RUANG VEKTOR REAL

RUANG VEKTOR REAL
Kania Evita Dewi
Definisi
 Vektor adalah besaran yang mempunyai arah.
 Notasi:
 a1 
 
a   a2   a1iˆ  a2 ˆj  a3kˆ
a 
 3
a  a1  a2  a3
2
 Notasi panjang vektor:
2
2
Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
Operasi vektor
 Penjumlahan antar vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor
yang berada di ruang yang sama,
maka vektor
v
u  v didefinisikan
u v
u
 u1  v1 
uv  

u

v
 2 2
 u1  v1 
u  v 
u v   2 2
  


u n  vn 
Operasi Vektor 2
 Perkalian vektor
1. Perkalian dengan skalar
Perkalian vektor
 
u dengan skalar k, k u
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor u dengan arah
Jika k > 0  searah dengan
u
Jika k < 0  berlawanan arah dengan
u
 ka1 
 ka1 
u


k a  
ka2 
ka

 2 k a 
  
   2u
 kan 
2u
Ruang Vektor
Misalkan
u , v, w  V dan k , l  R
V dikatakan RuangVektor jika terpenuhi aksioma:
1. u, v  V  u  v  V
6. k  R, u  V  k u  V
2. u  v  v  u
7. k l u  klu

 
 
8. k u  v   k u  k v

3. u  v  w  u  v  w
4. 0 V  u  0  0  u  u, u V 9. k  l u  k u  l u
 
5. u  V ,   u  V  u   u  0
10. 1u  u
LATIHAN
1. Misal V=R2 adalah himpunan vektor-vektor yang
didefinisikan sebagai berikut
2.
 x   x'  x  x' 
 x  kx
 y    y '   y  y ' dan
 y   y 
k
    

   
    

   
a 1

Misal V  M 2 x 2  
a, b  R 

1 b 

dengan penambahan matriks dan perkalian skalar
SUBRUANG
Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari suatu
ruang vektor V dan S memenuhi syarat-syarat berikut ini
maka berlaku:
a) k u  S jika u  S Untuk sebarang skalar k
b) u  v  S jika u , v  S
Maka S disebut subruang dari V
LATIHAN
Cek apakah himpunan berikut subruang.
1. Semua vektor yang berbentuk
 a 



S  0  a  R 
 0 





a b 

2. Matriks M 2 x 2  
a, b, c, d  Z 

 c d 

a 



3. Semua vektor yang berbentuk S  b  b  a  c 
 c 

 

Definisi Kombinasi linier
Sebuah vektro w dinamakan kombinasi linier vektor-vektor
dari v1, v2, …, vr jika vektor tersebut dapat ditulis dalam
bentuk
w  k1v1  k2v2  ...  kr vr
dimana k1, k2, …, kr adalah skalar
contoh
Tentukanlah kombinasi linier
1
u   1 dan
 3 
3
a. 3
3
1
c. 5
6
 4
b. 2
6
0 
d . 0
0
 2
v  4
0
Definisi merentang
Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V
dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier v1, v2, …, vr maka dapat dikatakan vektorvektor ini merentang.
contoh
Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan dibawah ini
merentang R3.
1
 2
 3
 3
2
5
1
a. v1  1, v2  2, v3  0
c. v1  1 , v2   3, v3   2, v4   4 
1
0
0
4
 5 
 9 
 1
2
 4
8
1
1 
1 
6 
b. v1   1, v2  1 , v3   1 d . v1  3, v2  3, v3  4, v4  2
 
 
 
 
 3 
2
 8 
3
4
3
1 
Definisi Bebas linier
Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan vektor, maka
persamaan vektor
k1v1  k2v2  ...  kr vr  0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
k1  0, k2  0, ..., kr  0
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan
himpunan bebas linier. Tetapi jika ada solusi lain maka S
dikatakan himpunan tak bebas linier.
teorema
Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
a. Tak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu
diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari vektor S lainnya.
b. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S
lainnya.
teorema
Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka
himpunan itu tak bebas linier.
b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor
takbebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor adalah
perkalian vektor lainnya dengan skalar.
a.
contoh
Yang manakah diantara himpunan-himpunan vektor berikut
pada R3 berbentuk tak bebas linier?
 2   3  2 
a.  1, 6,  10 
 4  2  4
3  2   4 
b. 1,  1,  0 
1  5   3
 6  1 
c.  0 , 1 
 1 4
1 0 5  7 
d . 3, 1, 6,  2 
3 4 3  1
Definisi BASIS
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan
S = {v1, v2, …,vr} merupakan himpunan berhingga dari
vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V
jika
a. S bebas linier
b. S merentang V
NB: Basis untuk setiap ruang vektor tidak tunggal
contoh
Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor dibawah ini
bukan merupakan basis untuk ruangan yang ditunjukkan.
1 
0 
 2
a. u1   , u 2   , u3   , untuk R 2
2
 3
7 
 1
6 
b. u1   3 , u 2  1, untuk R 3
 2 
1
 1 1
 6 0
3 0
c. A  
B
C



