Rangkaian Listrik

92
Rangkaian Listrik
BAB V
TEOREMA RANGKAIAN
Pada bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik
dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Dengan pengertian bahwa suatu persoalan
Rangkaian Listrik bukan tidak dapat dipecahkan dengan hukum-hukum dasar atau
konsep dasar ataupun dengan bantuan suatu analisis tertentu yang dibahas pada bab
sebelumnya, tetapi pada bab ini dibahas bahwa penggunaan teorema tertentu dalam
menyelesaikan persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dapat dilakukan dengan
menggunakan suatu teorema tertentu. Bahwa nantinya pada implementasi penggunaan
teorema tertentu akan diperlukan suatu bantuan konsep dasar ataupun analisis
rangkaian.
Ada beberapa teorema yang dibahas pada bab ini , yaitu :
1. Teorema Superposisi
2. Teorema Substitusi
3. Teorema Thevenin
4. Teorema Norton
5. Teorema Millman
6. Teorema Transfer Daya Maksimum
Teorema Superposisi
Pada teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, dimana rangkaian
linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y =
kx, dimana k = konstanta dan x = variabel.
Dalam setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arus
dapat dihitung dengan cara :
Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/
bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebas
lainnya diganti dengan tahanan dalamnya.
Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka dengan
teorema superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimana
nantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buah
sumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buah
keadaan dari n buah sumber yang bebasnya.
Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumber
independent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber
dependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau
sebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor (
R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
93
Rangkaian Listrik
Contoh latihan :
1. Berapakah arus i dengan teorema superposisi ?
Jawaban :
Pada saat sumber tegangan aktif/bekerja maka sumber arus tidak aktif (diganti dengan
tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit) :
20
= 1⋅ A
10 + 10
Pada saat sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif (diganti dengan
tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit) :
maka : i1 =
10
.1 = −0,5 ⋅ A
10 + 10
sehingga :
i2 = −
i = i1 + i2 = 1 − 0,5 = 0,5 A
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
94
Rangkaian Listrik
2. Tentukan nilai i dengan superposisi !
Jawaban :
Pada saat sumber Vs = 17V aktif/bekerja maka sumber tegangan 6 V diganti dengan
tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber arus 2 A diganti
dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :
3Ω // 0Ω → R p1 = 0Ω
2 x2
= 1Ω
2+2
1
17
VR p 2 =
x17 = V
1+ 3
4
− VR p 2
17
sehingga : i1 =
=− A
2
8
2Ω // 2Ω → R p 2 =
Pada saat sumber Vs = 6V aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengan
tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber arus 2 A diganti
dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
95
Rangkaian Listrik
3x2 6
= Ω
3+ 2 5
6
16
Rs = R p1 + 2Ω = + 2 = Ω
5
5
16 x3
48
Rs // 3Ω → R p 2 = 5
=
Ω
16 + 3 31
5
6
6
31
i2 =
=
=
A
R p 2 48
8
31
3Ω // 2Ω → R p1 =
Pada saat sumber Is = 2A aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengan
tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber tegangan 6 V
diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit :
3x2 6
= Ω
3+ 2 5
= 0Ω
3Ω // 2Ω → R p1 =
3Ω // 0Ω → R p 2
2
5
x2 = A
6
4
2+
5
sehingga : i = i1 + i2 + i3
i3 =
i=
− 17 31 5 24
+ + =
= 3A
8
8 4 8
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
96
Rangkaian Listrik
3. Tentukan nilai i dengan superposisi !
Jawaban :
Pada rangkaian ini terdapat sumber tak bebasnya, maka tetap dalam perhitungan dengan
teorema superposisi membuat analisis untuk n buah keadaan sumber bebas, pada soal
diatas terdapat dua buah sumber bebas, maka dengan superposisi terdapat dua buah
keadaan yang harus dianalisis.
