KARAKTERISTIK KOMPONEN RANGKAIAN LISTRIK

Tri Raahjoeningroem, MT
T. Elektro - UNIKOM
TEOREMA RANGKAIAN
Pada bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian
Listrik dengan menggunakan suatu teorema tertentu.
Ada beberapa teorema yang dibahas pada bab ini , yaitu :
1.
Teorema Superposisi
2.
Teorema Substitusi
3.
Teorema Thevenin
4.
Teorema Norton
5.
Teorema Transformasi Sumber
6.
Teorema Transfer Daya Maksimum
Teorema Superposisi
Teorema superposisi ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier.
Rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y = kx,
k = konstanta dan x = variabel.
Pada setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arus dapat dihitung
dengan cara :
Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber
independent/ bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus
independent/ bebas lainnya diganti dengan tahanan dalamnya.
Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka dengan teorema
superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimana nantinya n buah keadaan
tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buah sumber tak bebas maka tetap saja teorema
superposisi menghitung untuk n buah keadaan dari n buah sumber yang bebasnya.
Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumber independent
atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber dependent arus/ tegangan
sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau sebanding dengan jumlah pangkat satu
besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor ( R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).
Analisa rangkaian dengan teorema superposisi
Rangkaian berikut ini dapat dianalisa dengan mengkondisikan sumber tegangan aktif/bekerja
sehingga sumber arusnya menjadi tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak
hingga atau rangkaian open circuit). Oleh sebab itu arus i dalam kondisi sumber arus OC yang
mengalir di R10Ω dapat ditentukan.
Kemudian dengan mengkondisikan sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif
(diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit). Disini arus i dalam
kondisi sumber tegangan SC yang mengalir di R10Ω dapat ditentukan juga. Akhirnya dengan
penjumlahan aljabar kedua kondisi tersebut maka arus total akan diperoleh.
Teorema Substitusi
Pada teorema ini berlaku bahwa :
Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang
mengalir (sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan
dengan sumber tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus
tersebut melalui komponen pasif tersebut.
Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R, maka sumber
tegangan penggantinya bernilai Vs = i.R dengan tahanan dalam dari sumber
tegangan tersebut sama dengan nol.
Analisa rangkaian dengan teorema substitusi
Rangkaian berikut dapat dianalisa dengan teorema substitusi untuk menentukan arus yang
mengalir pada resistor 2Ω.
Harus diingat bahwa elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir (sebesar i)
maka pada elemen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber tegangan Vs yang
mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melaluinya.
Kemudian untuk mendapatkan hasil akhirnya analisa dapat dilakukan dengan analisis mesh
atau arus loop.
Teorema Thevenin
Pada teorema ini berlaku bahwa :
Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu
buah sumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah tahanan
ekivelennya pada dua terminal yang diamati.
Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis
rangkaian, yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan
yang dihubungkan seri dengan suatu resistansi ekivalennya.
Gambar dibawah ini, dengan terorema substitusi kita dapat melihat rangkaian sirkit
B dapat diganti dengan sumber tegangan yang bernilai sama saat arus melewati
sirkit B pada dua terminal yang kita amati yaitu terminal a-b.
Setelah kita dapatkan rangkaian substitusinya, maka dengan menggunakan teorema
superposisi didapatkan bahwa :
 Ketika sumber tegangan V aktif/bekerja maka rangkaian pada sirkit linier A tidak aktif (semua
sumber bebasnya mati diganti tahanan dalamnya), sehingga didapatkan nilai resistansi
ekivelnnya.
 Ketika sirkit linier A aktif/bekerja maka pada sumber tegangan bebas diganti dengan tahanan
dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit.
 Dengan menggabungkan kedua keadaan tadi (teorema superposisi) maka didapatkan :
i  i1  i sc
V
i
 i sc  (1)
Rth
Pada saat terminal a-b di open circuit (OC), maka i yang mengalir samadengan nol
(i = 0), sehingga :
i
V
 isc
Rth
0
Voc
 isc
Rth
Voc  isc .Rth  (2)
Dari persamaan (1) dan (2) , didapatkan :
i
R
V
V
1
 i sc  
 i sc th 
(V  i sc .Rth )
Rth
Rth
Rth Rth
i.Rth  V  Voc
V  Voc  i.Rth
Menentukan resistansi pengganti (Rth)
 Cara memperoleh resistansi pengganti (Rth) adalah dengan mematikan atau
menon aktifkan semua sumber bebas pada rangkaian linier A (untuk sumber
tegangan tahanan dalamnya = 0 atau rangkaian short circuit dan untuk
sumber arus tahanan dalamnya =  atau rangkaian open circuit).
 Jika pada rangkaian tersebut terdapat sumber dependent atau sumber tak
bebasnya, maka untuk memperoleh resistansi penggantinya, terlebih dahulu
kita mencari arus hubung singkat (isc), sehingga nilai resistansi penggantinya
(Rth) didapatkan dari nilai tegangan pada kedua terminal tersebut yang diopen circuit dibagi dengan arus pada kedua terminal tersebut yang di- short
circuit .
Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Thevenin
 Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.
 Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, open circuit kan pada terminal a-b kemudian
hitung nilai tegangan dititik a-b tersebut (Vab = Vth).
 Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur pada
titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti dengan tahanan
dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan untuk
sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (Rab = Rth).
 Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti
Theveninnya didapatkan dengan cara :
Rth 
Vth
I sc
 Untuk mencari Isc pada terminal titik a-b tersebut dihubungsingkatkan dan dicari arus
yang mengalir pada titik tersebut (Iab = Isc).
 Gambarkan kembali rangkaian pengganti Theveninnya, kemudian pasangkan kembali
komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.
Teorema Norton
Pada teorema ini berlaku bahwa :
Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah
sumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua
terminal yang diamati.
Tujuan teorema Norton adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan
membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu
tahanan ekivalennya.
i
V
i sc
RN
Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton
 Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.
 Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b
kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (Iab = Isc = IN).
 Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur
pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti dengan
tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan
untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (Rab = RN = Rth).
 Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti
Nortonnya didapatkan dengan cara :
RN 
Voc
IN
 Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan pada
titik tersebut (Vab = Voc).
 Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan kembali
komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.
Teorema Transformasi Sumber
Sumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi dapat diganti dengan sumber
arus yang dihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya.
Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan atau
multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti (Teorema Millman)
Langkah-langkah analisa
 Ubah semua sumber tegangan ke sumber arus
 Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel
it 
V1 V2 V3


