modul praktikum prodi s1 matematika jurusan matematika fakultas

MODUL PRAKTIKUM
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
(MAM2201)
DISUSUN OLEH :
1.
2.
Zulkarnain, M.Si
Khozin Mu’tamar, M.Si
PRODI S1 MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS RIAU
2015
1
Modul 1 : Persamaan Diferensial Biaasa Orde-1
:
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa mengenal dasar-dasar Maple untuk menyelesaikan
PDB orde 1
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 linier menggunakan
Maple
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 secara manual dengan menggunakan bantuan Maple.
Materi
1.1
:
Bidang arah, Pemisahan variabel, Faktor integrasi.
Bidang arah
Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1
dy
= y 0 (x) = f (x)
dx
(1)
Secara geometris persamaan (??) dapat diartikan sebagai kemiringan suatu kurva yang
bernilai f (x) di setiap titiknya. Bidang arah dari persamaan (??) merupakan keluarga
kurva berarah dari f (x) berdasarkan nilai dari y 0 (x) yang tidak lain adalah kemiringan
dari y(x). Bidang arah sendiri dapat merepresentasikan perilaku dari solusi persamaan
diferensial yang akan diselesaikan.
KODE MAPLE
restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
with(plots)
:
Package Maple untuk melakukan ploting kurva.
D(y)(t)
:
Cara menulis dy/dt
diff(y,t)
:
Cara menulis dy/dt versi 2
DEplot
:
Memplot bidang arah dari dy/dt = f (t)
plot
:
Memplot kurva dari fungsi peubah tunggal f (x)
display
:
Memplot beberapa kurva dalam satu bidang
CONTOH
Misalkan diberikan PDB linier yaitu dy/dx = 2x + 2. Solusi umumnya adalah
y(x) = x2 + 2x + c
Berikut adalah bagaimana menampilkan kurva bidang arah yang sekaligus berdampingan
dengan kurva solusi dari PDB di atas
1
Kode 1: Bidang Arah
restart ;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
with (DETools) ;
with ( plots ) ;
pdb:=D( y ) ( x ) =2∗x+2;
yu:=(x , c )−>x^2+2∗x+c ;
p1:= plot (yu( x , 1 ) , x = −2..2 , color = blue ) ;
p2:= plot (yu( x , 2 ) , x = −2..2 , color=black ) ;
p3:= plot (yu( x , 3 ) , x = −2..2 , color=green ) ;
p4:= plot (yu( x , 4 ) , x = −2..2 , color=magenta) ;
p5:= plot (yu( x , 5 ) , x = −2..2 , color=yellow ) ;
dp:=DEplot (pdb , y ( x ) , x= −2..2 ,y= −10..10) ;
display ( {dp , p1 , p2 , p3 , p4 , p5} ) ;
LATIHAN
Gambarkanlah bidang arah berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun
laporan atas permasalahan berikut ini.
1. y 0 = y(1 − y)
2. y 0 (x) + 2y(x) = 2
3. y 0 (x) = x − 2
4. y 0 (x) − 2y(x) = 2x + 2
1.2
Pemisahan Variabel
Misalkan diberikan PDB orde 1 dalam bentuk
M (x, y)dy + N (x, y)dx = 0
(2)
Jika M (x, y) hanya mengandung variabel y saja dan N (x, y) hanya mengandung variabel
x saja maka solusi dari persamaan (??) dapat ditentukan dengan pemisahan variabel,
yaitu dengan mengintegralkan terhadap masing-masing variabelnya.
M (x, y)dy = −N (x, y)dx
(3)
Z
(4)
M̃ (y)dy = −
Z
Ñ (x)dx
KODE MAPLE
restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
dsolve
:
Menyelesaikan PDB menggunakan package Maple
separable
:
Option dalam dsolve untuk separasi variabel
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap x
CONTOH
Misalkan diberikan PDB yaitu dy/dx = (1 − 2x)y 2 (x). Dengan manipulasi aljabar akan
diperoleh
dy
= (1 − 2x)dx
y 2 (x)
2
Dengan melakukan integral di kedua ruas akan diperoleh
Z
dy
= (1 − 2x)dx
2
y (x)
−1
= x − x2 + C
y(x)
Z
sehingga solusi umumny adalah
y(x) =
x2
1
−x+C
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah sebagai berikut ini
Kode 2: Pemisahan Variabel
1
2
3
4
5
restart ;
with ( DEtools ) ;
pdb:=D( y ) ( t ) =(1−2∗t ) ∗y ( t ) ^ 2 ;
int ( 1 /y^2 ,y )=int (1−2∗t , t ) ;
dsolve (pdb , [ separable ] ) ;
LATIHAN
Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun
laporan atas permasalahan berikut ini.
