determinan - Simponi MDP

PERMUTASI
Merupakan suatu himpunan bilangan bulat {1,2,…,n}
yang disusun dalam suatu urutan tanpa
penghilangan atau pengulangan.
Contoh :
{1,2,3} ada 6 permutasi / susunan yang berbeda
karena tempat pertama dapat diisi oleh 3 bilangan
yaitu 1,2,3. Kemudian tempat kedua dapat diisi 2
bilangan dan tempat ketiga dapat diisi dengan 1
bilangan. Sehingga jumlah permutasi ada 3.2.1= 6
permutasi. Bagaimana dengan {1,2,3,4} berapa
jumlah permutasinya?
• Sebuah inversi dapat terjadi dalam sebuah
permutasi (j1,j2,..,jk) bila sebuah bilangan bulat
yang lebih besar mendahului sebuah bilangan
bulat yang lebih kecil.
• Jumlah inversi dapat dicari :
pertama: cari banyak bilangan bulat yang < j1
dan yang mengikuti j1 didalam permutasi
tersebut.
Kedua : carilah banyaknya bilangan bulat yang <
j2 dan yang mengikuti j2 didalam permutasi
tersebut.
teruskan untuk Jk yang ada.
• Jumlah invers = jumlah bilangan - bilangan
Contoh :
• (6,1,3,4,5,2)
Banyak invers = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8
disebut permutasi genap
• (1,2,3,4)
Banyak invers = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
tidak ada invers, dikatakan permutasi
genap
• (2,4,1,3)
Benyak invers = 1+2+0 =3, dikatakan
permutasi ganjil
Berapa invers dari {1,2,3}
klasifikasikan permutasinya?
Hasil Perkalian elementer bertanda
• Jika permutasi genap maka gunakan tanda (+)
• Jika permutasi ganjil maka gunakan tanda (-)
Hasil Perkalian
elementer
Permutasi yg
diasosiasikan
Genap
atau Ganjil
Hasil perkalian
elementer yg bertanda
a11a22a33
(1,2,3)
Genap
+ a11a22a33
a11a23a32
(1,3,2)
Ganjil
- a11a23a32
a12a21a33
(2,1,3)
Ganjil
- a12a21a33
a12a23a31
(2,3,1)
Genap
+ a12a23a31
a13a21a32
(3,1,2)
Genap
+ a13a21a32
a13a22a31
(3,2,1)
Ganjil
- a13a22a31
DETERMINAN
Definisi Determinan :
Determinan merupakan suatu bilangan real
yang diperoleh dari Hasil Perkalian Elementer
dari suatu matriks bujur sangkar, dimana
setiap hasil perkalian n entri dari suatu
matriks tidak boleh berasal dari baris dan
kolom yg sama. Nilai dari bilangan ini akan
menunjukkan apakah matriks yang
bersangkutan singular atau tak singular.
FUNGSI dan NOTASI
• Fungsi determinan di A, disebut atau
ditulis det A adalah jumlah semua
perkalian elementer dari A.
• Notasi | simbol lainnya yang banyak
dipakai untuk menyatakan determinan
dari A, selain det A adalah A.
• Contoh :
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
Perhatikan!!
 a11 a12
det a21 a22
 a31 a32
a1 _ a2 _ a3 _
a13 
a23   a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
-a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
23
32
12
21
33
13
22
31
a33 
det( A)    a1 j1 a2 j2 ...anjn
PERTANYAAN!! Berapakah Det (B)= ?
2 3
1
B   4 5 6
 7  8 9
Cara Mencari Determinan :
1. Dengan Aturan Sarrus
2. Ekspansi Kofaktor / Uraian Laplace
3. Dengan Reduksi Baris (OBE)
Menghitung Determinan
dengan Reduksi Baris :
• Caranya : mereduksi matriks ke
bentuk eselon baris. Dapat berupa
matriks segitiga atas atau matriks
segitiga bawah
• Dengan nilai determinannya :
• Misal : A matriks segitiga yang
berukuran
• n x n maka det(A) adalah hasil
perkalian elemen-elemen pada
diagonal utama.
SIFAT - SIFAT DETERMINAN
Anggap A adalah matriks n x n
Teorema 1.
Jika unsur dalam suatu baris atau suatu
kolom dari suatu matriks adalah nol, maka
nilai determinannya sama dengan nol 
det(A) = 0
Contoh:
1 3 2 


