Bilangan dan bangun Ruang

Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
1. ALJABAR
A. Pengertian Aljabar
Aljabar adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari masalh
bilangan dan operasi perhitungannya.
B. Bagian-bagian Aljabar
1. Bilangan
Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan symbol
atau lambang dan bukan pula lambing bilangan. Bilangan memberikan
keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan.
Contoh:
A= {a,b,c}
B= {*, ¤, ©}
Jenis dan Macam-macam bilangan:
 Bilangan asli adalah bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,…. jadi, himpunan
semua bilangan asli adalah: {1,2,3,4,5,6,..}. Bilangan 0, bukan
bilangan asli.
ada 4 golongan bilangan asli, yaitu:
- Bilangan genap: 2,4,6,8,…
- Bilangan ganjil: 1,3,5,7,…
- Bilangan prima: 2,3,5,7,11,…
- Bilangan komposit, misalnya, 4,6,8,9,10,…
Bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf A.
 Bilangan Berpangkat, jika ditulis 24, dibaca: dua pangkat 4.24 adalah
2x2x2x2. Ada empat macam pangkat suatu bilangan, yaitu:
a. Berpangkat bilangan bulat positif.
b. Berpangkat bilangan bulat negative.
c. Berpangkat bilangan pecahan
d. Berpangkat bilangan nol.
1
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
73 dibaca: tujuh berpangkat tiga, atau tujuh pangkat tiga. 7 disbut
bilangan pokok, 3 disebut pangkat.
Definisi.
ab adalah perkalian berulang yang mempunyai b factor dan tiap-tiap
faktornya sama dengan a.
Pangkat senama adalah bilangan berpangkat yang pangkatnya sama.
contoh: 53,73,83, dan seterusnya.
Pangkat sejenis adalah bilangan berpangkat yang factor-faktornya sama.
contoh: 52,53,54,…
A.
OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT
Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian bilangan berpangkat dan
sifat-sifatnya.
Bilangan
berpangkat
yaitu
suatu
bilangan
yang
dipangkatkan dengan bilangan lain. Pangkat dari suatu bilangan dapat
berupa bilangan bulat atau pecahan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat
operasi aljabar dari bilangan berpangkat dan penerapannya.
I. PANGKAT BILANGAN POSITIF
Biasanya penulisan bilangan yang cukup besar akan menjadi sederhana
apabila ditulis dalam bentuk perpangkatan, misalnya 2.000.000 dapat
ditulis sebagai 2 x 106.
DEFINISI
Untuk bilangan bulat positif n dan sembarang bilangan real a, bilangan an
(dibaca: a pangkat n) mempunyai arti:
a × a × a … × a (sebanyak n faktor yang sama)
Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut pangkat atau eksponen.
CONTOH
1.
23 = 2 × 2 × 2 = 8
2
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
Bilangan 2 dipangkatkan 3, artinya adalah bilangan 2 dikalikan dengan
dirinya sendiri sebanyak 3 kali.
2.
(-3)2 = (-3) × (-3) = 9
Bilangan -3 dipangkatkan 2, artinya adalah bilangan -3 dikalikan dengan
dirinya sendiri sebanyak 2 kali.
3.
32 = - (3 × 3) = - 9
4.
1 1 1 1 1
1
1
1
1
 6 
   x x x x 
2 2 2 2 2 2 x2 x2 x2 x2 2
32
2
5
Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif
1.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,
maka a m  n  a m x a n
2.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang
am
dengan a ≠ 0, maka a m  n 
an
3.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,
maka (a m ) n  a mxn
4.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,
maka berlaku :
a.
(axb) n  a n xb n
b.
n
an
a

,untuk b ≠ 0
 
b
bn
CONTOH
Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.
1.
2 4  3  2 4  23  16  8  128
3
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
2 4 16

2
3
8
2
2.
24  3 
3.
(32 ) 3  32x3  36  729
4.
(-3  4) 5  (-3)5  45  (-243)  1024  - 248.832
5.
4
2 4 16
2