Pada saat sumber Is = 8A aktif/bekerja maka sumber arus 4A diganti dengan tahanan
dalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :
3
x(3i1 − 8)
3+ 2
3
i1 = x(3i1 − 8)
5
i1 =
5i1 = 9i1 − 24 → i1 =
24
= 6A
4
Pada saat sumber Is = 4A aktif/bekerja maka sumber arus 8A diganti dengan tahanan
dalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
97
Rangkaian Listrik
3
x(3i 2 + 4)
3+ 2
3
i2 = x(3i2 + 4)
5
i2 =
− 12
= −3 A
4
sehingga : i = i1 + i2 = 6 − 3 = 3 A
5i2 = 9i2 + 12 → i1 =
Teorema Substitusi
Pada teorema ini berlaku bahwa :
Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir
(sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber
tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melalui komponen
pasif tersebut.
Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R, maka sumber tegangan
penggantinya bernilai Vs = i.R dengan tahanan dalam dari sumber tegangan tersebut
samadengan nol.
Contoh latihan :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
98
Rangkaian Listrik
2.2
+ 1 = 1⋅ Ω
2+2
2
it = = 1 ⋅ A
2
2
.1 = 0,5 ⋅ A → i1 = 0,5 ⋅ A
i2 =
2+2
Rt =
dengan teorema substitusi :
Resistor 1 Ω yang dilalui arus i2 sebesar 0,5 A, jika diganti dengan Vs = 1.i2 = 0,5 V,
akan menghasilkan arus i1 yang sama pada saat sebelum dan sesudah diganti dengan
sumber tegangan.
Dengan analisis mesh :
Loop i1 :
'
'
'
− 2 + i1 + 2(i1 − i2 ) = 0
'
'
3i1 − 2i2 = 2
loop i2 :
'
'
'
0,5 + i2 + 2(i2 − i1 ) = 0
'
'
− 2i1 + 3i2 = −0,5
dengan metoda Cramer :
 3 − 2  i1 '   2 

 '  = 

 − 2 3  i2   − 0,5 
2
−2
− 0,5 3
6 −1
'
i1 =
=
= 1⋅ A
3 −2
9−4
−2 3
3
2
− 2 − 0,5 − 1,5 + 4
'
i2 =
=
= 0,5 ⋅ A
3 −2
9−4
−2 3
'
'
sehingga : i1 = i1 − i2 = 1 − 0,5 = 0,5 ⋅ A
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
99
Rangkaian Listrik
Teorema Thevenin
Pada teorema ini berlaku bahwa :
Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah
sumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua
terminal yang diamati.
Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian,
yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan yang dihubungkan
seri dengan suatu resistansi ekivalennya.
Pada gambar diatas, dengan terorema substitusi kita dapat melihat rangkaian sirkit B
dapat diganti dengan sumber tegangan yang bernilai sama saat arus melewati sirkit B
pada dua terminal yang kita amati yaitu terminal a-b.
Setelah kita dapatkan rangkaian substitusinya, maka dengan menggunakan teorema
superposisi didapatkan bahwa :
1. Ketika sumber tegangan V aktif/bekerja maka rangkaian pada sirkit linier A
tidak aktif (semua sumber bebasnya mati diganti tahanan dalamnya), sehingga
didapatkan nilai resistansi ekivelnnya.
2. Ketika sirkit linier A aktif/bekerja maka pada sumber tegangan bebas diganti
dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit.
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
100
Rangkaian Listrik
Dengan menggabungkan kedua keadaan tadi (teorema superposisi) maka didapatkan :
i = i1 + isc
V
+ i sc KK (1)
Rth
Pada saat terminal a-b di open circuit (OC), maka i yang mengalir samadengan nol
(i = 0), sehingga :
i=−
i=−
V
+ i sc
Rth
0=−
Voc
+ isc
Rth
Voc = isc .Rth KK (2)
Dari persamaan (1) dan (2) , didapatkan :
R
V
V
1
i=−
+ i sc = −
+ i sc th =
(−V + i sc .Rth )
Rth
Rth
Rth Rth
i.Rth = −V + Voc
V = Voc − i.Rth
Cara memperoleh resistansi penggantinya (Rth) adalah dengan mematikan atau menon
aktifkan semua sumber bebas pada rangkaian linier A (untuk sumber tegangan tahanan
dalamnya = 0 atau rangkaian short circuit dan untuk sumber arus tahanan dalamnya = ∞
atau rangkaian open circuit).
