07. MATEMATIKA XI BB 166.63KB 2017-01

TRIGONOMETRI
1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku.
Perbandingan trigonometri ada 6 macam yaitu sinus disingkat sin, kosinus disingkat cos,
tangens disingkat tan atau tg, kotangens disingkat cot atau Cotg atau ctg, sekans disingkat sec
dan kosekans disingkat Csc atau Cosec.
Perhatikan gambar berikut yang memperlihatkan A OPPI siku-siku di P’
a. Sisi y dinamakan sisi siku-siku yang berhadapan dengan
y
sudut O = 
P
r
o
x
b. Sisi x dinamakan sisi siku-siku yang
berdekatan atau mengapit sudut 
y
x
P’
c. Sisi r dinamakan hipotenusa atau sisi miring
Definisi :
Dalam suatu segitiga siku-siku berlaku :
1.
Sinus suatu sudut adalah perbandingan sisi siku-siku dihadapan sudut itu dengan sisi
miringnya.
sin  
2.
Kosinus suatu sudut adalah perbandingan sisi siku-siku yang mengapit sudut itu dengan
sisi miringnya.
3.
cos  
OP1 x

OP
r
Tangens suatu sudut adalah perbandingan sisi siku-siku dihadapkan sudut itu dengan
sisi siku-siku yang lainnya.
4.
PP I
y

I
OP
x
Kosekans suatu sudut adalah perbandingan sisi miring dengan sisi siku-siku dihadapan
sudut itu.
5.
tan 
cos ec  
OP
r

I
PP
y
Sekans suatu sudut adalah perbandingan sisi miring dengan sisi siku-siku yang
mengapit sudut itu.
6.
PP1 y

OP
r
sec  
OP
r

I
OP
x
Kotangens suatu sudut adalah perbandingan sisi siku-siku yang mengapit sudut itu
dengan sisi siku-siku yang lainnya.
cot  
OP I x

r
PP I
Berdasarkan definisi itu dapat ditarik kesimpulan bahwa :
sin  
1.
1
cos ec 
2.
cos  
1
sec 
3.
tan  
1
cot 
4.
tan  
sin 
cos 
5.
cot  
cos 
sin 
Contoh 1 :
Segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 12 cm dan BC = 5 cm.
C
Tentukan semua nilai perbandingan trigonometri
untuk sudut A !
5 cm
12 cm
B
A
Solusi : Menurut Teorema Pythagoras
AC2
AB
=
AB2 + BC2
=
122 + 52
=
144 + 25
=
169
=
=
169
13
Panjang AB = 13 cm
BC
5

AC 13
AB 12
cos A 

AC 13
BC
5
tan A 

AB 12
Sin A 
AC 13

BC
5
AC 13
sec A 

AB 12
AB 12
cot A 

BC
5
cos ec A 
Nilai perbandingan Trigonometri untuk sudut-sudut Istimewa :
Perhatikan gambar berikut :
C
2
Dalam  ABC disamping berlaku :
1
45º
A
sin 450 
1
cos 450 
1
tan 450 
1
1
1
2

1
2
2

1
2
2
2
1
cos ec 450 
B
2
 2
1
2
 2
1
1
cot 450   1
1
sec 450 
Dalam  PQR berlaku :
R
2
1
2
sin 300 
1
P
3 1

3
2
2
cos 300 
1
tan 300 
P
3
3 1

3
2
2
1
cos 600 
2
sin 600 
tan 600 
3
 3
1
3
Q
cot 600 

2
cos ec 600 
sec 600 
cos ec 300 
3
1
3
3

sec 300 
cot 300 
2
3
3
2
2
1
1
3

1
3
3
Untuk sudut  = 0º, maka y = 0 dan x = r
y o
 0
r r
x r
cos 00 
 1
r r
y 0
tan 00    0
x x
sin 00 
cos ec 00 
r
x
x
cot 00 
y
sec 00 
r r
   (tidak terdefinisi )
y 0
r
 1
r
x
 
0
2
3
2
2
1

2
3
3
3
 3
1
Untuk sudut  = 90º maka x = 0 dan y = r.
y r
 1
r r
x 0
cos 900 
 0
r r
y y
tan 900     (tidak terdefinisi )
x 0
r r
 1
y r
r r
sec 900    
x 0
x 0
cot 900    0
y y
sin 900 
cos ec 900 
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa !
Nilai
Perbandingan
0º
Trigonometri
30º
45º
60º
90º
Sudut 
0




