Daftar Isi - Perpustakaan Digital ITB

dua ujung kapasitor makin meningkat. Bagaimana kebergantungan tegangan tersebut terhadap
waktu? Mari kita analisis.
+
C
-
S
R
Gambar 2.33 Skema rangkaian pengisian kapasitor
Misalkan tegangan baterei yang dipasang adalah Vo. Ketika saklar ditutup maka rangkaian
pada Gbr. 2.33 menjadi rangkaian tertutup sehingga hubungan antara tegangan baterei,
tegangan kapasitor dan tegangan pada hambatan adalah
Vo = Vres + Vkap
(2.60)
Tetapi
Vres = IR
Vkap =
q
C
sehingga
Vo = IR +
q
C
(2.61)
Lakukan diferensial terhadap waktu ruas kiri dan ruas kanan persamaan (2.61)
dVo dI
1 dq
R+
=
dt
dt
C dt
Mengingat Vo konstan mana
(2.62)
dVo
dq
= I . Dengan demikian,
= 0 dan berdasarkan definisi,
dt
dt
persamaan (2.62) dapat ditulis
98
0=
dI
1
R+ I
dt
C
atau
dI
1
=−
dt
I
RC
(2.63)
Pada saat t = 0 arus yang mengalir memiliki nilai maksimum, Io. Kita lakukan integral di ruas
kanan dari t = 0 sampai t sembarang dan di ruas kiri dari Io sampai I sembarang. Maka
I
t
dI
1
∫I I = − RC ∫0 dt
o
ln I ]I o = −
I
⎛ I
ln⎜⎜
⎝ Io
1
t
RC
⎞
1
⎟⎟ = −
t
RC
⎠
atau
I = I o e − t / RC
(2.64)
Berdasarkan persamaan (2.60), tegangan antara dua ujung kapasitor memenuhi
Vkap = Vo − Vres
= Vo − IR
= Vo − ( I o e − t / RC ) R = Vo − ( I o R)e − t / RC = Vo − Vo e − t / RC
(
= Vo 1 − e − t / RC
)
(2.65)
Gambar 2.34 adalah grafik pengisian kapasitor, yaitu kebergantungan tegangan kapasitor
terhadap waktu.
99
V
Vo
t
Gambar 2.34 Grafik pengisian kapasitor
Soal dan Penyelesian
1) Dapatkan dua garis ekipotensial berpotongan?
Jawab
Tidak dapat. Jika dua garis ekipotensial berpotongan maka garis singgung ke dua garis
tersebut di titik potong ada dua nilai. Karena medan listrik selalu tegak lurus garis singgung
bidang ekipotensial, maka pada titik potong, medan listrik memiliki dua arah, masing-masing
tegak lurus dengan kemiringan bidang ekipotensia. Karena ada dua arah yang berbeda maka
titik potongdua garis memiliki dua nilai medan listrik. Dan ini tidak mungkin.
2) Jika dua titik berada pada potensial yang sama apakah ini berarti bahwa
a) tidak ada kerja yang diperlukan untuk membawa muatan dari satu titik ke titik yang lain.
b) Tidak ada gaya yang dikerjakan pada muatan saat dipindahkan?
Jawab
a) Ya. Jika dua titik memiliki potensial yang sama maka tidak aga kerja yang dilakukan untuk
membawa muatan dari satu titik ke titik yang lain. Ini akibat sidah dari medan listrik yang
konsevatif.
b) Tidak. Gaya mungkin saja dikerjakan. Bisa saja pada sebagian lintasan dilakukan gaya
yang searah perindahan dan pada sebagian lintasan yang lain dilakukan gaya yang berlawanan
dengan arah perpindahan. Karena gaya tersebut tidak bergerak serentak maka gaya-gaya
tersebut tidak saling menghilangkan.
3) Apakah ada titik antara dua muatan positif sehingann kuat medan listrik pada titik tersebut
100
nol? Di manakah letak titik tersebut?
Jawab
Ada. Karena dua muatan positif maka pada daerah antara dua muatan tersebut, ke dua muatan
menghasilkan medan dalam arah berlawanan.
Misalkan jarak antara dua muatan R. Jarak muatan q1 ke titik di mana medan nol adalah r1,
dan jarak muatan q2 ke titik di mana medan nol adalah r2 = R – r1. Titik tersebut memiliki
medan nol jika
q1
1 q2
=
2
4πε o r1
4πε o r22
1
q1 q 2
=
r12 r22
q1
r1
=
q2
r2
r2 q1 = r1 q 2
( R − r1 ) q1 = r1 q 2
R q1 = r1
(
q1 + q 2
)
atau
r1 =
q1
q1 + q 2
R
dan
r2 = R − r1 =
q2
q1 + q 2
R
4) Misalkan sebuah elektron dipercepat dalam beda potensial Vo. Akan menjadi berapa
kalikan laju akhir elektron jika potensial pemercepat dijadikan tiga kali?
Jawab
Laju akhir elektron memenuhi
1 2
mv = eV
2
Dengan demikian
101
v2 ∝ V
atau
v∝ V
Misalkan laju awal elektron vo dan laju akhirnya v, maka
v
V
V
=
=
= 3
vo
Vo
Vo
Jadi laju akhir elektron naik menjadi
3 kali laju semula.
5) Jika potensial di suatu titik nol, apakah medan listrik juga nol?
Jawab
Tidak. Potensial adalah negatif gradien medan listrik. Meskipun di sutu titik, potensial listrik
nol, bukan berarti gradien potensial nol.
Sebagai contoh adalah potensial pada titik tengah antara dua muatan yang sama besar tetapi
berlawanan tanda adalah nol. Tetapi medan listrik pada titik tersebut adalah terbesar.
6) Berapa energi yang diperluka untuk memindahkan proton dari titik dengan potensial
+100 V ke titik dengan potensial –50 V. Nyatakan jawabannmu dalam joule dan elektronvolt
Jawab
Muatan proton: q = +1,6 ×10-19 C
Energi potensial proton mula-mula: U1 = q V1 = (+1,6 ×10-19) × 100 = +1,6 ×10-17 J.
Energi potensial proton akhir: U2 = q V2 = (+1,6 ×10-19) × (-50) = -8,0 ×10-18 J
Misalkan laju proton di titik awal dan titik akhir nol (proton dipindahkan secara
perlahan-lahan). Maka K1 = 0; K2 = 0.
Dengan prinsip usaha energi, kerja yang dilakukan sama dengan perubahan energi mekanik
proton, atau
W = EM2 – EM1
= (U2 + K2) – (U1 + K1)
= (U2 + 0) – (U1 + 0)
= U2 – U1 = (-8,0 ×10-18) – (1,6 ×10-17) = -2,4 ×10-17 J
Karena 1 eV = 1,6 ×10-19 J, maka kerja yang dilakukan dalam satuan eV adalah -2,4 ×10-17/1,6
×10-19 = 150 eV
102
7) Berapa peningkatan energi kinetik yang akan dialami electron ketika electron melewati
beda potensial 21.000 V pada tabung TV (nyatakan dalam joule dan elektronvolt)
Jawab
Jika tidak ada kerja luar yang bekerja maka energi mekanik kekal, atau
U1 + K1 = U2 + K2
Atau peningkatan energi kinetik electron
∆K = K2 – K1 = U1 – U2
= e V1 – e V2 = - e (V2 – V1) = - e ∆V
= - (-1,6 ×10-19) × 21.000 = 3,36 ×10-15 J
Bila dinyatakan dalam satuan eV maka pertambahan energi kinetik electron adalah 3,36
×10-15/1,6 ×10-19 = 21.000 eV = 21 keV
8) Sebuah bola dibuat dari logam penghantar, di dalamnya berongga. Jari-jari dalam dan
jari-jari luar bola tersebut masing-masing 9,8 dan 10 cm. Bola tersebut diberi potensial
sebesar 1200 Volt. Hitunglah potensial di titik-titik:
a. yang berjarak r = 12 cm dari pusat bola
b. yang berjarak r = 3 cm dari pusat bola
Jawab
a) Misalkan muatan bola Q. Potensial listrik di luar bola memenuhi rumus
1 Q
V=
4πε o r
Potensial di permukaan bola memenuh
1 Q
V ( R) =
4πε o R
Dengan demikian
(1 / 4πε o )Q / r R
V
=
=
V ( R) (1 / 4πε o )Q / R r
atau
V=
10
R
V ( R) = × 1200 = 1000 V
12
r
b) Karena tidak terdapat muatan listrik dalam rongga bola, maka dengan menggunakan
hokum Gauss, kuat medan listrik dalam rongga bola nol. Karena kuat medan listrik dalam
rongga bola nol maka potensial listrik dalam rongga bola persis sama dengan potensial listrik
kulit bola (kuat medan listrik nol berarti potensial bernilai konstan). Dengan demikian,
potensial listrik dalam rongga bola 1200 V.