  
3
34 81
II.PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL
Sebelumnya, telah dibahas mengenai perpangkatan dengan bilangan
bulat positif, yang artinya perkalian atas basis bilangan (sebagai faktor)
sebanyak
pangkat
yang
diketahui.
Bagaimana
suatu
bilangan
berpangkat bilangan negatif atau berpangkat nol, seperti 10 -2 atau 70 ?.
Gagasan-gagasan yang muncul dari sifat-sifat perpangkatan dengan
pangkat bilangan bulat positif dapat digunakan untuk mengungkapkan
arti pangkat bilangan negatif ataupun pangkat nol.
A.
Bilangan Berpangkat Nol
Untuk memahami arti bilangan a0, perhatikan sifat perpangkatan
a0 × am = a0+m = am
Jika am ≠ 0 maka haruslah a0 = 1, agar kesamaan a0 × am = am dipenuhi.
Selanjutnya dengan tambahan syarat untuk bilangan a, yaitu agar am ≠ 0
cukup dipilih a ≠0. Perhatikan definisi berikut ini.
DEFINISI
Untuk bilangan real a  0, a0 ( dibaca: a pangkat 0 ) didefinisikan
sebagai:
a0 = 1
4
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
CONTOH
1.
20 = 1
2.
(-3)0 = 1
3.
(a + b)0 = 1, apabila a + b ≠ 0
B.
Bilangan Berpangkat Negatif
Bagaimana kita mendefinisikan bilangan pangkat negatif ?. Mari kita lihat
kembali sifat perpangkatan
am  n 
am
an
Jika a ≠ 0 dan m = 0 , maka didapat :
a0
1

 a0  n  a n
n
n
a
a
Oleh karena itu dibuat definisi bilangan berpangkat negatif berikut ini.
DEFINISI
n
Untuk bilangan real a  0 , a , didefinisikan sebagai:
an 
1
an
CONTOH
1.
2 5 
2.
5
 
7
1
1

25 32
2

1

1
1
49


5 .5
25
25
7 7
49
5 7     
2

5
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
3.
 2 x 4 
1
1
1


4
4 4
 2 x  (2) x 16 x 4
Sekarang kita telah mengenal bilangan berpangkat bilangan bulat, baik
itu berpangkat bulat positif, bulat negatif, maupun berpangkat 0.
CONTOH
Sederhanakanlah :
1.
( 4-8 x 2-6 )-1( 5-2 x 25-1 )-2
2.
2 x3  2
2  5  3 2
Penyelesaian :
( 4-8 x 2-6 )-1( 5-2 x 25-1 )-2 = ( (22)-8 x 26)-1(5-2 x(52)-1)-2
1.
= ( 2-16 x 26 ) -1( 5-2 x5-2 )-2
= ( 2-22 ) -1( 5-4 )-2
= 2-22 x 5-8


 2 x3  2  2 5 x3 2
2 x3  2

 

5

2
 2  5  3  2  2 5 x3 2
2
3


6
2

2
3  25

2.

64
9  16
64

7

2. Variabel
Variabel adalah symbol atau notasi yang di beri tanda x atau lainnya
pada suatu bilangan.
Contoh : perhatikan bentuk x + 3, dengan x merupakan pengganti
pada bilangan bulat. Jika x dig anti -2 maka di peroleh -2 + 3 . Jika x
dig anti 0 maka di peroleh 0 + 3. Jadi x di sini merupakan variabel.
6
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
3. Konstanta
Artinya bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung peubah.
Contoh : dalam persamaan x + 3 = 5, 3 dan 5 di sebut konstanta
2y = 18, 18 adalah konstanta
4. Koofisien
Koofisien adalah factor yang berupa konstanta.
Contoh : Bentuk-bentuk aljabar seperti 2p2 artinya 2 x P x P. 2 P
adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2P2 adalah
2,p,p2 dan 2P.
2. GEOMETRI
A. Bangun Datar
Bangun datar ialah bangun yang di buat atau di lukis pada permukaan
datar. Bangun bersisi empat ini di sebut bangun datar karena seluruh
bangun ini terletak pada bidang datar. Ada bermacam-macam bangun
datar diantaranya:
No Bangun
.
datar
1.
Gambar bangun
Rumus luas bangun datar
datar
Persegi
7
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
2.
Persegi
panjang
3.
Lingkaran
4.
Trapesium
5.
Segitiga
6.
Belah
ketupat
7.
Layanglayang
8.
Jajargenjan
g
B. Bangun Ruang
Jika suatu bangun tidak seluruhnya terletak dalam bidang, maka
bangun tersebut di sebut bangun ruang. Bangun datar di bentuk oleh
daerah segi banyak yang di sebut sisi. Ada bermacam-macam bangun
ruang di antaranya :
8
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
Bangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupun
volume.
Bagian-bagian bangun ruang :
1. Sisi  bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun
ruang dengan ruangan di sekitarnya.
2. Rusuk  pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun
ruang.
3. Titik sudut  titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau
lebih.
KUBUS
 Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen)
 Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi.
 Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang.
 Kubus mempunyai 8 titik sudut.
 Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.
Rumus Luas Permukaan Kubus
L = 6xrxr
L
: luas permukaan
r
: panjang rusuk
Rumus Volume Kubus
V = rxrxr
V
: Volume
r
: panjang rusuk
9
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
BALOK
 Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjang
dimana 3 persegi panjang kongruen.
 Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang.
 Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.
 Balok mempunyai 12 rusuk.
 4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.
 Balok mempunyai 8 titik sudut.
 Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.
Rumus Luas Permukaan Balok
L = 2 x [ (p x l) + (p x t) + (l x t) ]
L
: luas permukaan
p
: panjang balok
l
: lebar balok
t
: tinggi balok
Rumus Volume Balok
V = pxlxt
V
: volume balok
p
: panjang balok
l
: lebar balok
t
: tinggi balok
10
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
PRISMA
 Prisma merupakan bangun ruang yang alas dan atasnya kongruen dan
sejajar.
 Rusuk prisma alas dan atas yang berhadapan sama dan sejajar.
 Rusuk tegak prisma sama dan sejajar.
 Rusuk tegak prisma tegak lurus dengan alas dan atas prisma.
 Rusuk tegak prisma disebut juga tinggi prisma.
 Prisma terdiri dari prisma segitiga dan prisma beraturan.
 Prisma segitiga mempunyai bidang alas dan bidang atas berupa
segitiga yang kongruen.
 Prisma segitiga mempunyai 5 sisi.
 Prisma segitiga mempunyai 9 rusuk
 Prisma segitiga mempunyai 6 titik sudut
 Jaring-jaring prisma segitiga berupa 2 segitiga, dan 3 persegi panjang.
Rumus Luas Permukaan Prisma Segitiga
L = Keliling ∆ x t x ( 2 x Luas ∆)
L
: luas permukaan
∆
: alas dan atas segitiga
t
: tinggi prisma
Volume Prisma Segitiga
V = Luas Alas x t
V
: Volume
Luas Alas
: Luas ∆ = ( ½ a x t )
t
: tinggi prisma
11
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
LIMAS
 Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak
dan dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga
yang akan bertemu pada satu titik.
 Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya.
 Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan.
 Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas.
 Macam-macam bentuk limas :
1. Limas segitiga
 alasnya berbentuk segitiga
2. Lima segiempat
 alasnya berbentuk segi empat
3. Limas segilima
 alasnya berbentuk segilima
4. Limas segienam
 alasnya berbentuk segienam
Nama Limas
Sisi
Rusuk
Titik Sudut
Limas Segitiga
4
6
4
Limas Segiempat
5
8
5
Limas Segilima
6
10
6
Limas Segienam
7
12
1
Rumus Luas Permukaan Limas
L = luas alas + luas selubung limas
Rumus Volume Limas
V = ⅓ ( luas alas x t )
V
: volume limas
t
: tinggi limas
12
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
KERUCUT
 Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya
berupa lingkaran.
 Kerucut mempunyai 2 sisi.
 Kerucut tidak mempunyai rusuk.
 Kerucut mempunyai 1 titik sudut.
 Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga.
Rumus Luas Kerucut
L = π r2 + π d x t
L
: luas permukaan
r
: jari-jari lingkaran alas
d
: diameter lingkaran alas
t
: tinggi kerucut
Volume Kerucut
V = ⅓ ( π r2 x t )
V
: volume
r
: jari-jari lingkaran alas
t
: tinggi kerucut
TABUNG
 Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan bidang
alas dan atas berupa lingkaran.
13
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
 Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik
pusat lingkaran atas.
 Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung.
 Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi
panjang.
Rumus Luas Permukaan Tabung
L = 2 x ( π r2 ) + π d x t
L
: luas permukaan
r
: jari-jari lingkaran alas
d
: diameter lingkaran alas
t
: tinggi tabung
Rumus Volume Tabung
V = ⅓ ( π r2 x t )
V
Volume
r
: jari-jari lingkaran alas atau atas
t
: tinggi tabung
BOLA
 Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar
mengelilingi garis tengahnya,.
 Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.
 Sisi bola disebut dinding bola.
 Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk.
 Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari.
 Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter.
Rumus Luas Permukaan Bola
14
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
L = 4 π r2
L
: luas permukaan
r
: jari-jari bola
Rumus Volume Bola
V = 4/3 π r3
V
: volume
r
: jari-jari bola
C. Bangun Berdimensi Tiga
Bangun ruang juga di sebut berdimensi tiga, karena mengandung tiga
unsur
yaitu, panjang, lebar dan tinggi. Bangun-bangun seperti kubus,
tabung, prisma, dan sebaginya adalah bangun-bangun tiga dimensi.
Bangun tiga dimensi yang permukaannya datar di sebut Polider. Sebagai
contoh lihat pembahasan bangun ruang.
D. Trigonometri
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri atas dua kata
yaitu, “trigonon” dan “ metron”. Trigonon artinya segitiga dan metron
artinya ukuran. Trigonometri merupakan suatu unit matematika yang
selalu berkaitan dengan besarnya ukuran sudut.
E. Satuan Luas
Satuan luas adalah lambing yang di gunakan dalam ukuran luas.
Satuan standar internasionalnya adalah :
Kilometer persegi atau Kilometer bujursangkar (Km2)
15
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
Km2
= 100 hektometer persegi
(hm2 )
hm2
= 100 dekameter persegi
(dam2)
dam2
= 100 meter persegi
( m2)
m2
= 100 desimeter persegi
( dm2)
dm2
= 100 sentimeter persegi
(cm2)
cm2
= 100 milimeter persegi
(mm2)
3. ARITMETIKA
Aritmetika adalah cabang ilmu matematika yang di sebut juga ilmu hitung.
Arimetika atau ilmu hitung di sini banyak di gunakan dalam masalah
keuangan atau dunia perdagangan.
A. Hitungan Keuangan
Pengertian Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung dan Rugi.
Harga penjualan adalah nilai uang suatu barang yang kita jual. Harga
pembelian adalah nilai uang suatu barang yang kita beli. Untung dan Rugi
adalah besarnya keuntungan atau kerugian terhadap selisih antara harga
pembelian dan harga penjualan.
Untung = harga penjualan di kurangi harga pembelian
Rugi
= harga pembelian dikurangi harga penjualan
Menghitung harga pembalian
Contoh : Seorang pedagang menjual sepeda seharga Rp. 1.000.000,dan ia memperoleh keuntungan dari penjualan Rp. 50.000,- Berapakah
harga pembelian sepeda tersebut?
Jawab : Harga penjualan = Rp. 1000.000,16
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
Keuntungan
= Rp.
50.000,-
Untung = harga penjualan – harga pembelian
Rp. 50.000,- = Rp. 1000.000,- harga pembelian
harga pembelian = Rp. 1000.000,- - Rp. 50.000,- = Rp. 9.050.000,-
Menghitung Harga Penjualan
Contoh : Seorang pedagang membeli sepeda dengan harga Rp.
170.000,-. Ia ingin memperoleh keuntungan sebesar Rp. 25.000,-. Dengan
harga berapakah sepeda itu akan di jual?
Jawab : Harga pembelian
= Rp. 170.000,-
Untung
= Rp. 25.000,-
Untung
= harga penjualan – harga pembelian
25.000
= harga penjualan – 170.000
harga penjulan = 17.000 + 25.000 = 195.000,- jadi harga
penjualan Rp. 195.000,-
Menghitung untung atau Rugi
Contoh : Seseorang membeli barang seharga Rp. 25.000,- Ia menjual
dengan harga Rp. 28.500,-. Untung atau rugikah orang tersebut?
Jawab :
Harga pembelian
= Rp. 25.000,-
Harga Penjualan
= Rp. 28.500,-
harga penjualan lebih besar dari pada harga pembelian, jadi orang
tersebut untung.
Untung
= harga penjualan – harga pembalian. 28.500 – 25.000 =
3.500,-
17
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
4. STATISTIKA
Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara ilmiah
untuk mengumpulkan , mengolah, menyajikan data, menganalisis data
dan mengambil kesimpulan.
A. POPULASI DAN SAMPEL
Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi sasaran
penelitian.
Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anak
yang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhan
anak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi.
Sedangkan sampel
adalah beberapa objek yang benar-benar kita
catat
yang mewakili seluruh objek itu. Jadi sampel
data-datanya
merupakan himpunan bagian dari populasi.
Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anak
yang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhan
anak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi. Sedangkan
himpunan dari beberapa jumlah anak yang akan kita catat umurnya di
sebut sampel.
B. RATA-RATA HITUNG ATAU MEAN, MEDIAN, DAN MODUS DARI
SUATU DATA
Nilai rata-rata hitung atau mean adalah jumlah semua ukuran di bagi
banyaknya ukuran.
Median adalah ukuran tengah dari data yang sejenis setelah data itu
di urutkan. Median di dapat dengan cara megurutkan data dari yang
paling kecil
ke yang paling besar, kemudian mengambil ukuran
tengah-tengahnya.
18
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
Modus adalah ukuran atau data yang paling sering muncul. Rata-rata,
median, modus merupakan ukuran pemusatan atau ukuran tendensi
sentral dari sebuah penelitian atau percobaan artinya di pakai sebagai
tolok ukur untuk mengadakan pemecahan masalah lebih lanjut.
Contoh mean, median dan modus.
1. Setiap caturwulan di adakan 5 kali ulangan harian untuk mata
pelajaran matematika. Nilai yang di peroleh Ika : 68, 78, 50, 84 dan
72. Berapakah nilai rata-rata Ika?
Jawab : Nilai rata-rata Ika=
2. Perhatikan data berikut!
I. 6,7,8,9,9
II. 3,4,5,6,7,8
Berapa median dari data di atas?
Jawab : median I adalah 8
median II adalah
3. Perhatikan data berikut !
7,5,4,5,5,6,7
Berapa modus dari data tersebut?
Jawab : 5 ( muncul 3 kali )
19
Bilangan dan bangun Ruang
Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang
DAFTAR PUSTAKA
Surbakty.BM, Matematika Bisnis dan Ekonomi, Kesaint Blanc Indah.
1990
Negoro.ST dkk, Ensiklopedia Matematika, Gahlia Indonesia. 1998
Santoso, Singgih. 2002. SPSS Statistik Multivariat. Jakarta : PT. Elex
Media
Kompitundo.
20