kajian materi aljabar dan komunikasi matematis

Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
KAJIAN MATERI ALJABAR DAN KOMUNIKASI
MATEMATIS
Agus Prianto
SMP Negeri 1 Jepara, Jl. Sersan Sumirat No.3 Jepara; [email protected]
Abstrak. Tulisan ini menyajikan kajian tentang materi aljabar kelas VIII tingkat
SMP/MTs dengan standar komunikasi matematis sesuai standar NCTM (National
Council of Teachers of Mathenatics). Kajian ini lebih menekankan tentang proses
pengenalan konsep aljabar yang memungkinkan siswa mampu memunculkan dan
meningkatkan komunikasi matematis secara tertulis maupun secara lisan. Langkahlangkah yang dapat dilakukan untuk memunculkan dan meningkatkan komunikasi
matematis siswa dalam pembelajaran materi aljabar yaitu dengan menyajikan masalah
secara nyata (contextual problems) yang dapat dikembangkan dalam bentuk Lembar
Kerja dan menyusun tahapan-tahapan proses pembelajaran yang melibatkan aktivitas
siswa.
Kata Kunci: Materi Aljabar, Komunikasi Matematis dan Lembar Kerja
1. Pendahuluan
Berdasarkan perkembangan paradigma pembelajaran saat ini, bahwa proses pembelajaran matematika
merupakan proses dan aktivitas siswa untuk membangun konsep dan pengetahuan baru dengan
pengalaman yang telah dimilikinya, sedangkan tugas guru sebagai fasilitator membantu siswa agar
pembelajaran berjalan dengan baik. Hal ini sesuai dengan NCTM (National Council of Teachers of
Mathenatics)(2000:19-20) yang menyatakan bahwa “The students must learn mathematics with
understanding, actively building new knowledge from experience and prior knowledge. Effective
mathematics teaching requires understanding what students know and need to learn and then
challenging and supporting them to learn it well“. Salah satu kemampuan yang sangat
penting dalam matematika dan pembelajaran matematika adalah komunikasi. Hal ini
sesuai dengan rekomendasi NCTM (2000: 60) yang menyatakan bahwa “The
communication is an essential part of mathematics and mathematics education. It is
a way of sharing ideas and clarifying understanding. Through communication, ideas
become objects of reflection, refinement,discussion and amendment”.
kemampuan matematis siswa sejalan dengan pembelajaran matematika
pada Kurikulum 2013 yang menuntut siswa untuk lebih aktif ketika proses
pembelajaran berlangsung. Melalui pendekatan pembelajaran saintifik dan model
pembelajaran (misalnya: Discovery Learning) serta metode (misalnya: tanya jawab,
diskusi kelompok, dan penugasan), pembelajaran matematika menekankan pada
aktivitas mental siswa untuk mampu berkomunikasi secara tertulis dan lisan dalam
memahami materi matematika yang penuh dengan berbagai ide dasar, simbol,
konsep, materi abstrak, serta persoalan dan cara penyelesaiannya secara matematis.
Pengembangan
aljabar sarat dengan berbagai unsur dan simbol matematis yang mempunyai
nama, makna, dan definisi yang berbeda-beda. Menurut Cooney, et al dalam Fajar
Hidayati (2010:16-19), kesulitan siswa dalam belajar matematika adalah pada
pengetahuan konsep dan pengetahuan prinsip. Konsep dan prinsip merupakan
Materi
1
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
pengetahuan dasar matematika yang harus dikuasai siswa agar siswa mampu
menyelesaikan persoalan dan permasalahan matematika dengan baik dan benar.
Dengan demikian untuk mengetahui kesulitan siswa dalam belajar aljabar dapat
ditinjau dari pengetahuannya tentang konsep-konsep dan prinsip-prinsip dalam
aljabar.
