas integral perlu disesuaikan.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 104
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Sketsa dari daerah pembatas :
Gambar 5.9.
Jadi kita mendapatkan batas integral:
Hasil perhitungan integral ,
Interpretasi geometris double integral sebagai volume dibawah fungsi permukaan
dan diatas daerah pada bidang xy,
Contoh 5.3.3. Hitung volume benda yang terletak dibawah fungsi permukaan
dan terletak diatas daerah pada bidang xy yang dibatasi oleh
dan
.
Solusi
Berikut ini sketsa permukaan dan daerah dibawah permukaan pada bidang xy .
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 105
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.10.
Berikut daerah pembatas pada bidang xy.
Gambar 5.11.
Titik potong persamaan garis pembatas adalah :
d an
.
Jadi, ketidaksamaan daerah D pada bidang xy dapat dinyatakan sbb.:
Volume dapat dihitung :
Contoh 5.3.4. Hitung volume benda yang dibatasi bidang
.
Solusi
Persamaan bidang pertama,
,
,
, ditulis ulang sebagai,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
,
Halaman 106
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
merupakan fungsi permukaan bidang atas dari benda yang dicari, dan terletak diatas daerah
pembatas D pada bidang xy. Bidang kedua,
Sketsa benda adalah sbb. :
, adalah bidang sisi dari volueme benda.
Gambar 5.12.
Daerah pembatas D adalah daerah pada bidang xy (
dan garis dimana bidang
) yang dibatasi oleh
,
,
memotong bidang xy. Dengan memasukkan
dapat ditetapkan perpotongan bidang
dengan bidang xy , yaitu:
Sehingga gambar sketsa daerah D adalah sbb. :
Gambar 5.13.
Interpretasi geometris integral ganda, sebagai Luas suatu daerah :
Misal diinginkan untuk menghitung luas dari daerah yang tersrsir yang ditunjukkan dalam
gambar dibawah ini :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 107
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.14.
Area (A) dapat dinyatakan dalam persamaan integral tunggal :
Atau dengan integral ganda dapat dinyatakan sebagai :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 108
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.4. Integral Ganda dalam Koordinat Polar
Dalam beberapa kasus melakukan proses integrasi menggunakan koordinat Cartesian akan
lebih rumit daripada melakukan proses integral pada system koordinat lainnya (polar,
silendris, bola). Menghitung integral ganda suatu fungsi permukaan diatas daerah pembatas D
yang berbentuk cakram, bagian dari cakram . Melakukan perhitungan integral ganda dalam
koordinat Cartesian akan lebih rumit daripada dalam koordinat polar.
Misal diminta untuk menghitung integral ganda,
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 , D adalah cakram dengan radius 2.
Dalam koordinat Cartesian, maka daerah D dinyatakan dalam ketidaksamaan x dan y,
Sehingga bentuk integral gandanya,
Dengan menggunakan koordinat polar daerah D dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan :
Dengan merubah variabel x dan y ke r dan 𝜃 dan dA = dx dy ke pernyataan koordinat polar
maka kita bisa menghitung dalam koordinat polar yang prosesnya akan lebih sederhana.
Perlu diperhatikan dalam konversi koordinat Cartesian ke koordinat polar , bahwa:
, tetapi
!!!!!!!!!!!!!
Berikut penurunan rumusan dA untuk koordinat polar:
Misal daerah pembatas dalam koordinat polar digambarkan sbb.
Gambar 5.15.
Daerah pembatas dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 109
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Untuk mendapatkan dA dalam koordinat polar, ditunjukkan dengan proses dibawah ini:
Gambar 5.16.
