Vektor - Blog UB

Vektor
Besaran skalar dan vektor
1.1
Besaran skalar adalah besaran-besaran fisika atau kimia yang hanya memiliki harga mutlak (harga absolut) dan
tidak memiliki arah tertentu.
Contoh besaran skalar adalah :
1. Waktu (t)
2. Temperatur (T)
3. Volume (V)
4. Resistansi (R)
5. Kapasitansi (C)
Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah dalam ruang. Contohnya adalah :
1.Gaya (F)
2.Kecepatan (v)
3.Percepatan.(a)
Kemudian, dalam besaran skalar dan besaran vektor terdapat medan skalar dan medan vektor. Sebuah
medan (skalar atau vektor) dapat didefinisikan secara matematis sebagai fungsi dari vektor yang menghubungkan
titik asal dengan titik sembarang dalam ruang
.Contoh medan skalar adalah temperatur dalam semangkuk sup. Sedangan contoh dari medan vektor adalah
medan gravitasi dan medan magnetik bumi. Nilai besaran medan pada umumnya berubah terhadap waktu dan
kedudukan dalam ruang.
1.2
Aljabar vektor
Aljabar vektor terdiri dari perkalian antara besaran skalar dengan besaran vektor penjumlahan atau
pengurangan dua atau lebih besaran vektor, perkalian titik atau perkalian skalar antara dua besaran vektor, dan
perkalian vektor antara dua atau lebih vektor.
Perkalian bilangan skalar dengan vektor
Perkalian bilangan skalar dengan suatu besaran vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, yang
arahnya tidak berubah tetapi harga absolut vektor baru tersebut adalah harga vektor sebelumnya dikalikan
dengan bilangan skalar tadi.
Perkalian bilangan skalar dengan besaran vektor mengikuti hukum-hukum berikut ini:


Hukum Asosiatif : (k + l)(A + B) = k(A + B) + l(A + B), k dan l adalah bilangan skalar.
Hukum Distributif : (k + l)(A + B) = kA + kB + lA + lB
Pejumlahan dua vektor atau lebih
Penjumlahan sembarang vektor A dan sembarang vektor B akan menghasilkan vektor baru C yang
mengikuti hukum-hukum berikut ini :
Hukum komutatif
A+B=B+A=C
Secara grafik vektor C adalah diagonal dari jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah vektor A dan vektor B.
Dengan demikian, harga absolut vektor C ditentukan oleh harga absolut vektor A, harga absolut vektor B, dan sudut
antara vektor A dan vektor B, dengan demikian harga absolut vektor C akan mengikuti aturan cosinus berikut ini :
C = (A2 + B2 + 2AB cos )1/2
Hukum Asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B
Perkalian titik antara dua vektor
Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B akan menghasilkan besaran
skalar . Sifat perkalian titik ini mengikuti hukum komutatif :
A.B=B.A=C
= |A| |B| cos 
Dimana  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B.
Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B dalam sistem koordinat kartesian
tiga dimensi adalah :
A.B  ( Ax a x  A y a y  Az a z )( B x a x  B y a y  B z a z )
 Ax B x  A y B y  Az B z
 ( A 2 x  A 2 y  A 2 z ) . ( B 2 x  B 2 y  B 2 z ) cos 
Sehingga sudut antara sembarang vektor A dan sembarang vektor B adalah :
 Ax B x  Ay B y  Az B z

AB

  cos 1 




Produk Titik antara Vektor Satuan Sistem Koordinat Karesian dengan Sistem Koordinasi Silinder :
 ax.a  = cos  , ax.a  = - sin  , ax. az = 0

ay.a  = sin  , ay.a  = cos  , ay. az = 0

az.a  = 0, ay.a  = 0, az. az = 1
Produk Titik antara Vektor Satuan Sistem Koordinat Kartesian dengan Sistem Koordinasi Bola
 ax . ar = sin  cos  , ax.a  = cos  cos  , ax . a  = - sin 


ay . ar = sin  sin  , ay.a  = cos  cos  , ay . a  = cos 
az . ar = cos  , az.a  = - sin  , az . a  = 0
Perkalian Silang antara Dua Vektor
Perkalian Silang (cross product) antara dua vektor yang berlainan jenis besaran fisiknya akan menghasilkan
vektor baru yang jenis besaran fisiknya juga berbeda. Sebagai contoh, perkalian silang antara vektor momen magnetik m
dengan vektor rapat fluks magnetik B akan menghasilkan vektor energi torsi magnetik T. Jika vektor m memiliki satuan
ampere meter2 dan vektor rapat fluks magnetik B meiliki satuan tesla (T), maka vektor torsi magnetik memiliki satuan
Joule
T = m X B Joule
Perkalian silang antara vektor kecepatan v dari muatan titik Q dengan vektor rapat fluks magnetik B yang
serbasama (homogen) menghasilkan vektor gaya Lorenz persatuan muatan. Perkalian silang antara vektor arus listrik I
yang mengalir pada kawat lurus sepanjang l dengan vektor rapat fluks B yang serbasama disekitar kawat lurus yang
dialiri arus I akan mnghasilkan vektor gaya per satuan panjang, yang juag sering disebut vektor gaya Lorenz persatuan
panjang. Vektor momen torsi mekanik T adalah perkalian silang antara vektor jarak r dengan vektor gaya F. Demikian
juga, vektor poynting P adalah produk silang antara vektor kuat medan listrik E dengan Vektor kuat medan Magnetik H.
P = E x H Wm-2
Secara umum, perkalian silang antara sembarang vector A dengan sembarang vector B akan menghasilkan
vector C, namun perkalian ini tidak bersifat komutatif, karena : A x B = -B x A = C.Dimana vector C tegak
lurus dengan vector A dan juga tegak lurus vector B . C  A dan C  B .Harga absolute vector C adalah C =
A B sin  dimana  adalah sudut antara vector A dan vector B .
1.3.
Vektor Jarak
Vektor jarak dari sebuah titik ke titik lain atau vektor jarak dari sebuah titik ke sebuah bidang tertentu penting
dipelajari karena kita akan membutuhkannya dalam pemecahan persoalan-persoalan tertentu.
Vektor Jarak dari titik ke titik
Vektor jarak dari sembarang titik A (xA, yA, zA) ke sembarang titik B (xB, yB ,zB ) adalah
rAB = (xB-xA)ax + (yB-yA)ay + (zB-zA)az
Sedangkan vektor jarak dari sembarang titik B (xB, yB ,zB ) ke sembarang titik
A (xA, yA, zA) adalah
rBA = (xA-xB)ax + (yA-yB)ay + (zA-zB)az
Vektor Jarak dari Titik ke Bidang
Misalkan kita ingin mengetahui vektor jarak dari sembarang titik P (xp,yp,zp) ke sembarang bidang u:
Ax+By+Cz =D, kita memerlukan titik-titik potong antara bidang u dengan sumbu –x, sumbu –y, dan sumbu –z
yang secara berturut-turut adalah : D/A, y =D/B, dan z = D/C. Ambil jarak titik asal O ke bidang u = a, cos  =
a A/D; cos  = a B/D; cos  = a C/D.
Vektor satuan normal u
a N  cos a x  cos a y  cos a z  
Aa x
D

Ba y
D

aCa z
D
Vektor garis normal N disepanjang aN’, atau vektor jarak bidang u ke titik asal O adalah
ruo  
Aa x
D

Ba y
D

aCa z
D
Bidang yang melalui titik ( xp, yp, zp) dan sejajar bidang u adalah bidang w.
Ax + By +Cz = Axp + Byp + Czp = D’
Vektor garis normal N disepanjang aN’, atau vektor jarak bidang u ke titik asal O adalah
ruo  
Aa x
D

Ba y
D

aCa z
D
Bidang yang melalui titik ( xp, yp, zp) dan sejajar bidang u adalah bidang w.
Ax + By +Cz = Axp + Byp + Czp = D’
Dari persamaan(1.4) diperoleh
a N = cos2  + cos2  + cos2  = 1
Maka
2
2
2
 aA   aB   aC 

  
  
 1
 D  D  D 
Atau

D2
a 2
 A  B2 C 2





1/ 2
Kita misalkan a ' adalah jarak dari bidang w ke titik asal O, maka
a' 
A
D'
2
 B2  C 2

1/ 2

Ax p  Bx p  Cy p
A
2
 B2  C 2

1/ 2
Jadi scalar dari titk P ke bidang u adalah jarak dari bidang w ke bidang u, yaitu d = a'a atau
d
Ax p  By p  Cy p  D
 A2  B 2  C 2 




Vektor jarak dari titik P ke bidang u adalah rpu = dan’ maka
 Ax p  By p  Cy z  D  Aa
aBa y aCa z
x

r pu  



 D
2
2
2
D
D

A

B

C


 Aa x  Ba y  Ca z

d


A2  B 2  C 2