matematika ii - Rudi Prihandoko

MATEMATIKA II
Turunan dan Aplikasinya
Rudi Prihandoko
March 9, 2017
ver 0.6
KUIS I
KUIS
Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan
pula
(Ax2 + Bx + C)2
f(x) =
Ax2 + Dx + E
adalah suatu fungsi rasional. Tentukan nilai
dari f′ (x).
3
4
Definisi
Untuk suatu fungsi f, jika nilai
f(x + h) − f(x)
h
h→0
lim
ada, maka nilai ini disebut turunan dari f atau
dinotasikan dengan f′ (x).
5
Definisi
Untuk suatu fungsi f, jika nilai
lim
x→c
f(x) − f(c)
x−c
ada, maka nilai ini disebut turunan dari f di
titik c atau dinotasikan dengan f′ (c).
6
Notasi
Turunan dari f (terhadap x) biasa dinotasikan
dengan beberapa lambang berikut:
f′ ,
df
,
dx
Dx (f)
7
HALAMAN INI
SEHARUSNYA
BERISI LATIHAN
MUNGKINKAH
TIDAK PUNYA
TURUNAN??
Tidak punya turunan
Fungsi f tidak punya turunan di titik-titik
berikut
→ titik dimana f diskontinu
→ titik sudut
→ titik dengan garis singgung vertikal
10
GAMBAR
12
ATURAN
TURUNAN
TURUNAN
TINGKAT TINGGI
Notasi
Turunan ke-2, ke-3, dan ke-n dari f (terhadap
x) biasa dinotasikan dengan beberapa
lambang berikut:
f′′ ,
d2 f
,
dx2
f′′′ , · · · , f(n)
d3 f
dn f
,··· , n
dx3
dx
15
TURUNAN
IMPLISIT
16
17
18
19
Notasi
Salah satu notasi turunan adalah
ini disebut Notasi Leibniz.
dy
dx .
Notasi
dy
∆y f(x + ∆x) − f(x)
≈
=
dx
∆x
∆x
20
Apakah
dy
dx
adalah pecahan?
Persoalan
Diketahui persamaan lingkaran
(x − 1)2 + y2 = 25
Tentukan persamaan garis singgung di titik
(4, 4).
22
TURUNAN
IMPLISIT
24
25
?
26
KUIS II
KUIS II
Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan
pula
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey − (A + B + C + D + E) = 0
adalah suatu persamaan kurva. Tentukan
dy
bentuk palilng sederhana dari dx
.
(Anggaplah pembilang tidak nol.)
NB: Jangan lupa substitusi ABCDE dengan NIM
Anda!
28
LAJU
BERKAITAN
29
Aturan Rantai
Misalkan f dan g adalah fungsi sehingga f ◦ g
terdefinisi. Maka turunan dari f ◦ g adalah
(f ◦ g)′ (x) =
d
f(g(x)) = f′ (g(x)) · g′ (x)
dx
30
Aturan Rantai
Misalkan f dan g adalah fungsi sehingga f ◦ g
terdefinisi. Maka turunan dari f ◦ g adalah
(f ◦ g)′ (x) =
d
f(g(x)) = f′ (g(x)) · g′ (x)
dx
(f ◦ g) d(f ◦ g) dg
=
·
dx
dg
dx
30
Aturan Rantai
→ Jika y bergantung terhadap waktu (t),
maka turunannya adalah laju perubahan y,
yaitu dy
dt
→ Jika x bergantung terhadap waktu (t),
maka turunannya adalah laju perubahan x,
yaitu dx
dt
31
Aturan Rantai
→ Jika y bergantung terhadap waktu (t),
maka turunannya adalah laju perubahan y,
yaitu dy
dt
→ Jika x bergantung terhadap waktu (t),
maka turunannya adalah laju perubahan x,
yaitu dx
dt
→ Jika x, y keduanya bergantung terhadap
waktu (t), serta kedua saling berkaitan,
31
Aturan Rantai
→ Jika y bergantung terhadap waktu (t),
maka turunannya adalah laju perubahan y,
yaitu dy
dt
→ Jika x bergantung terhadap waktu (t),
maka turunannya adalah laju perubahan x,
yaitu dx
dt
→ Jika x, y keduanya bergantung terhadap
waktu (t), serta kedua saling berkaitan,
maka berlaku
dy dy dx
=
·
dt
dx dt
31
KELAJUAN
̸=
KECEPATAN
CONTOH
34
Contoh 1
Pada suatu acara pelepasan lampion, semua
lampion dilepaskan secara vertikal. Satu
lampion terakhir dilepaskan dengan laju
konstan 4m/s. Seorang pengamat melihat
pelepasan lampion tersebut dari jarak 60m.
Berapa laju perubahan jarak lampion ke
lampion saat ketinggian lampion 45m?
35
36
Contoh 2
Pada suatu tangki air berbentuk kerucut
terbalik, dimasukkan air dengan debit 5 liter
kubik per detik. Jika diameter tangki 6m dan
tingginya 4m, tentukan laju perubahan
ketinggian air saat tinggi air 2m.