103
9) Dua pelat sejajar dengan luas penampang masing-masing 0,05 m2 dipisahkan sejauh 0,1
mm. Di antara dua pelat diselipkan dua bahan dielektrik dengan ketebalan sama
masing-masing dengan konstanta dielektrik κ1 = 100 dan κ2 = 150. Tentukan kapasitansi
yang dihasilkan.
Jawab
C1
0,05 mm
0,1 mm
C2
0,05 mm
Gambar 2.35
Susunan di sebelah kiri dapat dipandang sebagai dua buah kapasitor yang disusun secara seri
seperti pada gambar di sebelah kanan
Pertama kali kita hitung C1 dan C2 kemudian menghitung kapasitansi total. Berdasarkan
gambar 51.25 kita dapatkan
C1 = κ 1ε o
A
0,05
= 100 × (5,67 × 10 −12 )
= 5,67 × 10 −7 = 567 nF
d
5 × 10 −5
C 2 = κ 2ε o
A
0,05
= 150 × (5,67 × 10 −12 )
= 8,51 × 10 −7 = 851 nF
d
5 × 10 −5
Karena C1 dan C2 disusun secara seri maka kapasitansi total memenuhi
1
1
1
1
1
=
+
=
+
= 0,002939
C C1 C 2 567 851
atau
C = 1/0,002939 = 340 nF
10) Hitunglah kapasitansi kapasitor dengan susunan berikut ini. Diketahui lebar pelat adalah 3
104
cm dan panjangnya 20 cm. Jarak antar pelat adalah 0,01 mm. Sepertiga bagian lebar pelat
diisi dengan bahan dielektrik dengan konstanta dielektrik κ = 200 dan sisanya berisi udara.
Berapa konstanta dielektrik kapasitor?
Gbr. 2.36
Jawab
C1
C2
Gambar 2.37
Susunan di bagian kiri dapat dipandang sebagai susunan parallel dua buah kapasitor seperti
pada gambar di sebelah kanan
Informasi yang diberikan
d = 0,01 mm = 1 × 10-5 m
p1 = p2 = 20 cm = 0,2 m
l1 = 1 cm = 0,01 m
l1 = 2 cm = 0,02 m
κ1 = 200
κ2 = 1 (karena udara)
Pertama kita hitung C1 dan C2
C1 = κ 1ε o
p ×l
A
0,2 × 0,01
= κ 1ε o 1 1 = 200 × (5,67 × 10 −12 )
= 2,268 × 10 −7 = 226,8 nF
−5
d
d
1 × 10
105
p ×l2
A
0,2 × 0,02
= κ 2ε o 2
= 1 × (5,67 × 10 −12 )
= 2,268 × 10 −9 = 2,268 nF
−5
d
d
1 × 10
Karena ke dua kapasitor disusun secara parallel maka kapasitansi total adalah
C 2 = κ 2ε o
C = C1 + C2 = 226,8 nF + 2,268 nF = 229 nF
11) Sebanyak n buah kapasitor disusun secara parallel. Kapasitor pertama memiliki
kapasitansi Co, kapasitor kedua memiliki kapasitansi Co/2, kapasitor ketiga memiliki
kapasitansn Co/4, kapasitor keempat memiliki kapasitansi Co/8, dan seterusnya. Berapa
kapasitansi total? Berapa kapasitansi total jika n → ∞ ?
Jawab
Karena disusun secara parallel maka kapasitansi total memenuhi
C = C1 + C2 + C3 + … + Cn
C
C
C
C
1 ⎞
⎛ 1 1
= C o + o + o + o + ... + n −o1 = C o ⎜1 + + + ... + n −1 ⎟
2
4
8
2
2 ⎠
⎝ 2 4
Bagian dalam tanda kurung merupakan deret geometri dengan
Suku awal: a = 1
Pengali: r = 1/2
Indeks suku terakhir: N = n-1
Jumlah suku-suku deret geometri tersebut memenuhi rumus
1 − r N +1
1− rn
1 − (1 / 2)
1 ⎞
⎛
=a
= 1×
= 2⎜1 − n ⎟
S=a
1− r
1− r
1 − (1 / 2 )
⎝ 2 ⎠
Jadi
n
1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
C = C o S = C o × 2⎜1 − n ⎟ = 2C o ⎜1 − n ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Jika n → ∞ maka
1 ⎞
⎛
C = 2C o ⎜1 − ∞ ⎟ = 2C o (1 − 0) = 2C o
⎝ 2 ⎠
12) Tentukan kapasitansi total dari rangkaian kapasitor paga Gbr. 2.38
106
C3
C5
C1
C4
C2
Gambar 2.38
Nilai kapasitansi masing-masing kapasitor adalah C1 = 1 nF, C2 = 2 nF, C2 = 4 nF, C4 = 4 nF,
dan C5 = 8 nF.
Jawab
C3 dan C4 disusun secara parallel sehingga kapasitansi total memenuhi
C3’ = C3 + C4 = 4 + 4 = 8 nF
C3’ dan C5 disusun secara seri sehingga kapasitansi total memenuhi
1
1
1 1 1 1
=
+
= + =
C '5 C '3 C 5 8 8 4
atau
C5’ = 4 nF
C5’ dan C2 disusun secara parallel sehingga kapasitansi total adalah
C2’ = C2 + C5’ = 2 + 4 = 6 nF
C2’ dan C1 disusun secara seri sehingga kapasitansi total memenuhi
1
1
1 1 1 1 6 7
=
+
= + = + =
C C ' 2 C1 6 1 6 6 6
107
atau
C = 6/7 nF
13) Jika dimensi plat kapasitor dijadikan setengan dan jarak antar pelat juga dijadikan
setengah juga, berapa nilai kapasitansi baru dibandingkan dengan kapasitansi lama?
Jawab
Kapasitansi mula-mula adalah
C o = κε o
Ao
p l
= κε o o o
do
do
Jika p o → p = p o / 2 , l o → l = l o / 2 , dan d o → d = d o / 2 , maka kapasitansi baru adalah
C = κε o
( p / 2)(l o / 2) 1
p l
pl
1
= κε o o
= κε o o o = C o
d
( d o / 2)
2
do
2
14) Sebuah kapasitor diisi dengan baterei 6 V melalui sebuah hambatn 100 kΩ. (a) Berapa
arus mula-mula? (b) Setelah berlangsung beberapa lama, arus yang mengalir adalah 30 µA,
berapa beda potensial antara dua ujung hambatan dan antara dua ujung kapasitor?
Jawab
a) Arus mula-mula yang mengalir adalah
Io =
V
6
=
= 6 × 10 −5 A = 60 µA.
R 100 000
b) Ketika arus telah menjadi 30 µA maka
Beda potensial antara dua ujung hambatan adalah
Vres = IR = (30 × 10 −6 ) × 10 5 = 3 V
Beda potensial antara dua ujung kapasitor
Vkap = Vo – Vres = 6 – 3 = 3 V
108
Soal Latihan
1) Medan listrik sebesar 640 V/m ingin dibangkitkan antara dua pelat sejajar yang terpisah
sejauh 11,0 mm. Berapa besar beda potensial yang harus diterapkan antara dua pelat?
2) Dua pelat sejajar dihubungkan dengan sumber tegangan 100 V dan dipisahkan oleh udara.
Berapa jarak terkecil dua pelat agar udara tidak melampaui medan brekdown sebesar 3 ×
106 V/m?
3) Berapa laju electron yang memiliki energi a) 750 eV dan b) 4,5 keV?
4) Sebuah partikel alfa (yaitu inti atom helium dengan Q = 2e dan m = 6,64 × 10-27 kg)
dipancarkan pada proses peluruhan radioaktif dengan energi kinetik 5,53 MeV. Berapa
laju partikel tersebut?
5) Kerja yang dilakukan gaya luar untuk memindahkan partikel bermuatan –7,50 µC dari titik
A ke titik B adalah 2,5 × 10-3 J. Jika mula-mula muatan tersebut dalam keadaan diam dan
akhirnya memiliki energi kinetik 4,82 × 10-4 J ketika mencapai B, berapa beda potensial
antara A dan B?