Bila daerah pembatas D dibagi kedalam kisi-kisi yang dibatasi garis jejari dan garis busur
sudut maka didapat gambaran seperti gambar diatas. Dan dari perbesaran satu kisi yang
didapat dalam gambar diatas, diperoleh sepotong daerah pembatas
. Dua sisi dari
potongan daerah pembatas ini mempunyai sisi sepanjang
, dimana adalah
radius dari busur luar dan
adalah radius dari busur dalam. Panjang busur dalam adalah
dan panjang busur luar adalah
, dimana
adalah sudut antara dua jejari yang
membatasi daerah tersebut. Bila diasumsikan, kisi-kisi sedemikian kecil sehingga bisa
dianggap
, sehingga dapat di asumsi kan potongan daerah pembatas
mendekati
persegi empat, sehingga:
dan bila kisi-kisi sedemikian kecilnya, sehingga dapat dianggap :
Sehingga dengan assumsi diatas, didapat:
Untuk merubah variabel x dan y ke variabel r dan , maka dengan menggunakan rumus
konversi :
Didapat rumusan integral ganda dalam koordinat polar :
Contoh 5.4.1. Hitung integral berikut dengan merubah kekoordinat polar.
(a)
, D adalah bagian dari daerah yang dibatasi kurva radius 2 dan radius 5
dan berpusat dititik origin dan berada di kuadran 1.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 110
Rudy Wawolumaja
(b)
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
, D adalah unit circle yang berpusat dititik origin.
Solusi
(a)
, D adalah bagian dari daerah yang dibatasi kurva radius 2 dan radius 5
dan berpusat dititik origin dan berada di kuadran 1.
Dalam koordinat polar, daerah pembatas D diatas dinyatakan dengan ketidaksamaan :
Untuk r
:
𝜋
Untuk 𝜃 yang terletak di kuadran pertama :
0 𝜃
2
Sehingga integral dinyatakan :
(b)
, D adalah unit circle yang berpusat dititik origin.
Dalam koordinat polar, daerah pembatas D dinyatakan dalam ketidaksamaan :
Sehingga integral dalam koordinat polar :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 111
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Contoh 5.4.2. Tentukan luas daerah yang berada dalam
Solusi
Sketsa daerah D, digambarkan terarsir.
UK Maranatha 2012
dan diluar
.
Gambar 5.17.
Untuk menentukan luas daerah tersebut, perlu dicari nilai θ dimana kedua kurva memotong.
Titik tersebut ditentukan dengan menyamakan kedua persamaan, sehingga:
Sehingga sketsa dengan sudut yang didapat diatas digambarkan.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 112
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.18.
Catatan :
adalah penulisan alternative dari sudut
Sehingga range dari sudut 𝜃 dan jejari r adalah :
.
Sehingga luas D adalah,
Contoh 5.4.3. Hitung volume daerah yang terletak didaerah dibawah bola
,
diatas bidang
dan didalam silender
.
Solusi
Rumus untuk mendapatkan volume dibawah suatu fungsi diatas daerah pembatas adalah:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 113
Rudy Wawolumaja
Persamaan bola
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
ditulis ulang kedalam bentuk
, sehingga menjadi
Daerah pembatas D adalah daerah cakram (bagian dalam dari perpotongan silender dengan
bidang xy atau z=0, yaitu lingkaran
), sehingga daerah D dinyatakan sebagai
cakram
pada bidang xy .
Gambar 5.19. Sketsa benda yang akan dicari volumenya :
Sehingga, bentuk benda yang ingin dicari volumenya adalah suatu silender dengan topi
penutup yang didapat dari bola. Secara intuitif maka dapat dikatakan bahwa perhitungan
integral untuk mencari volume benda tersebut akan lebih sederhana apabila dilakukan dalam
koordinat polar daripada koordinat Cartessian. Dan batas daerah pembatas D dinyatakan:
Dan kita perlu merubah fungsi kesistem koordinat polar sehingga:
Volume yang dicari adalah :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 114
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 5.4.4. Dapatkan volume dari benda yang terletak didalam permukaan
dan dibawah bidang datar
.
Solution
Gambar sketsa benda dimaksud adalah :
Gambar 5.20.