2 3
 1 4
1 7 
5 1 
7 1 
D
E
untuk M 2x2


4 2
 2 9
Definisi dimensi
Dimensi adalah ruang vektor V yang berdimensi berhingga
didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V.
Catatan: Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol
teorema
Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah sebuah himpunan n vektor
bebas linier pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka
S adalah sebuah basis untuk V.
b. Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah sebuah himpunan n yang
merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah
sebuah basis untuk V.
a.
contoh
Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang pemecahan sistem
berikut.
x1  x2  x3  0
1.  2 x1  x2  2 x3  0
2.
 x1  x3  0
3a  b  c  d  0
5a  b  c  d  0
x yz 0
3.
a  4b  3c  d  0
2a  8b  6c  2d  0
4.
3x  2 y  2 z  0
4x  3y  z  0
6x  5 y  z  0
Vektor Koordinat
Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {v1, v2, …, vn}
dan v V
Vektor Koordinat v terhadap basis B adalah:
v
B
 k1 
k 
2



 
k n 
dimana
k1v1  k2v2  ...  kn vn  v
Vektor koordinat terhadap suatu basis tertentu adalah
tunggal
Contoh
2
Tentukan vektor koordinat v  11 terhadap basis
 
 5 
2 1   1 
      
B   0  ,  4 ,  3  
 0  0   5  
      
Latihan vektor koordinat
3
 Tentukan vektor koordinatv  5 terhadap basis:
 
8
1 1  2 
      
B

1.
1, 2, 3 
1 2 4 
      
  2  3   4  
2. B'  4,  7 ,  2  
   
8  12 17 
      
Matriks transisi
Misalkan B = {b1, b2, …,bn} dan U = {u1, u2, …,un} basis
untuk ruang vektor V. Matriks transisi dari B ke U adalah
  b  
P  b1 U 
2 U
Dan memenuhi persamaan
v
U
 
  bn U

PvB
Contoh
a.
Carilah matriks transisi dari perubahan basis
v , v  ke u ,u  dimana
1
b.
2
1
2
 4
7  dan
 2
3
v1   , v2   
u1   , u2   
 3
5 
1 
3
3 tentukan

Jika x v   
xU 
 2


Latihan matriks transisi
Tentukan matriks transisi dari basis {u1, u2} ke {v1, v2}
2. MisalkanV = {v1, v2, v3} dan U = {u1, u2, u3} danV dan U adalah
basis R3, dimana
1.
 4
0 
0 
v1  6, v2  1, v3  1
7
1
2
1
1
 2
u1  1, u2  2, u3  3
1
2
4
Tentukan matriks transisi dari basis U keV
b. Jika x  2v1  3v2  4v,3 tentukan vektor koordinat x terhadap basis U
a.
Rank dan nulitas
Jika A adalah matriks mxn maka subruang Rm yang direntang
oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A.
Subruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari
A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem
persamaan homogen Ax  0
adalah subruang dari Rn disebut ruang null/ruang kosong
dari A dinotasikan N(A)
Contoh
 2  1 0 1
3 5 7  1
A

Misal


 1 4 2 7 
Tentukan vektor baris dan vektor kolom matriks A
Teorema
1. Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah
matriks
2. Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari
matriks A membentuk basis untuk ruang kolom A.
NB: untuk ruang baris transpose ruang kolom
Contoh
 1 2  1
Misal A  2 4 6 


0 0  8
Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom
Definisi
Dimensi ruang baris atau ruang kolom matriks A dinamakan
rank A dan dinyatakan dengan rank(A).
Nulitas adalah dimensi dari ruang nol.
Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama
dengan banyak kolom dari matriks.
Contoh 1
Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada
1  1 3 
a. A  5  4  4
7  6 2 
 1 4 5 2
b. A   2 1 3 0 
 1 3 2 2
Contoh 2
Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor-vektor
berikut ini!
1 
 3
 1
  5
0 
3
3
3
v1    v2    v3    v4   
1 
7
9
5
 
 
 
 
1 
1
3
  1