Title Goes Here - Binus Repository

Matakuliah
Tahun
: K0594/ KALKULUS II
: Tahun 2008
Pertemuan 13
VEKTOR Dalam R3
Pengertian Ruang Vektor Rn
7.1 Definisi
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka
tupel -n- terorder (ordered-n-tuple) adalah sebuah
urutan n bilangan riil (a1,a2,…,an). Himpunan dari
semua tupel -n-terorder dinamakan ruang -n dan
dinyatakan dengan Rn, dan ditulis sebagai
Rn  {(a1,a2 ,,an )/a;R,i  1,2,...,n}
Contoh
1) (1,2,4,0) R4
2) (i,1,2,3)  R 4
3) (1,2,3)  R 4
7.2
1)
2)
Ruang Vektor Umum
Misalkan V sebarang himpunan sesuatu dan
didefinisikan dua operasi berikut:
 
Jika u , v  v maka, (u + v)  V (operasi
penjumlahan)
Jika k sebarang skalar riil dan u V, maka ku  V
(operasi perkalian dengan skalar)
Karena V memenuhi definisi diatas maka V merupakan
ruang vektor umum
Sifat-sifat Ruang Vektor Umum
   
u v  v u
u   (v  w)  (u   v)  w
Ada sebuah 0 (biasa) = V sehingga 0 + v = v + 0 = v,
untuk semua v V



u  ( u )  ( u )  u  0
k (u  v )  ku  kv

u ( k  I )u  ku  lu

u k (lu )  ( kl)u
u 1.u  u
7.3
Ruang Bagian
Suatu ruang vektor dapat saja terkandung diruang
vektor yang lebih besar. Sebagai contoh garis dan
bidang yang melalui titik asal adalah ruang vektor
yang terkandung dalam ruang vektor R3
Definisi
Himpunan bagian W dari sebuah ruang vektor V,
dinamakan ruang bagian dari V, jika W itu sendiri adalah
ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian
dengan skalar yang didefinisikan pada V
TEOREMA
Jika W adalah himpunan bagian dari ruang vektor V,
maka W adalah ruang bagian dari V jika dan hanya jika
dipenuhi:
1) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v
terletak di W
2) Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah
sembarang vektor pada w, maka ku berada di W
Setiap ruang vektor V mempunyai paling sedikit dua
ruang bagian yaitu V sendiri dan ruang bagian nol
(zerosubspace)
Contoh
0
Ruang vektor W  
c

b
b, c  R 

0

Merupakan ruang bagian dari ruang vektor
 a b 

V  
a, b, c, d  R 

 c d 

Contoh
Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat positif dan W
terdiri dari semua fungsi polinomial yang mempunyai
derajat ≤ n; jadi W adalah himpunan semua fungsi yang
dapat dinyatakan dalam bentuk
P(X) = a0X0 +a1X +…+ anXn
adalah bilangan-bilangan riil
(*)1
maka a0, a1,…an
Penyelesaian
Untuk menunjukan hal diatas, misalkan p dan q merupakan
polinom-polinom
p(X) = a0X0 +a1X +…+ anXn
dan
q(X) = b0X0 +b1X -…- bnXn
maka
(p+q) x = p(x) + q(x)
= (a0 | b0)x0 (a1 | b1)x |…| (an
bn)xn
Juga (kp)(x) = kp(x) = (ka0)x0 + (ka1)x+…+ (kan) xn
Mempunya bentuk yang diberikan dalam (*). Jadi p+q dan
kp berada di W berarti W adalah ruang bagian dari
himpunan semua fungsi bernilai riil, yang diberi simbol pn
Ruang Baris dan Ruang Kolom
Definisi
 a11
a
 21
Tinjaulah matriks m x n, A - 
:

am1
Vektor-vektor
a12
a12
:
an 2
a1n 
... a2 n 
:::
: 

... amn 
...
r1 = (a11,a12,…a1n)
r2 = (a21,a22,…a2n)
:
:
rm = (am1,am2,…amn)
Yang dibentuk oleh baris-baris matriks A dinamakan
vektor-vektor baris dari A, dan vektor-vektor
Yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks A, dinamakan
vektor-vektor kolom dari A
Sub ruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris
dinamakan ruang baris (row space) dari sub ruang dari Rm
yang direntang oleh vektor-vektor kolom dinamakan ruang
kolom (column space) dari A
Contoh
Misalkan
2 1 0
A

