Vektor

Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.
Penjumlahan Vektor
s  a b
Mengikuti hukum :
• Komutatif
:
a b  b a
Assosiatif :
(a  b )  c  a  (b  c )
Vektor b adalah vektor yang memiliki
besaran yang sama dengan vektorb
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
(b )  (b )  0
Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a ax  a cos  dan a y  a sin 
disebut komponen skalar atau komponen
Besar vektor a: a  a  a
2
x
2
y
dan
ax
tan  
ay
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b),
besar vektor s dapat dicari dengan rumus :
s  a2  b2  2ab cos 
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus : a 2  b 2  c 2  2 bc cos 
b 2  a 2  c 2  2 ac cos 
c 2  a 2  b 2  2 ab cos 
Dalil sinus :
a
b
c


sin  sin  sin 
Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
diberi tanda : iˆ, ˆj dan kˆ
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :
a  axiˆ  a y ˆj
b  bxiˆ  by ˆj
disebut komponen vektor
Penjumlahan vektor dengan komponen
s  a  b , setiap komponen s sama dengan
komponen a  b
s x  a x  bx
s y  a y  by
s z  a z  bz
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
absolute s dengan arah a jika s positif, dan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi
dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
a.b  ab cos 
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
a.b  (a cos  )(b)  (a)(b cos  )
Scalar product berlaku hukum komutatif
a.b  b.a
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
a.b  (axiˆ  a y ˆj  az kˆ).(bxiˆ  by ˆj  bz kˆ)
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
a.b  axbx  a y by  az bz
Menghasilkan vector : Vector Product
Dikenal sebagai : Cross Product
a xb c
Dengan besar c adalah :
c  ab sin 
Besaran a
xb
ditulis a x b  0 jika
dan maksimum jika a  b
a // b
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor
a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan.
b x a  ( a x b )
Penulisan dalam vektor satuan :
a x b  (axiˆ  a y ˆj  az kˆ) x (bxiˆ  by ˆj  bz kˆ)
axiˆ x bxiˆ  axbx (iˆ x iˆ)  0
axiˆ x by ˆj  axby (iˆ x ˆj )  axby kˆ
Hasil akhir :
a x b  (aybz  by az )iˆ  (azbx  bz ax ) ˆj  (axby  bx a y )kˆ
Latihan soal :
• Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut  . Jika besar vektor a
dua kali vektor b dan a  b  3 a  b , hitung  !
2
2
a

b

a

b
 2 ab cos
Jawab :
a  b  a 2  b 2  2 ab cos
a2  b2  2 ab cos  
3 a 2  b2  2 ab cos 
16 b 2 cos   10 b 2
  51,320
• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
r  v12  v22  2 v1v2 cos 450
r
458, 7
r  21, 4 satuan
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus : v22  v12  r 2  2v1r cos 
297, 7  342, 4 cos    =29,60
Dalil Sinus :
v2
r

sin  sin 1350
15(0, 707)
sin  
  =29,7 0
21, 4
ˆ
j4 k
• Diketahui 3 buah vektor a  1 iˆ  3 ˆ
ˆ
b  1 iˆ  2 ˆ
j2 k
ˆ
c  3 iˆ  1 ˆ
j 3 k
Hitung besar vektor r dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z
jika r  2a  b  c. Hitung juga sudut antara vektor a dan b !
Jawab :
r  (2)iˆ  (7) ˆj  (13)kˆ  r  (2)2  (7)2  (13)2  14,9 satuan
Sudut antara r dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor
satuan arah sumbu z. r . k  (2)iˆ.kˆ  ( 7) ˆj.kˆ  (13) kˆ.kˆ
r k
cos   13  cos =
13
  =29.30
14.9
Sudut antara a dan b diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.
a. b  1.(1)  ( 3).(2)  4.(2)
a b
cos   13

cos =
13
26 9
  =31,80
• Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan
dan arahnya 252 0 terhadap sumbu x positif. Vektor b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor
tersebut.
Jawab :
Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
2520  900  1620
Sehingga diperoleh :
a . b  ab cos   (5)(4) cos1620  19 satuan
a x b  ab sin   (5)(4) sin1620  6,18 satuan