Jika pada rangkaian tersebut terdapat sumber dependent atau sumber tak bebasnya,
maka untuk memperoleh resistansi penggantinya, terlebih dahulu kita mencari arus
hubung singkat (isc), sehingga nilai resistansi penggantinya (Rth) didapatkan dari nilai
tegangan pada kedua terminal tersebut yang di-open circuit dibagi dengan arus pada
kedua terminal tersebut yang di- short circuit .
Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Thevenin :
1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.
2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, open circuit kan pada terminal a-b
kemudian hitung nilai tegangan dititik a-b tersebut (Vab = Vth).
3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur
pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
101
Rangkaian Listrik
dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short
circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit)
(Rab = Rth).
4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti
V
Theveninnya didapatkan dengan cara Rth = th .
I sc
5. Untuk mencari Isc pada terminal titik a-b tersebut dihubungsingkatkan dan
dicari arus yang mengalir pada titik tersebut (Iab = Isc).
6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Theveninnya, kemudian pasangkan
kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.
Contoh latihan :
untuk sumber bebas/ independent
1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !
Jawaban :
Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititik
a-b pada saat terbuka :
Vab = Voc = −5 + 4.6 = −5 + 24 = 19V
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
102
Rangkaian Listrik
Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan
dalamnya) dilihat dari titik a-b :
Rth = 4Ω
Rangkaian pengganti Thevenin :
sehingga :
i=
19
A
8
2. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !
Jawaban :
Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititik
a-b pada saat terbuka :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
103
Rangkaian Listrik
dengan analisis node :
Tinjau node voltage v1 :
v1 v1 − 12
+
−3= 0
6
12
2v1 + v1 − 12 − 36 = 0
3v1 = 48 → v1 =
48
= 16V
3
sehingga :
Vab = Voc = 4.3 + v1 = 12 + 16 = 28V
Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan
dalamnya) dilihat dari titik a-b :
Rth =
6x12
+ 4 = 4 + 4 = 8Ω
6 + 12
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
104
Rangkaian Listrik
Rangkaian pengganti Thevenin :
sehingga :
i=
28
28
=
= 2A
8 + 6 14
3. Tentukan besarnya tegangan dititik a-b dengan teorema Thevenin !
Jawaban :
Cari Vab pada saat titik a-b terbuka :
Vab = Voc = Vax + V xb
24
x 24 = 12V
24 + 24
48
V xb =
x 24 = 16V
48 + 24
sehingga : Vab = Voc = −12 + 16 = 4V
Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan
dalamnya) dilihat dari titik a-b :
V xa =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
105
Rangkaian Listrik
24 x 24
48 x 24
+
= 12 + 16 = 28Ω
24 + 24 48 + 24
Rangkaian pengganti Thevenin :
Rth =
sehingga :
Vab = −4 + 28.2 = −4 + 56 = 52V
Contoh latihan :
untuk sumber tak bebas/ dependent
1. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !
Jawaban :
Mencari Vab dimana tegangan di R=3Ω, dimana rangkaian tersebut terbuka :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
106
Rangkaian Listrik
Vab = Voc = −2i1 − 1.i1 + 12 = −3i1 + 12
dim ana : i = −6 A
Voc = (−3x − 6) + 12 = 18 + 12 = 30V
Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan
mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :
i sc = i 2 + 6
Σv = 0
− 12 + 1.i2 + 2i2 = 0
12
= 4A
3
sehingga : i sc = i2 + 6 = 4 + 6 = 10 A
3i2 = 12 → i2 =
Voc 30
=
= 3Ω
i sc 10
Rangkaian pengganti Thevenin :
maka : Rth =
V =
3
x30 = 15V
3+3
2. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
107
Rangkaian Listrik
Jawaban :
Cari Vab saat titik a-b terbuka :
Vab = Voc = +12 − 3.6 = 12 − 18 = −6V
Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan
mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :
Σv = 0
2i sc + 3(i sc + 6) − 12 = 0
−6
A
5
V
−6
sehingga : Rth = oc =
= 5Ω
−6
i sc
5
Rangkaian pengganti Thevenin :
5i sc + 6 = 0 → i sc =
i=
−6
= −1A
6
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
108
Rangkaian Listrik
3. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !
Jawaban :
Mencari Vab :
3V
V1
+ V1 = 1
4
2
perhatikan..node..c :
V1 V1
= +2
2
4
V1
= 2 → V1 = 8V
4
3V
3.8
sehingga : Voc = 1 =
= 12V
2
2
Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan
mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :
Vab = Voc = 2
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
109
Rangkaian Listrik
Substitusikan persamaan (1) dan (2) :
4i
i
V
i sc = 2 − 2 = 2 − sc = 2 − sc
4
3.4
3
4i sc
6
= 2 → i sc = A
3
4
Voc 12
sehingga : Rth =
=
= 8Ω
6
i sc
4
Rangkaian pengganti Thevenin :
V =
4
x12 = 4V
4+8
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
110
Rangkaian Listrik
Teorema Norton
Pada teorema ini berlaku bahwa :
Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah
sumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua
terminal yang diamati.
Tujuan untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan membuat rangkaian
pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu tahanan ekivalennya.
i=−
V
+i sc
RN
Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton :
1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.
2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b
kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (Iab = Isc = IN).
3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur
pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti
dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short
circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit)
(Rab = RN = Rth).
4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti
V
Nortonnya didapatkan dengan cara R N = oc .
IN
5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan
pada titik tersebut (Vab = Voc).
6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan
kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
111
Rangkaian Listrik
Contoh latihan :
untuk sumber bebas/ independent
1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Norton !
Jawaban :
Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung isc = iN saat R =
4Ω dilepas :
Analisis mesh :
- Tinjau loop I1 :
I 1 = 6 A................................(1)
- Tinjau loop I3 :
Σv = 0
− 5 + 8( I 3 − I 2 ) = 0
8( I 3 − I 2 ) = 5
substitusikan.. pers.(2) :
3I
8( 2 − I 2 ) = 5
2
5
4I 2 = 5 → I 2 = A
4
sehingga : i sc = i N = I 1 − I 2 = 6 −
5 19
=
A
4 4
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
112
Rangkaian Listrik
Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan
dalamnya) dilihat dari titik a-b :
R N = 4Ω
Rangkaian pengganti Norton :
i=
4
4 19 19
iN = . = A
4+4
8 4
8
2. Tentukan nilai v dengan teorema Norton !
Jawaban :
Mencari isc :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
113
Rangkaian Listrik
20.12 15
= Ω
20 + 12 2
15
Rp
2 18 = 54 V
V1 =
x18 =
15 + 5
5
Rp + 5
2
V
27
i sc = i N = 1 =
A
20 50
Mencari RN dititik a-b :
20Ω // 12Ω → R p =
5.12 60
=
Ω
5 + 12 17
60
400
R N = R p + 20Ω =
+ 20 =
Ω
17
17
Rangkaian pengganti Norton :
5Ω // 12Ω → R p =
R N // 40Ω → R p =
400
400
17
x 40
=
400
Ω
27
17 + 40
27 400
sehingga : v = i N xR p =
x
= 8V
50 27
3. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !
Jawaban :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
114
Rangkaian Listrik
Mencari isc :
24
x6 = 2 A
48 + 24
24
I 12 Ω =
x6 = 4 A
24 + 12
sehingga : i sc = i N = I 12 Ω − I 48Ω = 4 − 2 = 2 A
Mencari RN :
I 48Ω =
Rs1 = 24Ω + 48Ω = 72Ω
Rs 2 = 24Ω + 12Ω = 36Ω
Rs1 .Rs 2
72.36
=
= 24Ω
Rs1 + Rs 2 72 + 36
Rangkaian pengganti Norton :
RN =
24
= 1A
24
sehingga : i = i N + i1 = 2 + 1 = 3 A
i1 =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
115
Rangkaian Listrik
Contoh latihan :
untuk sumber tak bebas/ dependent
1. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !
Jawaban :
Mencari isc :
v1 = 3V
Σv = 0
− 4v1 + 6i sc = 0
− 4.3 + 6i sc = 0
12
= 2A
6
sehingga : i sc = 2 A
Mencari RN, harus mencari Voc :
i sc =
v1 = 3V
12
12
x 4v1 = x12 = 8V
18
12 + 6
Voc 8
sehingga : R N =
= = 4Ω
i sc
2
Rangkaian pengganti Norton :
Vab = Voc =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
116
Rangkaian Listrik
4
x 2 A = 1A
4+4
2. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !
i=
Jawaban :
Mencari isc :
Σv = 0
2isc + 3(i sc + 6) − 12 = 0
−6
A
5
Cari RN dengan mencari Vab saat titik a-b terbuka :
5i sc + 6 = 0 → i sc =
Vab = Voc = +12 − 3.6 = 12 − 18 = −6V
Voc
−6
=
= 5Ω
−6
i sc
5
Rangkaian pengganti Norton :
sehingga : R N =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
117
Rangkaian Listrik
i=
5
−6
x
= −1A
5 +1 5
3. Tentukan tegangan V dengan teorema Norton !
Jawaban :
Mencari isc :
Σv = 0
i1
=0
2
5i1
12
= 6 → i1 =
A
5
2
i1
12
1
sehingga : i sc = 2 = 10 = A
6
6
5
Mencari Vab :
− 6 + 2i1 +
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
118
Rangkaian Listrik
Vab = Voc =
i2
2
Σv = 0
i2
=0
2
5i2
12
A
= 6 → i2 =
2
5
i
6
sehingga : Voc = 2 = V
2 5
6
V
maka : R N = oc = 5 = 6Ω
1
i sc
5
Rangkaian pengganti Norton :
− 6 + 2i2 +
2.6
=
2+6
1
sehingga : V = R p x A =
5
2Ω // 6Ω → R p =
3
Ω
2
3 1 3
x = V
2 5 10
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
119
Rangkaian Listrik
Teorema Millman
Teorema ini seringkali disebut juga sebagai teorema transformasi sumber, baik dari
sumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi ke sumber arus yang
dihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya.
Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan
atau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti.
Langkah-langkah :
- Ubah semua sumber tegangan ke sumber arus
-
Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel
it =
V1 V2 V3
+
+
R1 R2 R3
1
1
1
1
=
+
+
Rt R1 R2 R3
-
Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan
Vek = it .Rt
Rek = Rt
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
120
Rangkaian Listrik
Contoh latihan :
1. Tentukan nilai V dengan transformasi sumber !
Jawaban :
Tinjau transformasi sumber di titik a-b :