2. Materi Aljabar
Tujuan pembelajaran materi aljabar berdasarkan Kurikulum 2013 pelajaran
matematika tingkat SMP/MTs kelas VIII di antaranya: (1) aspek sikap; melalui
pengamatan, tanya jawab, diskusi kelompok, siswa mampu menunjukkan rasa ingin
tahu, percaya diri, dan ketertarikan dalam memahami materi aljabar; (2) aspek
pengetahuan; melalui tes lisan dan tulis uraian singkat siswa dapat menyelesaikan
materi aljabar; (3) aspek ketrampilan; melalui penugasan mandiri dan kelompok,
siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi aljabar. Adapun
pengalaman belajar siswa yang diharapkan setelah mempelajari aljabar (Buku Guru
Matematika VIII, 2014:29): (1) Siswa mampu menerapkan operasi aljabar yang
melibatkan bilangan rasional pada masalah yang berbentuk simbolik; (2) Siswa
mampu menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah
verbal. Sedangkan cakupan materi aljabar (Buku Guru Matematika VIII,2014:40)
yaitu: (1) Bentuk dan Unsur Aljabar, meliputi: bentuk dan definisi suku aljabar,
unsur-unsur aljabar (variabel, koefisien, konstanta, pangkat) dan suku sejenis; (2)
Operasi Aljabar, meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
perpangkatan; (3) Penyederhaan Bentuk aljabar, dan (4) Pemecahan masalah
Aljabar merupakan salah satu cabang penting dari matematika yang sering dianggap
sulit dan abstrak (Laila Hayati, 2013: 398). Untuk berpikir aljabar, seorang siswa
harus mampu memahami pola, hubungan dan fungsi, mewakili dan menganalisis
situasi matematika dan struktur menggunakan simbol-simbol aljabar, menggunakan
model matematika untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif, dan
menganalisis perubahan dalam berbagai konteks. Salah satu hambatan dalam aljabar
adalah menyatakan ekspresi menggunakan simbol-simbol. Standar aljabar
menekankan hubungan antara kuantitas, termasuk fungsi, cara untuk mewakili
hubungan matematika dan analisis perubahan. Hubungan fungsional dapat
dinyatakan dengan menggunakan notasi simbolis. Berpikir aljabar merupakan
elemen penting dan mendasar dari kemampuan berpikir matematika dan penalaran.
Salah satu cara untuk mengembangkan kemampuan berpikir siswa adalah dengan
mengembangkan kemampuan berpikir aljabar siswa, dengan membiasakan siswa
menyelesaikan soal-soal pemecahan masalah. Aspek penting berpikir aljabar adalah
kemampuan untuk mempertimbangkan keterkaitan dan generalisasi dari situasi
masalah di mana jika generalisasi bisa dipahami maka kemampuan siswa dapat
berkembang. Berpikir aljabar didasarkan pada ide-ide dan konsep matematika dasar
dan pada gilirannya ide-ide tersebut digunakan untuk memecahkan masalah yang
semakin canggih.
Unsur-unsur dalam bentuk aljabar adalah suku (term). Suku dapat berupa sebuah
konstanta, sebuah variabel atau hasil kali/pangkat, penarikan akar konstanta maupun
variabel, tetapi bukan penjumlahannya. Jadi, masing-masing suku merupakan bentuk
aljabar yang lebih sederhana dari bentuk aljabar yang lebih kompleks. Misalkan
2
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
bentuk aljabar 2p merupakan satu suku aljabar yang terdiri atas unsur variabel p,
koefisien 2 dan pangkat 1. Untuk bentuk aljabar 4x2 + 3, merupakan dua suku aljabar
yang terdiri atas unsur variabel x, koefisien 4, pangkat 2 dan konstanta 3.
Menurut Al Krismanto (2009: 15-20) konstanta adalah lambang yang mewakili
(menunjuk pada) anggota tertentu pada suatu semesta pembicaran. Variabel (peubah)
adalah lambang yang mewakili (menunjuk pada) anggota sebarang pada suatu
semesta pembicaraan. Pangkat/derajat adalah angka/pangkat pada sebuah variabel.
Bagian konstanta dari suku-suku yang memuat (menyatakan banyaknya) variabel
disebut koefisien variabel yang bersangkutan. “Banyaknya variabel” di sini bukan
bermakna banyaknya objek (yang bermakna penjumlahan), melainkan bermakna
“banyaknya bilangan” dari variabel tersebut yang juga lambang bilangan, sehingga
koefisien dan variabel yang bersangkutan berada dalam konteks operasi perkalian.
Koefisien dapat berupa sebuah atau lebih lambang, yang masing-masing menyatakan
konstanta. Jika tidak satupun angka atau konstanta yang muncul dan terkait langsung
dengan variabel pada suatu suku, maka koefisiennya adalah 1 atau –1.
suku-suku aljabar 5xy, –7xy, dan 15xy adalah contoh dari suku sejenis. Ketiga
suku tersebut mempunyai variabel yang sama yaitu xy dan pangkat/derajat dari setiap
variabel yaitu 1. Suku sejenis bentuk aljabar yaitu suku aljabar yang lambang
variabelnya sama baik bentuk maupun pangkatnya. Adapun bentuk suku aljabar xy
dan x2y bukanlah suku sejenis, karena pangkatnya tidak sama, meskipun variabelnya
sama xy. Demikian juga suku aljabar pq2 dan xy2, karena variabelnya dan pangkatnya
berbeda, sehingga pq2 dengan xy2 bukanlah suku sejenis.
Bentuk
contoh sederhana persoalan verbal “ukuran panjang bertambah 5 cm”.
Alternatif jawaban dengan bentuk aljabar: tulis x sebagai ukuran panjang semula,
jadi ukuran panjang sekarang adalah (x+5) cm. Misalkan permasalahan : “Misal l
adalah lebar sebuah persegi panjang yang ukuran panjangnya 8 cm lebih dari dua
kali lebarnya”, maka beberapa alternatif model matematika, (1) Tulis l: ukuran lebar
persegipanjang dan 2l= dua kali lebar persegi panjang, jadi ukuran panjang persegi
panjang, p=(2l+8)cm; (2) Lebar persegi panjang semula l cm. Panjangnya 8cm lebih
dari dua kali lebarnya, sehingga ukuran panjang persegi panjang adalah p= 2l+8.
Beberapa
Al Krismanto (2009: 30-31) menjelaskan beberapa langkah penyelesaian soal cerita:
(1) Langkah awal adalah menentukan/memilih sebuah variabel. Pembelajaran yang
memuat kompetensi siswa tentang dasar operasi aljabar, perlu dilakukan adanya
kegiatan pendahuluan mengingatkan operasi yang berlaku dalam aritmetika. Guru
perlu mencari alternatif untuk mengembangkan keingintahuan itu, misalnya dengan
model permainan yang banyak memuat pemecahan masalah dan komunikasi; (2)
Alternatif menyusun bentuk aljabar dari masalah verbal, masalah verbal yang banyak
dikeluhkan menjadi kesulitan siswa yaitu masalah yang sering muncul pada soal-soal
terapan di bagian akhir soal-soal suatu pokok bahasan. Namun jika diperhatikan
lebih cermat, kesulitan tersebut disebabkan kurangnya latihan menyelesaikan soal
yang memuat kalimat verbal yang cukup sederhana. Karena itu, siswa perlu
diberikan pengalaman belajar mengubah kalimat sederhana menjadi model
matematika, baik bentuk aljabar maupun kalimat terbuka.
3. Standar Komunikasi Matematis
3
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
Pengertian yang lebih luas tentang komunikasi matematis sebagaimana yang
dikemukakan Romberg dan Chair (Abdul Qohar, 46-47) yaitu: (1) menghubungkan
benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam ide matematika; (2) menjelaskan ide,
situasi dan relasi matematis secara lisan atau tulisan dengan benda nyata, gambar,
grafik, dan aljabar; (3) menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa dan simbol
matematika; (4) mendengarkan, berdiskusi dan menulis tentang matematika; (5)
membaca dengan pemahaman suatu presentasi matematika tertulis, membuat dugaan,
menyusun argumen, merumuskan definisi dan generalisasi; (6) menjelaskan dan
membuat pertanyaan tentang matematika yang telah dipelajari.
standar komunikasi pembelajaran matematika yang diharapkan mulai kelas
TK sampai kelas 12 berdasarkan NCTM (2000: 60, 268 dan 348) yaitu: (K1)
organize and consolidate their mathematical thinking though communication; (K2)
communicate their mathematical thinking coherently and clearly to peers, teachers,
and others; (K3) analyze and evaluate the mathematical thinking and strategies of
others; (K4) use the language of mathematicsto express mathematical ideas
precisely.
Adapun
Ali Mahmudi (2009:3) menjelaskan bahwa komunikasi matematika mencakup
komunikasi secara tertulis maupun lisan. Komunikasi secara tertulis dapat berupa
kata-kata, gambar, tabel dan sebagainya yang menggambarkan proses berpikir siswa.
Komunikasi tertulis dapat berupa uraian pemecahan masalah atau pembuktian
matematika yang menggambarkan kemampuan siswa dalam mengorganisasi
berbagai konsep untuk menyelesaikan masalah. Sedangkan komunikasi lisan dapat
berupa pengungkapan dan penjelasan verbal suatu gagasan matematika. Komunikasi
lisan dapat terjadi melalui interaksi antarsiswa misalnya dalam pembelajaran dengan
seting diskusi kelompok. Komunikasi matematika melibatkan tiga aspek, yaitu: (1)
menggunakan bahasa matematika secara akurat dan menggunakannya untuk
mengkomunikasikan berbagai aspek penyelesaian masalah; (2) menggunakan
representasi matematika secara tepat dan akurat untuk mengkomunikasikan
penyelesaian masalah; (3) mempresentasikan penyelesaian masalah yang
terorganisasi dan terstruktur dengan baik.
4. Pembahasan Materi Aljabar Dan Komunikasi Matematis
Upaya pengembangan kemampuan matematis siswa sesuai dengan standar
komunikasi pada pembelajaran materi aljabar bukanlah perkara mudah. Menurut
Jaworski (Marsigit, ... :3) mengajarkan matematika saja juga tidaklah mudah karena
fakta menunjukkan bahwa para siswa mengalami kesulitan dalam mempelajari
matematika. Karakteristik matematika dengan konsep dan ide abstrak dan aktivitas
guru dalam proses pembelajaran serta sikap siswa itu sendiri sangat mempengaruhi
proses dan hasil belajar matematika. Peran guru sangat penting dalam mendukung
komunikasi matematis siswa dalam pembelajaran matematika, khususnya dalam
diskusi. Pertama adalah mengenai cara membangun norma diskusi yang mendukung
pembelajaran untuk semua siswa. Kedua adalah tentang memilih dan menggunakan
bahasa matematika dalam komunikasi untuk penyelesaian tugas. Dan ketiga
mengenai cara membimbing diskusi kelas berdasarkan apa yang dipelajari dan
dihasilkan (NCTM, 2000: 268).
4
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
Langkah-langkah pembelajaran yang dapat dilakukan dan diharapkan mampu
memunculkan standar komunikasi matematis dalam pembelajaran materi aljabar: (1)
Guru menjelaskan tujuan, metode dan teknik pembelajaran yang akan berlangsung;
(2) Guru menyiapkan Lembar Kerja (LK) sesuai dengan materi; (3) Guru
membentuk dan membagi siswa menjadi beberapa kelompok kecil heterogen antara
(3-4 siswa) untuk berdiskusi menyelesaian LK tersebut dengan alokasi yang cukup;
(4) Guru memantau kerja dan diskusi kelompok tanpa harus mengintervensi hasil
jawaban; (5) Guru membimbing siswa yang mengalami kesulitan dengan memberi
pertanyaan-pertanyaan pancingan dan dapat melempar pertanyaan tersebut
antarsiswa dalam kelompok tersebut atau ke kelompok lainnya untuk memperoleh
informasi dan ide; (Langkah ini untuk memunculkan K1: Mengorganisasi &
mengkonsolidasi pemikiran matematika melalui komunikasi dan K4: Menggunakan
bahasa matematika untuk menyatakan ide dasar matematika); (6) Guru menunjuk
perwakilan kelompok untuk menyajikan hasil diskusinya secara tertulis maupun
menjelaskannya secara lisan kepada semua siswa; (7) Guru meminta kelompok lain
menanggapi dan menganalisis hasil diskusi kelompok tersebut secara tertulis dan
menjelaskannya secara lisan; (8) Guru memberi kesempatan kelompok untuk
menyajikan penyelasaian yang berbeda (jika ada) dan meminta menjelaskan kepada
yang lainnya; (9) Guru memberi penjelasan hasil diskusi LK dan memberi
kesempatan kepada setiap siswa pada masing-masing kelompok untuk menanyakan
hal yang kurang paham; (10) Bersama-sama siswa menyimpulkan hasil
pembelajaran. (Langkah ini untuk memunculkan K2: Mengkomunikasikan pemikiran
matematika secara koheren dan jelas pada teman dan guru dan K3: Menganalisis
dan mengevaluasi pemikiran matematika dan strategi yang lain); (11) Guru
memberikan tugas untuk pendalaman materi yang telah dipelajari.
awal dalam pembelajaran untuk mengenalkan bentuk aljabar dapat dilakukan
dengan menghubungan materi dengan berbagai permasalahan nyata (contextual
problems) yang sederhana dan sering dijumpai oleh siswa. Guru dapat memulai
dengan menggunakan media/benda konkrit dan mengembangkan dengan soal-soal
dan pertanyaan terbuka (open-ended question) dalam bentuk Lembar Kerja.
Langkah
“Danu membeli tiga permen Kopiko dengan empat apel. Setelah sampai di
rumah satu permen dan dua apel diberikan pada adiknya. Berapa sisa permen
dan apel yang dimiliki Danu?”
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
5
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
“Kita semua tentunya pernah sakit? Bila kita memeriksakan diri atau berobat ke
dokter biasanya dokter akan memberikan resep. Obat yang dibeli dengan resep
dokter pada botol Vitamin C tertulis sehari 3 × 1 dan Pada botol obat tersebut
tertulis sehari 3 × 2 sendok teh”. Apa arti “3 ×1” atau “3 × 2” itu?
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
Contoh soal cerita pertama tersebut mengambil konsep operasi pengurangan dengan
menggunakan model permen Kopiko dan buah apel, yang sebenarnya dapat diganti
dengan suatu bentuk variabel. Contoh soal kedua tersebut digunakan konsep operasi
perkalian dengan menggunakan model Vitamin C dan minum obat pada botol obat
dalam sehari digunakan untuk model situasi tersebut.
Dengan dua contoh soal cerita tersebut siswa diharapkan: (1) Mampu
mengomunikasiakan ide-ide dasar matematika yang ada dipikirannya secara tertulis,
meskipun dengan cara dan aturan yang belum (tentu) sesuai dengan konsep aljabar
dan matematis, misalnya siswa menuliskan jawabannya yaitu dua permen Kopiko dan
dua buah apel (2) Mampu menjelaskan secara lisan dengan bahasa sendiri kepada
teman-temannya. Hal ini akan semakin menguatkan pemahaman siswa itu sendiri
dan mampu mengembangkan kemampuan komunikasi matematisnya. Siswa
mungkin belum mampu menulis secara matematis, tetapi bisa jadi siswa mampu
menjelaskan dengan penalarannya sendiri dalam menjawab soal tersebut. Ketika ide
dijelaskan di depan kelas, siswa dapat keuntungan dari diskusi dan guru dapat
memantau pembelajaran siswa (Lampert, 1990) (NCTM. 2000: 61); (3) Adanya
solusi dan pandangan yang berbeda antarsiswa dalam penyelesaian permasalahan
tersebut, hal ini untuk membedakan tentang konsep aljabar tersebut. Jawaban yang
berbeda mungkin terjadi pada soal cerita kedua, (4) Munculnya proses matematisasi
horisontal (horizontal mathematication), yang lebih menekankan berdasarkan
pengalaman siswa dan proses berpikir siswa dalam menemukan penyelesaiannya (Sri
Wardhani, 2004: 7)
No
6
Gambar
Bentuk Aljabar
Keterangan
1.
2
2 apel
2.
x
1 kardus
3.
......
..........
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
4.
......
1 kardus
1 kaleng
5.
......
..........
tabel tersebut siswa mulai diperkenalkan konsep aljabar secara nyata tentang
bentuk aljabar dan unsur-unsur aljabar seperti variabel, koefisien, pangkat dan
konstanta dalam bentuk pemodelan sesuai konteksnya yang disebut proses
matematisasi vertikal (Vertical Mathematication) yang lebih menekankan tentang
cara penyelesaian masalah sesuai dengan kaidah matematika. (Sri Wardhani, 2004:
7).
Pada
Hal yang diharapkan pada tabel dengan model tersebut, yaitu: (1) siswa dapat
menyatakan dan mengilustrasikan ide matematika ke dalam bentuk model matematika,
dalam hal ini siswa mampu mengilustrasikan dan mengenali bentuk dan suku aljabar;
(2) siswa mampu mengilustrasikan ide matematika ke dalam bentuk model
matematika, dalam hal ini siswa mengenali, mendefinisikan berbagai unsur aljabar
dan mampu membedakan unsur-unsur tersebut. Langkah guru selanjutnya dapat
memperdalam pemahaman siswa secara formal tentang unsur-unsur aljabar
(koefisien, variabel, pangkat, dan konstanta) dan berbagai operasi bentuk aljabar
(penjumlahan, pengurangan, pembagian, perpangkatan) dengan penjelasan bentuk
baku dalam bentuk mengembangkan lembar kerja yang lebih komplek dan variatif
dengan penekanan kemampuan matematis melalui diskusi dengan tujuan siswa
mampu menuliskan idenya, menjelaskan dan memberi argumen secara matematis
kepada siswa lain serta mau mendengarkan ide atau pendapat siswa lain.
Daftar Pustaka
Qohar, A., Jurnal: Pengembangan Instrumen Komunikasi Matematis untuk Siswa SMP. LSM XIX;
Lomba dan Seminar Matematika Universitas Negeri Yogyakarta. ISBN: 978-979-17763-3-2
Al Krismanto. 2009. Modul Matematika SMP Program BERMUTU: Kapita Selekta Pembelajaran
Aljabar di Kelas VII SMP. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal
Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan
Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika.
Mahmudi, A., 2009. Jurnal: Komunikasi dalam Pembelajaran Matematika. Jurnal MIP MIPA
UNHULU. Volume 8, Nomor 1, Februari 2009, ISSN 1412-2318.
Hidayati, F., 2010. Skripsi: Kajian Kesulitan Belajar Siswa Kelas VII SMP Negeri 1 Yogyakarta
dalam Mempelajari Aljabar. Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Kemdikbud. 2014. Buku Guru: Matematika Kelas VIII, Kurikulum Tahun 2013. Jakarta: Pusat
Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Kemdikbud. 2014. Buku Siswa: Matematika Kelas VIII, Kurikulum Tahun 2013. Jakarta: Pusat
Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Hayati, L., 2013. Makalah: Pembelajaran Pendidikan Matematika Realistik Untuk Mengembangkan
Kemampuan Berpikir Aljabar Siswa. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013. ISBN : 978 – 979 – 16353 – 9 – 4
7
Indonesian Digital Journal of Mathematics and Education Volume 2 Edisi 2 2014
http://idealmathedu.p4tkmatematika.org ISSN 2407-7925
Marsigit. Makalah : Asumsi Dasar Karakteristik Matematika, Subyek Didik dan Belajar Matematika
Sebagai Dasar Pengembangan Kurikulum Matematika Berbasis Kompetensi di SMP. FMIPA
Universitas Negeri Yogyakarta
NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. NCTM.
Wardhani, S., 2004: Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Yogyakarta:
Departemen Pendidikan, Direktorat jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah. Kependidikan
Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (P4TK)
Matematika Yogyakarta.
_____________, 2008. Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk
Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional
Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pusat Pengembangan
dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (P4TK) Matematika.
8