6) Berapa potensial listrik pada tempat yang berjarak 25,0 cm dari muatan titik 6,00 µC?
7) Gambarkan garis ekipotensial di sekitar dua titik muatan berlawanan tanda yang
didekatkan. Besar mauatan positif dua kali muatan negatif.
8) Tiga muatan positif ditempatkan pada totok-titik sudut segi tiga sama sisi. Besar muatan
tersebut semuanya sama yaitu 10 µC. Panjang sisi segitiga adalah 10 cm. (a) Tentukan
kuat medan listrik dan potensial listrik di pusat segitiga. (b) Tentukan juga usaha yang
diperlukan untuk membawa muatan -2µ dari posisi tak berhingga ke titik di tengah-tengah
segitiga.
9) Muatan titik masing-masing q disebar secara merata sepanjang lengkungan yang berupa
keliling lingkaran dengan jari-jari a cm. Jumlah muatan yang disebar adalah N. (a)
Berapakah potesnaial listrik pada titik di sumbu lingkaran yang lokasinya berjarak b dari
pusat lingkaran? (b) Berapa potensial tersebut jika N menuju tak berhingga.
10) Sebuah elektron yang mula-mula diam dipercepat antara dua elektroda yang dipasang
pada beda potensial V. Jika jarak antara dua elektroda diubah tetapi tetap mempertahankan
beda potensialnya, apakah laju elektron ketika sampai anoda berubah? Jelaskan.
11) Sebuah elektron yang mula-mula diam dipercepat antara dua elektroda yang dipasang
pada beda potensial V. (a) Tentukan laju elektron sebagai fungsi jarak dari katoda
(elektroda tempat elektron mulai bergerak). (b) berapa panjang minimum gelombang
sinar-X yang dihasilkan elektron ketika menumbuk anoda?
12) Hitunglah kapasitansi pasangan pelat yang ukurannya 0,1 m kali 0,1 m dan dipisahkan
sejauh 5 mm oleh lapisan udara.
13) Dua pelat masing-masing menyimpan muatan + 2500 µC dan -2500 µC jika diberi beda
potensial 900 V. Berapakah kapasitansi dua pelat tersebut?
14) Beda potensial antara dua kawat sejajar di udara adalah 120 V. Kedua kawat menyimpan
muatan yang sama besar tetapi berlawanan tanda sebesar 96 pC. Berapakah kapasitansi
109
dua kawat tersebut?
15) Kapasitor dengan kapasitansi 7500 pF mengandung muatan 16,5 × 10-8 C. Berapa beda
tegangan antara dua ujung kapasitor?
16) Berapa jumlah muatan yang mengalir dari baterei 12 V jika dihubungkan dengan kapasitor
dengan kapasitansi 9,0 µF?
17) Temanmu ingin membuat kapsitor dengan kapasitansi 0,2 F. Berapa luas maisng-masing
pelat jika kedua pelat tersebut jika terpisan sejauh 2,2 mm oleh udara?
18) Berapa kapasitansi kapasitor yang mengandung pelat lingkaran jang berjari-jari 5,0 cm
dan dipisahkan sejauh 3,2 mm oleh mika? Konstanta dielektrik mika adalah 7.
19) Jika kapasitor pelat sejajar memiliki muatan 4,2 µC dan medan listrik sebesar 2,0 kV/m
harus dihasilkan jika jarak antara dua pelat adalah 4,0 mm dan mediaum antara dua pelat
adalah udara, berapakah luas masing-masing pelat?
20) Berapa kuat medan listrik antara dua pelat kapasitor 0,80 µF yang ruang antara dua pelat
adalah udara setebal 2,0 mm dan masing-masing pelat mengandung muatan 72 µC?
21) Kuat medan listrik antara dua pelat kapasitor yang dipisahkan oleh bahan dielektrin
dengan κ = 3,75 adalah 9,21 × 104 V/m. Ke dua pelat terpisah sejauh 1,95 mm dan
masing-masing mengandung muatan 0,775 µC. Tentukan kapasitansi kapasitor ini dan
luas masing-masing pelat
22) Kapasitor sebesar 7,7 µF dihubungkan dengan tegangan 125 V hingga muatan terisi penuh.
Sumber tegangan kemudian dihilangkan dan kapasitor tersebut dihubungkan dengan
kapasitor lain yang masih kosong dan diamati tegangan pada kapasitor pertama turun
menjadi 15 V. berapakah kapasitansi kapasitor kedua?
23) Kapasitor 2,50 µF diberi muatan dengan tegangan 1000 V dan kapasitor 6,80 µF diberi
muatan dengan tegangan 650 V. Ke dua kapasitor kemudian masing-masing diputus
hubungannya dengan baterei dan kutub positif masing-masing kapasitor dihubungkan dan
kutub negatif masing-masing juga dihubungkan.
24) Tegangan 550 V dikenakan pada kapasitor 7200 pF. Berapa jumlah energi yang
tersimpan?
25) Bagaimana perubahan energi yang tersimpan dalam kapasitor jika
(a) beda potensial dijadikan dua kali
(b) muatan pada masing-masing pelat dijadikan dua kali
(c) jarak antar dua pelat dijadikan dua kali namun kapasitor tetap dihubungkan dengan
baterei
26) Sebuah kapasitor pelat sejajar menyimpan muatan Q. Jika jarak antar dua pelat dijadikan
setengah dan di antara dua pelat dimasukkan bahan dielektrik dengan konstanta κ sebagai
pengganti udara, berapa kali energi yang tersimpan dalam kapasitor berubah? Bagaimana
perbandingan medan listrik dalam kapasitor sebelum dan sesudah dimasukkan bahan
dielektrik?
110
27) Kapasitor 2,7 µF dihubungkan dengan baterei 45,0 V. Kapasitor kemudian dilepaskan dari
baterei dan kemudian dihubungkan dengan kapasitor 4,0 µF yang tidak bermuatan.
Tentukan energi total yang tersimpan (a) sebelum kapasitor dihubungkan (b) setelah
kapasitor dihubungkan.
111
Bab 3
Listrik Arus Searah
Pada bab ini kita akan mempelajari arus searah dan rangkaian arus searah. Arus bolak-balik dan
rangkaian arus bolak-balik akan dipelajari di bab 8 setelah kita mempelajari induksi
elektromagnetik. Ini karena ada hubungan kuat antara arus bolak-balik dengan induksi
elektromagnetik.
3.1 Arus Listrik
Arus listrik adalah aliran muatan listrik. Jika dalam selang waktu ∆t jumlah muatan listrik
yang mengalir adalah ∆Q , maka besarnya arus listrik didefinisikan sebagai
I=
∆Q
∆t
(3.1)
Satuan muatan listrik adalah Coulomb dan disingkat C dan Satuan arus listrik adalah Ampere,
yang disingkat A.
Muatan listrik dapat mengalir dari satu tempat ke tempat lain karena adanya beda potensial.
Tempat yang memiliki potensial tinggi melepaskan muatan ke tempat yang memiliki potensial
rendah. Besarnya arus yang mengalir berbanding lurus dengan beda potensial antara dua tempat,
atau I ∝ V . Kesebandingan di atas selanjutnya dapat ditulis
I=
1
V
R
(3.2)
dengan V : beda potensial antara dua titik, dan R : tahanan listrik antara dua titik dengan satuan
Ohm dan disingkat Ω. Persamaan (3.2) dinamakan hukum Ohm. Simbol untuk tahanan listrik
tampak pada Gbr 3.1
atau
Gambar 3.1 Simbol tahanan listrik
Contoh
Lihat Gbr 3.2. Titik A memiliki potential lebih tinggi dari titik B dengan perbedaan potenrial 2 V.
Jika hambatan listrik antara titik A dan B adalah 100 Ω, (a) berapa arus yang mengalir melalui
112
hambatan dan ke mana arahnya? (b) berapa besar muatan yang mengalir selama 5 s?
B
A
Gambar 3.2
Jawab
(a) Arus yang mengalir
I = V/R = 2/100 = 0,02 A
Karena titik A memiliki potensial lebih tinggi dari titik B maka arus mengalir dari titik A ke titik
B.