R1 R2 R3
1
1
1
1



Rt R1 R2 R3
 Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan
Vek  it .Rt
Rek  Rt
Teorema Transfer Daya Maksimum
Teorema ini menyatakan bahwa :
Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansi
sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan
sumber arus.
Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :
PL  VL .i  i.RL .i  i 2 .RL
dim ana :
Vg
i
R g  RL
sehingga :
Vg
PL  (
) 2 .RL
R g  RL
Dengan asumsi Vg dan Rg tetap, dan PL merupakan fungsi RL, maka untuk mencari
nilai maksimum PL adalah :
PL  (
Vg
R g  RL
) .R L 
Vg
2
2
.R L  V g ( R g  R L )  2 R L
2
( Rg  RL ) 2

dPL
2
 V g ( R g  R L )  2  2( R g  R L )  3 R L
dRL



2 RL
1
2
0  Vg 


2
( R g  RL ) 3 
 ( R g  RL )
 R g  RL 
2
0  Vg 
3
 ( R g  RL ) 
sehingga :
RL  Rg
Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika beban RL
samadengan beban intern sumber Rg.
Maka didapatkan daya maksimumnya :
PLmax 
Vg
2
4Rg
Transformasi Resistansi Star – Delta ()
Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu saat dianalisis ternyata
bukan merupakan hubungan seri ataupun hubungan paralel yang telah kita pelajari
sebelumnya, maka jika rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau
bintang atau rangkaian tipe T, ataupun membentuk hubungan delta atau segitiga atau
rangkaian tipe , maka diperlukan transformasi baik dari star ke delta ataupun
sebaliknya.
Tinjau rangkaian Star ()
Tinjau node D dengan analisis node dimana node C sebagai ground.
VD  V A VD  VB VD


0
R1
R3
R2
VD (
V V
1 1 1
  ) A  B
R1 R3 R2
R1 R3
VD (
R2 R3  R1 R2  R1 R3 V A VB
) 
R1 R2 R3
R1 R3
VD 
R2 R3
R1 R2
VA 
VB
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2 R3  R1 R2  R1 R3
 i1 
R 2 R3
V A  VD V A VD V A 1
R1 R2
 
  (
VA 
VB )
R1
R1 R1 R1 R1 R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2 R3  R1 R2  R1 R3
i1 
R 2  R3
R2
VA 
VB  (1)
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2 R3  R1 R2  R1 R3
 i2 
i2 
R 2 R3
VB  VD VB VD VB 1
R1 R2
 
  (
VA 
VB )
R3
R3 R3 R3 R3 R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R1 R2  R1 R3
R1 R2
VA 
VB  (2)
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )
Tinjau rangkaian Delta ()
Tinjau node A dengan analisis node dimana node C sebagai ground :
V A  VB V A

 i1
RA
RB
(
1
1
1
 )V A  V B  i1
R A RB
RA
Bandingkan dengan persamaan (1) pada rangkaian Star () :
R2  R3
R2
VA 
VB  i1
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2 R3  R1 R2  R1 R3
(
1 1
1
 )VA  VB  i1
RA RB
RA
sehingga :
1
R2


RA R2 R3  R1 R2  R1 R3
RA 
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2

R2  R3
1
1


R A RB R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2  R3
1
1


RB R2 R3  R1 R2  R1 R3 R A
R2  R3
R2
1


RB R2 R3  R1 R2  R1 R3 R2 R3  R1 R2  R1 R3
R3
1

RB R2 R3  R1 R2  R1 R3
RB 
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R3
Tinjau node B :
VB  V A VB

 i2
RA
RC

1
1
1
VA  (

)V B  i 2
RA
R A RC
Bandingkan dengan persamaan (2) pada rangkaian Star () :
R1 R2  R1 R3
R1 R2
VA 
VB  i2
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )

1
1 1
VA  (  )VB  i2
RA
RA RC
sehingga :
1 1
R1 R2
  
RA RC
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )
1
R1 R2
1


RC
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 ) RA
R1 R2  R1 R3
R1 R2
1


.
RC
R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 ) R3 ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )
R1
1

RC ( R2 R3  R1 R2  R1 R3 )
RC 
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R1
Perumusan
Transformasi Star () ke Delta ()
RA 
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R2
RB 
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R3
RC 
R2 R3  R1 R2  R1 R3
R1
Perumusan
Transformasi Delta () ke Star ()
R1 
R A RB
R A  RB  RC
R2 
RB RC
R A  RB  RC
R3 
R A RC
R A  RB  RC