Sin 
0
Cos 
1
Tan 
0
1
2
1
3
2
1
3
3
Cosec 
TD
2
2
2
3
3
1
Sec 
1
2
3
3
2
2
TD
Cot 
TD
1
3
3
0
6
3
4
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
1
3
1
2
1
1
TD
Lembar Kerja Siswa:
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat dan jelas !
1. Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai Tentukan nilai dari:
a. Sin A =
A
b. Cos A =
c. Tan A =
d. Sin C =
17
8
e. Cos C =
B
C
2. Tentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain untuk 0º < A < 90º, jika diketahui :
1
a. cos A 
d. sec A = 2
2
b. sin A 
c. tan A = 2
1
4
e. cosec A = 3
f. cotan A = X
2. Panjang sisi dan Besar sudut segitiga siku-siku.
Menentukan panjang sisi suatu segitiga jika diketahui besar sudut dan salah satu panjang
sisi pada suatu segitiga siku-siku.
B
Contoh 2.
Diketahui  ABC siku-siku di C,
10cm
 A = 30º dan panjang BC =10 cm.
Tentukan panjang sisi AB dan AC !
A
C
Solusi :
BC
AB
10

AB
sin 300 
1
2
AC
AB
AC

20
1

3 . 20
2
 10 3
Cos 300 
1
3
2
AB  2 . 10
AC
AB  20
AC
Jadi panjang AB  20 cm
Jadi panjang AC  10 3 cm
Contoh 3.
Seorang siswa akan mengukur tinggi sebuah pohon yang berjarak 6 meter dari dirinya. Ia
melihat puncak pohon dengan sudut elevasi 600. Jika tinggi anak 1,6 meter, maka tinggi pohon
1
1
( dengan pembulatan 1 desimal) adalah…. ( sin 600 = 2 √3, cos 600 = 2 , dan tan 600 =√3 )
Penyelesaian:
Perhatikan BDE.
DE
Tan 600=BD =
𝐷𝐸
6
DE = 6 . tan 600
DE = 6 . √3
DE = 6√3 meter
Lembar Kerja Siswa
1. Suatu titik terletak pada jarak 400 meter dari suatu menara. Sudut evaluasi (sudut pandang)
puncak menara dari titik itu 30º. Tentukan tinggi menara itu !
2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A. Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui :
a.  B = 30º, AC = 3 cm
b.  C = 45º, BC = 8 cm
c.  B = 60º, AB = 5 cm
Instrumen Penilaian
:
1. Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C dengan panjang AC = 8 cm dan BC = 6 cm.
Tentukanlah nilai dari:
a. cos A
b. sin B
c. sin A
d. Panjang AB
2. Seorang siswa akan mengukur tinggi sebuah pohon yang berjarak 6 meter dari dirinya. Ia
melihat puncak pohon dengan sudut elevasi 30 0. Jika tinggi anak 1,6 meter, maka tinggi pohon
( dengan pembulatan 1 desimal) adalah…. ( sin 300 = 0,500, cos 300 = 0,866, dan tan 300 =
0,577 )
3. Koordinat Cartesius dan koordinat kutub
a. Pengertian Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub
Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x , ordinat y.
Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk r dan α.
b. Hubungan Koordinat Cartesius dan Kutub
Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius adalah :
a) Jika diketahui koordinat kutub titik P adalah (r,α ) maka koordinat cartesius
ditentukan dengan hubungan :
X = r cos α
P ( x,y) dapat
Y = r sin α
b) Jika diketahui koordinat cartesius P (x,y) maka koordinat kutub P (r,α )dapat ditentukan
dengan hubungan :
r =  x2 + y2
Tan α = y
x
Contoh :
1. Koordinat kutub titik C adalah ( 6, 135 ), tentukan koordinat Cartesius titik C itu !
2. Tentukan koordinat Kutub jika diketahui koordinat Cartesiusnya adalah P ( -23 , -2 ) !
Jawab :
1. C ( 6, 135 )
X = r cos α
Y = r sin α
= 6 cos 135
= 6 sin 135
= 6 (-1/2 2 )
= 6 ( ½ V2)
= -32
= 32
 jadi koordinat kartesius titik C adalah (-3 2 ,3 2 )
2. P ( -23 , -2 )
r=
(2 3)2  (2)2
= 12  4
=4
Tan α =
=
2
2 3
1
3
3
 = 2100 karena ada dikuadran III
 jadi koordinat kutup titik P adalah ( 4 , 2100 )
Latihan :
1. Tentukan koordinat kartesius jika diketahui koordinat kutubnya :
a. P ( 6 , 120 )
b. C ( 8 , 330 )
c. D ( 8 , 30 )
2. Tentukan koordinat kutub jika diketahui koordinat kartesiusnya :
a. P ( 4 , 4 )
b. T ( 3 , 4 )
Instrumen Penilaian
1. Tentukan koordinat kartesius dari titik berikut:
a. A (4, 60)
b. B (8, 300)
c. C (5, 120)
d. D (3 2 , 225)
e. E (2 , 330 )
2.
Tentukan koordinat kutub dari :
a. P (1, 3 )
b. Q (-5 3 , 5)
c. R (6, -2 3 )
d. S (-3 2 , -3 6 )
e. T ( -2 , 2 )
C. Aturan SINUS dan COSINUS
1. Aturan SINUS
C
Pada segitiga sembarang ABC
berlaku aturan sinus :
b
a
SIN A
a
A
c
=
b
SIN B
=
c
SIN C
B
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC dengan besar sudut A 30 derajat, sudut B 45 derajat,dan sisi b 10 cm.
Tentukan :
a) besar sudut C
b) pnjang a
c) panjang c
2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisis a adalah 10 cm, c 12 cm, dan besar sudut C 60
derajat. TEntukan :
a) sudut A
b) sudut B
c) panjang b
Jawaban :
1. sudut A = 30, sudut B= 45 dan panjang b = 10 cm
a) sudut C = 180 – ( 30 + 45 ) = 180 – 75 = 105.
b)
a
=
Sin A Sin B
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
b
b
X Sin A
Sin B
10 X Sin 30
Sin 45
10
X ½
1/2 2
10 2
2
52 cm
c)
Sin B
c
c
c
c
b
=
c
Sin C
= b X Sin C
Sin B
= 10 X sin 105
Sin 45
= 10 X 0,966
0,707
= 13,66 cm
2. Sisi a = 10 cm, sisi c = 12 cm dan sudut C = 60 derajat
a)
a
=
c
c) b
=
c
Sin A Sin C
Sin B
Sin C
Sin A =
a . Sin C
b
= c X Sin B
c
Sin C
Sin A =
10 . Sin 60
b = 12 X sin 73,78
12
10 ( 0,866 )
b
12
Sin A =
0,722
b
A
=
46,22 derajat
b) Sudut B = 180 - ( 60 + 46,22 ) = 73,78 derajat.
Sin A
=
Sin 60
= 12 X 0,960
0,866
= 13,30 cm
2. Aturan COSINUS
Untuk segitiga sembarang berlaku aturan cosinus :
i. a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
ii. b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
iii. c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Aturan cosinus diatas dapat diubah menjadi :
a. Cos A 
b2  c2 - a 2
2ab
b. Cos B 
a 2  c2 - b2
2ac
c. Cos C 
a 2  b2 - c2
2ab
Contoh:
1) diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5 cm, sisi c = 6 cm, dan sudut A = 52 derajat, hitunglah panjang
sisi A !
2) Diketahui sisi a = 5 cm, sisi b = 213, dan sisi c = 9 cm. Hitunglah besar sudut A!
1)
Jawab :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 52 + 62 – 2.5.6 cos 52
= 25 + 36 – 60 . 0,6157
= 61 – 36,9
= 24,1
a = 24,1
= 4,91 cm.
2) a = 5, b = 213 , c = 9
Cos A = b2 + c2 –a2
2bc
= 2132 + 92 – 52
2 . 213 . 9
.
= 52 + 81 – 25
3613
= 108
3613
= 0,832
A = 33,7 derajat.
1. Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30.
Hitunglah unsure-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !
Kunci jawaban
Jawab:
a
b
c


sin A sin B sin C
a
b
a. sin B 15. sin 30 15. 12 15
 sin A =




 0,375
sin A sin B
b
20
20
40
A = sin -1 0,375 = 22
(ii) C = 180 – (A + B) = 180 - (22 + 30) = 180 - 52 = 128.
b. sin C 20. sin 128 20.0,788 15,76
b
c
(iii)
c=




 31,5 cm
sin B sin C
sin B
sin 30
0,5
0,5
(i)
B. Tes Tertulis ( Post test )
1.
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus !
Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !
2. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !
Kunci Jawaban
1. (i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
= 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64
= 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774
c = 27,8
(ii)
b2
=
a2
+
c2
–
2ac
cos
2
2
2
2
2
2
a c b
20  (27,8)  30
274


 0,25
2ac
2(20)( 27,8)
1112
B = 75,7
(iii) A = 180 - (C + B) = 180 - (64 + 75,7) = 40,2
B
1
ac sin B
2
1
= . 4 . 3 . sin 30
2
1
1
= .4.3.
2
2
2
= 3 cm .
2. L ABC =
C. Tugas ( Post test )
6
12
dan Cos  =
dengan  dan  sudut lancip, hitunglah :
10
13
a. Sin (  )
b. Cos (  )
c. Tg (  )
1. Jika Sin  =
2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 !
Kunci jawaban
1. Sin  =
6
8
6
; Cos  =
; Tg  =
10
10
8

cos
B
=
12
5
5
; Sin  =
; Tg  =
13
13
12
a. Sin (  ) = Sin  . Cos  + Cos  . Sin 
6 12
8 5
72
40 112 56
=
.
+
.
=



10 13 10 13 130 130 130 65
b. Cos (  ) = Cos  . Cos   Sin  . Sin 
8 12
6 5
96
30
66 33
=
.

.
=



10 13 10 13 130 130 130 65
Tg  Tg
c. Tg (  ) =
1 Tg .Tg
6 5
112

112 56
= 8 12 = 96 

6 5
66
66
33
1 .
8 12
96
2. Cos 75 = Cos (45 + 30)
= Cos 45 . Cos 30  Sin 45 . Sin 30
1
1
1
1
3 
=
2.
2.
2
2
2
2
1
1
=
6
2
4
4
1
= ( 6  2)
4
Cos  =
Luas Segitiga
Kita mengetahui bahwa luas segitiga dapat dihitung jika panjang alas dan tinggi pada segitiga tersebut
diketahui. Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus:
C
L = ½ at
A
B
Dari gambar diatas dapat juga menentukan luas segitiga jika diketahui ketiga unsure yang terdapat dalam
segitiga tersebut. Unsur yang diketahui adalah :
dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu ( ss,sd,ss )
ketiga sisinya diketahui ( ss,ss,ss )
Luas Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudut yang Diapit oleh Kedua Sisi tersebut.
Dari Sin C = t/b diperoleh t = b sin C, sehingga
L = ½ at
L = ½ ab Sin C
Dari Sin B = t/c diperoleh t = c sin B, sehingga
L = ½ at
L = ½ ac sin B
Dari aturan SINUS diperoleh :
L = ½ bc Sin A
Jadi rumus luas segitiga :
L = ½ bc Sin A
L = ½ ac Sin B
L = ½ ab Sin C
Luas Segitiga jika Diketahui Ketiga Sisinya.
L =  s ( s – a )( s – b )( s – c )
Dengan s = ½ ( a + b + c )
Contoh :
Pada jajaran genjang ABCD diketahui AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan sudut BAD =60 derajat. Hitunglah luas
daerah jajaran genjang tersebut !
D
C
A
B
Hitung luas segitiga ABC jika diketahui sisi a =5 cm, b = 6 cm, dan c = 7 cm !
Jawab :
L ABD = ½ AB . AD Sin sudut BAD
= ½ . 8 . 6 Sin 60
= 24 ½ 3
= 123 cm2
Karena ABD sama dengan CDB maka luas jajaran genjang ABCD adalah:
L ABD + L CDB = 123 + 123 = 243 cm2 .
2) s = ½ ( a + b + c ) = ½ ( 5 + 6 + 7 ) = ½ . 18 = 9
L=s(s–a)(s–b)(s–c)
=9(9–5)(9–6)(9–7)
=9.4.3.2
=  216
= 66 cm2.
Contoh soal tes :
0
1. Pada segitiga ABC jika diketahui AB =8 cm, AC = 6 cm dan sudut A = 120 maka luas ∆ ABC adalah…
0
2. Pada ∆ ABC , sudut B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm, maka luas ∆ ABC adalah…
0
3. Diketahui ∆ PQR , jika sudut P = 60 dan sudut Q = 45
0
cm, dan sisi QR = 12 cm, panjang sisi PR
adalah…
4. Diketahui Segitiga ABC dengan AB = 6, BC =8,dan CA = 10. berapakah luas segitiga ABC ?
5.Diketahui Segitiga PQR dengan PQ = 5,QR = 12 dan RP = 13. berapakah luas Segitiga PQR?
B. Pembahasan.
1. Luas ∆ABC = ½ AB.AC Sin A
= ½ 8.6. sin 120
0
= 24. ½ √3
= 12√3 cm
2
2. Luas ∆ABC = ½ AB.BC Sin B
0
= ½ 3.4. sin 15
= 6. ½ √2
= 3√2 cm
2
3. Menentukan PR:
PR
QR

sin Q sin P
PR
12

0
sin 45
sin 60 0
PR
1/ 2 2

12.
PR =
12
1/ 2 3
1
2
2
1
3
2
12. 2
PR =
3
12. 2
PR =
3
3 . 3
PR = 4√6 cm
4.Diketahui :
Ditanyakan : Luas ∆ABC = ?
Dijawab
S = ½ ( AB + BC+CA)
= ½ (6 + 8 + 10)
= ½ (24)
= 12 cm
Luas ABC =
s(s  AB)( s  BC )( s  CA)
=
12(12  6)(12  8)(12  10)
= 12 x6 x4 x2
= 24 cm 2
5. Diketahui :
Ditanyakan : Luas ∆ABC = ?
Dijawab
S = ½ ( PQ +QR+RP)
= ½ (5 + 12 + 13)
= ½ (30)
= 15 cm
Luas ABC =
s(s  AB)( s  BC )( s  CA)
=
15(15  5)(15  12)(15  13)
=
15 x10 x3x 2
= 30 cm 2