(b) ∆t = 5 s
∆Q = I ∆t = 0,02 × 5 = 0,1 C
3.2 Arus pada percabangan
Jika pada suatu percabangan dalam rangkaian listrik, pada sebagian cabang arus mengalir masuk
dan pada sebagian cabang yang lain arus mengalir keluar maka terpenuhi aturan
Jumlah arus masuk = jumlah arus keluar
Ungkapan ini dikenal dengan hokum kekekalan muatan listrik, dan dikenal pula dengan hokum
Kirchoff I.
I2
I1
I3
I5
I4
Gambar 3.3 Arus yang masuk dan keluar dari percabangan
113
I1 + I2 + I4 = I3 + I5
(3.3)
3.3 Sumber potensial listrik
Perbedaan potential listrik pada titik yang berbeda dalam suatu rangkaian terjadi jika dalam
rangkaian dipasang sumber potential listrik yang dikenal juga dengan ggl (gaya gerak listrik).
Contoh ggl adalah baterei, aki, dynamo, sel surya, dan lain-lain. GGL memiliki dua terminal atau
kutub yang memiliki potensial yang berbeda. Jika kutub-kutub ggl dihubungkan ke rangkaian,
maka arus listrik mengalir keluar dari kutub yang memiliki potensial lebih besar, menuju
rangkaian, dan mengalir masuk ke kutub yang memiliki potential lebih rendah. Kutub ggl yang
potensialnya lebih tinggi sering disebut kutub positif dan kutub yang potensialnya lebih rendah
disebut kutub negatif. Simbol untuk ggl tampak dalam Gbr. 3.4.
+
−
Gambar 3.4 Simbol ggl
Pada symbol ggl, bagian yang bergaris lebih panjang adalah kutub positif, sedangkan yang
bergaris lebih pendek adalah kutub negatif.
Sebagai contoh, perhatikan rangkaian pada Gbr. 3.5. Jika beda potensial antara dua kutub ggl
adalah ε maka besar arus yang mengalir memenuhi
I=
ε
(3.4)
R
R
ε
I
Gambar 3.5 Rangkaian yang mengandung ggl dan tahanan
3.4 Tahanan listrik
Semua material memiliki tahanan listrik. Besi, kayu, batu, karet, air, udara, dan lain-laim
memiliki tahanan listrik. Namun, tahanan listrik yang dimiliki batu, kayu kering, karet, dan
lain-lain sangat besar sehingga begitu diberi beda potensial antar dua ujungnya, hampir tidak ada
114
arus yang mengalir. Benda yang tidak dapat dialiri arus listrik dinamakan isolator. Sebaliknya,
logam memiliki tahanan yang sangat kecil. Dengan meneri beda potensial yang kecil saja antar
dua ujungnya, arus yang mengalir cukup besar. Material yang mudah dialiri arus listrik
dinamakan konduktor.
Tahanan listrik yang dimiliki bahan memiliki sifat-sifat
i) Makin besar jika bahan makin panjang
ii) Makin kecil jika ukuran penampang bahan makin besar.
Hubungan antara tahanan listrik yang dimiliki bahan dengan ukuran bahan memenuhi
R=ρ
L
A
(3.5)
dengan R : tahanan yang dimiliki bahan, L : panjang bahan, A : luas penampang bahan, dan ρ :
disebut tahanan jenis bahan. Tahanan jenis beberapa bahan tampak pada Tabel 3.1
Tabel 3.1 Tahanan jenis beberapa bahan pada suhu 20 oC.
Jenis bahan
Tahanan jenis, ρ (Ω m)
Koefisien suhu, α (oC)-1
Perak
1,59 × 10-8
0,0061
Tembaga
1,68 × 10-8
0,0068
Emas
2,44 × 10
0,0034
Aluminum
2,65 × 10
0,00429
Tungsten
5,6 × 10-8
0,0045
Besi
9,71 × 10
0,00651
Platina
10,6 × 10-8
0,003927
Air raksa
-8
98 × 10
0,0009
Nikrom
100 × 10
0,0004
Gelas
109 - 1012
Karet keras
1013 - 1015
-8
-8
-8
-8
Contoh
Misalkan kamu ingin menghubungkan tape stereo dengan speaker yang lokasinya cukup jauh.
Jika masing-masing kawat panjangnya 20 meter dan kawat tersebut terbuat dari tembaga,
berapakah diameter kawat agar hambatannya 0,1 Ω?
Jika besar arus yang mengalir ke masing-masing speaker 2A, berapakah penurunan tegangan
listrik sepanjang kawat?
Jawab
115
Dari tabel 26.1
ρ = 1,68 × 10-8 Ω m
(a) Diberikan
L = 20 m
R = 0,1 Ω
Dari persamaan (26.5), kita dapat menulis
ρL
1,68 × 10 −8 . 20
= 3,4 × 10-6 m2.
=
A=
0,1
R
Jika d adalah diameter kawat maka A = πd 2 / 4 sehingga
d=
4A
π
=
4 × 3.4 × 10 −6
= 2,1 × 10-3 m = 2,1 mm
3.16
(b) Berdasarkan hokum Ohm, penurunan tegangan listrik sepanjang kawat adalah
V = I R = 2 × 0,1 = 0,1 V
3.5 Kebergantungan Tahanan Pada Suhu
Tahanan suatu material berubah dengan terjadinya perubahan suhu. Umumnya, makin tinggi
suhu maka makin besar tahanan benda. Secara matematik, kebergantungan tahanan pada suhu
diberikan oleh persamaan (3.6)
R = Ro [1 + α (T − To )]
(3.6)
dengan T : suhu, To : suhu acuan, R : nilai hambatan pada suhu T, Ro : nilai hambatan pada suhu
acuan To, dan α : koefisien suhu dari tahanan (oC)-1. Tabel 3.1 memperlihatkan nilai koefisien
suhu untuk tahanan beberapa jenis material
Contoh
Sepotong kawat platina digunakan untuk menentukan tahanan suatu larutan. Misalkan pada suhu
20 oC tahanan kawat tersebut 164,2 Ω. Kawat tersebut kemudian dicelupkan ke dalam larutan
dan tahannya meningkat menjadi 187,4 Ω. Berapa suhu larutan tersebut?
Jawab
Diberikan
To = 20 oC
116
Ro = 164,2 Ω
R = 187,4 Ω
Berdasarkan tabel 26.1 α = 0,003927 (oC)-1
Berdasarkan persamaan 26.6 kita dapat menulis
R
= 1 + α (T − To )
Ro
187,4
= 1 + 0,003927 (T − 20)
164,2
1,14 = 1 + 0,003927 (T – 20)
0,003927 (T – 20) = 0,14
T – 20 = 0,14/0,003927 = 35,7
atau T = 35,7 + 20 = 55,7 oC.
3.6 Tahanan Komersial
Di pasar kita mejumpai tahanan listrik pada berbagai nilai hambatan. Tahanan-tahanan tersebut
digunakan dalam perancangan rangkaian elektronika. Nilai hambatan bervariasi mulai dari di
bawah 1 Ω hingga di atas 107 Ω (10 MΩ).
Nilai yang dimiliki tahanan tersebut tidak tertera pada komponen. Nilai tahanan dinyatakan
dalam kode-kode warna yang melingkar pada komponen. Jumlah kode umumnya 3 buah. Tetapi
untuk tahanan yang lebih teliti, jumlah kode warna ada empat buah.
Gambar 3.6 Kode warna pada tahanan
Nilai tahanan ditentukan oleh tiga kode warna pertama. Kode warna keempat disebut toleransi
yang menentukan ketelitian nilai tahanan. Angka yang berkaitan dengan kode-kode warna
117
tampak pada Tabel 3.2
Tabel 3.2 Angka yang berkaitan dengan kode-kode warna tahanan.
Warna
Nilai
Hitam
0
Coklat
1
Merah
2
Oranye
3
Kuning
4
Hijau
5
Biru
6
Ungu
7
Abu-abu
8
Putih
9
Emas
-1
5%
Perak
-2
10%
Tidak berwarna
Toleransi (%)
20%
Cara membaca nilai hambatan suatu tahanan
R = (gelang 1)(gelang 2) × 10(gelang 3)
(toleransi)
Gambar 3.7 Menentukan nilai hambatan berdasarkan kode warna
Hambatan = (nilai gelang pertama)(nilai gelang kedua) × 10(nilai gelang ketiga)
(3.7)
Contoh
Sebuah hambatan memiliki tiga gelang. Gelang pertama berwarna orange, gelang kedua hijau,
dan gelang ketiga merah. Berapa nilai hambatannya? Berapakah toleransinya?
