Presentation vektor 2

VEKTOR
y
PENDAHULUAN
PETA KONSEP
Vektor di R2
a
Vektor di R3
Perkalian Skalar Dua Vektor
45O
o
Proyeksi Ortogonal suatu
Vektor pada Vektor Lain
x
Soal-Soal
PENDAHULUAN
Dalam ilmu pengetahuan kita sering menjumpai
besaran yang dapat dinyatakan suatu bilangan
disertai satuan yang dinamakan besaran skalar. Di
samping itu ada besaran yang selain dinyatakan
dengan suatu bilangan disertai satuan juga mempuai
arah yang dinamakan Vektor.
Vektor digunakan
sebagai alat bantu untuk menunjukan besar dan arah
suatu gaya.
PETA KONSEP
Vektor di R2
1. PENGERTIAN VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak pada bidang
datar. Vektor di R2 dapat digambarkan pada bidang
kartesius. Secara geometri, suatu vektor digambarkan
dengan anak panah yang mempunyai titik pangkal
dan titik ujung.
Vektor di R2
Panjang
menyatakan
anak
besar
panah
vektor,
sedangkan arah anak panah
adalah arah vektor.
Vektor pada gambar disamping merupakan vector
dengan panjang 3 satuan dan arahnya 30o dari
sumbu X positif.
Vektor di R2
A. NOTASI VEKTOR
Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ;
1. Menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal,
misalnya a, b ,c,….y, z
2. Menggunakan
huruf kecil dengan tanda anak
panah diatasnya, misalnya a , b ,c,…
3. Menggunakan huruf kecil dengan tanda garis di
bawahnya, misalnya a, b, c,…
Vektor di R2
B. VEKTOR POSSISI
Y
D
Diberikan suatu persegi panjang
C
OBCD
X
O
yang
terletak
pada
bidang cartesius dengan OB = 8
B
satuan panjang dan BC = 6 satuan panjang
seperti gambar di samping. Koordinat titik B
adalah (8,0) maka vektor posisi titik B terhadap
O adalah b = ‹8,0›. Koordinat titik C adalah
Vektor di R2
C(8,6) maka vektor posisi C terhadap O adalah c =
‹8,6›.
Koordinat titik D adalah D(0,6) sehingga
vektor posisi titik D terhadap O adalah d = ‹0,6›.
Dari hasil tersebut, yang dimaksud vektor posisi dari
suatu titik terhadap O adalah vektor yang titik
pangkalnya terletak pada pangkal koordinat O(0,0)
dan titik ujungnya adalah titik itu sendiri.
Vektor di R2
Dari uraian diatas tampak bahwa suatu vektor di R2
ditentukan oleh komponen mendatar dan komponen
vertikal. Komponen mendatar bernilai positif jika
arahnya dari kiri ke kanan dan negatif jika arahnya
dari kanan ke kiri. Selanjutnya, komponen vertikal
bernilai positif jika arah vektor dari bawah ke atas
dan negatif jika arahnya dari atas ke bawah
Vektor di R2
C. Panjang atau Besar Vektor
y
6
Perhatikan gambar disamping.
C
Dengan
X
O
8
teorema
menggunakan
Phytagoras
dapat
ditentukan panjang atau besar
vektor OC = √82+62 = √100 =
10
Vektor di R2
2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR
A. Kesamaan Dua Vektor
Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya
mempunyai besar dan arah yang sama. Misalnya
diberikan dua vektor u = ‹u1 , u2› dan v = ‹v1 , v2›.
Vektor u = v jika u1 = v1 dan u2 = v2
Vektor di R2
B. Penjumlahan Vektor
Misalkan vektor c adalah hasil
a
penjumlahan vektor a dengan
b
vektor b, ditulis c = a + b.
Vektor c dinamakan resultan dari vektor a dan
vektor b. Besar vektor c dapat ditentukan dengan
aturan segitiga dan aturan jajargenjang.
Vektor di R2
1). Aturan segitiga
Diketahui dua buah vektor
a
b
c=a+b
seperti gambar di atas. Untuk
mendapatkan vektor c = a + b, vektor
dipindahkan
sedemikian
rupa,
sehingga
b
titik
pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor a.
vektor c = a + b adalah suatu vektor
yang
pangkalnya merupakan titik pangkal vektor a dan
ujungnya merupakan titik ujung vektor b.