Rumus :
Adalah untuk mendapatkan volume benda dibawah fungsi
mendapatkan volume diatas fungsi tersebut.
First, notice that
Memberikan volume benda dibawah permukaan bidang
D sedangkan :
dan persoalan kita adalah
untuk suatu daerah pembatas
Adalah volume benda dibawah
, untuk suatu daerah pembatas D.
Volume Benda yang dicari dalam kasus ini adalah :
Untuk menghitung volume benda dimaksud, maka perlu di tentukan daerah pembatas D dan
setelah itu dilakukan konversi seluruh variabel ke koordinat polar. Daerah pembatas D
adalah daerah dari hasil proyeksi dari perpotongan bidang fungsi z =16 dengan fungsi
permukaan
, kebidang xy. Perpotongan fungsi z=16 dengan
adalah
, yaitu lingkaran dengan radius 4.
Sehingga ketidaksamaan dari daerah pembatas dan konversi fungsi kedalam koordinat polar
adalah :
Volume benda yang dicari adalah :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 115
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 5.4.5. Hitung integral berikut dengan merubah ke koordiant polar.
Solusi
Mengerjakan integral diatas dalam koordinat Cartessian hampir tidak mungkin. Jadi perlu
dirubah ke koordinat polar.
Berikut adalah ketidaksamaan daerah pembatas D dalam koordinat Cartessian :
Persamaan pembatas atas x adalah :
Dan persamaan diatas adalah sisi kanan (sisi x≥0) dari lingkaran berpusat di 0 dan radius = 1,
sedangkan range y menyatakan bahwa y adalah positif.
Dalam koordinat polar maka daerah pembatas D dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan :
Dan dengan selalu mengingat,
Perhitungan integral dalam koordinat polar menjadi :
Sehingga :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 116
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.5. Integral Lipat Tiga
Bila integral lipat dua, proses integral dilakukan diatas daerah 2 dimensi ( dA=dx dy), maka
integral lipat tiga integrasi dilakukan atas daerah 3 dimensi (dV = dx dy dz).
Notasi Integral lipat tiga adalah :
Integrasi juga dilakukan atas daerah pembatas, dalam lipat tiga daerah pembatas sederhana
dapat berupa kotak,
Notasi yang digunakan, untuk x, y, dan z.
Sehingga integral lipat tiga untuk daerah pembatas diatas dinyatakan sebagai,
Kita dapat melakukan integrasi pertama terhadap x, kemudian terhadap y dan terakhir
terhadap z, tapi urutan bisa juga xzy, yxz, yzx, zxy,zyx, sehingga ada 3! = 6 cara untuk urutan
melakukan integrasi.
Contoh 5.5.1. Hitung integral berikut,
,
Solusi
Urutan integrasi dilakukan dengan urutan zxy:
Fakta
Volume suatu daerah pembatas E dalam tiga dimensi adalah:
Bila contoh diatas integrasi lipat tiga dilakukan atas daerah pembatas berbentuk sederhana
kotak, berikut ini tinjauan dilakukan untuk daerah pembatas yang lebih umum.
Berikut adalah sketsa dari kemungkinan pertama:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 117
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.21.
Dalam kasus ini daerah pembatas E didefinisikan sebagai berikut,
dimana
adalah notasi yang memberi arti bahwa titik
ada dalam daerah D
yang terletak pada bidang- xy . Perhitungan integral lipat tiga adalah sebagai berikut:
Dimana integral lipat dua dapat dihitung dengan metoda yang telah dibahas dalam bab
sebelumnya, yaitu bisa dihitung terhadap x kemudian y atau melakukan konversi ke
koordinat polar bila diperlukan.
Contoh 5.5.2. Hitung
dimana E adalah daerah pembatas yang terletak dibawah
bidang
dan terletak juga pada octan pertama (yaitu x positif, y positif & z
positif). T
Solusi
Apakah oktan ? Bila dalam 2 dimensi sistem koordinat dapat dibagi menjadi 4 kuadrant,
maka dalam 3 dimensi sistem koordinat dapat dibagi menjadi 8 oktan.