3

1
4


Vektor-vektor baris dari A adalah r1 = (2,1,0) dan r2 = (3,-1,4)
vektor-vektor kolom dari A adalah
 2
1
0 
c1   , c2    dan c3   
 3
 1
 4
Teorema
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah
matriks.
Teorema ini menunjukan bahwa ruang baris sebuah matriks A
tidak berubah dengan mereduksi matriks tersebut menjadi
bentuk eselon baris. Akan tetapi, vektor-vektor baris yang tak nol
dari sebuah matriks didalam bentuk eselon baris selalu bebas
linier sehingga vektor-vektor baris yang tak nol ini membentuk
sebuah basis untuk ruang baris tersebut.
Teorema
Vektor-vektor baris yang tak nol didalam sebuah bentuk eselon
baris dari sebuah matriks A, membentuk sebuah basis untuk
ruang baris dari A.
Contoh
Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektorvektor:
V1= (1,-2,0,0,3)
V2= (2,-5,-3,-2,6),
V3= (0,5,15,10,0)
V4= (2,6,18,8,6)
Pemecahan:
Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris
dari matriks
0
1  2 0
2  5  3  2

0 5 15 10

2 6 18 8
3
6
0

6
Dengan memproses matriks ini menjadi bentuk eselon baris
diperoleh
1  2 0 0 3
0 1 3 2 0 


0 0 1 1 0 


0
0
0
0
0


Vektor-vektor baris yang tak nol didalam matriks ini adalah
W1=(1,-2,0,0,3), W2=(0,1,3,2,0), W3=(0,0,1,1,0)
Vektor-vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris
tersebut dan sebagai konsekuensinya akan membentuk sebuah
basis untuk ruang yang direntang oleh V1, V2, V3, V4
Kombinasi Linier
Definisi Kombinasi Linier
Suatu vektor W dinamakan kombinasi linier dari vektorvektor V1, V2,…, Vr, jika vektor tersebut dapat ditulis dalam
bentuk w=k1v1+k2v2+…+kr vr, dengan ketentuan k1k,… kr
merupakan skalar
Penyelesaian:
Agar W merupakan kombinasi linier u dan v, maka harus
ada skalar k1 dan k2 sedemikian hingga w=k1u + k2 v, yaitu
(9,2,7)= k1(1,2,-1)+k1(6,4,2) atau
(9,2,7)= (k1+6k2,2k1+4k2,-kl+2k2)
Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian
menghasilkan:
k1 +6k2 = 9
2k1 + 4k2 = 2
k1 + 2k2 = 7
Sistem ini menghasilkan k1-3, k2 = 2, sehingga w =-3u + 2v
Demikian juga untuk w’ yang merupakan kombinasi linier u
dan v harus ada skalar k1 dan k2 sehingga w”= k1u + k2u,
yaitu: (4,-18) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)
Atau
(4,-18) = (k1+ 6 k2, 2k1+4 k2,- k1+ 2 k3
Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian
menghasilkan:
k1 + 6 k2 = 4
2 k1 + 4 k2 = -1
K1 + 2 k2 = 8
Sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan), sehingga
tidak ada skalar-skalar seperti itu. Sebagai konsekuensinya
z bukanlah kombinasi linier u dan v
PEMBANGUNAN
Definisi
Jika V1,V2…,Vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V
dan masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier V1,V2…,Vr maka kita mengatakan
bahwa vektor-vektor ini membangun V.
Contoh:
Tentukan apakah v1 =(1,2,1), v2 =(2,5,0) dan v3 =(3,3,8)
membangun di R3
Penyelesaian:
Untuk menyelidiki, vektor-vektor diatas membangun diR3
Maka harus diselidiki untuk sembarang vektor b = (b1,b2,b3)
pada R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ketiga
vektor diatas sehingga diperoleh
(b1,b2,b3)=k1(1,2,1)+k2(2,5,0)+k3(3,3,8)
atau
(b1,b2,b3)=(k1+2k2+3k3,2k1+5k2+3k3,k1+8k3)
Dalam bentuk SPL:
K1+2k2+3k3 = b1
2k1+5k2+3k3 = b2
k1+8k3 = b3
SPL diatas dapat diselesaikan untuk setiap nilai b karena matriks koefisiennya dapat dibalik (invertable)
Kebebasan Linier dan Ketergantungan Linier
Diketahui bahwa ruang vektor V dibangun oleh himpunan
vektor S = {V1,V2,…, Vr}, maka setiap vektor didalam V adalah
kombinasi linier dari V1,V2,…, Vr Dengan membangun
himpunan tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena
kita sering menelaah ruang vektor V dengan menelaah
terlebih dahulu vektor-vektor dengan membangun himpunan
S, dab dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian
selebihnya dari V, kemudian perlu dipertahankan membangun
himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk
mendapatkan pembangunan himpunan terkecil untuk ruang
vektor bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan
linier, yang akan kita telaah pada bagian ini.
Definisi
Jika S= {V1,V2,…, Vr} adalah himpunan vektor, maka
persamaan vektor k1V1 + k2V2-…, krVr=0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan yakni
k1=0, k2=0,…kr=0
Atau dapat dinyatakan sebagai:
Himpunan r buah vektor {V1,V2,…, Vr} disebut bebas linier
bila
mengakibatkan k j  0j  1,2,..., r
Himpunan r buah vektor {V1,V2,…, Vr} adalah bebas linier jika dan
hamya jika SPL
u11 u 21 ... u m1   s1 
u
 s 
u
...
u
22
m2   2 
 12
 0,
 :
:
..
:  : 