Vektor di R2
2). Aturan jajargenjang
Cara lain untuk mendapatkan
a
vektor c = a + b adalah dengan
c=a+b
b
memindahkan vektor b sedemikian rupa sehingga
titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal
vektor a. Vektor c = a + b yang kita cari adalah
vektor
yang titik pangkalnya dititik
pangkal
vektor a dan b serta berimpit dengan diagonal
jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b.
Vektor di R2
C. Vektor nol dan lawan suatu vektor
Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya
sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor
a
-a
nol dinotasikan dengan 0 =
‹0, 0›.
Lawan suatu
vektor a adalah suatu vektor yang apabila
dijumlahkan dengan vektor a menghasilkan vektor 0. Lawan
vektor a dapat ditulis –a yaitu suatu vektor yang panjangnya
sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan dengan
vektor a, seperti gambar disamping.
Vektor di R2
D. Sifat-sifat Penjumlahan
Jika a, b, dan c, adalah vektor-vektor sembarang,
pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat
1. Komutatif a + b = b + a
2. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)
3. Terdapat unsur identitas, yaitu vektor o sehingga
a+0=0+a=a
4. Setiap vektor mempunyai invers. Invers dari a adalah
–a sehingga a +(-a)= -a + a = 0
Vektor di R2
E. Pengurangan Vektor
Pengurangan
vektor
dapat
dilakukan
dengan
menggunakan pengertian invers jumlah suatu
vektor.
a – b = a + (-b)
-b
a
b
(a)
a-b
a
(b)
Misalkan diketahui vektor a dan b pada gambar (a).
Vektor a – b diperoleh dengan cara menjumlahkan
vektor a dengan lawan vektor b, seperti gambar (b)
Vektor di R2
CONTOH SOAL
Tentukan AB, CD, dan EF pada gambar disamping !
Penyelesaian ;
Komponen mendatar 3
B
Komponen vertikal 2
Vektor AB = (3,2)
A
C
F
D
Dengan cara yang sama,
diperoleh vektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1)
E
Vektor di R2
3. Perkalian Vektor dengan Skalar
A. Pengertian Perkalian Vektor dengn Skalar
Jika a adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real
(skalar), perkalian antara vektor a dengan skalar k
ditulis sebagai ka, yaitu suatu vektor yang panjangnya
sama dengan |k| kali panjang vektor a dengan arah ;
a. Untuk k>0 maka ka searah dengan vektor a.
b. Untuk k<0 maka ka berlawanan arah dengan vektor
a. Jika a = (a1, a2) maka ka = (ka1, ka2)
Vektor di R2
B. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar
Misalkan
vektor
a
dan
b
adalah
vektor
sembarang, sedangkan k dan l adalah sembarang
skalar. Perkalian vektor dengan skalar memenuhi
sifat-sifat berikut ;
1. |ka|=|k||a|
4. (kl)a = k (la) = a (kl)
2. k(-a)=-ka
5. (k + l)a = ka + la
3. ka = ak
6. K(a + b) = ka + kb
Vektor di R2
CONTOH SOAL
Diketahui segitiga ABC dengan ruas0ruas garis berarah AC dan
AB berturut-turut mewakili vektor c dan b. Ruas garis PQ
menghubungkan titik P dan Q, dengan P adalah titik tengah AC
dan Q adalah titik tengh BC. Nyatakan QC dalam b dan c.
Penyelesaian ;
C
Perhatika QC = ½ BC
P
BC = AC – AB
=c–b
Dengan demikian QC = ½ (c – b)
A
Q
B
Vektor di R2
4. Perkalian Skalar Dua Vektor
A. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor
Perkalian
vektor
dengan
vektor
dinamakan
perkalian skalar dua vektor atau perkalian titik
antara dua vektor (dot product). Misalkan diberikan
sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil
kali dari vektor a dan b ditulis a . b, didefinisikan
sebagai berikut ;
a . b = |a||b| cos θ
Vektor di R2
Dengan θ sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan
b. Hasil kali titik dari vektor a dan b merupakan
suatu skalar.