Berikut sketsa dari bidang
dalam oktan pertama yaitu semua koordinat positif.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 118
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 5.22.
Langkah berikutnya adalah menetapkan daerah pembatas D pada bidang= xy.
Daerah pembatas D adalah sebuah segi tiga dengan 3 titik sudut pada
. Gambar sketsa D.
,
, dan
Gambar 5.33.
Langkah selanjutnya adalah menetapkan batas-batas integral dan karena diketahui bahwa
bidang pembatas
terletak di oktan pertama (berarti diatas bidang
), maka
diperoleh pembatas integral untuk z.
Untuk integral lipat dua atas D maka pembatas integral dapat dipilih 2 alternatif
ketidaksamaan dibawah:
Misal dipilih alternatif yang pertama, sehingga perhitungan integral menjadi:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 119
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Sketsa kemungkinan kedua variasi daerah pembatas:
Gambar 5.34.
Disini daerah pembatas E di definisikan sebagai berikut,
Jadi daerah pembatas D terletak pada bidang-yz. Perhitungan integral lipat tiga adalah
sebagai berikut:
Seperti pada kemungkinan pertama, maka integral lipat dua dapat dihitung terhadap y
kemudian z atau melakukan konversi ke koordinat polar bila diperlukan.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 120
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 5.5.3. Hitung volume benda yang terletak pada daerah pembatas yang terletak
didalam bidang
dan didepan bidang-yz yang dibatasi oleh
dan
.
Solusi
Dalam kasus ini daerah pembatas D telah diberikan dengan jelas, sehingga tidak perlu dicari,
Gambar sketsa daerah pembatas D dan juga sketsa bidang pembatas
dan proyeksi
D melewati bidang
sehingga lebih memudahkan untuk membayangkannya :
Gambar 5.35.
Sketsa dari volume yang dicari yaitu volume daerah pembatas adalah sbb. :
Gambar 5.36.
Sehingga pembatas dari tiap variable integral adalah :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 121
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Volume yang dicari adalah :
sketsa kemungkinan ketiga variasi daerah pembatas:
Gambar 5.37.
Disini E didefinisikan sebagai,
Jadi daerah pembatas D terletak pada bidang-xz. Perhitungan integral lipat tiga adalah
sebagai berikut:
Integral lipat dua dapat dihitung terhadap x kemudian z atau melakukan konversi ke
koordinat polar bila diperlukan.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 122
Rudy Wawolumaja
Contoh 5.5.4. Hitung
dibatasi oleh permukaan
Solusi
Berikut adalah sketsa dari benda E.
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
dimana daerah pembatas E adalah benda yang
dan bidang datar
.
Gambar 5.37.
Daerah pembatas D pada bidang- xz dapat dilihat sebagai proyeksi dari permukaan
yang adalah elliptic paraboloid terhadap bidang-xz, dan D akan berupa cakram
pada bidang-xz , dengan memasukkan y=8 kedalam persamaan didapat:
Soal ini akan lebih mudah dan feasible dikerjakan dengan memproses integral lipat tiga
dengan urutan pertama melakukan integrasi terhadap y dalam koordinat Cartessian dan
urutan integrasi kedua dan ketiga (integral lipat dua) dalam koordinat polar dan diperlukan
konversi variabel x dan z menjadi θ dan r.
Pembatas integral untuk urutan pertama dalam y, integral kedua dan ketiga dalam θ dan r :
Sehingga perhitungan integral urutan pertama dalam Cartessian :
Integral lipat dua dilakukan dalam koordinatl polar , dibutuhkan konversi sehinnga integrand
menjadi :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 123
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Perhitungan integral adalah :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 124
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.6. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silendris
Berikut ini rumus konversi ke koordinat Silendris.