 
u
u
...
u
2n
mn   s m 
 1n
Hanya punya jawab trivial sj = 0 s j  0, j  1,2,.., m
Soal-soal Kombinasi Linier
1. Diketahui:
a  (3,2,1,1)
b  ( 4,3,2,1)
c  (18,13,81)
apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?
2. Diketahui: a  (3,2,1,1)
b  (2,3,1,2)
c  (5,5,0,7)
apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?
3. Diketahui: a  (3,2,1,1,2)
b  (2,3,2,1,5)
c  (16,14,0,2,26)
Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?
4. Diketahui: a  (3,2,1,3)
b  (4,2,1,2)
c  (2,1,3,1)
d  (19,11,8,14)
Apakah d merupakan kombinasi linier dari a , b dan c ?
Soal-soal Bebas Linier atau Tidak Bebas Linier
5. Diketahui: Vektor di R3 a  ( 2,1,3)
b  (1,2,4)
c  (8,11)
Apakah vektor a , b dan c bebas atau tidak bebas linier ?
6. Diketahui: Vektor di R3
a  ( 2,1,3)
b  (1,1,4)
c  (3,2,5)
Apakah vektor a , b dan c bebas atau tidak bebas linier ?
7. Diketahui: Vektor di R4
a  (3,2,1,1)
b  ( 4,3,2,1)
c  (18,13,81)
Apakah vektor a , b dan c bebas atau tidak bebas linier ?
8. Diketahui: Vektor di R5 a  (3,2,1,1,4)
b  (2,3,2,1,5)
c  (16,14,0,2,26)
Apakah vektor a , b dan c bebas atau tidak bebas linier ?
Karakteristik
• Batasan
Anxn matriks bujur sangkar
- Vektor karakteristik dari A:
x  Rn jika Ax =  x;
x<> 0, bilangan nyata
-  nilai karakteristik
- x vektor karakteristik yang ber-korespondensi dengan 
• Penentuan nilai karakteristik dari matriks bujur sangkar
SPL homogen yang melibatkan matriks bujur sangkar,
matriks satuan, vektor di Rn dan bilangan
jawab SPL

-
Persamaan karakteristik
 nilai karakteristik matriks bujur sangkar (memenuhi pers.
Karakteristik)
• Penentuan vektor karakteristik dari matriks bujur sangkar
SPL homogen yang melibatkan matriks bujur sangkar, matriks
satuan, vektor di R n dan 
vektor jawab tak nol dari SPL
Ruang karakteristik dari matriks yang berkorespondensi
dengan 
Vektor
• Nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari suatu transformasi
linier
Transformasi linier T : V  V
V ruang vektor atas R berdimensi hingga
 nilai karakteristik dari T
x < > 0 di V vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi
dengan jika T (x) =  x
• Matriks representasi dari transformasi linier
A matriks representasi dari transformasi linier T
Nilai karakteristik dari T = nilai karakteristik dari A
x vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi dengan 
[X]s vektor karakteristik dari A yang berkorespondensi dengan 
• Nilai karakteristik dari matriks segitiga
Soal-soal Nilai Eigen dan Vektor Eigen
1. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
7  4
jika
A
1
!

2
2. Tentukan semua
 2karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
3 nilai
A
jika
 !
1
4
9 
 8 nilai9 karakteristik
3. Tentukan semua
atau nilai eigen dari matriks A,


A 3
2
3  !
jika
 9  9  10
4. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
jika
 3 0 0
A  4 3 0 !
5 6 1
5. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vektor eigen
1 0 8
dari matriks A, jika
A  0 2 1 !
1 0 3
6. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vektor eigen
dari matriks A, jika
1 7 5
A  0 2 4 !
0 0 3
7. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vektor eigen
dari matriks A, jika
 3  1 0
A   0 2 0 !
 1 0 5