Jika a = (a1 , a2) dan b = (b1 , b2) maka hasil kali
titik dari vektor a dan b adalah
a . b = a1b1 + a2b2
Vektor di R2
B. sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
Jika u, v dan w adalah vektor-vektor sembarang
dan k suatu skalar , berlaku sifat-sifat sebagai
berikut ;
1. u . v = v . u
2. u . (v + w) = u . v + u . w
3. k (u . v) = (ku) . v = u .(kv)
4. 0 . v = v . 0 = 0
5. u . u = |u|2
Vektor di R2
C. Teorema Ortogonalitas
Dari rumus dot product, diperoleh teorema
ortogonalitas
yaitu
dua
vektor
bukan
nol
dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan
hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu
hasilnya sama dengan nol. Jadi vektor u dan v
tegak lurus jika dan hanya jika ;
u.v=0
Vektor di R2
CONTOH SOAL
Tentukan nilai a agar vektor u =(8,a) dan vektor
v =(3,4) saling tegak lurus .
Penyelesaian ;
Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titik kedua
vektor itu sama dengan nol, sehingga u . v = 0
24 – 4a = 0
4a = 24 ↔ a = 6
Vektor di R2
5. Vektor Basis di R2
Misalkan terdapat vektor î =(1,0) dan ĵ = (o,1).
Dengan memandang komponen-komponen pada
vektor tersebut tampak bahwa kedua vektor itu
saling tegak lurus dan besar kedua vektor tersebut
adalah |î| =|ĵ| = 1. setiap vektor u = (u1, u2) dapat
dinyatakan secara tunggal oleh î dan ĵ, yaitu u=
(u1,u2)= u1(1,0)+ u2(0,1)= u1î + u2ĵ
Vektor di R2
Dalam hal ini, vektor î dan ĵ dinamakan vektor basis
di R2 pada arah sumbu X positif dan sumbu Y
positif. Karena î dan ĵ mempunyai panjang satu
satuan, vektor î dan ĵ berturut-turut disbut vektor
satuan pada arah sumbu X positif dan sumbu Y
positif.
Vektor di R2
Sebagai
y
vektor
yang
mewakili ruas garis berarah OP pada
p
x
o
contoh,
gambar disamping dapat dinyatakan
sebagai OP = (3,2) atau OP = 3î + 2ĵ
6. Vektor Satuan Di R2
Dalam subbab sebelumnya kita telah mengenal
vektor-vektor yang searah sumbu X positif dan
sumbu Y negatif, yaitu vektor satuan î dan ĵ.
Vektor di R2
î = (1,0) ; ĵ = (0,1)
Selanjutnya, kita juga dapat menentukan vektor
satuan yang searah dengan vektor
vektor nol. Vektor
a yang bukan
satuan yang searah dengan a
adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan dan
arahnya searah dengan vektor a. jika a =(x, y), vektor
satuan dari a, ditulis â, adalah sebagai berikut.
â= a =
1
|a| √x2 + y2
(x,y)
Vektor di R2
CONTOH SOAL
Tentukan vektor satuan dari vektor a = (-3,4)
Penyelesaian ;
Panjang vektor a adalah |a| = √(-3)2 + 42 = √25 = 5
Vektor satuan dari a adalah â = (-3/5 , 4/5)
Vektor â panjangnya 1 satuan. Hal ini dapat kita
tunjukkan dengaan cara berikut ;
|â| = √(-3/5)2 + (4/5)2 = 1
Vektor di R3
Jika vektor pada bidang dikatakan vektor d R2, vektor
pada ruang dikatakan vektor di R3.
1. Sistem Koordinat Ruang
Vektor-vektor dalam ruang dapat digambarkan dalam
sistem koordinat ruang yang terdiri dari sumbu X,
sumbu Y dan sumbu Z yang saling berpotongan di
titik pangkal O
Vektor di R3
Sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z
positif ditetapkan dengan kaidah tangan kanan.
Ketiga sumbu itu membentuk tiga bidang yaitu
sumbu X dengan sumbu Y membentuk bidang XY,
sumbu X dengan sumbu Z membentuk sumbu XZ,
serta sumbu Y dengan sumbu Z membentuk sumbu
YZ.
Vektor di R3
2. Penulisan Vektor di R3
z
Perhatiikan
E
2 H
G
D
4
C
O
F
3
A
x
B
Koordinat
y
gambar
titik
disamping.