Untuk melakukan integral lipat tiga dalam koordinat silendris, maka dV perlu dalam sistem
koordinat silendris dan dalam koordinat silendris maka :
Daerah pembatas, E, sebagai daerah pembatas integral lipat tiga menjadi:
Catatan : Pernyataan diatas adalah untuk E dimana D terletak dibidang- xy. Bentuk diatas
dapat disesuaikan menurut daerah D apakah terletak pada bidang- yz atau bidang- xz.
Selanjutnya dalam koordinat silendris integral lipat tiga dapat di nyatakan sebagai :
Contoh 5.6.1. Hitung
dimana E adalah daerah pembatas yang terletak dibawah
bidang
diatas bidang- xy dan antara silender
dan
.
Solusi
Jangkauan (range) batas z dalam Cartesian dikonversi menjadi dalam koordinat silendris,
sehingga didapat :
Selanjutnya, daerah pembatas D adalah daerah antara dua lingkaran
dan
pada bidang-xy dengan jangkauan batas θ dan r yang dinyatakan :
Sehingga perhitungan integral :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 125
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 5.6.2. Ubahlah pernyatan
menjadi pernyataan integral dalam koordinat silendris.
Solusi
Berikut batasan jangkauan pembatas integral untuk variabel x, y, z :
Ketidaksamaan pertama dan kedua mendefinisikan daerah pembatas D dan karena batas atas
dan bawah x adalah
dan
yang berarti : seluruh atau sebagaian dari daerah
setengah lingkaran sisi kanan dengan radius 1 dengan titik pusat 0. Dan karena batasan y
adalah
berarti daerah seluruh potongan setengah lingkaran sebelah kanan.
Sehingga bila dinyatakan dalam koordinat silendris berarti :
Dan batasan jangkauan z diubah kesilendris menjadi :
Sehingga pernyataan integral menjadi :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 126
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.7. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Bola
Gambar sketsa berikut menunjukkan hubungan antara sistem koordinat Cartessian dan sistem
koordinat Bola.
Gambar 5.38.
Rumus konversi untuk koordinat bola adalah :
Terdapat pembatasan untuk variabel :
Untuk integral lipat tiga maka daerah pembatas E dibatasi dalam jangkauan :
Berikut ini sketsa dari irisan bola dimana batas bawah dari
dan
keduanya adalah nol ,
Gambar 5.39.
Sketsa diatas menunjukkan bahwa daerah E adalah irisan antara bola dan cone (kerucut).
Bentuk integral lipat tiga adalah :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 127
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 5.7.1. Hitung
dimana E adalah potongan atas dari bola
Solusi
Karena daerah pembatas adalah potongan atas bola, maka batas variabel , θ dan
.
adalah :
Sehingga perhitungan integral lipat tiga :
Contoh 5.7.2. Ubahlah
lipat tiga dalam sistem koordinat bola.
Solusi
Berikut jangkauan batasan untuk variabel y, x dan z :
menjadi pernyataan integral
Batasan x menyatakan sebagai bagian sisi kanan dari cakram yang berpusat di 0 dan
mempunyai radius 3. Dan karena batasan y menyatakan bernilai positif, maka cakram
tersebut berada di kuadrant pertama (x, y positif). Dan karena D ada di kuadran pertama dan
nilai z adalah positif, maka E ada dalam oktan pertama (x, y, z positif) dan hal tersebut
berakibat jangkauan adalah :
Untuk batasan atas z dimana batas bawah
, yang berupa bagian atas dari suatu
cone dan batas atas
, berupa bagian atas dari potongan bola
Sehingga dapat ditentukan batasan dari
sebagai :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 128
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Untuk menetapkan jangkauan dari batas , dilakukan dengan menentukan
perpotongan/irisan antara cone dengan bola, yaitu dengan memasukkan persamaan cone
kedalam persamaan bola, sehingga didapat
Telah diketahui bahwa
dan dari rumus konversi z maka didapat :
Sehingga , didapat jangkauan batasan variabel
Diketahui juga bahwa
:
, sehingga :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 129
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.8. Perubahan Variabel
Dalam Kalkulus Dasar dikenal Aturan Substitusi yang menyatakan :
𝑏
𝑑
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 dimana u = g (x)
𝑎
Pernyataan diatas adalah melakukan integral dalam x dan merubahnya menjadi mengambil
integral dalam u, atau dengan kata lain melakukan perubahan variabel dalam proses integral.
