bentuk polar bilangan kompleks

BENTUK POLAR DARI
FUNGSI KOMPLEKS
Yulvi Zaika
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
Im
z  ( x, y )  (r, )
z r
O

Re
BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS
2
x = r cos , y = r sin,
y
sehingga  = arc tan  x 
 
 adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
r  x2  y2  z
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos  + i sin ).
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ).
Hubungan (x,y) dengan (r,)
3
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, )
= r(cos  + i sin ) = r cis , maka dapat menuliskan
z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos  , sin 
dan et dengan mengganti t = i.
5
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
6
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = 2 , tan  = 1, sehingga  = 45⁰= 1 
4

Jadi z =
(cos 1  + i sin 1 ) =
cis 1  = 2 e 4i
2
2
4
4
4
7
2. Betuk Polar

Pembagian
Dilakukan dengan cara membagi pembilang dengan penyebut
dan mengurangi sudut pembilang dengan sudut penyebut.
Misal
dan
z 1= r1 (cos1+i sin1)
Maka :
Z 2= r2 (cos2+i sin2)
z1 r1
 cos 1   2  i sin  1   2 
z2 r2


Penambahan dan Pengurangan
Tidak dapat dilakukan kecuali memiliki sudut  yang
sama atau hanya berbeda phasa kelipatan 1800

Misal
z 1= r1 (cos1+i sin1)
dan
Z 2= r2 (cos2+i sin2)
Maka
Z1.z2 = r1r2[cos(1+2) + i sin (1+2)
Perkalian
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
9
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
z1 r1(cos 1  i sin 1)

z2 r2(cos 2  i sin 2 )
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh : z1 r1 [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]

z2 r2
Dari rumus di atas diperoleh:
arg z1
1-2 = arg z1 – arg z2.

z2
10
Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ),
1  1cos()  i sin()
z r
1 
1
Untuk:
.
n
n
z
r cos n  i sin n
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
maka:
penyebut, maka didapat :
2
1  1 cos(n)  i sin(n)
zn rn
.......
11
Perpangkatan
Contoh:
Hitunglah :

3  i
6
Jawab :
Misalkan z  3  i,
maka
r  z  3 1 2
tan    1
3
karena z di kuadran IV, maka dipilih
  30o
jadi


3  i  2 cos  30 o  i sin  30o
3 i

6


 2 6 cos 180o  i sin 180o

 2 6 (1  0)
 2 6
14
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis z 
1
wn
.
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w
diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin),
sehingga n = r dan n= +2k , k bulat.
Akibatnya  
Jadi . . .
1
rn
dan     2k
n
15
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
1
= rn
[cos(   2k ) + i sin (   2k )],
n
n
k bulat dan n bilangan asli.
z
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda
yang memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0    2k < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
n akar ke-n dari z.
sebagai
16
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
    2k .
4


2
k

Jadi z = 3[cos(   2k )+i sin(
)]
4
4
diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
17
1. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
2. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
3. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
4. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen
5. . Hitunglah (-2+2i)15