1. y 0 + y 2 sin x = 0
2.
3x2 + 4x + 2
2(y − 1)
3.
x2
1 − y2
4.
x − e−x
y + ey
5.
dy
= cos2 x cos2 2y
dx
1.3
Faktor Integrasi
Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dalam bentuk
P (x)y 0 (x) + Qy(x) = R(x)
(5)
Persamaan (??) dapat dituliskan dalam bentuk
y 0 (x) + q(x)y(x) = r(x)
(6)
Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan faktor integrasi yang didefinisikan sebagai
µ(x) = exp
Z
q(x) dx
µ0 (x) = µ(x)q(x)
3
(7)
(8)
Persamaan (??) kemudian dituliskan menjadi
µ(x)y 0 (x) + µ(x)q(x)y(x) = µ(x)r(x)
dµ(x)y(x)
= µ(x)r(x)
dx
(9)
Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan mengintegralkan masing-masing ruas
sehingga
Z
dµ(x)y(x) =
Z
µ(x)r(x) dx
y(x) = µ
−1
(x)
Z
µ(x)r(x) dx + C
(10)
KODE MAPLE
dsolve
:
Menyelesaikan PDB secara langsung dari maple
rhs
:
Mengambil ruas kanan dari suatu persamaan
int(y(t),t)
:
Mengintegralkan y(t) terhadap t atau
simplify
:
Menampilkan output dalam bentuk paling sederhana
R
y(t) dt
CONTOH
1. y 0 (x) + 2y(x) = 2
Secara manual, pertama, tentukan faktor integrasi, yaitu
µ = exp
Z
2 dx = exp (2x)
Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh
exp 2x(y 0 (x) + 2y(x)) = 2 exp 2x
d(y(x) exp 2x)
= 2 exp 2x
dx
Z
Z
d(y(x) exp 2x) = 2 exp 2xdx
y(x) exp 2x = exp 2x + C
y(x) = C exp (−2x) + 1
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple, maka kodenya adalah
1
2
3
4
5
6
7
8
Kode 3: Faktor Integrasi
restart ;
with ( DEtools ) ;
pdb:=(D( y ) ) ( x ) +2∗y ( x ) =2;
mu:=exp ( int ( 2 , x ) ) ;
pdbRKa:= mu∗ rhs (pdb) ;
yRKa:= int (pdbRKa, x ) ;
y:=(yRKa+C) /mu;
dsolve (pdb) ;
2. 2y 0 (x) + 4y(x) = ex
4
Persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi
y 0 (x) + 2y(x) = ex /2
Faktor integrasi dari persamaan di atas adalah
µ = exp
Z
2 dx = exp (2x)
Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh
exp (2x)(y 0 (x) + 2y(x)) = exp (3x)/2
d(y(x) exp 2x)
= exp (3x)/2
dx
Z
Z
1
exp 3xdx
d(y(x) exp 2x) =
2
1
y(x) exp 2x = exp 3x + C
6
1
y(x) = exp x + C exp (−2x)
6
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kode 4: Faktor Integrasi
restart ;
with ( DEtools ) ;
pdb:=2∗(D( y ) ) ( x ) +4∗y ( x ) = exp ( x ) ;
pdbn: = ( 1 / 2 ) ∗pdb ;
mu:= exp ( int ( 2 , x ) ) ;
pdbnRA:=mu∗ rhs (pdbn) ;
yRA:= int (pdbnRA, x ) ;
y:= simplify ( (yRA+C) /mu) ;
simplify ( dsolve (pdb) ) ;
LATIHAN
Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun
laporan atas permasalahan berikut ini.