Σv = 0
− 16 + 8i + 12i + 36 = 0
− 20
= −1A
20
sehingga : V = −ix8Ω = −(−1) x8 = 8V
20i + 20 = 0 → i =
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
121
Rangkaian Listrik
2. Tentukan ia dengan transformasi sumber !
Jawaban :
Tinjau sumber arus 8A dan 4A ,sehingga dihasilkan sumber arus (8-4)=4 A :
Tinjau sumber arus 4A dan 3ia A ,sehingga dihasilkan sumber arus (3ia -4) A :
3
3
x(3ia − 4) = x(3ia − 4)
3+ 2
5
5ia = 9ia − 12
ia =
5ia − 9ia = −12
− 4ia = −12 → ia =
− 12
= 3A
−4
3. Tentukan tegangan V dengan transformasi sumber !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
122
Rangkaian Listrik
Jawaban :
Tinjau sumber arus 3A :
Tinjau sumber arus 9A :
Σv = 0
− 72 + 8i + 16i + 12i + 36 = 0
36
− 36 + 36i = 0 → i =
= 1A
36
sehingga :
V = +72 − 8i = 72 − 8.1 = 64V
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
123
Rangkaian Listrik
Teorema Transfer Daya Maksimum
Teorema ini menyatakan bahwa :
Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansi
sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan
sumber arus.
Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :
PL = V L .i = i.RL .i = i 2 .R L
dim ana :
i=
Vg
Rg + RL
sehingga :
Vg
PL = (
) 2 .R L
R g + RL
dengan asumsi Vg dan Rg tetap, dan PL merupakan fungsi RL, maka untuk mencari nilai
maksimum PL adalah :
2
Vg
Vg
2
) 2 .RL =
.RL = V g ( R g + RL ) − 2 RL
PL = (
R g + RL
( R g + RL ) 2
[
dPL
2
= V g ( R g + RL ) − 2 − 2( R g + RL ) −3 RL
dRL
]


2 RL
1
2
0 = Vg 
−
2
3
( R g + RL ) 
 ( R g + RL )
 R g − RL 
2
0 = Vg 
3
 ( R g + RL ) 
sehingga :
RL = R g
Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika
beban RL samadengan beban intern sumber Rg.
2
Vg
Maka didapatkan daya maksimumnya : PLmax =
4Rg
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
124
Rangkaian Listrik
Transformasi Resistansi Star – Delta (Υ−∆)
Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu saat dianalisis ternyata
bukan merupakan hubungan seri ataupun hubungan paralel yang telah kita pelajari
sebelumnya, maka jika rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau
bintang atau rangkaian tipe T, ataupun membentuk hubungan delta atau segitiga atau
rangkaian tipe Π, maka diperlukan transformasi baik dari star ke delta ataupun
sebaliknya.
Tinjau rangkaian Star (Υ) :
Tinjau node D dengan analisis node dimana node C sebagai ground.
VD − V A VD − VB VD
+
+
=0
R1
R3
R2
VD (
V
V
1
1
1
+
+ )= A + B
R1 R3 R2
R1 R3
VD (
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
V
V
)= A + B
R1 R2 R3
R1 R3
VD =
R2 R3
R1 R2
VA +
VB
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
⇒ i1 =
i1 =
R2 + R3
R2
VA −
V B LLL (1)
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
⇒ i2 =
i2 =
R2 R3
V A − VD V A VD V A 1
R1 R2
=
−
=
− (
VA +
VB )
R1
R1 R1 R1 R1 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3
VB − VD VB VD VB
R1 R2
1
=
−
=
−
VA +
VB )
(
R3
R3 R3 R3 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R1 R2 + R1 R3
R1 R2
VA −
V B LLL (2)
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
125
Rangkaian Listrik
Tinjau rangkaian Delta (∆)
Tinjau node A dengan analisis node dimana node C sebagai ground :
V A − VB V A
+
= i1
RA
RB
(
1
1
1
)V A −
V B = i1
+
R A RB
RA
Bandingkan dengan persamaan (1) pada rangkaian Star (Υ) :
R2 + R3
R2
VA −
VB = i1
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
(
1
1
1
+ )VA − VB = i1
RA RB
RA
sehingga :
1
R2
⇒
=
RA R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2
R2 + R3
1
1
⇒
+
=
R A RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
RA =
R2 + R3
1
1
−
=
RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R A
R2 + R3
R2
1
=
−
RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R3
1
=
RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R3
Tinjau node B :
VB − V A VB
+
= i2
RA
RC
RB =
−
1
1
1
VA + (
+
)VB = i2
RA
R A RC
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
126
Rangkaian Listrik
Bandingkan dengan persamaan (2) pada rangkaian Star (Υ) :
R1 R2 + R1 R3
R1 R2
VA −
VB = i2
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
−
1
1
1
)VB = i2
VA + ( +
RA
RA RC
sehingga :
R1 R2
1
1
⇒
+
=−
RA RC
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
R1 R2
1
1
=−
−
RC
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) RA
R1 R2 + R1 R3
R1 R2
1
.