Jawab
118
Diberikan
Gelang pertama: orange = 3
Gelang kedua: hijau = 5
Gelang ketiga: merah = 2
Nilai hambatannya
R = 35 × 102 Ω = 3500 Ω = 3,5 kΩ.
Karena hambatan tidak memiliki gelang keempat, atau gelang keempat tidak berwarna, maka
toleransi hambatan tersebut adalah 20%.
Contoh
Sebuah hambatan memiliki empat gelang. Gelang pertama berwarna coklat, gelang kedua kuning,
gelang ketiga hitam, dan gelang keempat berwarna emas . Berapa nilai hambatannya? Berapakah
toleransinya?
Jawab
Diberikan
Gelang pertama : cokelat = 1
Gelang kedua : kuning = 4
Gelang ketiga : hitam = 0
Gelang keempat : emas = 5%
Nilai hambatan
R = 14 × 100 Ω = 14 Ω
Karena gelang keempat emas maka toleransinya 5%.
3.7 Potensiometer
Potensiometer adalah tahanan listrik yang nilai hambatannya dapat diubah-ubah. Pengubahan
hambatan dilakukan dengan memutar atau menggeser knob. Contoh potensiometer diperlihatkan
pada Gbr 3.8, sedangkan symbol potensiometer tampak pada Gbr 3.9
119
Gambar 3.8 Contoh potensiometer
atau
Gambar 3.9 Simbol potensiometer
Tidak semua nilai hambatan dapat dijumpai pada tahanan yang dijual di pasar. Untuk
mendapatkan nilai hambatan yang tidak tersebut, kita dapat menggunakan potensiometer.
Potensiometer tersebut dapat digunakan sendiri dengan menggeser knob sehingga diperoleh nilai
hambatan yang diinginkan. Dapat pula diseri atau diparalel dengan hambatan lain dan mengatur
knob sehingga diperoleh hambatan total sesuai dengan yang diinginkan.
3.8 Konduktivitas Listrik
Gambar 3.10 adalah ilsutrasi sebuah kabel konduktor. Dalam kabel tedapat elektron-elektron
yang bergerak bebas. Jika tidak ada beda potensial antara dua ujung kabel maka peluang elektron
bergerak ke kiri dan ke kanan sama sehingga arus total yang mengalir dalam kabel nol. Jika
diberikan beda potensial antara dua ujung kabel maka muncul medan listrik dalam kabel. Medan
listrik menarik elektron-elektron bergerak dalam arah yang berlawanan dengan arah medan.
Akibatnya elektron memiliki percepatan dalam arah yang berlawanan dengan arah medan
A
L
Gambar 3.10 Ilustrasi kabel konduktor yang dialiri arus listrik
120
Percepatan menyebabkan kecepatan elektron dalam arah berlawanan dengan medan bertambah.
Tetapi karena dalam konduktor terdapat atom-atom yang posisi rata-ratanya tetap tetapi selalu
bergetar maka terjadi tumbukan antara elektron yang sedang dipercepat dengan atom-arom
tersebut. Tumbukan tersebut melahirkan gaya gesekan pada elektron yang berlawanan dengan
arah gerak. Pada akhirnya elektron bergerak dengan kecepatan terminal tertentu. Hal ini serupa
dengan gerakan bola yang jatuh dalam zat cair. Akibat gaya gravitasi, bola memiliki percepatan
sehingga kecepatannya bertambah. Tatapi pada akhirnya bola bergerak dengan kecepatan
terminal akibat adanya gaya gesekan fluida yang mengimbangi gaya gravitasi.
Dari hasil pengukuran didapatkan bahwa kecepatan terminal elektron dalam konduktor
berbanding lurus dengan kuat medan di dalam bahan, atau
v = µE
(3.8)
dengan µ adalah sebuah konstanta yang dikenal dengan mobilitas elektron.
Perhatikan elemen kecil kawat sepanjang dx. Misalkan luas penampang kawat adalah A.
Misalkan pula keparatan elektron (jumlah elektron per satuan volum) adalah n . Volum elemen
kawat adalah dV = Adx . Jumlah elektron dalam elemen volum adalah
dN = ndV = nAdx
(3.9)
Karena satu elektron memiliki muatan e maka jumlah muatan elektron dalam elemen volum
adalah
dQ = edN = neAdx
(3.10)
Arus yang mengalir dalam kawat adalah
dQ neAdx
dx
=
= neA = neAv
dt
dt
dt
= neAµE
I=
(3.11)
Kerapatan arus dalam kawat (arus per satuan luas penampang) adalah
J=
I
= neµE
A
= σE
(3.12)
121
dengan
σ = neµ
(3.13)
yang dikenal dengan konduktivitas listrik. Konduktivitas listrik mengukur kemampuan bahan
mengantarkan listrik. Makin besar kondukticitas maka makin musah bahan tersebut
mengantarkan listrik. Konduktor memiliki konduktivitas tinggi sedangkan isulator memiliki
konduktivitas rendah. Satuan konduktivitas listrik adalah Siemens per meter (S/m).
3.9 Hubungan Konduktivitas dan Resistivitas
Kita sudah bahas bahwa makin mudah suatu bahan mengantarkan listrik maka maki besar
konduktivitasnya dan makin kecil resistivtasnya. Sebaliknya, makin sulit bahan mengantarkan
listrik maka makin kecil konduktivitasnya dan makin besar resistivitasnya. Jadi, ada hubungan
langsung antara konduktivitas dan resistivitas. Bagaimana hubungan tersebut? Mari kita cari.
Dari persamaan (3.11) dapat kita tulis
I = neAµ
EL
L
(3.14)
dengan L adalah panjang kawat. Dengan anggapan bahwa kuat medan listrik dalam kawat
konstan maka EL adalah beda potensial antara dua ujung kawat. Jadi kita dapat menulis
I = neAµ
V
L
(3.15)
Dengan menggunakan hukum Ohm, I = V / R maka kita simpulkan
R=
1 L
neµ A
(3.16)
Dengan membandingkan persamaan (3.5) dan (3.16) kita peroleh
ρ=
=
1
neµ
1
σ
(3.17)
Kita simpulkan bahwa konduktivitas adalah kebalikan dari resistivitas.
122
3.10 Rangkaian tahanan listrik
Dalam rangkaian listrik umumnya kita menggunakan sejumlah tahanan. Tahanan tersebut kadang
terpasang secara seri, seperti pada Gbr 3.11(a), pareler (Gbr 3.11(b)) atau campuran seri dan
parallel seperti Gbr 3.11(c). Pertanyaannya, apabila sejumlah tahanan dipasang semacam itu,
berapakah hambatan total yang dihasilkannya?
R1
R2
R3
(a)
R1
R2
(b)
R3
(c)
R3
R2
Gambar 3.11 (a) Tahanan tersusun secara seri, (b) tahanan sersusun secara parallel, dan (c)
campuran susunan seri dan parallel.
a) Hambatan seri
Mari kita tinjau hambatan yang disusun secara seri.
Hambaran R1, R2, dan R3 disusun secara seri (lihat Gbr 3.12). Terminal-terminal ujung
hambatan tersebut diberi beda potensial Vad sehingga mengalir arus I.
Jika hambatan total adalag R maka terpenuhi
Vad = I R
(3.18)
123
a
R1
b
R2
c
R3
d
I
Gambar 3.12 Menentukan hambatan pengganti untuk sejumlah hambatan yang disusun secara
seri.
Jika beda potensial antar ujung masing-masing hambatan adalah Vab, Vbc, dan Vcd maka
terpenuhi
Vad = Vab + Vbc + Vcd
(3.19)
Karena arus yang mengalir pada semua hambatan sama maka
Vab = I R1
Vbc = I R2
Vcd = I R3
(3.20a)
(3.20b)
(3.20c)
Substitusi persamaan (3.18) dan (3.20) ke dalam persamaan (3.19) maka
I R = I R1 + I R2 + I R3
Buang I pada kedua ruas diperoleh
R = R1 + R2 + R3
(3.21)
b) Hambatan Paralel
Berikutnya kita bahas hambatan-hambatan yang disusun secara parallel (lihat Gbr 3.13).