1. y 0 (x) − 2y(x) = 2
2. y 0 (x) = −y − 2
3. y 0 (x) − 2y(x) = 2x + 2
4. y 0 + 2y = te−2t , dengan nilai awal y(1) = 0
5
2
Modul 2 : Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 Lanjutan
:
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa mampu menentukan suatu persamaan diferensial eksak
atau bukan
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan Persamaan diferensial homogen
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB eksak
Materi
2.1
:
PDB orde 1 homogen, PDB orde 1 eksak
PDB Orde 1 Homogen
Bentuk umum PDB orde 1 homogen adalah
dy
= f (x, y) = f
dx
y
x
(11)
Artinya, suku tak homogen f (x, y) dapat dibentuk dalam fungsi rasional yang terdiri atas
x dan y secara eksplisit. Solusi masalah ini adalah dengan memisalkan
z=
y
−→ xz = y
x
sehingga diperoleh PDB yang baru
x
dz
+ z = f (z)
dx
Menggunakan operasi aljabar, akan diperoleh
dx
dz
=
f (z) − z
x
yang penyelesaiaannya dilakukan dengan integral masing-masing ruas.
KODE MAPLE
restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap x
simplify(f)
:
Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana
convert(f,parfrac,x)
:
Melakukan konversi f dengan format parfrac
parfrac
:
Bentuk rasional partisi, yaitu bentuk a/b
CONTOH
Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini
dy
y 2 + 2xy
=
dx
x2
6
Pertama, sederhanakan bentuk PDB di atas menjadi
dy
2xy
y2
= 2+ 2 =
dx
x
x
2
y
x
+2
y
x
Terlihat bahwa suku tak homogen tersusun dalam bentuk y/x. Selanjutnya, misalkan
z = y/x maka diperoleh
dy = x dz + z dx
sehingga
x
dz
dz
dx
+ z = z 2 + 2z −→ 2
=
−→
dx
z +z
x
Z
dz
=
z2 + z
Z
dx
x
ruas kiri persamaan menjadi
Z
dz
=
2
z +z
Z
1
dz −
z
Z
1
dz
z+1
sehingga menghasilkan
ln z − ln (z + 1) = ln x + ln C −→
z
= Cx
z+1
dengan mengembalikan substitusi z = y/x diperoleh
y(x) =
Cx2
1 − Cx
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah
Kode 5: PDB orde 1 Homogen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
restart ;
with (DETools) ;
ode:= d i f f ( y ( x ) , x ) =(y ( x ) ^2+2∗y ( x ) ∗x ) /x ^ 2 ;
ode2:=subs ( y ( x )=z ( x ) ∗x , ode ) ;
ode3:= simplify ( ode2 ) ;
ode4:= simplify ( ode3−z ( x ) ) ;
ode4kiri := convert ( 1 / rhs ( ode4 ) , parfrac , z ( x ) ) ;
r u a s k i r i := int ( 1 / z −1/(z+1) , z ) ;
ruaskanan:= int ( 1 / x , x ) ;
s o l := r u a s k i r i = ruaskanan ;
simplify ( subs ( z = y/x , s o l ) ) ;
LATIHAN
Tentukan solusi dari PDB orde 1 homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan
komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.
1.
dy
x + 3y
=
dx
x−y
2.
4y − 3x
dy
=
dx
2x − y
3.
dy
x2 + xy + y 2
=
dx
x2
4.
dy
x2 − 3y 2
=
dx
2xy
7
5.
2.2
dy
2xy
= 2
dx
x − 3y 2
PDB Orde 1 Eksak
Misalkan diberikan persamaan diferensial
M (x, y)dy + N (x, y)dx = 0
Persamaan diferensial di atas dikatakan PDB orde 1 Eksak jika memenuhi
dM (x, y)
dN (x, y)
=
dx
dy
Misalkan solusi persamaan di atas adalah ψ(x, y). Solusi ini memenuhi
dψ(x, y)
= N (x, y)
dx
dψ(x, y)
= M (x, y)
dy
Solusi dapat diperoleh dengan beberapa langkah substitusi, yaitu
1. Integralkan N (x, y) terhadap variabel x sehingga menghasilkan fungsi ψ(x, y) yang
mengandung fungsi C = g(y).