A  0 0 0 
4  2 6
 1 1 2 


B   2  2  5
 5 3 3 
• Teorema 2 (Perkalian oleh konstanta )
Jika semua unsur dari satu baris atau
kolom dari suatu matrik dikalikan oleh
faktor k yang sama, maka nilai dari
determinan yang baru, sama dengan k kali
nilai determinan yang diketahui.
• Teorema 3 ( Transposisi ) :
Nilai suatu determinan tidak berubah jika
baris - barisnya ditulis sebagai kolom kolomnya, dalam urutan yang sama.
Teorema 4 (Penukaran Baris atau Kolom)
Jika sembarang dua baris atau kolom
suatu matriks dipertukarkan, maka nilai
determinan yang baru adalah nilai
determinan yang lama dikali dengan –1.
Contoh :
Jika matriks B diperoleh dari pertukaran
dua baris atau kolom matriks A, maka
det(B) = - det(A)
• Teorema 5
Jika setiap unsur dalam suatu baris atau
kolom dari suatu determinan dinyatakan
sebagai suatu binomial, maka
determinan itu dapat ditulis sebagai
jumlah dari dua determinan
• Teorema 6
(Baris-baris atau Kolom-kolom yang
sebanding )
Jika unsur-unsur yang berkaitan dari dua
baris atau kolom suatu determinan
adalah sebanding, maka nilai determinan
itu sama dengan nol.
• Teorema 7
( Penambahan baris atau kolom )
• Nilai suatu determinan tidak berubah jika
unsur - unsur dari suatu baris atau kolom
diubah dengan menambahkan pada unsurunsur tadi sembarang konstanta kali unsur
- unsur yang berpadanan dari sembarang
baris ( atau kolom secara berturut - turut)
lainnya.
Contoh :
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari
penggandaan suatu baris A ditambahkan
pada kolom lainnya, maka det(B) = det(A)
• Teorema 8
(Determinan dari hasil kali matriks)
Untuk sembarang matriks A dan B yang
berukuran n x n
Det (AB) = det (BA) = det A det B
• Teorema 9
(Determinan dari inverse matriks)
Jika matriks A dapat dibalik (mempunyai
inverse) maka A taksingular jika dan hanya
jika det(A) ≠ 0, sedangkan Jika matriks A
tidak dapat dibalik (tidak mempunyai
inverse) maka A singular jika dan hanya jika
det(A) = 0
• Teorema 10
(Determinan dari matriks segitiga atas /
bawah)
• Jika A adalah suatu matriks segitiga n x n
(segitiga atas,segitiga bawah atau
diagonal), maka det(A) adalah hasil kali
anggota diagonal utamanya sehingga
det(A) = a11a22a33…ann
• Contoh :
Carilah det(A)?
 0 1 5


A   3  6 9
2 6 1
Sifat-sifat Determinan
• det(A) = det(AT)
• det(kA) = kndet(A)
Misalkan A dan B matriks bujur sangkar,
maka
• det(A+B) ≠ det(A)+det(B)
• det(AB) = det(A)det(B)
Jika A dapat dibalik, maka det(A) ≠ 0
• Det(A-1) = 1/det(A)
• Det((kA)-1) = 1/(kn.det(A))
Pertanyaan?
1 2 
A

2 5
3 1
B

1 3
Buktikan semua sifat
determinan semuanya
adalah benar
Kerjakan!!
Cari determinan A, A1, A2, A3
4 8 12
1 2 3 
0 1 4 






A

0
1
4
A  0 1 4  1 
 A2  1 2 3
1 2 1 
1 2 1 
1 2 1 
2
3
1


A3   2  3  2
 1
2
1 
Carilah det(A)=?
(ubah dalam bentuk matriks segitiga
atau diagonal)
1
 1 2 3
 5 9 6

3

A
  1 2  6  2


8
6
1
2
Hitunglah det(A) dimana
0
1
5
det( A)  3  6 9
2
6
1
 0 1 5


A   3  6 9
2 6 1
Pertukarkan R1 dengan
R2  det(B)=-det(A)
3 6 9
 0
1
5
2
6
1
Faktor bersama 3*R1
diambil  det(B)=k.det(A)
1 2 3
 3 0
1
5
2
6
1
1 2
 3 0
0
3
1
10
5
R3: -2*R1+R3
sehingga
det(B)=det(A)
1 2
R3:-10*R2+R3
5
3
 3 0
1
5
0
0
 55
faktor bersama –55 *R3 diambil
1 2 3
 (3)( 55) 0
1
5
0
0
1
 (3)( 55)(1)  165
Minor dan Kofaktor
Definisi:
jika A adalah matriks bujursangkar, maka
minor anggota aij dinyatakan oleh Mij dan
didefinisikan sebagai determinan sub matriks
yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom
ke-j dihilangkan dari A, kemudian Cij=(-1)I+jMij
yang disebut kofaktor anggota aij dengan Mij
adalah minor.
Carilah Minor dan Kofaktor
dari matriks A!
1
 1 2 3
 5 9 6

3

A
  1 2  6  2


8
6
1
2
Perluasan Kofaktor
Teorema :
Determinan suatu matriks An x n bisa dihitung
dengan mengalikan anggota2 pada sebarang
baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan
menjumlahkan hasil kali yang diperoleh yaitu
untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n
Terhadap baris tertentu :
det( A)  ai1Ci1  ai 2Ci 2  ...  ainCin
Terhadap kolom tertentu :
det( A)  a1 j C1 j  a2 j C2 j  ...  anjCnj
1 i  n
1 j  n
Bentuk perluasan menjadi
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
= a11C11+a21C21+a31C31
= a21C21+a22C22+a23C23
= a12C12+a22C22+a32C32
= a31C31+a32C32+a33C33
= a13C13+a23C23+a33C33
Bentuk perluasan menjadi
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
= a11C11+a21C21+a31C31
= a21C21+a22C22+a23C23
= a12C12+a22C22+a32C32
= a31C31+a32C32+a33C33
= a13C13+a23C23+a33C33
PERHATIAN!!!
• Untuk ordo matriks yang lebih
tinggi >(3x3), perluasan kofaktor
dan operasi baris kadang-kadang
bisa digunakan secara bersamasama yang disebut dengan cara
penghilangan baris dan kolom
untuk menghitung determinan
Contoh :
Carilah determinan dari matriks berikut
1
0
3


A   2  4 3 
 5
4  2
Kerjakan!!!
Cari determinan dengan
cara penghilangan baris dan
kolom
3
1
A
2

3
5  2 6

2  1 1
4 1 5

7 5 3
Adjoin suatu Matriks
• Jika A adalah sebarang matriks nxn
dan Cij adalah kofaktor dari aij maka
matriks
 C11 C12 .. C1n 
C

C
..
C
22
2n 
 21
 :
:
:
: 


Cn1 Cn 2 .. Cnn 
Disebut matriks kofaktor dari A.
• Transpose dari matriks ini disebut
Adjoin A dan dinyatakan dengan
Adj(A)
Contoh :
3 2  1


A  1 6
3
2  4 0 
Kofaktor dari A adalah
C11=12
C12=6
C13=-16
C21=4
C22=2
C23=16
C31=12
C32=-10
C33=16
Membentuk matriks kofaktornya adalah
6
 16
12
4

2
16


12  10 16 
4 12 
 12


Adj ( A)   6
2  10
 16 16 16 
• Teorema : Jika A adalah suatu
matriks yang dapat dibalik, maka
1
A 
adj ( A)
det( A)
1
EKSPANSI KOFAKTOR DAN
MENENTUKAN INVERS
• A matriks bujur sangkar.
• Matriks Aij = matriks yang didapat
dengan membuang baris ke i dan
kolom ke j dari matriks A.
• Mij = det Aij ,
• .Mij disebut minor ke ij dari A
• Bilangan kij = (-1)i+j mij, disebut
kofaktor ke ij dari A
Apakah matriks A dapat
dibalik?
 1 2 3 


A 6
7  1
 3 1
4 
Aturan Cramer
• Untuk mencari solusi dari SPL
tertentu (matriks nxn)
• Teorema :Jika Ax=b merupakan
suatu sistem n persamaan linier
dalam n peubah sedemikian
sehingga (A) ≠ 0, maka sistem
tersebut mempunyai penyelesaian
yang unik. Penyelesaian ini adalah
det( A1 )
det( A2 )
det(
A
)
n
… xn 
x1 
x2 
det( A)
det( A)
det( A)
Dengan Aj adalah matriks yang diperoleh
dengan menggantikan anggota kolom ke j
dari A dengan anggota matriks b
 b1 
b 
2

b
:
 
bn 
CONTOH:
• TENTUKAN PENYELESAIAN DARI
SPL BERIKUT DENGAN
MENGGUNAKAN ATURAN CRAMER
X1 +
2X3 = 6
-3X1 + 4X2 + 6X3 = 30
-X1 – 2X2 + 3 X3 = 8
Carilah Solusi dari SPL
berikut (gunakan aturan
Cramer)!!
x- 4y+ z=6
4x- y+2z=-1
2x+2y -3z =-20
Aplikasi Determinan :
Mencari Penyelesaian SPL dengan Aturan
Cramer
• Contoh Soal :
• 2x + 8y +6z = 20
• 4x + 2y – 2z = -2
• 3x – y + z = 11
Sistem Linear
Berbentuk Ax = x
• Sistem linier ini merupakan sistem linier
homogen tersamar, karena x - Ax = 0
• Untuk menentukan nilai-nilai  di mana sistem
tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak
trivial, nilai  yang seperti ini disebut suatu nilai
karakteristik atau nilai eigen.
• Jika  adalah suatu nilai eigen dari A, maka
penyelesaian tak trivial disebut vektor eigen dari
A yang berpadanan dengan .
• Sistem ini mempunyai penyelesaian tak trivial
jika dan hanya jika det (I – A) = 0