=−
+
RC
R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
R1
1
=
RC ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )
RC =
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R1
Perumusannya :
Transformasi Star (Υ) ke Delta (∆) :
RA =
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R2
RB =
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R3
RC =
R2 R3 + R1 R2 + R1 R3
R1
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
127
Rangkaian Listrik
Transformasi Delta (∆) ke Star (Υ):
R1 =
R A RB
R A + RB + RC
R2 =
RB RC
R A + R B + RC
R3 =
R A RC
R A + R B + RC
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
128
Rangkaian Listrik
Soal – soal :
1. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !
2. Tentukan nilai V dengan teorema Norton !
3. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !
4. Tentukan nilai ia dengan Norton !
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
129
Rangkaian Listrik
5. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum !
6. Tentukan tegangan V dengna superposisi :
7. Tentukan arus i dengan superposisi :
8. Tentukan arus i dengan superposisi :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
130
Rangkaian Listrik
9. Tentukan arus i dengan superposisi :
10. Tentukan arus i dengan superposisi
11. Tentukan tegangan V dengan superposisi :
12. Tentukan arus i dengan superposisi :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
131
Rangkaian Listrik
13. Tentukan arus i dengan superposisi :
14. Tentukan tegangan V dengan superposisi :
15. Tentukan tegangan V dengan superposisi :
16. Tentukan i dengan superposisi :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
132
Rangkaian Listrik
17. Tentukan i dengan superposisi :
18. Tentukan Vx dengan superposisi :
19. Tentukan I1 dengan superposisi :
20. Tentukan V dengan superposisi :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
133
Rangkaian Listrik
21. Tentukan arus i degan Thevenin :
22. Tentukan arus i dengan Thevenin :
23. Tentukan tegangan V dengan Thevevnin :
24. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
134
Rangkaian Listrik
25. Tentukan arus i dengan Thevenin pada rangkaian berikut :
26. Tentukan tegangan V dengan Thevenin :
27. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :
28. Tentukan i dengan Thevenin :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
135
Rangkaian Listrik
29. Tentukan i dengan Thevenin :
30. Tentukan V dengan Thevenin :
31. Tentukan V1 dengan Thevenin :
32. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin dititik a-b :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
136
Rangkaian Listrik
33. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
34. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
35. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
36. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
137
Rangkaian Listrik
37. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
38. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
39. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
40. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
138
Rangkaian Listrik
41. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
42. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
43. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :
44. Tentukan V dengan Thevenin :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
139
Rangkaian Listrik
45. Tentukan V dengan Thevenin :
46. Tentukan V dengan Thevenin :
47. Tentukan V dengan Thevenin :
48. Tentukan Vx dengan Thevenin :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
140
Rangkaian Listrik
49. Tentukan i dengan Thevenin :
50. Tentukan Vx dengan Thevenin :
51. Tentukan i dengan Thevenin :
52. Tentukan nilai i dengan Norton :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
141
Rangkaian Listrik
53. Tentukan i dengan Norton :
54. Tentukan i dengan Norton :
55. Tentukan nilai R pada rangkaian berikut agar terjadi transfer daya maksimum :
56. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum di R :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
142
Rangkaian Listrik
57. Tentukan nilai R agar terjadi transfer daya maksimum :
Mohamad Ramdhani
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom