Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK www.matematika

40
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Penyusun
: Tri Wahyu Suciati, S.Pd. ; Hilyatun Nadzifah, S.Pd. ;
Bambang Wahyudi, S.Pd. ; Endah Setya Prihati, S.Pd
Saiful Arif, S.T.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
Pada gambar disamping sebuah perahu akan
menyeberang dengan kecepatan 4,0 m/s
sedang kecepatan arus air 2,0 m/s . Dengan
menggunakan vektor kita dapat menentukan
arah dan jarak yang ditempuh perahu tersebut
A. Vektor di R2 ( Bidang )
I. PENGERTIAN
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil cetak tebal, misal a, b dan c
→
→
→
atau dengan menggunakan anak panah diatasnya, misalnya a , b atau c .
Apabila dituliskan dengan dua huruf, maka dengan menggunakan huruf besar
dan tanda anak panah diatasnya. Misal : AB, CD atau EF
Vektor dalam kehidupan sehari-hari salah satu contohnya adalah gaya dan
kecepatan.
Sedangkan skalar dalam kehidupan sehari-hari dicontohkan dengan jarak/
panjang, luas, isi dan temperatur.
Perhatikan gambar berikut:
B
a
A
Secara Geometri, suatu vektor dapat
digambarkan dengan ruas garis berarah.
Pada gambar disamping ruas garis AB
diwakili oleh vektor a dengan A sebagai
titik pangkal dan B sebagai titik ujungnya
dan besar/panjang vektor tersebut 4 satuan,
yaitu a = AB = 4
a. Menyatakan suatu vektor
Y
A (a1, a2)
a
O
X
Perhatikan Gambar 1.
Misalkan vektor OA digambarkan dalam
koordinat kartesius dengan A pada pangkal
koordinat (0,0) dan A pada (a1, a2), maka
vektor OA dapat dinyatakan sebagai :
Gambar 1
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
•
41
Vektor baris, yaitu OA = a = (a1, a2)
⎛a ⎞
Vektor kolom, yaitu OA = a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ a2 ⎠
•
•
•
Vektor basis disebut juga vector komponen, yaitu
OA = a = a1 i + a2 j dengan i dan, j masing-masing adalah
vektor basis pada arah x dan y.
Y
A (a1, a2)
Perhatikan gambar 2.
Vektor AB = OB − OA = b - a =
⎛ b1 − a1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ b2 − a 2 ⎠
B(b1,b2)
X
Gambar 2
b. Besar atau Panjang
⎛a ⎞
Pada gambar 1, jika vektor OA = a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka
⎝ a2 ⎠
2
besar/ panjang vektor OA = | OA | = | a |= a1 + a 2
Pada gambar 2 , besar vektor AB = | AB | =
2
(b1 − a1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2
Contoh :
⎛ 3 ⎞
Tentukan besar vektor a jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ − 4⎠
Jawab :
Besar vektor a = | a | =
3 2 + (−4) 2 =
9 + 16 =
25 = 5
c. Kesamaaan dua vektor
Dua vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah
yang sama. Jika vektor a dan vektor b adalah dua vektor sama maka a =
b
Contoh :
Diketahui u = ( m − n)i + ( 2m − n) j dan v = 6i + 3 j . Tentukan nilai m dan n
yang memenuhi jika u = v .
Jawab :
u = (m − n)i + (2m − n) j dan v = 6i + 3 j serta u = v , maka:
m – n = 6 ......................(1)
2m – n = 3 ......................(2)
dengan mengeliminasi (1) dan (2), maka:
m–n =6
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
42
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
2m – n = 3 _
-m=3
m = - 3 sehingga n = - 9
Jadi m = - 3 dan n = - 9
d. Vektor satuan
Vektor satuan dari a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan searah
⎛a ⎞
dengan vektor a . Jika a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka vektor satuan dari a ditulis e ,
⎝ a2 ⎠
ditentukan dengan ketentuan :
⎛ a1 ⎞
1
a
⎜ ⎟⎟
=
e =
2
2 ⎜
|a|
a + a ⎝ a2 ⎠
1
2
Contoh :
⎛ − 3⎞
Tentukan vektor satuan dari vektor p = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ − 4⎠
Jawab :
⎛ − 3⎞
Panjang vektor dari vektor p = ⎜⎜ ⎟⎟ adalah
⎝ − 4⎠
| p | = (−3) 2 + (−4) 2 = 9 + 16 = 25 = 5
⎛ 3⎞
1 ⎛ − 3⎞ ⎜ − 5 ⎟
⎟
Sehingga vektor satuan dari p adalah e =
= ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
| p | 5 ⎝ − 4 ⎠ ⎜⎜ − 4 ⎟⎟
⎝ 5⎠
p
II. Operasi aljabar pada vektor
a. Penjumlahan Vektor
Dalam operasi penjumlahan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan.
⎛a ⎞
⎛b ⎞
Misalkan vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka
⎝ a2 ⎠
⎝ b2 ⎠
⎛a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a + b ⎞
a + b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟
⎝ a 2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a 2 + b2 ⎠
Contoh :
⎛ − 3⎞
⎛ 4 ⎞
⎛ −3+ 4 ⎞
⎟⎟ =
Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Maka a + b = ⎜⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ − 2⎠
⎝ 2 + (−2) ⎠
⎛1⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0⎠
b. Pengurangan Vektor
Dalam operasi pengurangan, hanya komponen sejenis yang dikurangkan.
⎛a ⎞
⎛b ⎞
Misalkan vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka
⎝ a2 ⎠
⎝ b2 ⎠
⎛a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a + b ⎞
a – b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ – ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟
⎝ a 2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a 2 + b2 ⎠
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
43
Contoh :
⎛ − 3 − 4 ⎞ ⎛− 7⎞
⎛ − 3⎞
⎛ 4 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Maka a – b = ⎜⎜
⎝ 2 − (−2) ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ − 2⎠
c. Perkalian vektor dengan skalar
Perhatikan vektor berikut.
− 2a
3a
(iii)
(ii)
Misalkan a adalah vektor bukan nol, maka:
• 3 a adalah suatu vektor yang panjangnya 3 kali vektor a dan
arahnya searah vektor a .
• –2 a adalah suatu vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan
arahnya berlawanan arah dengan vektor a .
⎛a ⎞
⎛ a ⎞ ⎛ ka ⎞
Jika vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ maka k a = k ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ a2 ⎠
⎝ a 2 ⎠ ⎝ ka 2 ⎠
a
(i)
dan vektor k a sejajar dengan vektor a
Contoh :
⎛ 3 ⎞
Misalkan a = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka tentukanlah -3 a .
⎝ − 2⎠
Jawab :
⎛ 3 ⎞ ⎛ − 6⎞
- 2 a = - 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ − 2⎠ ⎝ 4 ⎠
d. Perkalian skalar antara dua vektor
⎛a ⎞
⎛b ⎞
Misalkan diketahui vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka perkalalian
⎝ a2 ⎠
⎝ b2 ⎠
skalar (perkalian titik atau dot product) antara dua vektor a , dan b
dirumuskan oleh:
1. a • b = a1 b1 + a2 b2
2. a • b = | a | | b | cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh
a dan b
Contoh :
⎛5⎞
⎛8⎞
Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka tentukanlah :
⎝12 ⎠
⎝6⎠
b. cosinus antara a dan b
a. a • b
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
44
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Jawab :
⎛ 5 ⎞⎛8⎞
a. a • b = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝12 ⎠ ⎝ 6 ⎠
= (5.8) + (12.6)
= 40 + 72
= 112
b.
= 100
= 10
a • b = | a | | b | cos θ,
maka
cos θ =
= 5 + 12
= 25 + 144
= 169
= 13
2
|a|
|b |
=
=
2
a •b
a.b
112
13.10
112
=
130
=
82 + 62
64 + 36
e. Sudut-sudut khusus yang dibentuk antara dua vektor
Dari persamaan
a • b = | a | | b | cos θ
cos θ =
a •b
a.b
i) Jika θ = 90o, maka cos θ = 0. Sehingga a • b =0
Seperti tampak pada gambar berikut ini
a
b
Contoh :
⎛ x ⎞
⎛ 2⎞
Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ saling tegak lurus, tentukan nilai x.
⎝ − 3⎠
⎝ x⎠
Jawab :
u ⊥ v , maka u • v = 0, sehingga
⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞
⎜⎜ ⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ = 0
⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠
2x + (– 3x) = 0
–x = 0
x=0
o
ii) Jika θ = 0 (berarti vektor a berhimpit dengan b ), maka
cos θ = 1. Sehingga a • b =| a | . | b |
Seperti tampak pada gambar berikut ini
a
b
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
45
Contoh :
⎛ 4 ⎞
⎛1⎞
Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ membentuk sudut 0o, tentukan nilai x.
⎝ − 3⎠
⎝ x⎠
Jawab :
u ⊥ v , maka u • v =| u |.| v | , sehingga
⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞
⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ = 4 2 + (−3) 2 . 12 + x 2
⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠
(4.1)+(-3x) =
25. 1 + x 2
– 3x + 4 = 25 + 25 x 2
Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh :
(- 3x + 4)2 = ( 25 + 25 x 2 )2
9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2
16x2 + 24x + 9 = 0
(4x + 3)(4x + 3) = 0
3
x= −
4
iii)Jika θ = 180o (berarti vektor a berlawanan arah dengan b ), maka
cos θ = - 1. Sehingga a • b = - | a | . | b |
Seperti tampak pada gambar berikut ini
•
a
Contoh :
b
⎛ 4 ⎞
⎛1⎞
Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ membentuk sudut 180o, tentukan nilai x.
⎝ − 3⎠
⎝ x⎠
Jawab :
u ⊥ v , maka u • v = - | u |.| v | , sehingga
⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ = − 42 + (−3) 2 . 12 + x 2
⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠
(4.1)+(-3x) = -
25. 1 + x 2
- 3x + 4 = - 25 + 25 x 2
Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh :
(- 3x + 4)2 = (- 25 + 25 x 2 )2
9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2
16x2 + 24x + 9 = 0
(4x + 3)(4x + 3) = 0
3
x= −
4
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
46
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
LATIHAN 1
1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut:
⎛ − 12 ⎞
⎛7⎞
⎟⎟
a. a = ⎜⎜
b. b = ⎜⎜ ⎟⎟
c. c =
⎝ 5 ⎠
⎝ 24 ⎠
⎡6⎤
⎡− 8⎤
⎡ 10 ⎤
⎡− 16⎤
2. Diketahui a = ⎢ ⎥ , b = ⎢ ⎥ , c = ⎢ ⎥ dan d = ⎢
⎥
⎣ 4⎦
⎣2⎦
⎣ − 9⎦
⎣ −3⎦
Tentukan vektor berikut :