Arus total yang mengalir adalah I. Ketika memasuki tahanan-tahanan, arus tersebut terbagi atas
tiga jalur sehingga, berdasarkan hokum Kirchoff I terpenuhi
I = I1 + I2 + I3
(3.22)
Beda potensial antar ujung-ujung tahanan semuanya sama, yaitu Vab. Jika hambatan total adalah
R maka
124
I=
Vab
R
(3.23)
R1
I1
a
I
I2
R2
b
R3
I3
Gambar 3.13 Menentukan hambatan pengganti untuk sejumlah hambatan yang disusun secara
parallel.
Karena beda potensial antar ujung hambatan R1, R2, dan R3 juga Vab maka
I1 =
Vab
R1
(3.24a)
I2 =
Vab
R2
(3.24b)
I3 =
Vab
R3
(3.24c)
Substitusi persamaan (3.23) dan (3.24) ke dalam persamaan (3.22) diperoleh
Vab Vab Vab Vab
=
+
+
R
R1 R2 R3
Hilangkan Vab pada kedua ruas maka kita peroleh hambatan total yang memenuhi
1
1
1
1
=
+
+
R R1 R2 R3
(3.25)
125
Contoh
(a) Tentukan hambatan pengganti dari empat hambatan yang disusun secara parallel, R1 = 1 kΩ,
R2 = 4 kΩ, R3 = 8 kΩ, dan R4 = 5 kΩ.
(b) Jika benda tengan yang dipasang antar ujung-ujung hambatan adalah 50 V, tentukan arus
yang mengalir pada masing-masing hambatan.
Jawab
(a) Hambatan pengganti memenuhi
1
1
1
1
1
=
+
+
+
R R1 R2 R3 R4
1 1 1 1 40 10 5
8
63
= + + + =
+
+
+
=
1 4 8 5 40 40 40 40 40
atau
R = 40/63 = 0,635 kΩ = 635 Ω
(b) Arus yang mengalir pada masing-masing hambatan
Hambatan R1: I1 = V/R1 = 50/1000 = 0,05 A
Hambatan R2: I2 = V/R2 = 50/5000 = 0,0125 A
Hambatan R3: I3 = V/R3 = 50/8000 = 0,00625 A
Hambatan R4: I4 = V/R4 = 50/5000 = 0,01 A
3.11 Rangkaian yang mengandung tahanan dan sumber tegangan
Dalam rangkaian listrik, kadang kita jumpai sejumlah hambatan dan sejumlah sumber tegangan.
Bagaimana menentukan arus yang mengalir
a
R1
ε
R2
b
I
Gambar 3.14 Contoh rangkaian yang mengandung tahanan dan sumber tegangan
Rumus yang menghubungan besar arus yang mengalir dan besarnya hambatan serta tegangan
adalah
126
Vab = ∑ I R − ∑ ε
(3.26)
di mana Vab adalah beda potensial antara ujung-ujung rangkaian,
∑I R
adalah jumlah
∑ε
adalah jumlah
perkalian arus dan tahanan sepanjang rangkaian antara titik a dan b, dan
tegangan yang dipasang sepanjang rangkaian antara titik a dan b.
Rumus (3.26) diterapkan dengan perjanjian
i) I diberi harga positif jika mengalir dari a ke b
ii) ε diberi harga positif jika kutub negatif sumber tegangan menghadap titik a dan kutub positif
menghadap titik b.
Contoh
Perhatikan rangkaian pada Gbr 3.15. Berapakan tegangan listrik antara titik a dan b?
a
R1=100 Ω
R2=700 Ω
ε=3 V
b
I = 0,01 A
Gambar 3.15
Jawab
Arus I yang mengalir pada R1 dan R2 sama besar dan dalam rangkaian hanya terdapat satu
sumber tegangan. Maka persamaan (3.26) dapat ditulis
Vab = I R1 + I R2 - ε
Berdasarkan perjanjian:
I mengalir dari a ke b sehingga diberi harga positif: I = 0,01 A
Kutub negatif ε menghadap titik a sehingga nilai ε diberi harga positif: ε = + 3V.
Jadi
Vab = 0,01 × 100 + 0,01 × 700 – 3 = 1 + 7 – 3 = 5 V.
127
Contoh
Berdasarkan gambar 3.16, jika Vab = 5 V, tentukan besar arus yang mengalir.
R2=600 Ω
R1=200 Ω
a
ε1=3 V
I
b
ε2=7 V
Gambar 3.16
Vab = ∑ I R − ∑ ε
Vab = (I R1 + I R2) – (ε1 + ε2)
Berdasarkan perjanjian:
Kutub positif ε1 menghadap titik a sehingga diberi harga negatif: ε1 = - 3 V
Kutub negatif ε2 menghadap titik a sehingga diberi nilai positif: ε2 = + 7V
Jadi
5 = I × 200 + I × 600 – (-3 + 7)
5 = 800 I – 4
800 I = 9
atau
I = 9/800 = 0,01125 A.
3.12 Hambatan dalam sumber tegangan
Sumber tegangan seperti baterei dan aki sebenarnya juga memiliki hambatan. Ketika dipasang
pada rangkaian maka hambatan di dalam rangkaian bukan hanya hambatan tahanan-tahanan
yang dipasang, tetapi juga hambatan yang dimiliki sumber tegangan. Hambatan yang dimiliki
sumber tegangan disebut hambatan internal.
Sumber tegangan yang ideal adalah sumber tegangan yang hambatan dalamnya nol. Tetapi tidak
ada sumber tegangan yang ideal. Sumber tegangan yang baik adalah sumber tegangan yang
memiliki hambatan dalam sangat kecil.
128
Untuk menentukan arus yang mengalir dalam rangkaian ketika dipasang sumber tegangan, maka
sumber tegangan tersebut dapat digantikan dengan sebuah sumber tegangan ideal yang diseri
dengan sebuah tahanan r. Tahanan r inilah yang disebut tahahan internal sumber tegangan.
Sumber tegangan ideal:
menghasilkan beda potensial
tetapi tidak memiliki hambatan
dalam
ε
ε
Hambatan dalam yang
dimiliki sumber tegangan
tidak ideal
r
Sumber tegangan tidak ideal:
menghasilkan beda potensial
dan memiliki hambatan dalam
Gambar 3.17 Sebuah sumber tegangan sembarang dapat digantikan oleh sumber tegangan ideal
yang diseri dengan sebuah hambatan dalam.
3.13 Loop
Apa yang terjadi jika titik a dan b pada Gbr 3.14 dihubungkan? Kita akan mendapatkan Vab = 0
dan rangkaian menjadi tertutup. Rangkaian yang tertutup tersebut disebut loop. Contoh loop
adalah Gbr 3.18.
ε1
a
b
R2
ε2
I
R1
Gambar 3.18 Contoh loop sederhana
Karena Vab = 0 maka persamaan (3.26) menjadi
129
∑ I R − ∑ε = 0
(3.27)
Contoh
Tentukan arus yang mengalir pada rangkaian Gbr. 3.19 jika sumber tegangan dianggap tidak
memiliki hambatan dalam. Tentukan pula arus yang mengalir jika sumber tegangan memiliki
hambatan dalam 50 Ω.
R1=200 Ω
ε2 =7 V
ε1=5 V
R2=300 Ω
Gambar 3.19
Jawab
Kita bisa menganggap arah arus sembarang dalam loop.
Jika setelah dilakukan perhitungan diperoleh arus bernilai positif maka arah arus yang dipilih
benar.
Jika setelah dilakukan perhitungan diperoleh arus bernilai negatif maka arah arus yang dipilih
berlawanan dengan arah sebenarnya, tetapi bersarnya arus benar (tinggal membalik arah saja
tanpa melakukan perhitungan ulang).
Untuk sumber tegangan yang tidak memiliki hambatan dalam.
Misalkan kita pilih arah arus seperi pada Gbr 3.20
R1=200 Ω
ε1=5 V
I
ε2 =7 V
R2=300 Ω
130
Gambar 3.20 (a) Jika sumber tegangan tidak memiliki hambatan dalam
∑ I R − ∑ε = 0
I R1 + I R2 – (ε1 + ε2) = 0
Arus masuk ke ε1 dari kutub negatif, maka ε1 diberi harga positif: ε1 = + 5 V
Arus masuk ke ε1 dari kutub positif, maka ε2 diberi harga negatif: ε2 = - 5 V
Jadi
I × 200 + I × 300 – (5 – 7) = 0
500 I + 2 = 0
atau
I = -2/500 = - 0,04 A
Karena diperoleh arus berharga negatif, maka arah arus dalam rangkaian berlawanan dengan
anak panah yang digambar. Jadi arus mengalir berlawanan dengan arah jarum jam dan besarnya
0,04 A.
Untuk sumber tegangan yang memiliki hambatan dalam.
R1=200 Ω
(b)
r=50 Ω
r=50 Ω
I
ε1=5 V
ε2 =7 V
R2=300 Ω
Gambar 3.20(b) Jika sumber tegangan memiliki hambatan dalam
∑ I R − ∑ε = 0
I R1 + I R2 + I r + I r – (ε1 + ε2) = 0
I × 200 + I × 300 + I × 50 + I × 50 – (5 – 7) = 0
131
600 I + 2 = 0
atau
I = -2/600 = - 0,003 A
3.14 Rangkaian dua loop
Jumlah loop dalam rangkaian tidak hanya satu, tetapi bisa banyak sekali. Sekarang kita bahas
rangkaian yang terdiri dari dua loop. Prinsip yang digunakan sama dengan saat memecahkan
persoalan satu loop. Hanya di sini akan muncul dua persamaan, karena ada dua arus yang harus
dicari, yaitu arus yang mengalir pada masing-masing loop. Contohnya, kita tinjau rangkaian pada
Gbr. 3.21.
R1=100 Ω
R2=400 Ω
ε3 =8 V
ε2 =2 V
ε1=2 V
R3=500 Ω
Gambar 3.21 Contoh rangkaian dua loop
Arus yang mengalir pada tiap loop bisa dipilih sembarang. Jika nanti diperoleh nilai positif maka
arah yang dipilih sudah benar. Tetapi jika diperoleh nilai negatif, maka arah arus sebenarnya
berlawanan dengan arah yang dipilih, tetapi besarnya sama. Misalkan kita pilih arah arus seperti
pada Gbr. 3.22
R1=100 Ω
I1
ε1=2 V
R2=400 Ω
I2
ε2 =2 V
1
R3=500 Ω
2
ε3 =8 V
I1-I2
132
Gambar 3.22 Arah arus yang dipilih untuk loop pada Gbr 3.21
Untuk loop 1 berlaku
∑ I R − ∑ε = 0
I1 R1 + I1 R3 – (ε1 + ε2) = 0
Berdasarkan perjanjian untuk tanda sumber tegangan, maka berdasarkan gambar,
ε1 = + 2V
ε2 = - 4 V
I1 × 100 + I1 × 500 – (2 – 4) = 0
600 I1 + 2 = 0
I1 = -2/600 = 0,003 A
Untuk loop 2 berlaku
∑ I R − ∑ε = 0
I2 R2– (ε2 + ε3) = 0
Berdasarkan perjanjian untuk tanda sumber tegangan, maka berdasarkan gambar,
ε2 = + 4V
ε3 = + 8 V
Maka
400 I2 – (4 + 8) = 0
400 I2 – 12 = 0
I2 = 12/400 = 0,03 A
Berdasarkan haris di atas, arus yang mengalir pada loop kiri adalah 0,003 A dengan arah
berlawanan dengan yang dilukiskan pada Gbr 3.22. Arus yang mengalir pada loop 2 adalah 0,03
A sesuai dengan arah yang dilukiskan pada Gbr. 3.22.
133
3.15 Daya Listrik
Jika arus listrik mengalir pada sebuah hambatan maka hambatan tersebut akan menjadi panas. Ini
menunjukkan bahwa pada hambatan tersebut terjadi proses perubahan energi dari energi listrik
menjadi energi panas. Pertanyaannya, berapakah energi listrik yang diubah penjadi panas per
detik? Atau berapakah daya listrik yang diubah menjadi panas per detik pada suatu hambatan?
Mari kita tinjau arus yang mengalir melewati sebuah hambatan selama selang waktu ∆t . Jumlah
muatan yang mengalir selama waktu ini adalah
∆q = I∆t
Arus mengalir dari satu ujung hambatan ke ujung lain yang memiliki beda potensial V. Dengan
demikian, ketika muatan bergerak dari satu ujung hambatan ke ujung lainnya, muatan tersebut
mendapat tambahan energi sebesar ∆U = ∆qV
Tambahan energi ini seharusnya menyebabkan energi kinetik muatan saat mencapai ujung kedua
dari hambatan makin besar. Atau saat mencapai ujung kedua hambatan, kecepatan muatan makin
besar sehingga arus di ujung kedua muatan juga makin besar. Tetapi, dalam rangkaian besar arus
di ujung awal maupun ujung akhir hambatan sama. Ini berarti tambahan energi yang didapat
muatan dibuang dalam bentuk panas sehingga energi kinetik muatan tidak berubah. Jadi, jumlah
energi yang diubah menjadi panas adalah
∆Q = ∆qV
= I∆tV
Dengan demikian, daya yang dibuang pada hambatan adalah
P=
∆Q
∆t
= IV
(3.28)
Dengan menggunakan hukum Ohm V = IR maka kita juga dapat menulis
P = I 2R
(3.29)
Contoh
Suato loop mengandung sebuah baterei dengan tegangan 1,5 V dan sebuah tahanan dengan
134
hambatan 2 kΩ. Anggaplah baterei memiliki hambatan dalam nol. (a) Berapakah arus yang
mengalir dalam loop? (b) berapa daya listrik yang hilang pada tahanan? (c) Berapa daya listrik
yang hilang pada baterei?
Jawab
Diberikan
ε = 1,5 V
R = 2 kΩ = 2 000 Ω
(a) Arus yang mengalir dalam loop
I = ε/R = 1,5/2000 = 0,00075 A
(b) daya listrik yang hilang pada tahanan
P = I2 R = (0,00075)2 × 2000 = 0,0011 W
(c) Daya listrik yang hilang pada baterei
P = ε I = 1,5 × 0,00075 = 0,0011 W
Kalian perhatikan bahwa daya yang hilang pada batereri sama dengan daya listrik yang diubah
menjadi energi panas pada tahanan.
3.16 Pengukuran Arus Listrik
Berapa besar arus listrik yang mengalir dalam suatu rangkaian dapat diukur dengan alat yang
namanya galvanometer atau amperemeter.
Gambar 3.23 Contoh amperemeter
Untuk mengukur arus yang mengalir pada rangkaian, pertama-tama rangkaian harus diputus.
Dua ujung kabel yang diputus dihubungkan ke dua terminal amperemeter sehingga arus mengalir
ke dalam amperemeter.
135
R1
(a)
ε1
R2
R1
(b)
ε1
R2
R1
(c)
ε1
A
R2
Gambar 3.24 Tahap pengukuran arus dengan amperemeter. (a) rangkapan yang akan diukus
arusnya. (b) rangkaian diputus dan (c) ujung rangkaian yang diputus dihubungkan ke terminal
amperemeter.
Besarnya arus yang mengalir akan ditunjukkan oleh layar peraga amperemeter. Layar peraga
tersebut dapat berupa jarum (untuk amperemeter analog) atau angka-angka (untuk amperemeter
136
digital).
Yang perlu diperhatikan
Beberapa hal yang harus diperhatikan saat mengukur arus dengan amperemeter di antaranya
a) Amperemeter miliki tahanan, walaupun sangat kecil. Ketika amperemeter dipasang untuk
mengukur arus maka tahanan total rangkaian menjadi lebih besar sehingga arus yang mengalir
sedikit berkurang. Jadi arus yang ditunjukkan oleh amperemeter sedikit lebih kecil daripada arus
yang mengalir sebelum amperemeter dipasang.
Namun:
i) Jika hambatan total dalam rangkaian cukup besar maka tahanan yang dimiliki amperemeter
dapat dibaikan sehingga arus yang dibaca oleh amperemeter hampir sama dengan arus yang
mengalir sebelum amperemeter dipasang.
ii) Jika hambatan total dalam rangkaian sangat kecil, maka pemasangan amperemeter dapat
mengubah arus yang mengalir cukup signifikan. Arus yang dibaca amperemeter jauh lebih kecil
daripada arus yang mengalir sebelum amperemeter dipasang.
b) Ada batas maksimum arus yang dapat diukur oleh amperemeter. Jika arus yang diukur
melebihi batas maksimum tersebut, maka amperemeter dapat rusak dan terbakar. Untuk itu,
sebelum melakukan pengukuran, kalian perkirakan dulu besarnya arus yang mengalir dalam
rangkaian. Jika kalian yakin bahwa arus yang mengalir masih berada di bawah batas maksimum
yang bisa diukur amperemet, kalian dapat mengukur.