A(3,0,0)
vektor
posisinya terhadap titik O adalah
a = OA = (3,0,0).dengan cara
yang sama diperoleh
b = OB = (3,4,0); e = OE = (3,0,2); g = OG = (0,4,2).
Vektor di R3
3. Vektor Basis Di R3
Vektor basis pada sumbu X dinyatakan dengan î,
vektor basis pada sumbu Y dinyatakan dengan ĵ, dan
vektor basis pada sumbu Z dinyatakan dengan k.
dengan demikian, setiap vektor pada ruang dapat
dinyatakan dalam bentuk v = v1î +v2ĵ +v3k dengan v1,
v2, v3 adalah komponen vektor dari vektor v.
Vektor di R3
z
2 H
G
D
4
C
O
E
F
y
yang mewakili garis berarah OF
dapat dinyatakan OF = (3, 4, 2)
3
A
x
Pada gamba disamping, vektor
B
Atau OF = 3î + 4ĵ + 2k
4. Operasi Aljabar pada Vektor di R3
A. Kesamaan Vektor
Jika a = b maka a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3
Vektor di R3
B. Penjumlahan Vektor
a + b = (a1 , a2 , a3) + (b1 , b2 ,b3) = (a1+b1 , a2+b2 ,
a3+b3)
Pada penjumlahan terdapat ;
1. Unsur identitas, yaitu vektor O = (0,0,0)
2. Lawan dari vektor a adalah –a = (-a1, -a2, -a3)
C. Pengurangan Vektor
a – b = (a1, a2, a3) – (b1, b2, b3) = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)
Vektor di R3
D. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika c = ka maka c = k (a1, a2, a3) = (ka1, ka2, ka3)
5. Pembagian Ruas Garis
A. Pengertian Perbandingan Ruas Garis
Misalkan titik T terletak pada ruas garis AB
sehingga membagi ruas garis tersebut dengan
perbandingan AT : TB = m : n.
Vektor di R3
Tanda positif atau negatif m dan n menentukan letak
titik T pada ruas garis AB dengan pedoman ;
1. Jika m dan n bertanda sama (keduanya bertanda
positif atau negatif) maka titik T terletak di antara
titik A dan B (titik T membagi ruas garis AB).
2. Jika m dan n berlawanan tanda (m positif dan n
negatif atau sebaliknya) maka titik T terletak di
luar garis AB.
Vektor di R3
5
4
1
A
7
-2
T
(a)
B
A
B
(b)
-2
T
T
A
(c)
B
Pada gambar diatas, titik T membagi ruas garis AB
dengan perbandingan sebagai berikut ;
1. Pada gambar (a), titik T membagi ruas garis AB
didalam, dengan perbandingan AT : TB = 1 : 4
2. Pada gambar (b), titik T membagi ruas garis AB di
luar, dengan perbandingan AT : TB = 5 : -2
Vektor di R3
3. Pada gambar (c), titik T membagi ruas garis AB di
luar, dengan perbandingan AT : TB = -2 : 7
B. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk
Vektor
Misalkan ruas garis AB terletak pada bidang
sehingga vektor posisi titik A dan B berturut-turut
adalah a dan b. Titik T terletak pada ruas garis AB
dengan perbandingan AT : TB = m : n.
Vektor di R3
A
Jika t adalah vektor posisi titik
T, vektor t
dapat ditentukan
a
m
t
T
n
B
b
dengan rumus berikut ;
O
t = na + mb , m + n ≠ 0
n+m
Rumus ini juga berlaku apabila titik T membagi ruas
garis AB di luar sehingga m dan n berlawanan tanda.
Vektor di R3
C. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk
Koordinat
Misalkan titik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB). Titik T
(xT, yT, zT) membagi ruas garis AB, dengan
perbandingan AT : TB = m : n. Koordinat titik T
dapat ditentukan dengan rumus berikut ;
Vektor di R3
6. Panjang Vektor dalam Ruang
a3
Misalkan vektor a terletak
a
didalam ruang sehingga a
a2
= a1î + a2ĵ + a3k tampak
pada gambar disamping.
z
a1
x
Panjang vektor a dapat ditentukan dengan rumus ;
|a| = √a12 + a22 + a32
y
Vektor di R3
7. Jarak Antara Dua Titik di R3
Misalkan titik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB).