2. Substitusikan ψ(x, y) di atas pada bentuk M (x, y) sehingga akan diperoleh
dg(y)
dy
3. Integralkan bentuk di atas sehingga diperoleh hasil g(y)
4. Substitusikan pada bentuk pertama sehingga diperoleh solusi khusus.
KODE MAPLE
restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
diff(f,x)
:
Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap x
unapply(f,x,y)
:
Merubah ekpresi f menjadi fungsi dengan variabel x dan y
simplify(f)
:
Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana
implicit(f)
:
Menampilkan fungsi f secara implicit
CONTOH
Selesaikan persamaan diferensial berikut ini
(4x + 2y)dx + (2x − 2y)dy = 0
8
Berdasarkan soal, diperoleh
dM (x, y)
=2
dx
dN (x, y)
N (x, y) = 4x + 2y −→
=2
dy
M (x, y) = 2x − 2y −→
yang menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini merupakan PDB orde 1 eksak. Selanjutnya, integralkan N (x, y) terhadap variabel x sehingga diperoleh
ψ(x, y) =
Z
N (x, y) dx = 2x2 + 2xy + g(y)
Substitusikan pada M (x, y) sehingga
dψ(x, y)
dg(y)
= M (x, y) −→ 2x +
= 2x − 2y
dy
dy
Sederhanakans sehingga menghasilkan
dg(y)
= −2y
dy
yang dengan integral biasa akan menghasilkan
g(y) = −y 2
Solusi akhir dari permasalahan ini adalah
ψ(x, y) = 2x2 + 2xy − y 2
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple kodenya adalah
Kode 6: PDB eksak
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
restart ;
with (DETools) ;
ode:=4∗x+2∗y ( x ) =−(2∗x−2∗y ( x ) ) ∗ (D( y ) ) ( x ) ;
s o l := simplify ( dsolve ( ode , i m p l i c i t ) ) ;
N :=(x , y )−>4∗x+2∗y ;
M :=(x , y )−>2∗x−2∗y ;
Ny := d i f f (N( x , y ) , y ) ;
Mx := d i f f (M( x , y ) , x ) ;
psi :=unapply ( int (N( x , y ) , x )+g ( y ) , x , y ) ;
odeN:=M( x , y ) −( d i f f ( psi ( x , y ) , y ) ) ;
dsolve (odeN) ;
LATIHAN
Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi
serta buat laporan kerja dari tugas ini.
1. (2x + 4y) + (2x − 2y)y 0 = 0
2. 2xy 2 + 2y + (2x2 y + 2x)y 0 = 0
9
3. (x ln y + xy)dx + (y ln x + xy)dy = 0
4. (y/x + 6x)dx + (ln x − 2)dy = 0
5. (ex sin y + 3y)dx − (3x − ex sin y)dy = 0
10
3
Modul 3 : Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Homogen
TIU
:
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
TIK
:
Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 2 homogen dengan menggunakan metode persamaan karateristik
Materi
:
Metode Karateristik
Bentuk umum PDB orde 2 homogen adalah
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = 0.
Didefinisikan λ =
(12)
d
sehingga persamaan (??) menjadi
dt
(aλ2 + bλ + c)y(t) = 0
Dengan asumsi y(t) 6= 0 maka akan diperoleh persamaan karateristik yaitu
aλ2 + bλ + c = 0
(13)
yang merupakan persamaan kuadrat dengan 3 kemungkinan akar,yaitu riil berbeda, riil
sama dan akar imajiner. Solusi persamaan (??) ditentukan berdasarkan jenis dan nilai
solusi persamaan (??)
1. Jika solusinya akar riil berbeda maka solusi umumnya berbentuk
y(t) = c1 exp λ1 t + c2 exp λ2 t
2. Jika solusinya akar riil sama maka solusi umumnya berbentuk
y(t) = c1 exp λt + c2 t exp λt
3. Jika solusinya akar imajiner yang berbentuk z = α + ßβ maka solusi umumnya
berbentuk
y(t) = exp (αt)(A cos βt + B sin βt)
KODE MAPLE
with(DETools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial.
dsolve
:
Menyelesaikan persamaan diferensial
solve
:
Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier
Re(z)
:
Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib.
Im(z)
:
Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib.
CONTOH
1. y 00 (x) − 9y 0 (x) + 9y(x) = 0
11
Persamaan karateristiknya adalah
λ2 − 9λ + 9 = 0
Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah
λ1,2 =
9±
√
√
81 − 36
9±3 5
=
2
2
Solusi umum dari masalah di atas adalah
√ !
√ !