37
PERTANYAAN?
LATIHAN
ugm.id/mat2latihan
Latihan 1
Suatu balon (bulat) ditiup dengan laju 50 cc
per detik sehingga mengembang. Berapa
laju perubahan diameter balon saat
diameternya 10 cm?
41
Latihan 2
Pada reklamasi teluk Jakarta, pasir ‘dituang’
melalui suatu pipa dengan laju 15 meter
kubik per detik dan membentuk gundukan
pasir berbentuk kerucut sehingga tingginya
selalu 1/4 dari diameter. Berapa cepat
kerucut pasir ini bertambah tinggi saat
tingginya tepat mencapai 4m?
42
Latihan 3
Suatu kolam renang berbentuk persegi
panjang 10m x 20m memiliki kedalaman
yang berbeda antara satu sisi pendek
dengan sisi pendek di seberangnya
(sepasang sisi yang lain mengikuti
kedalaman yang berubah). Sisi dangkal
berkedalaman 125cm sedangkan sisi di
seberangnya berkedalaman 250cm. Jika
kolam renang ini diisi air dengan debit 20 000
liter per detik, berapa cepat tinggi muka air
naik saat ketinggian air 125cm?
43
Latihan 4
Seorang pengamat naik ke mercu suar di tepi
pantai dan melihat suatu kapal mendekat ke
arah mercu suar dengan kecepatan 5m/s.
Jika mata pengamat berada di ketinggian
72m diatas muka air laut, tentukan
perubahan sudut pengamatan saat kapal
berada sejauh 72m dari kaki mercu suar.
44
Latihan 5
Pada tengah hari suatu pesawat terbang
tepat di atas Tugu Yogyakarta dengan
kecepatan 300km/jam ke arah utara. Lima
belas menit kemudian, pesawat lain kembali
melewati Tugu dengan kecepatan
350km/jam ke arah timur. Asumsikan kedua
pesawat terbang di ketinggian yang sama.
Tentukan laju perubahan jarak kedua
pesawat tersebut pada pukul 1 siang.
45
KUIS III
KUIS III
Pada suatu sore, panjang bayangan tiang
bendera sama dengan tinggi tiang tersebut.
Berapakah kecepatan bertambahnya
bayangan saat itu, jika diketahui tinggi tiang
tersebut 6m?
Diketahui 1 hari = 24 jam = 86 400 detik
47
MAKSIMUM
MINIMUM
48
Definisi
Misalkan S adalah daerah asal dari fungsi f,
dan c adalah titik di S.
→ f(c) disebut nilai maksimum f di S jika
f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S.
→ f(c) disebut nilai minimum f di S jika
f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S.
49
Definisi
Misalkan S adalah daerah asal dari fungsi f,
dan c adalah titik di S.
→ f(c) disebut nilai ekstrim f di S jika nilai
tersebut merupakan nilai maksimum atau
nilai minimum.
→ Fungsi yang ingin di maksimalkan atau
diminimumkan disebut fungsi objektif.
50
Teorema
(Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim)
Jika f adalah fungsi kontinu pada interval
tertutup [a, b], maka fungsi f memiliki nilai
maksimum dan nilai minimum pada interval
tersebut.
51
Kriteria Titik Kritis
Misalkan fungsi f terdefinisi di interval
I = [a, b] yang memuat titik c Jika c adalah
titik kritis maka c harus memenuhi salah
satu kriteria berikut
→ titik ujung interval, yaitu c = a atau c = b
→ titik stasioner, yaitu f′ (c) = 0
→ titik singular, yaitu f′ (c) tidak terdefinisi
52
CONTOH
LATIHAN
Latihan
55
Latihan
56
KUIS IV
KUIS IV
Tentukan nilai maksimum dan minumum
fungsi berikut pada selang [−π, 2π]:
f(x) = A(Bx + C)(Dx + E)(cos θ)
jika diketahui bahwa ABCDE adalah NIM Anda.
(Fungsi polinom tidak punya titik singular.
Demikian pula dengan fungsi trigonometri)
58
TITIK SINGULAR
Titik Singular: Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi di interval I. Titik
c pada interval I dikatakan sebagai
titik singular jika f′ (c) tidak ada.
60
Titik Singular: Jenis-jenis
Titik singular bisa dibedakan menjadi
beberapa yaitu
→ titik diskontinu
→ titik sudut
→ titik dengan garis singgung vertikal
61
Titik Singular: Catatan
Pada titik singular kedua dan ketiga, fungsi f
kontinu namun tidak dapat diturunkan
62
Titik Singular: Contoh
→ f(x) =
1
x
di titik x = 0
→ f(x) = |x| di titik x = 1
→ f(x) =
ϕ(x)
ψ(x)
di titik pembuat nol ψ(x)
63
Titik Singular: Contoh
→ f(x) =
1
x
di titik x = 0
→ f(x) = |x| di titik x = 1
→ f(x) =
ϕ(x)
ψ(x)
di titik pembuat nol ψ(x)
→ f(x) =
ϕ(x)
x−a
di x = a
→ f(x) =
ϕ(x)
(x−a)(x−b)
→ f(x) =
ϕ(x)
x2 −1
di x = a dan x = b
di x = 1 dan x = −1
63
MONOTON
Monoton
Misalkan f adalah suatu fungsi pada interval
I (terbuka, tertutup, atau tidak keduanya).
→ Fungsi f naik di interval I jika untuk x1 dan
x2 di I berlaku
x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ).
→ Fungsi f turun di interval I jika untuk x1 dan
x2 di I berlaku
x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ).
→ Fungsi f dikatakan monoton jika f naik atau
f turun.
65
Teorema Kemonotonan
Misalkan f fungsi kontinu pada interval I dan
dapat diturunkan di setiap titik di I.
→ Jika f′ > 0 untuk x di I, maka f naik di I.
→ Jika f′ < 0 untuk x di I, maka f turun di I.
66
CONTOH
CONCAVITY
Concavity
Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan di
interval terbuka I.
→ Fungsi f dikatakan konkaf ke atas jika f′
naik di I.
→ Fungsi f dikatakan konkaf ke bawah jika
f′ turun di I.
69
Concavity Theorem
Misalkan f fungsi pada interval I yang dapat
diturunkan dua kali di setiap titik di I.
→ Jika f′′ > 0 untuk setiap x di I, maka f
konkaf ke atas di I.
→ Jika f′′ < 0 untuk setiap x di I, maka f
konkaf ke bawah di I.
70
Titik Infleksi
Misalkan f kontinu di titik c. Titik (c, f(x))
disebut titik infleksi pada grafik f jika pada
satu sisi fungsi f konkaf ke atas dan di sisi lain
fungsi f konkaf ke bawah.
71
CONTOH
LATIHAN
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan
interval-interval saat f naik dan saat f turun.
74
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan
interval-interval saat f konkaf ke atas dan
saat f konkaf ke bawah.
75
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan
interval-interval saat f: naik, turun, konkaf ke
atas, dan saat f konkaf ke bawah.
76
MONOTON
CONCAVITY
Teorema Kemonotonan
Misalkan f fungsi kontinu pada interval I dan
dapat diturunkan di setiap titik di I.
→ Jika f′ > 0 untuk x di I, maka f naik di I.
→ Jika f′ < 0 untuk x di I, maka f turun di I.
78
Concavity Theorem
Misalkan f fungsi pada interval I yang dapat
diturunkan dua kali di setiap titik di I.
→ Jika f′′ > 0 untuk setiap x di I, maka
f konkaf ke atas di I.
→ Jika f′′ < 0 untuk setiap x di I, maka
f konkaf ke bawah di I.
79
LOCALLY ROOTED
GLOBALLY
RESPECTED
81
Ekstrim Lokal
Misalkan S adalah domain fungsi f yang
memuat titik x.
→ f(c) disebut maksimum lokal jika
terdapat interval (a, b) yang memuat c
sehingga f(c) nilai maksimum pada
interval tersebut.
→ f(c) disebut minimum lokal jika terdapat
interval (a, b) yang memuat c sehingga
f(c) nilai minimum pada interval tersebut.
→ f(c) disebut ekstrim lokal jika f(c)
minimum lokal atau maksimum lokal.
82
83
EKSTRIM LOKAL,
KAPAN?
Tes Turunan Pertama
Misalkan f kontinu di interval buka (a, b)
yang memuat c
→ Jika f′ (c) > 0 di (a, c) dan f′ (c) < 0 di (c, b),
maka f(c) maksimum lokal.
→ Jika f′ (c) < 0 di (a, c) dan f′ (c) > 0 di (c, b),
maka f(c) minimum lokal.
→ Jika f′ (c) mempunyai tanda yang sama di
(a, c) dan (c, b) maka f(c) bukan ekstrim
lokal.
85
Tes Turunan Kedua
Misalkan f′ dan f′′ selalu ada di interval buka
(a, b) yang memuat c. Misalkan f′ (c) = 0
→ Jika f′′ (c) < 0 maka f(c) maksimum lokal.
→ Jika f′′ (c) > 0 maka f(c) minimum lokal.
86
LATIHAN
(MINGGU LALU)
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan
interval-interval saat f konkaf ke atas dan
saat f konkaf ke bawah.
88
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan
interval-interval saat f: naik, turun, konkaf ke
atas, dan saat f konkaf ke bawah.
89
LATIHAN
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan nilai
maksimum dan minimum lokal, maksimum
dan minimum global (jika ada).
91
Latihan
Pada fungsi-fungsi berikut tentukan nilai
maksimum dan minimum lokal, maksimum
dan minimum global (jika ada).
92
KUIS
KUIS V
Diberikan fungsi kuadrat f(x) = Ax2 + Bx + C
dengan A > 0. Jelaskan dengan bahasa Anda,
mengapa jika B2 − 4AC < 0 maka f(x) > 0.
94