AB = b – a = (xA, yA, zA)- (xB, yB, zB)
= (xA- xB, yA- yB, zA- zB)
Dengan demikian , panjang vektor AB adalah ;
|AB|=√(xA- xB)2 + (yA- yB)2 + (zA- zB)2
Vektor di R3
8. Vektor Satuan di R3
Vektor satuan dari sembarang vektor a yang bukan
vektor nol di R3, yaitu vektor yang searah dengan
vektor dan a besarnya 1 satuan. Jika vektor
a=(x,y,z), vektor satuan dari a dapat ditentukan
dengan rumus ;
â= a =
|a|
1
√x2 + y2 + z2
(x,y,z)
Vektor di R3
CONTOH SOAL
Tentukan vektor Satuan a = (-2, 6, -3)
Penyelesaian ;
|a| =√(-2)2 + 62 + (-3)2
â = 1/7 (-2,6,-3)
= (-2/7 , 6/7 , -3/7)
=7
Perkalian Skalar Dua Vektor
1. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor
Misalkan diberikan sembarang vektor
bukan nol
yaitu a dan b. hasil kali titik vektor a dan b, ditulis a .
b didefinisikan sebaai berikut ;
a . b = |a||b| cos θ
Jika a =(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3) maka hasil kali
titik vektor a dan b adalah a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Perkalian Skalar Dua Vektor
2. Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
Jika a, b dan c adalah sembarang vektor dalam ruang,
sedangkan k adalah sembarang bilangan real, berlaku sifatsifat ;
a. Komutatif, a . b = b . a
b. Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan,
a . (b + c) = a . b + a . c
a . (b – c) = a . b – a . c
c.
k(a . b) = ka . b = a . kb
d. a . a = |a|2 ≥ 0
Perkalian Skalar Dua Vektor
3. Sudut Antara Dua Vektor
Misalkan a dan b adalah vektor di R2 dan θ adalah
sudut yang dibentuk oleh a dan b. hasil kali skalar
kedua vektor ini adalah a . b = |a||b|cos θ. Dari
rumus ini diperoleh rumus sebagai berikut ;
Cos θ =
a.b
|a||b|
Perkalian Skalar Dua Vektor
Dalam bentuk vektor, rumus diatas sama dengan di
R2. hanya yang berbeda adalah bentuk aljabar.
Jika a =(a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) maka berlaku
rumus ;
Cos θ =
a1b1 + a2b2 + a3b3
√a12 + a22 + a32 x √b12 + b22 + b32
Perkalian Skalar Dua Vektor
CONTOH SOAL
Jika u dan v masing-masing adalah vektor satuan dan
sudut yang dibentuk antara 60o, tentukan nilai
berikut ;
a. u . v
b. u . (u + v)
Penyelesaian ;
a. u . v = |u||v| cos θ = 1.1 cos 60o =1/2
b. u . (u + v) = u . u + u . v
= 1 + ½ = 3/2
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
Dalam geometri bidang, proyeksi
A
ortogonal suatu ruas garis pada
ruas gari lain tampak seperti
B
O
C
gambar disamping.
Proyeksi titik O dan titik A pada ruas garis OB
masing-masing adalah titik O sendiri dan tiitik C. oleh
karena itu, proyeksi ortogonal ruas garis OA pada
ruas garis OB adalah ruas garis OC.
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
1. Panjang Proyeksi Ortogonal
A
Pada gambar disamping, ruas
garis berarah OA mewakili vektor
a
θ
O
c
B
C
b
a, ruas garis berarah OB mewakili vektor b , dan
ruas garis berarah OC mewakili vektor c. sudut yang
dibentuk oleh vektor a dan vektor
b adalah θ.
Proyeksi ortogonal OA pada OB adalah OC.
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
Dari gambar diatas, tampak bahwa|c|=|a|cos θ,
sedangkan berdasarkan rumus antara dua vektor,
kita ketahui ; Cos θ = a . b
|a||b|
Oleh karena itu, |c|=|a| a . b = a . b
|a||b|
|b|
Nilai |c| ini adalah panjang proyeksi dari vektor a
pada vektor b. karena a . b mungkin bernilai negatif,
sedangkan |c| tidak boleh bernilai negatif,
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
maka pada ruas kanan rumus panjang proyeksi
ortogonal vektor a pada vektor b di atas diberi tanda
mutlak . Oleh karena itu , kita dapat rumuskan
sebagai berikut.
Jika |c| adalah panjang proyeksi ortogonal dari vektor
a pada vektor b maka berlaku rumus ;
|c| =
a.b
|b|
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
2. Proyeksi Vektor Ortogonal
A
Perhatikan gambar disamping,
ruas garis berarah OC mewakili
a
θ
O
c
B
C
b
vektor c sehingga c merupakan proyeksi vektor a
pada b. vektor c dinamakan proyeksi ortogonal dari a
pada b. vektor c merupakan hasil kali |c| dengan
vektor satuannya, yaitu vektor yang panjangnya 1
satuan dan searah dengan c. Vektor satuan dari c
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
dinotasikan
ĉ. Karena c searah dengan b,
vektorsatuan dari c sama dengan vektor satuan dari
b. karena ĉ = b maka diperoleh rumus ;
c = |c|b
a.b b
c=
|b| |b|
Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut,
Jika c adalah vektor proyeksi dari vektor
vektor b maka berlaku rumus ;
a pada
c = a . b2 b
|b|
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada
Vektor Lain
CONTOH SOAL
Diketahui a = (2, 3, -1) dan b (3, -4, 5)
a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b !
b. Proyeksi a pada b !
Penyelesaian ;
a. |u|=
b.
Soal-Soal
• Soal 1
•Soal 6
• Soal 2
• Soal 7
• Soal 3
• Soal 8
• Soal 4
• Soal 9
• Soal 5
• Soal 10
Soal-Soal
1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB
adalah ?
a. (2, 7, 4)
d. (2, -7, -4)
b. (-2, -7, 4)
e. (2, 7, -4)
c. (-2, -4, -7)
2. Jika v = 2î + 4ĵ -√5k, panjang vektor tersebut adalah ?
a. 5
c. 7
b. 6
d. 4√5
e. 4
Soal-Soal
3. Agar vektor v = pî - 2ĵ + k dan u = 2pî + pĵ – 4k
saling tegak lurus, nilai p adalah ?
a. p= 1 atau p= 2
d. p= -1 atau p= -2
b. p=-2 atau p= 1
e. p= -1 atau p= 2
c. p= 1 atau p= -1
4. Jika P(3, -1, 2), Q(2, 4, 0) dan R(1, 3, -2) maka nilai
PQ . QR =……
a. 12
c. 14
b.13
d. 16
e. 0
Soal-Soal
5. Diketahi titik A(1, 0, 2) dan B(4, 2, -3). Titik P terletak
pada AB sedemikian rupa sehingga AP : PB = 2 : 3.
Jika p vektor posisi titik P maka p =………
a. (9/5 , 4/5 , -12/5)
d. (11/3, 4/3 , -4)
b. (11/5 , 4/5 , -12/5 )
e. (2 , -6 , 11/2)
c. (11/7 , 4/7 , -12/7)
Soal-Soal
6. Panjang dari proyeksi vektor u=-√3 î + 3ĵ +k pada
vektor v= √3 î + pĵ +3k adalah 3/2. nilai p = ………..
a. 2 atau -2
c. -1 atau 1 e. 2 atau 3
b. 2 atau -1
d. 2 atau 1
7. Titik A(3, 2, -1), B(1, -2, 1) dan C(7, p-1, -5) segaris
untuk nilai p =…………
a. 13
c. 5
b. 11
d. -11
e. -13
Soal-Soal
8. Diketahui vektor a =(3, -2, 4) dan b=(-5, 4, -1).
Vektor c untuk c = 2(3a-b) adalah….
a. (-22, 20, 16) c. (-22, 10, 18)
b. (-11, 20, 8)
e. (28, -20, 26)
d. (22, -10, -16)
9. Vektor PQ = (2, 0, 1) dan vektor PR=(1, 1, 2). Jika
PS=1/2PQ maka vektor RS=……………
a. (0, -1, -3/2)
c. (3/2, 1, 0) e.(1, -1, 1)
b. (-1, 0, -3/2)
d. (1/2, 0, 1)
Soal-Soal
10. Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60o
,|a|=4, |b|= 3 maka a . (a – b)=……….
a. 2
d. 8
b. 4
e. 10
c. 6
SELAMAT
BELAJAR
SOAL-SOAL
SOAL-SOAL