9+3 5
9−3 5
y(x) = C1 exp
+ C2 exp
2
2
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah
Kode 7: PDB Orde-2
1
2
3
4
5
6
7
restart ;
with (DETools) ;
pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( x ) −9∗(D( y ) ) ( x ) +9∗y ( x ) =0;
ye:= dsolve (pdb) ;
pk:=lambda^2−9∗lambda+9 = 0 ;
ak:= solve (pk) ;
y:=c1∗exp ( ak [ 1 ] ) +c2∗exp ( ak [ 2 ] ) ;
2. y 00 (x) + y 0 (x) + 9y(x) = 0 Persamaan karateristiknya adalah
λ2 + λ + 9 = 0
Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah
λ1,2 =
−1 ±
√
1 − 36
2
√
−1 ± 35i
=
2
Solusi umum dari masalah di atas adalah
y(x) = exp
−1
x
2
C1 cos
35
2
+ C2 sin
35
2
Jika diselesaikan dengan Maple maka langkah penyelesaiaannya adalah
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kode 8: PDB Orde-2
restart ;
with (DETools) ;
pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( x )+D( y ) ( x ) +9∗y ( x ) =0;
ye:= dsolve (pdb) ;
pk:=lambda^2+lambda+9=0;
ak:= solve (pk) ;
akR:=Re( ak [ 1 ] ) ;
akI:=Im( ak [ 1 ] ) ;
y:=exp (akR∗x ) ∗ ( c1∗ cos ( akI∗x )+c2∗ sin ( akI∗x ) ) ;
12
LATIHAN
Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 homogen berikut ini. Kerjakan secara manual
dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.
1. 2y 00 (t) − 3y 0 (t) + y(t) = 0
2. y 00 (t) − 2y 0 (t) − 2y(t) = 0
3. y 00 (t) + 3y(t) = 0
4. 4y 00 (t) − y 0 (t) = 0
5. 2y 00 (t) + y 0 (t) − 4y(t) = 0 dengan nilai awal y 0 (0) = 1 dan y(0) = 1
13
4
Modul 4 : Persamaan Diferensial Biasa orde-2 Nonhomogen
:
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde 2 dengan menggunakan metode koefisien tak tentu
2. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde 2 dengan menggunakan metode variasi parameter
Materi
4.1
:
PD orde 2 nonhomogen
Metode Koefisien Tak Tentu
Bentuk umum PDB orde 2 tak homogen adalah
ay 00 (x) + by 0 (x) + cy(x) = f (x)
(14)
Solusi PDB orde 2 nonhomogen disusun atas solusi homogen (yh ) dan solusi partikular
(yp ). Solusi homogen diperoleh dengan mengasumsikan f (x) = 0. Selanjutnya, solusi
partikular diperoleh dengan memperhatikan bentuk f (x) kemudian menyesuaikan dengan
tabel berikut ini
Fungsi yp selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (??). Dengan menggunakan manipulasi aljabar, maka akan diperoleh setiap nilai dari koefisien yang diinginkan.
KODE MAPLE
restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DETools)
:
Package Maple masalah persamaan diferensial
dsolve
:
Menyelesaikan persamaan diferensial
solve
:
Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier
diff(f,x)
:
Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x
$
:
Menyatakan repetisi atau pengulangan
CONTOH
Misalkan diberikan PDB orde 2 tak homogen y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2. Secara manual,
dihitung solusi homogen dimana
λ2 − 4λ + 3 = 0
(λ − 3)(λ − 1) = 0
sehingga akar karateristiknya adalah λ1 = 1 dan λ2 = 3. Solusi homogen dari PDB orde
2 di atas adalah
yh = c1 exp t + c2 exp 3t
14
Oleh karena f (t) = 2 maka solusi partikular yang dipilih adalah yp = k ·2 dengan k adalah
konstanta yang akan ditentukan nilainya. Selanjutnya diperoleh
yp = 2k
yp0 = 0
yp00 = 0
Substitusikan dalam PDB awal sehingga diperoleh
0 − 4 · 0 + 3(2k) = 2
yang menghasilkan k = 1/3 dan solusi umumnya adalah
y(t) = c1 exp t + c2 exp 3t +
2
3
Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah
Kode 9: PDB Orde-2 nonhomogen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
restart ;
with (DETools) ;
pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( t ) −4∗D( y ) ( t ) +3∗y ( t ) =2;
pk:=lambda^2−4∗lambda+3;
ak:= solve (pk) ;
yh:=c1∗exp ( ak [ 1 ] ∗ t )+c2∗exp ( ak [ 2 ] ∗ t ) ;
yp:=2∗k ;
ypt:= d i f f (yp , t ) ;
yptt:= d i f f ( ypt , t ) ;
pdbnew:= 0−4∗0+3∗yp = 2 ;
k:= solve (pdbnew, k ) ;
s o l u s i :=yh+yp ;
s o l u s i 2 := dsolve (pdb) ;
Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan
output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual.
LATIHAN
Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual
dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.
1. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2t
2. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2 + cos 3t
3. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2t + sin 3t
4. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2t + cos 3t + 4
5. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = exp 3t
15
4.2
Metode Variasi Parameter
Metode variasi parameter mengasumsikan solusi partikular dari persamaan (??) berbentuk
yp (x) = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x)
Persamaan di atas kemudian didiferensialkan sehingga
y 0 = u01 y1 + u1 y10 + u02 y2 + u2 y20
dan diasumsikan u01 y1 + u02 y2 = 0 sehingga
y 0 = u1 y10 + u2 y20
y 00 = u01 y10 + u1 y100 + u02 y20 + u2 y200
Persamaan ini kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (??) sehingga menghasilkan
sistem
u01 y10 + u02 y20 = f (x)
u01 y1 + u02 y2 = 0
dengan solusi sistem adalah
y2 f (x)
dx
W (y1 , y2 )
Z
y1 f (x)
u2 =
dx
W (y1 , y2 )
u1 = −
Z
dimana y1 , y2 adalah solusi homogen dari persamaan (??) dan W (y1 , y2 ) adalah Wronskian
dari y1 dan y2 yang didefinisikan sebagai
y
1
W (y1 , y2 ) = 0
y
1
y2 = y1 y20 − y10 y2
y20 Solusi umum PDB orde-2 dengan variasi parameter adalah
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + yp (x)
KODE MAPLE
with(LinearAlgebra)
:
Package Maple untuk aljabar linier.
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap variabel x.
Re(z)
:
Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib.
Im(z)
:
Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib.
Determinant(A)
:
Menghitung determinan matriks
simplify(A)
:
Menampilkan bentuk yang paling sederhana
16
CONTOH
Misalkan diberikan PDB orde 2 tak homogen y 00 (x) + 4y(x) = csc 2x. csc 2x akan sulit
untuk ditentukan secara koefisien tak tentu. Solusi homogen dari persamaan tersebut
adalah
λ2 + 4 = 0
sehingga akar karateristiknya adalah λ1 = ±2i. Solusi homogen dari PDB di atas adalah
yh = c1 cos 2x + c2 sin 2x
Selanjutnya dihitung Wronskian
W = cos 2x sin0 2x − sin 2x cos0 2x = 2
Solusi untuk u1 (x) dan u2 (x) adalah
u1 = −
u2 =
1
2
1
2
Z
1
csc 2x sin 2x dx = − x
2
1
csc 2x cos 2x dx = ln sin 2x
4
Z
Solusi partikularnya adalah
1
1
yp (x) = − x cos 2x + sin 2x ln (sin 2x)
2
4
Solusi umum dari permasalahan di atas adalah
1
1
y(x) = c1 cos 2x + c2 sin 2x − x cos 2x + sin 2x ln (sin 2x)
2
4
Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kode 10: PDB Orde-2 nonhomogen
restart ;
with ( LinearAlgebra ) ;
with (DETools) ;
f := csc ( 2 ∗x ) ;
pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( x ) +4∗y ( x )=f ;
pk:=lambda^2+4 = 0 ;
ak:= solve (pk) ; akR := Re( ak [ 1 ] ) ; akI := Im( ak [ 1 ] ) ;
yh:=exp (akR∗x ) ∗ ( c1∗ cos ( akI∗x )+c2∗ sin ( akI∗x ) ) ;
y1:= cos ( akI∗x ) ; y2 := sin ( akI∗x ) ;
wron:=<<y1 , d i f f ( y1 , x )>|<y2 , d i f f ( y2 , x )>>;
w:= simplify ( Determinant (wron) ) ;
u1:=−( int ( f ∗y2/w, x ) ) ;
u2:= int ( f ∗y1/w, x ) ;
yp:=u1∗y1+u2∗y2 ;
yt:= yh+yp ;
ye:= dsolve (pdb) ;
Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan
17
output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual.
LATIHAN
Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual
dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.
1. y 00 (t) − 5y 0 (t) + 6y(t) = 2 exp t
2. y 00 (t) + 2y 0 (t) + y(t) = 3 exp (−t)
3. y 00 (t) + y(t) = tan t
4. y 00 (t) + 9y(t) = 9 sec2 3t
18
5
Modul 5 : Sistem Persamaan Diferensial Biasa
:
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa mampu menentukan jenis kestabilan dari sistem PDB
linier
2. Mahasiswa mampu menentukan solusi dari sistem persamaan diferensial dengan subtitusi
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan solusi sistem persamaan diferensial biasa dengan matriks fundamental.
Materi
5.1
:
Sistem Persamaan Diferensial Linier
Sistem Persamaan Diferensial Linier
Sistem persamaan diferensial linier adalah sekumpulan persamaan diferensial yang bersifat
linier. Bentuk umum yang sering dijumpai adalah
dx
= ax + by
dt
dy
= cx + dy
dt
(15)
(16)
dimana a, b, c, d adalah koefisien sedangkan x, y adalah variabel yang bergantung kepada
variabel bebas t. Bentuk diatas seringkali juga dinyatakan dalam bentuk matriks persamaan diferensial, yaitu
x0 (t)
y 0 (t)
!
=
a b
!
c d
!
x(t)
(17)
y(t)
atau yang kemudian ditulis dalam notasi matriks dan vektor sehingga
~x˙ = A~x
dengan ~x = (x(t) y(t))T dan
A=
5.2
a b
!
c d
Kestabilan berdasarkan Nilai Eigen
Perhatikan bahwa sistem PDB linier dapat dituliskan dalam notasi matriks dan vektor.
Kestabilan dari sistem ini dapat ditentukan dengan memeriksa nilai eigen dari matriks A.
Nilai eigen dari matriks A dapat ditentukan dengan persamaan
a − λ
det (A − λI) = c
19
b =0
d − λ
yang menghasilkan
(λ − a)(λ − d) − bc = 0 −→ λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) = 0
yang nilai λ dapat ditentukan dengan persamaan
λ1,2 =
(a + d) ±
p
(a + d)2 − 4(ad − bc)
2
Berdasarkan nilai eigen matriks A, kestabilan sistem persamaan diferensial dapat ditentukan dengan kriteria sebagai berikut ini
1. Titik simpul
Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda yang sama.
Sistem stabil asimtotik jika akar negatif dan tidak stabil jika akar positif.
2. Titik pelana
Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda berbeda. Sistem
tidak stabil.
3. Titik bintang
Jika nilai akar λ adalah bilangan real dan sama. Sistem stabil jika akar bertanda
negatif dan tidak stabil jika bertanda positif.
4. Titik spiral
Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner. Sistem stabil asimtotik jika bagian real
dari akar bertanda negatif sedangkan sistem tidak stabil jika bagian real dari akar
bertanda positif.
5. Titik pusat
Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner murni. Sistem stabil namun tidak stabil
asimtotik.
KODE MAPLE
restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(LinearAlgebra)
:
Package Maple untuk aljabar linier yang digunakan untuk
menentukan nilai dan vektor eigen
Matriks(2,2,[[a,b],[c,d]])
:
Cara menulis matriks di Maple
< <a,c>|<b,d> >
:
Cara lain menulis matriks di Maple
Eigenvalues(A)
:
Menentukan nilai eigen dari suatu matriks
CONTOH
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial y 0 = 2x + 2y dan x0 = x + y
1
2
3
4
5
6
Kode 11: Nilai Eigen
restart ;
with (DETools) ;
with ( LinearAlgebra ) ;
sys : = [ (D( y ) ) ( t ) =2∗x ( t ) −2∗y ( t ) , (D( x ) ) ( t )=x ( t )−y ( t ) ] ;
A := Matrix ( 2 , 2 , [ [ 2 , 2 ] , [ 1 , 1 ] ] ) ;
B := <<2,1>|<2,1>>;
20
Eigenvalues (A) ;
Eigenvalues (B) ;
7
8
Pada output akan terlihat bahwa nilai eigen dari matriks A atau B adalah 0 dan 3 yang
berarti sistem di atas tidak stabil.
LATIHAN
Tentukan nilai eigen dan jenis kestabilan sistem persamaan diferensial berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.
1. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini
x0 = −2x
y 0 = −y
2. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini
x0 = −2x + 3y − z
y0 = x − y − z
z0 = y − z
5.3
Solusi dengan Substitusi
Pandang kembali sistem persamaan diferensial linier. Untuk mendapatkan solusi dengan
substitusi, dilakukan dengan beberapa langkah berikut ini
1. Turunkan persamaan (??) sehingga diperoleh
ẍ = aẋ + bẏ
2. Substitusikan persamaan (??) pada persamaan di atas menjadi
ẍ = aẋ + b (cx + dy)
3. Substitusikan persamaan (??) untuk mengganti variabel y sehingga diperoleh
ẋ − ax
ẍ = aẋ + cbx + bd
b
−→ ẍ − (a + d)ẋ + (ad − cb)x = 0
yang merupakan PDB orde 2 homogen
4. Solusi dari persamaan di atas disubstitusikan pada persamaan (??) yang selanjutnya
menjadi PDB orde 1 yang dapat diselesaikan dengan faktor integrasi.
CONTOH
21
Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial berikut ini
dy
dt
dx
dt
: 3x
: 8x + y
Untuk menyelesaikan SPDL di atas, dapat dilakukan dengan metode substitusi
1. Turunkan persamaan pertama sehingga diperoleh
y 00 = 3x0
2. Substitusikan persamaan kedua pada hasil langkah pertama sehingga diperoleh
y 00 = 3(8x + y) = 24x + 3y
3. Ganti variabel x menggunakan persamaan pertama pada sistem sehingga diperoleh
y 00 = 24x + 3y = 24(y 0 /3) + 3y = 8y 0 + 3y −→ y 00 − 8y 0 − 3y = 0
yang merupakan PDB orde 2 homogen yang solusinya dapat diselesaikan dengan
persamaan karateristik
λ2 − 8λ − 3 = 0
sehingga diperoleh
λ1,2 =
√
8±
dan solusinya adalah
√
y(t) = C1 e4+
19
64 + 12
2
√
+ C2 e4−
19
4. Substitusi solusi y(t) pada persamaan kedua dalam sistem sehingga diperoleh PDB
orde 1 dengan faktor integrasi
√
x0 − 8x = C1 e4+
19
dengan faktor integrasi
µ(t) = e8t .
22
√
+ C2 e4−
19
5. Menyelesaikan solusi untuk x(t) yaitu
√
µ(x0 − 8x) = µ C1 e4+
√
d(µx(t)) = µ C1 e4+
Z
d(µx(t)) =
Z
+ C2 e4−
19
+ C2 e4−
√
µ C1 e4+
µx(t) = C1
= C1
Z
√
19
√
e(12+
√
19
19)t
19
19
+ C2 e4−
dt + C2
√
e(12+ 19)t
√
dt
19
Z
dt
e(12−
√
19)t
dt
√
e(12− 19)t
√ + C2
√
12 + 19
12 − 19
√
√
e(4+ 19)t
e(4− 19)t
√ + C2
√
x(t) = C1
12 + 19
12 − 19
Jadi solusi akhir dari SPDL adalah
√
√
e(4+ 19)t
e(4− 19)t
√ + C2
√
x(t) = C1
12 + 19
12 − 19
√
y(t) = C1 e4+
19
+ C2 e4−
√
19
Jika diselesaikan dengan mengunakan Maple, maka langkahnya adalah sebagai berikut
ini
Kode 12: Sistem PDB Linier
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
restart ;
with (DETools) ;
sodes := d i f f ( y ( t ) , t ) =3∗x ( t ) , d i f f ( x ( t ) , t ) =8∗x ( t )+y ( t ) ;
dsolve ( [ sodes ] ) ;
l 0 := sodes [ 1 ] ;
l 1 := d i f f ( l0 , t ) ;
l 2 := sodes [ 2 ] ;
l 3 :=subs ( l2 , l 1 ) ;
l 4 :=subs ( x ( t ) =(1/3) ∗ lhs ( l 0 ) , l 3 ) ;
l 5 := dsolve ( l 4 ) ;
l 6 :=subs ( y ( t )=rhs ( l 5 ) , l 2 ) ;
dsolve ( l 6 ) ;
LATIHAN
Tentukan solusi dari SPDL berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat
laporan kerja dari tugas ini.
1. SPDL dengan 2 variabel
2. SPDL dengan 2 variabel
dy
dt
dx
dt
= 2x + 3y
dy
dt
dx
dt
= x + 2y
= x−y
= x+y
23
3. SPDL dengan 3 peubah
4. SPDL dengan 3 peubah
dx
dt
dy
dt
dz
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
= 2x + 3y − z
= x−y+z
= x+y+z
= x+y+z
= x−y−z
= y−x+z
24