Pada bagian ini dipelajari perubahan variabel dalam integral lipat dua dan lipat tiga.
Sebenarnya, pada bab yang lalu telah dipelajari bagaimana melakukan konversi / perubahan
dari sistem koordinat Cartessian ke koordinat polar untuk integral lipat dua dan melakukan
konversi dari koordinat Cartessian ke sistem koordinat silendris dan sistem koordinat bola
untuk integral lipat tiga. Dan diketahui pula ternyata dibutuhkan penyesuaian rumus untuk
dA dan dV.
Salah satu alasan merubah variabel adalah untuk mendapatkan bentuk integral baru dimana
dalam variabel yang baru, proses integrasi lebih mudah. Alasan lainnya adalah merubah
daerah pembatas yang lebih sederhana untuk dikerjakan.
Persamaan yang mendefinisikan perubahan variabel disebut transformasi.
Dengan melakukan perubahan variabel dalam integral lipat, ternyata daerah pembatas juga
ikut berubah.
Berikut contoh apa yang terjadi dengan daerah, R, dalam sistem koordinat- xy yang di
transformasi menjadi daerah pembatas dalam koordinat-uv.
Contoh 5.8.1. Tentukan daerah pembatas baru yang didapat dengan melakukan transformasi
pada daerah pembatas R.
(a) R adalah sebuah ellipse
dan dilakukan transformasi
(b) R adalah daerah yang dibatasi oleh
transformasi adalah
,
,
,
, dan
.
dan
.
(a) R adalah ellipse
dan transformasi adalah
,
Dengan memasukkan transformasi kedalam persamaan ellipse didapat :
.
Jadi, bentuk awal ellipse setelah ditransformasi menjadi cakram dengan 2.
(b) R adalah daerah yang dibatasi oleh
transformasi adalah
,
,
dan
.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
, dan
Halaman 130
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Sama seperti contoh (a), transformasi dimasukkan kedalam persamaan dan hal ini dilakukan
untuk ketiga garis pembatas. Berikut sketsa dari R dalam koordinat xy :
Gambar 5.40.
Dilakukan transformasi untuk setiap persamaan garis batas segi tiga.
Untuk garis
Untuk garis
, dengan memasukkan transformasi,
,
Terakhir untuk garis
.
Sehingga daerah baru yang diperoleh setelah transformasi adalah :
Gambar 5.41
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 131
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dalam proses integrasi, dengan melakukan transformasi diharapkan diperoleh bentuk
integrand yang lebih sederhana dan daerah pembatas yang lebih mudah untuk perhitungan
integral.
Untuk merubah variabel dalam proses integral lipat dua dibutuhkan Jacobian untuk
transformasi .
Berikut definisi Jacobian.
Definisi
Jacobian untuk transformasi
,
adalah:
Jacobian didefinisikan sebagai determinant dari matrix 2x2 , dimana perhitungannya sbb. :
Sehingga untuk Jacobian didapat rumus determinant,
Dengan menggunakan Jacobian integral lipat dua dengan perubahan variabel dapat
dirumuskan sebagai :
Perubahan variabel untuk Integral Lipat Dua
Suppose that we want to integrate
,
over the region R. Under the transformation
the region becomes S and the integral becomes,
Catatan : du dv digunakan menggantikan dA dalam integral, untuk menegaskan bahwa proses
integral sekarang adalah terhadap u dan v.