a. 5 a + 2 b
b.-3 c + 4 a
⎛ − 10 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ − 24 ⎠
c. 2 d - 4 b
3. Tentukan cosinus sudut dari dua vektor berikut ini !
⎛ − 12 ⎞
⎛ 3 ⎞
⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟
a. a = ⎜⎜
⎝ 5 ⎠
⎝ − 4⎠
⎛ 2⎞
⎛ − 3⎞
c. k = ⎜⎜ ⎟⎟ dan l = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
⎝ − 2⎠
⎛1⎞
⎛ 4⎞
b. p = ⎜⎜ ⎟⎟ dan q = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ − 1⎠
⎝ 3⎠
4. Tentukan vektor satuan dari
a. p = 6i + 8 j
b. q =12i − 5 j
5. Jika vektor a sama dengan vektor b , tentukan x dan y berikut :
a. a = (x + 2y) i + (– x – y) j dan b = 4 i – j
b. a = (2x – y) i + 7 j dan b
⎛ 3 ⎞
6. Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b =
⎝ − 2⎠
a. | a |
= 3 i – (– x – y) j
⎛ − 1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan:
⎝4⎠
c. | a + b |
b. | b |
d. apakah | a | + | b | = | a + b |
⎛ 3 ⎞
⎛ − 1⎞
7. Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan :
⎝ − 2⎠
⎝4⎠
c. | a - b |
a. | a |
b.| b |
d. apakah | a | - | b | = | a - b |
⎛12 ⎞
dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan nilai dari a . b
⎝3⎠
⎛ 4 ⎞
⎟⎟
8.Diketahui a = ⎜⎜
⎝ − 10 ⎠
9.Jika diketahui | a | = 4 dan | b | = 8 serta ∠( a , b ) = 45o. Tentukan nilai a . b
10. Diketahui | a | = 4, | b | = 5 serta | a + b | = 6, tentukan nilai dari | a - b |
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
47
B. Vektor Di R3 ( Ruang)
I. Sistem Koordinat dalam Ruang
Sistem koordinat ruang terdiri dari tiga sumbu misal sb x, sb y dan sb z yang
saling tegak lurus. Ketiga sumbu tersebut bertemu pada satu titik pangkal O.
Sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif tampak seperti gambar.
Sedangkan untuk arah yang berlawanan ditetapkan sebagai arah negatif.
Z
zp
O
xp
P
yp
X
Y
Titik P disamping mempunyai koordinat
ruang (xp, yp ,zp).
dan vektor OP dapat dinyatakan dengan :
• Vektor kolom
⎛ xp ⎞
⎜ ⎟
OP = p = ⎜ y p ⎟
⎜z ⎟
⎝ p⎠
•
•
•
Vektor baris
OP = p = ( xp, yp ,zp )
Vektor basis
OP = p = xp i + yp j + zp k , dengan i
vektor basis pada arah x, y dan z.
,
j dan k masing-masing adalah
Vektor posisi
Misalkan OA dan OB masing-masing adalah vektor posisi titik A dan B
⎛ a1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
terhadap O, dan OA = a = ⎜ a 2 ⎟ , OB = b = ⎜ b2 ⎟ maka
⎜a ⎟
⎜b ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 − a1 ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
Vektor posisi AB = OB - OA = b - a = ⎜ b2 ⎟ - ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ b2 − a 2 ⎟
⎜b ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜b − a ⎟
3 ⎠
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3
Contoh:
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
Nyatakan vektor a = ⎜ 3 ⎟ dalam bentuk vektor basis!.
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
Jawab:
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
a = ⎜ 3⎟ = 2 i + 3 j + 4 k
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
48
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
II. Operasi Aljabar pada Vektor di R3
Seperti pada vektor di R2, sifat-sifat dan operasi aljabar pada vektor juga dapat
diaplikasikan pada vektor di R3
a. Besar atau Panjang Vektor
⎛ a1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Misalkan vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟
⎜a ⎟
⎜b ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
2
2
maka besar vektor a = | a | =
a1 + a 2 + a3
dan besar vektor b = | b | =
b1 + b2 + b3
2
2
2
2
Contoh :
⎛ − 3⎞
⎜ ⎟
Tentukan besar vektor a jika a = ⎜ 4 ⎟ ,
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
Jawab :
Besar vektor a = | a | =
(−3) 2 + 4 2 + 5 2 =
50 = 5 2
b. Kesamaaan dua vektor
Sama seperti pada vektor pada bidang, dua vektor dikatakan sama
apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah yang sama. Jika vektor a
dan vektor b adalah dua vektor sama maka a = b
c. Vektor satuan
Seperti pada vektor di R2 , vektor satuan dari a adalah suatu vector yang
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
besarnya 1 satuan searah dengan vektor a . Jika a = ⎜ a 2 ⎟ , maka vektor
⎜a ⎟
⎝ 3⎠
satuan dari a ditulis e , ditentukan dengan ketentuan :
⎛ a1 ⎞
1
a
⎜a ⎟
e =
=
2⎟
2
2
2 ⎜
|a|
a1 + a 2 + a3 ⎜ a ⎟
⎝ 3⎠
d. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Seperti pada vektor di R2, dalam operasi penjumlahan atau pengurangan,
hanya komponen sejenis yang dijumlahkan atau dikurangkan.
⎛ a1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Misalkan vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ , maka
⎜a ⎟
⎜b ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
a + b = ⎜ a2 ⎟ +
⎜a ⎟
⎝ 3⎠
49
⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 + b2 ⎟
⎜ b ⎟ ⎜⎝ a3 + b3 ⎟⎠
⎝ 3⎠
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 − b1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
a - b = ⎜ a 2 ⎟ - ⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 − b2 ⎟
⎜ a ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜⎝ a3 − b3 ⎟⎠
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
Contoh :
⎛1⎞
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Jika a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ − 4 ⎟ , maka tentukan vektor b - a .
⎜ 3⎟
⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Jawab:
⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
b - a = ⎜ − 4⎟ - ⎜ 2⎟ = ⎜ − 6⎟
⎜ 7 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e. Perkalian vektor dengan skalar
Seperti perkalian vektor dan skalar di R2, setiap komponen dikalikan dengan
skalar tersebut.
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
Jika vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan k adalah skalar ( bilangan riil), maka
⎜a ⎟
⎝ 3⎠
⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
k a = k ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ ka 2 ⎟
⎜ a ⎟ ⎜ ka ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
Contoh :
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
Misalkan a = ⎜ − 6 ⎟ , maka tentukanlah 6 a .
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
Jawab :
⎛ 3 ⎞
⎛ 18 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
6 a = 6 ⎜ − 6 ⎟ = ⎜ − 36 ⎟
⎜ 5 ⎟
⎜ 30 ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
f. Perkalian skalar antara dua vektor
Seperti pada pembahasan perkalian skalar dua vektor di R2, pembahasan ini
juga berlaku untuk perkalian skalar dua vektor di R3.
⎛ b1 ⎞
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Misalkan diketahui vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ , maka perkalian skalar
⎜a ⎟
⎜b ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
(perkalian titik atau dot product)antara dua vektor a dan b dirumuskan
oleh:
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
50
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
1. a • b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
2. a • b = | a | | b | cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil antara
a dan b
Contoh :
Diketahui | a | = 5dan | b | = 6 serta sudut antara a dan b adalah 60o, maka
tentukanlah a • b
Jawab :
a • b = | a | | b | cos θ
= 5. 6. cos 60o
= 30. ½
= 15
g. Sudut Antara Dua Vektor
⎛ y1 ⎞
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Misalkan diketahui vektor a = ⎜ x 2 ⎟ dan b = ⎜ y 2 ⎟ merupakan vektor di R3
⎜x ⎟
⎜y ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah θ dapat
ditentukan dengan rumus :
x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2
a•b
=
cos θ =
2
2
2
2
2
2
a .b
x1 + y1 + z1 . x 2 + y 2 + z 2
Contoh :
⎛ 3 ⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Diketahui a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ 4 ⎟ . Hitunglah besar sudut antara vektor
⎜ − 2⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a dan b
Jawab :
cos θ =
cos θ =
cos θ =
cos θ = 0
x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2
2
2
2
2
2
x1 + y1 + z1 . x2 + y 2 + z 2
(3.0) + (2.4) + ((−2).4)
2
3 2 + 2 2 + (−2) 2 . 0 2 + 4 2 + 4 2
0
17 . 32
maka θ = 90o
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
51
LATIHAN 2
⎛ − 3⎞
⎛6⎞
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1. Diketahui a = ⎜ 2 ⎟ , b = ⎜ − 1⎟ dan c = ⎜ 0 ⎟
⎜ 6 ⎟
⎜6⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Tentukanlah vektor-vektor berikut
a. - a
b. b + 2 c
c. 3 c - a
⎛ 3⎞
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2. Jika u = ⎜ 7 ⎟ dan v = ⎜ − 2 ⎟ , tentukan besar dari vektor berikut :
⎜1⎟
⎜ − 6⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a. u + 2v
b. 5v − 3u
c. − 2u − 3v
3. Jika diketahui | a | = 4, | b | = 5 dan ∠( a , b ) = sudut antara vektor a dan b
adalah 60o, maka tentukanlah:
a. a . a
b. a . b
c. a ( a + b )
d. b ( a - b )
⎛ − 1⎞
⎛ − 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
4. Tentukan sudut antara vektor a = ⎜ 1 ⎟ dan b = ⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
5. Jika a = 3 i + 4 j – 2 k dan b = 2 i - 3 j + k maka tentukan panjang vektor
AB .
6. Diketahui P(5, -3, 4) dan Q(2, -1,0). Jika p dan q masing-masing adalah vektor
posisi dari titik P dan Q, tentukanlah nilai dari p . q
7. Tentukan vektor satuan dari :
⎛ −3 ⎞
⎛ 6 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
a. a = ⎜ 4 ⎟
b. b = ⎜ − 24 ⎟
⎜ − 12 ⎟
⎜ −8 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛ − 1⎞
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
8. Jika diketahui a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ − 2 ⎟ . Tentukan :
⎜ − 3⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a. a + 2 b
b. | a + 2 b |
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
52
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
⎛ − 1⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
9. Diketahui p = ⎜ 1 ⎟ dan q = ⎜ 0 ⎟ . Tentukan besar cosinus sudut yang
⎜0⎟
⎜− 7⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
dibentuk antara p dan q .
10. Diketahui vektor a = - i + 2 j + 2 k dan b = 3 i – 5 j + 2 k serta c = j + 8 k .
Jika
c = p a + q b , maka nilai tentukan nilai dari p dan q.
UJI KOMPETENSI
A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!
B. a12+ a22+ a32
⎛ 10 ⎞
⎟⎟
1. Diketahui vektor PQ = ⎜⎜
C. a1 + a 2 + a3
⎝ − 24 ⎠
D. a1.a2.a3
maka panjang vektor PQ adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.
2
2
a1 + a 2 + a3
E.
23
24
25
26
27
2
5. Diketahui a = (2, 3) dan
b = (4, –1) nilai |2 b – 3 a | = …
2. Diketahui u = 6i − j + 2k dan
v = − 2i + 3 j − 2k maka nilai
u .v = ...
A. -21
B. -19
C. 3
D. 5
E. 10
A. 4
B. 5
C.
3. Vektor a = (5, 4, 0), vektor = (2,
r
c = (-3, 8, 0). Jika
-1, 0) dan
r
r
r
c = pa + qb , maka p + q = …
A. –3
B. –2
C. –1
D. 2
E. 3
4. Jika vektor a = a1i + a2 j + a3k ,
maka panjang vektor a dirumuskan
A.a1 + a2 + a3
E. 5 6
6. Diketahui | a | = 2, ( a - b ).( a + b )
= -1 dan b . ( b - a ) = 5 sudut antara
a dan b adalah...
A. π
B.
r
b
C. 5 3
D. 5 5
D.
E.
π
2
π
3
π
4
π
6
7. Apabila vektor a = 2i − 3 j − 4k dan
b = 3i − 2 j + 5k dan c = 4i + j − 3k
maka a + 2b − c adalah …
A. 2 i - 7 j + 8 k
B. 3 i - 8 j + 8 k
C. 5 i - 6 j + 3 k
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
13. Bila | a | = 7, | b |=8 , a .( b + a )=77,
maka sudut antara a dan b sebesar
…
A 0º B.15º C.30º D.45º E.60º
D. 4 i - 7 j + 6 k
E. 4 i - 8 j + 9 k
8. Diketahui a = 2i + j + 3k dan
b = i + 3 j − 2k , maka nilai cos
14. Diketahui vektor
sudut yang dibentuk a dan b = ...
1
A.
6
1
B.
4
1
C.
3
1
D. −
14
2
E.
3
9. Jika A(4,7,0) , B(6, 10, -6) dan C( x,
9,0) agar sudut BAC = 90o, maka
nilai x adalah...
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
10. Jika a = (−1,1, 2) dan b = (2,1, − 1)
maka besar sudut antara a dan b
adalah ...
A. 30o
B. 60o
C. 90o
D. 120o
E. 240o
6
,
maka a . b adalah ……
A. 10 3 B. 12 3
D. 14 3 E. 15 3
dan b = 2i − 10 j + 2k . Jika nilai
a. • b = 0 , maka nilai m adalah .....
A. 18
B. 9
C. 6
D. 3
E. -16
15. Jika vektor a dan vektor b
membentuk sudut 60° , |a| = 4 dan
|b| = 10, maka a.(b+a)=
A. 23
B. 24
C. 36
D.24√3 E. 36√3
16. Diketahui vektor a = (6, x, 14) dan
b = (y, 4, 7) segaris, maka nilai
y – x = ....
A. –5
B. –2
C. 3
D. 4
E. 6
A. 17
dan b = 6 serta sudut yang
π
a = i + 2 j + mk
⎛ − 2⎞
⎛1 ⎞
⎛ − 5⎞
17. Jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟ dan c = ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ 3⎠
⎝0⎠
⎝ 4⎠
maka a + b − c adalah . . .
11. Diketahui panjang vektor a = 5
dibentuk oleh a dan b adalah
53
C. 13 3
12. Diketahui vektor-vektor p = 2i – 3j
+ 5k dan q = -3i -5j + 2k mengapit
sudut α, tan α=…
A. – ⅓√3
B. ⅓√3 C. ½√3
D.1
E. √3
B. 15
C. 13
D. 7
E. 5
18. Jika vektor a dan b membentuk
sudut 1200, a = 2 dan b = 5, maka
nilai b ( b -- a ) adalah...
A. 15
B. 20
C. 30
D. 35
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
54
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
E. 40
A. 2 B. 3 C. – ½ D. 5 E. –5
20. Diketahui a = 3,
b =1
dan
a − b = 1 . Maka panjang vektor
19. Diketahui B ( 1, –2,1 ) dan C( 7,
p–1, –5 ), maka nilai p agar dari
vektor b dan vektor c tegak
lurus adalah …
a + b = ….
A.
3 B.
5 C.
7 D. 2 2 E. 3
B. Kerjakan soal berikut dengan singkat dan jelas !
1. Diketahui dua vektor a = 2i − 3 j + 4k dan b = 5 j + k , tentukan nilai a .b
⎡ 3⎤
⎡2⎤
⎢
⎥
2. Tentukan besar sudut antara a = ⎢2⎥ , b = ⎢⎢ 3 ⎥⎥
⎢⎣4⎥⎦
⎢⎣− 3⎥⎦
3. Diketahui vektor-vektor p = 2i – 3j + 5k dan q = -3i -5j + 2k mengapit sudut α,
tentukan nilai sin α
4. Bila | a | = 7, | b |=8 , a .( b + a )=77, maka tentukan besar sudut antara a dan b .
5. Diketahui vektor a = 2 i - 4 j − 2k dan vektor b = − i - j − 2k . Tentukan besar
sudut antara dua vektor tersebut !
6. Jika diketahui
a
= 3,
b
= 4 dan sudut antara keduanya θ = 600 , maka tentukan
nilai dari a • b
7. Jika sudut antara vektor
⎡2⎤
a = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ dan vektor
⎢⎣− 3⎥⎦
⎡ − 1⎤
b = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ adalah α, maka
⎢⎣− 2⎥⎦
tentukan besarnya α
r
r
r
r
r
r
r r
8. Diketahui vektor a = i + 2 j + mk dan b = 2i − 10 j + 2k , Tentukan nilai m jika
r r
a •b = 0
9. Jika vektor a = 2i − 2 j + k , maka tentukan a
10. Tentukan AB , jika A(2, –3 , 1) dan B(–1, –3, 5)
== oOo ==
Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
55
GALILEO, TOKOH YANG DIHUKUM
KARENA KECERDASANNYA
Pada tanggal 15 Februari 1564 Galileo lahir Di Pisa, Italia sebagai
anak lelaki dari Vincenzo Galilei, ahli musik dan matematika yang miskin.
Ayahnya berharap kelak Galileo menjadi seorang dokter karena gajinya
begitu besar, berpuluh-puluh kali gaji ahli matematika. Karena itu, pada usia
17 tahun ia masuk Universitas Pisa jurusan Kedokteran.
Namun, akhirnya ia bosan kuliah Kedokteran. Ia mempelajari Matematika
dari seorang guru di istana Tuscana bernama Ostillo Ricci. Lalu, pada usia
21 tahun ia berhenti kuliah karena kekurangan biaya.
a kembali ke Florence dan memulai karirnya sebagai pengarang. Karyanya
mengenai neraca hidrostatik (1586) dan pusat gaya berat pada benda
(1589) membuatnya menjadi begitu terkenal di seluruh Italia. Akhirnya, ia
diangkat menjadi dosen di Universitas Pisa. Lalu, ia menjadi guru besar
Matematika di Universitas Padua pada tahun 1592.
Walaupun begitu, kehidupannya tetap miskin, bahkan ia tak mampu
menikah. Namun, ia mempunyai dua anak perempuan dan seorang
anak laki-laki hasil hubungannya dengan Marina Gamba, pembantunya sendiri.
Pada tahun 1608 Hans Lippershey, seorang ahli optika Belanda, menemukan teleskop, namun
tidak bersedia menerima patennya. Sehingga, kemudian Galileo pun berusaha membuat teleskop
sederhana dan ia berhasil menciptakan teleskop dengan kemampuan pembesaran 33 kali.
Dengan teleskopnya ini ia berhasil menemukan cincin Saturnus, empat buah bulan Yupiter, gununggunung dan kawah di bulan sehingga ia menjadi begitu terkenal di seluruh dunia hingga sekarang. Ia juga
menemukan kenyataan bahwa galaksi sebenarnya adalah gugusan bintang yang jumlahnya berjuta-juta.
Ia pun melakukan percobaan dengan menjatuhkan benda berbagai ukuran dan berat dari menara Pisa di
hadapan para mahasiswa dan ilmuwan. Ia melakukannya untuk membuktikan bahwa teori Aristoteles
yang mengatakan bahwa benda berat akan jatuh lebih dulu ke bumi daripada benda ringan merupakan
teori yang salah.Hasil percobaan itu pun menunjukkan ternyata teori Aristoteles tersebut memang salah.
Selain itu, dengan menggunakan teleskopnya ia juga berhasil membuktikan bahwa teori Aristoteles dan
Ptolemeus mengenai benda-benda angkasa tidak benar. Aristoteles beranggapan bahwa permukaan
bulan rata dan memancarkan cahaya. Ptolemeus mengatakan bahwa bumi tidak bergerak, matahari dan
bintang-bintanglah yang bergerak mengelilingi bumi.
Saat itu para tokoh agama dan dosen-dosen universitas di seluruh Italia mengganggap ajaran
Aristoteles dan Ptolemeus adalah ajaran yang paling benar. Karena, mereka salah menafsirkan sepenggal
ayat yang tedapat dalam Kitab Suci. Sementara itu, Galileo tetap mempertahankan teorinya dan
mendukung teori Copernicus yang mengatakan bahwa matahari adalah pusat tata surya. Akibatnya, ia
ditangkap para tokoh agama, diadili, dan dijatuhi hukuman sebagai tahanan rumah.
Galileo meninggal pada usia 78 tahun di Arcetri pada tanggal 8 Januari 1642 karena demam. Namun,
meskipun demikian teori-teorinya tetap dipakai seluruh orang di dunia hingga kini. Ia adalah orang yang
pertama di dunia yang menggunakan perhitungan matematika dalam menganalisis mekanika. Ia juga
orang pertama yang menghubungkan fisika dan astronomi dengan matematika, bukan dengan filsafat
tradisional.
Ia merupakan orang yang menemukan hukum benda jatuh, hukum bandul, hukum gerak yang
selanjutnya dirumuskan oleh Newton. Ia juga penemu termometer, teleskop ( teropong bintang), dan teori
matematik gerak parabola.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan