a. persamaan schrodinger pada gerak partikel bebas dalam ruang

ENERGI FERMI UNTUK ELEKTRON BEBAS DALAM TIGA DIMENSI
Seminar Fisika
Oleh :
Andhi Muttaqin
K2304014
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2008
A. PERSAMAAN SCHRODINGER PADA GERAK
PARTIKEL BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI
1.
Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Satu Dimensi
Pada sistem konservatif berlaku hukum
kekekalan energi, yaitu jumlah energi kinetik
ditambah energi potensial bersifat kekal: artinya
tidak bergantung pada waktu dan posisi.
Sebagaimana diketahui, hukum kekekalan energi
tersebut telah dapat dijelaskan baik oleh fisika
klasik. Dengan demikian, sebagai teori yang lebih
baru, persamaan Schodinger harus konsisten
dengan hukum kekekalan energi
p2/2m + Ep = Em
Persamaaan Schodinger merupakan persamaan
differensial yang akan menghasilkan penyelesaian yang
tepat terhadap masalah-masalah fisika kuantum.
Persamaan demikian ini haruslah memenuhi kriteria
sebagai berikut :
a. Konsisten dengan hokum kekekalan energi, Ek + Ep = Em … (2.1)
b. Persamaan ini bagaimanapun bentuknya, harus konsisten dengan
persamaan deBroglie. Oleh karena itu untuk partikel bebas dengan
momentum p dan panjang gelombang λ = h/p, maka energi kinetik
Ek = p2/2m =ћ2k2 /2m ……………………...…… (2.2)
c. Karena persamaan ini menunjukkan peluang untuk menemukan
partikel, maka persamaan ini haruslah berharga tunggal , tidak
boleh ada dua peluang yang berbeda untuk menemukan partikel
pada titik yang sama dalam ruang. Persamaan ini harus linier,
sehingga gelombang itu memiliki sifat superposisi.
Oleh karena itu dipostulatkan gelombang de Broglie untuk partikel
bebas juga mempunyai bentuk yang sama
ψ(x,t) = A sin (kx – ωt) ………………………………… (2.3)
Gelombang ini mempunyai panjang gelombang λ=2л/k dan
frekuensi v= ω/ 2л.
Untuk sementara diambil bahwa t = 0, sehingga ψ(x,t) menjadi ψ(x,t
= 0), sehinnga
ψ x = A sin kx …………………………….. (2.4)
Sebelumnya telah didapatkan bahwa Ek = ћ2k2 /2m dan satusatunya cara untuk mendapatkan bentuk k adalah dengan
mengambil turunan kedua dari y(x) = A sin kx terhadap x,
ψx = A sin kx
Dψ/dx = kA cos kx ……………………………………………… (2.5)
D2ψ/dx2 = - k2 A sin kx
(- ħ2/2m) d2ψ/dx2 + Ep ψ = Em ψ ………………………………… (2.6)
Persamaan inilah yang memenuhi ketiga kriteria tersebut dan inilah
persamaan Schodinger bebas waktu dalam satu dimensi
2. Persamaan Schrodinger Pada Gerak Partikel Bebas Dalam
Ruang Tiga Dimensi
Partikel yang berada didalam kotak potensial berukuran x, y dan z
seperti gambar (a). Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali,
Ep ~ . Sedangkan potensial didalam kotak sama dengan nol.
z
y
x
Gambar 1. Kotak potensial tiga dimensi
Untuk tiga dimensi persamaan Schodinger menjadi :
E = Ex + Ey + Ez
Dalam pembahasan Fisika Modern telah digetahui bahwa,
persamaan Schodinger untuk partikel bebas ( energi potensial Ep =
0 ) dalam tiga dimensi biasa ditulis sebagai berikut :
(- ħ2/2m)(d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2) ψ(r) = Em ψ(r)
karena Ek + Ep = Em sedangkan untuk nilai energi potensial Ep = 0,
maka Ek = Em sehingga persamaan Schodinger untuk partikel
bebas dalam tiga dimensi dapat ditulis
(- ħ2/2m)(d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2) ψ(r) = Ek ψ(r) …..…….………. (2.7)
B. PERSAMAAN ENERGI KINETIK ELEKTRON YANG
BERGERAK BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI
1. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Satu Dimensi
Bila suatu partikel bebas bergerak dalam suatu kotak satu dimensi
yang panjangnya L, maka partikel tersebut terkurung dalam kotak.
x=0
x=L
Gambar 2. Partikel bergerak bebas dalam arah satu dimensi
Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan
p2/2m + Ep = Em
2. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Tiga Dimensi
Partikel yang terperangkap dalam suatu kotak sama seperti suatu
gelombang tegak dalam suatu tali yang direntangkan antara
dinding-dinding kotak.
Karena itu panjang gelombang deBrolie dari partikel dalam kotak
ditentukan oleh lebar kotak L seperti gambar berikut.
L
Gambar 3. Partikel terbatas dalam kotak yang lebarnya L
Jika elektron-elektron itu diletakkan didalam sebuah kubus dengan
panjang sisi-sisinya sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah
gelombang berdiri yang mirip dengan penggabungan tiga fungsi
gelombang elektron dalam sebuah sumur potensial satu dimensi
yang kedalamanya tak hingga, yaitu sebagai berikut :
ψ(r) = A sin(лnxx/L)sin(лnyy/L)sin лnzz/L) …………………….. (2.8)
Dimana nx, ny, nz adalah bilangan bulat positif. Biasanya sangat
menyenangkan jika menggunakan sebuah fungsi gelombang yang
periodik, artinya :
ψ(x,y,z)= ψ(x+L,y,z)= ψ(x,y+L,z)= ψ(x,y,z+L) …………….. (2.9)
Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schodinger (2.7)
dan yang periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai
berikut :
ψ(r) = exp (ik.r) ……………………………………… (2.10)
Dapat diperhatikan bahwa komponen k.r adalah perkalian vektor
yang menghasilkan skalar (dot product). Nilai komponen-komponen
k pada persamaan (2.10) diatas adalah sebagai berikut :
kx,ky,kz = 0,±2л/L, ±4л/L, ±6л/L, ±8л/L, . …±2nл/L, ……… (2.11)
Selanjutnya akan dihitung energi elektron bebas dalam tiga dimensi.
Yaitu dengan cara mensubtitusikan persamaan (2.10) kedalam
persamaan (2.7), dengan cara sebagai berikut:
ψ(r) = exp (ik.r) disubtitusikan ke persamaan
- ħ2/2m(d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2) ψ(r) = Ek ψ(r)
sehingga akan didapatkan nilai Ek sama dengan
Ek= - ħ2/2m(kx2+ky2+kz2)
Ek = (- ħ2/2m)k2 …………………………………….. (2.14)
Persamaan (2.14) ini menyatakan energi kinetik
elektron bebas dalam ruang tiga dimensi. Ingat bahwa
energi potensial elektron bebas adalah nol sehingga
energi elektron sama dengan energi kinetiknya. Nilai k
ini sering dikaitkan dengan nilai panjang gelombang
elektron melalui persamaan berikut :
k = 2л/λ, dimana adalah panjang gelombang
disamping itu momentum sudut linear juga sering
dikaitkan dengan vektor gelombang k melalui
persamaan, P = ħk
C. PERSAMAAN ENERGI FERMI PADA ELEKTRON YANG
BERGERAK BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI
Tinjauan secara klasik ternyata hasilnya kurang cermat, sehingga
dalam pembahasan selanjutnya akan digunakan konsep secara
kuantum bahwa energi elektron itu terkuantisasi, dan dapat
ditunjukkan dalam bentuk level-level energi serta menurut Bohr
bahwa elektron dalam atom hanya dapat memancarkan kuanta
cahaya utuh, bukan potongan-potongan kecil. Jadi, elektron tidak
mungkin terpelintir kedalam, elektron hanya dapat melompat dari
satu orbit ke orbit lainnya tepat satu kuantum energi lebih dekat ke
inti. Seperti terlukis dalam gambar dibawah ini.
Ef
1 Ef
T=0K
T>0K
E
0
Ef
Gambar 4. Level energi
Gambar 5. Fungsi distribusi f(E) vs E
Gambar diatas (4) melukiskan level-level energi yang terkuantisasi.
Elektron-elektron didalam logam menempati level-level energi
tersebut. Menurut prinsip larangan Pauli, satu level energi dapat
terisi oleh dua elektron yang berspin, dan pengisian level energi,
dimulai dari yang terendah sampai yang tertinggi. Level energi
tertinggi yang dapat terisi disebut level energi Fermi.
Dalam keadaan dasar (T = 0 K ) semua energi yang terletak dibawah energi
Fermi dan energi Fermi itu sendiri akan ditempati elektron. Oleh karena itu,
vektor gelombang terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang
berada pada tingkat energi Fermi. Dengan demikian, jika dimisalkan vektor
gelombang Fermi dengan huruf kf, maka energi Fermi dapat dituliskan
sebagai berikut Ef = (- ħ2/2m)kf2………………………(2.15)
Dalam ruang k (ruang resiprok) kita dapat menggambarkan sebuah bola
dengan jari-jari kf yang menampung semua elektron didalamnya. Artinya
tidak ada elektron lain yang terletak diluar bola, karena vektor gelombang
terbesar pada keadaan dasar adalah kf. volume bola ini tentunya sama
dengan (4/3)лkf3 , dimana kf menyatakan jari-jari bola.
Bola tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :
kz
Ef
ky
kx
Gambar 6. Elektron terletak didalam bola yang berjari-jari kf,Dimana kf adalah
vektor gelombang Fermi
Dari persamaan (2.11) dapat diketahui bahwa nilai terkecil dari kx,ky
dan kz adalah 2л/L (bukan nol, karena jika k = 0 berarti tidak ada
elektron). Sehingga jika diambil elemen volume (volume terkecil
yang berbentuk kubus dengan sisi-sisi kx,ky dan kz dari bola tadi,
maka volumenya menjadi(2л/L)3.
kz
Ef
ky
kx
Gambar 7. Elemen volume kubus dengan sisi-sisinya (2) pada bola
dapat dilihat vektor gelombang Fermi adalah
bergantung pada konsentrasi elektron (n = N/V),
sehingga kf dapat dituliskan sebagai berikut :
kf = (3л2N/V)⅓ = (3л2n)⅓ ……………… (2.18)
Dengan demikian, energi Fermi dalam sistem
tiga dimensi dapat diperoleh dengan
mensubtitusikan persamaan (2.18) kedalam
persamaan (2.15) sehingga diperoleh sebagai
berikut :
Ef = (ħ2/2m)(3л2n)2/3………………………. (2.19)
Persamaan (2.19) diatas ini mengaitkan energi
Fermi dengan konsentrasi elektron n =N/V