Bentuk rumus ekivalen dA dinyatakan :
Contoh 5.8.2. Dengan menggunakan Jacobian, tunjukkan bahwa perubahan ke koordinat
polar menghasilkan
Jawab :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 132
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Transformasi disini adalah rumus / formula konversi:
Jacobian dari transformation adalah,
Sehingga ,
Contoh 5.8.3. Hitung
dimana R adalah daerah trapezium dengan titik ujung
,
,
dan
menggunakan transformasi
dan
Jawab
Berikut sketsa dari daerah pembatas R dan persamaan garis batas didapat :
.
Gambar 5.42.
Untuk setiap persamaan garis yang membatasi trapezium, dimasukkan persamaan
transformasi, sehingga didapat :
Transformasi untuk persamaan garis,
adalah :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 133
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Transformasi untuk persamaan garis
adalah :
Transformasi untuk persamaan garis
adalah :
Transformasi untuk persamaan garis
adalah :
Daerah pembatas baru S adalah persegi panjang dengan garis pembatas
dan
UK Maranatha 2012
,
,
dan jangkauan (range) dari u dan v adalah,
Didapat Jacobian.
Sehingga integral lipat dua menjadi,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 134
Rudy Wawolumaja
Contoh 5.8.4. Hitung
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
dimana R adalah ellipse
dan
menggunakan transformasi
,
.
Jawab
Dengan memasukkan transformasi kepersamaan ellipse maka didapat :
Dengan membagi dengan 2 didapat persamaan yang menyatakan R berubah menjadi
Atau suatu lingkaran radius 1. Daerah pembatas baru lebih sederhana dari yang awal.
Untuk fungsi integrand juga berubah menjadi :
Jacobian didapat :
Sehingga integral menjadi :
Untuk integral lipat tiga, langkah yang digunakan sama, yaitu pertama mulai dari daerah
pembatas R dan dengan menggunakan transformasi
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
,
, dan
Halaman 135
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
akan merubah daerah pembatas menjadi daerah pembatas baru S. Untuk
melakukan integrasi digunakan Jacobian. Definisi Jacobian untuk transformasi 3 variabel :
Disini Jacobian di definisikan sebagai matrix 3x3 .
Integral dari transformasi menjadi :
Seperti integral lipat dua, maka differential dV dinyatakan sebagai :
Contoh 5.8.5. Verifikasi bahwa
Jawab
Transformasi :
.
Jacobian didapat,
Sehingga didapat dV ,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 136
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
5.9. Luas Permukaan
Luas bidang permukaan
dimana
adalah suatu titik pada daerah pembatas
pada bidang- xy dinyatakan dalam integral lipat dua sbb. :
Contoh 5.9.1. Dapatkan luas permukaan dari bidang
yang terletak pada
oktan pertama.
Solution
Sketsa dari bidang permukaan
yang terletak pada oktan pertama (yaitu daerah
x,y,z positif adalah sbb. :
Gambar 5.43.
Sketsa dari daerah pembatas D.
Gambar 5.44.
Daerah pembatas D didapat dengan memasukkan nilai z = 0 pada persamaan fungsi
permukaan
yang berarti irisan bidang permukaan
dengan
bidang-xy. Didapat persamaan sisi miring segitiga diatas.
Persamaan
ditulis ulang dalam bentuk
yaitu :
Batasan daerah D adalah,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 137
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Sehingga luas permukaan adalah :
Contoh 5.9.2. Hitung Luas Permukaan suatu permukaan
yang
Solusi
yang terletak pada silender
.
Luas permukaan yang dicari adalah dari sebagian
dimana
pembatas berupa cakram dengan radius = 1 dan berpusat dititik 0.
Turunan parsial didapat :
dibatasi daerah
Sehingga persamaan integral lipat dua untuk luas permukaan adalah :
Diketahui daerah pembatas D berbentuk cakram, sehingga proses integrasi akan lebih mudah
dilakukan dalam koordinat polar, yaitu :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 138