Mengukur arus yang melebihi batas maksimum kemampuan amperemeter
Bagaimana mengukur arus yang nilainya melebihi kemapuan pengukuran amperemeter? Kita
dapat memasang hambatan “shunt” yang dipasang secara parallel dengan salah satu hambatan
dalam rangkaian. Peranan hambatan ini adalah untuk membagi arus sehingga sebagian mengalir
di hambatan shunt dan sebagian mengalir di hambatan dalam rangkaian amperemeter. Nilai
hambatan shunt harus cukup kecil sehingga arus yang mengalir pada amperemeter lebih kecil
dari arus maksium yang dapat diukur amperemeter.
Tampak dari Gbr 3.25 (b)
I = I1 + I2
I1 = Vab/R2
I2 = Vab/Rs, atau Vab = I2 Rs
Jadi
137
I1 = I2 Rs /R2
R1
(a)
ε2
ε1
I
R2
R1
(b)
ε2
ε1
I
I1
R2
a
b
I1
Rs
Gambar 3.25 (a) Rangkaian mula-mula dan (b) rangkaian setelah dipasangkan hambatan shunt.
R1
ε2
ε1
I
I1
R2
A
I1
Rs
Gambar 3.26 Teknik pengukuran arus yang melebihi kemampuan ukur amperemeter
138
Dan arus total menjadi
I = I2 Rs/R2 + I2 = (1 + Rs/R2) I2
Jadi, dengan mengukur I2 maka nilai arus yang mengalir pada rangkaian semula dapat
ditentukan. Pemasangan amperemeter pada saat pengukuran menjadi seperti pada Gbr. 3.26
Mengukur beda potensial dua titik
Beda potensial antara dua titik dalam rangkaian dapat diukur dengan alat yang namanya
voltmeter. Pengukuran beda potensial tidak perlu memutus rangkaian yang ada. Cukup
menyentuhkan dua terminal voltmeter dengan dua titik yang akan diukur beda potensialnya.
(a)
(b)
R1
(c)
ε1
ε2
a
R2
b
V
139
Gambar 3.27 (a) contoh voltmeter, (b) volmeter sedang digunakan untuk mengukur beda
potensial dua titik dalam rangkaian, (c) skema pemasangan voltmeter saat mengukur beda
potensial antara dua titik.
Beda potensial langsung terbaca pada layar voltmeter. Layar tersebut dapat berupa jarum (untuk
volmeter analog) atau angka-angka (volmeter digital).
Mengukur Hambatan Listrik
Hambatan listrik suatu resistor atau antar dua titik dalam rangkaian dapat diukur secara langsung
dengan alat yang namanya Ohmmeter. Pengukuran dilakukan dengan menyentuhkan dua
terminal Ohmmeter dengan dua ujung tahanan atau dua titik dalam rangkaian yang akan diukur
tahanannya.
Gambar 3.28 Mengukur hambatan listrik dalam rangkaian dengan multimeter digital
(a)
(b)
R1
R1
ε
ε
R2
R2
R3
R3
(c)
R1
ε
R2
R3
Ω
Gambar 3.29 Tahapan pengukuran nilai hambatan suatu komponen dalam rangkaian dengan
140
Ohmmeter. (a) rangkaian asal di mana nilai R3 akan diukur, (b) salah satu kaki R3 diputus
hubungannya dengan rangkaian, (c) hambatan R3 diukur dengan Ohmmeter.
Tetapi harus diingat, saat mengukur hambatan, komponen atau dua titik dalam rangkaian yang
akan diukur hambatannya harus diisolasi dari rangkaian lainnya. Jika akan mengukur nilai
sebuah tahanan dalam rangkaian maka salah satu kaki tahanan tersebut harus dipotong dari
rangkaian. Hal yang sama dilakukan ketika mengukur hambatan antar dua titik dalam rangkaian.
Salah satu titik diputus dari rangkaian induk baru dilakukan pengukuran.
Soal dan pembahasan
1) Tentukan hambatan pengganti untuk susunan hambatan pada Gbr 3.30. Nilai hambatan dalam
rangkaian adalah R1 = 500 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 300 Ω, R4 = 400 Ω, dan R5 = 200 Ω.
R2
R1
R3
R4
a
b
R5
Gambarn 3.30
Jawab
R2 dan R3 tersusun secara seri sehingga dapat digantikan oleh hambatan RA yang memenuhi
RA = R2 + R3 = 200 + 300 = 500 Ω.
RA, R4, dan R5 tersusun secara paralel, sehingga dapat digantikan oleh hambatan RB yang
memenuhi
1
1
1
1
1
1
1
4
5
10
19
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
RB R A R4 R5 500 400 200 2000 2000 2000 2000
atau
RB = 2000/19 = 105 Ω.
R1 dan RB tersusun secara seri sehingga dapat digantikan oleh RT tang memnuhi
141
RT = R1 + RB = 500 + 105 = 605 Ω.
RT merupakan hambatan penggantu susunan hambatan pada Gbr. 26.31.
2) Kembali ke soal nomor 1. Jika tegangan antara a dan b adalah 6 V, berapaka arus yang
mengalir pada masing-masing tahanan?
Jawab
Hambatan total antara a dan b adalah RT = 605 Ω. Maka arus total yang mengalir dari a ke b
adalah
I = V/RT = 6/605 = 0,01 A
Arus total ini melewari R1. Jadi arus yang mengalir pada R1 adalah 0,01 A.
Misalkan tegangan antar dua titik percabamngan adalah Vcb. Maka
Vcb = I RB = 0,01 × 105 = 1,05 V
Arus yang mengalir pada R2 maupun R3 adalah
I23 = Vcb/RA = 1,05/500 = 0,0021 A
Arus yang mengalir pada R4 adalah
I4 = Vcb/R4 = 1,05/400 = 0,0026 A
Arus yang mengalir pada R5 adalah
I5 = Vcb/R5 = 1,05/200 = 0,0053 A
3) Sebuah kawat diregangkan sehingga panjangnya bertambah 20% dari panjang semula. Berapa
perubahan hambatan kawat tersebut?
Jawab
Misalkan
Panjang kawat mula-mula Lo
Luas penampang kawat mula-mula: Ao
142
Panjang kawat setelah diregangkan: L
Luas kawat setelah diregangkan: A
Hambatan kawat mula-mula
Ro = ρ Lo/Ao
Hambatan kawat setelah diregangkan
R = ρ Lo/Ao
Berdasarkan soal: L = (1 + 20%) Lo = 1,2 Lo
Volume kawat sebelum dan sesudah diregankan tidak berubah, sehingga
Vo = V
Ao Lo = A L
Atau
A = Ao Lo/L = Ao Lo/(1,2 Lo) = Ao/1,2
Dengan demikian
R = ρ (1,2 Lo)/(Ao/1,2) = (1,2)2 (ρ Lo/Ao) = 1,44 Ro
Atau tahanan kawat bertambah 44%.
4) Sebuah kios pengisian aki mengisi aki dengan mengalirkan arus 0,4 A selama 7 jam.
Berapakah muatan yang dimasukkan ke dalam aki?
Jawab
Diberikan
I = 0,4 A
∆t = 7 jam = 7 × 3600 s = 25 200 s
Muatan yang dimasukkan ke dalam aki adalah
∆Q = I ∆t = 0,4 × 25 200 = 10 080 C.
143
5) Arus sebesar 0,5 A mengalir pada kawat. Berapa jumlah elektron per detik yang mengalir
dalam kwat tersebut? Besar muatan elektron adalah 1,6 × 10-19 C.
Jawab
Diberikan
I = 0,5 A
∆t = 1 s
Muatan yang mengalir selama satu detik
∆Q = I ∆t = 0,5 × 1 = 0,5 C.
Arus yang mengalir pada kawat disebabkan aliran elektron sepanjang kawat tersebut. Dengan
demikian, jumlah elektron yang mengalir per detik adalah
N = ∆Q/1,6 × 10-19 = 0,5/1,6 × 10-19 = 3,125 × 1018 elektron.
6) Sebuah peralatan listrik menarik arus 5,5 A ketika dihubungkan ke tagangan 110 V. (a) Jika
tegangan turun 10 persen, berapakah arus yang mengalir sekarang? (b) Jika hambatan berkurang
10 persen, berapa arus yang ditarik alat tersebut saat dihubungkan ke tegangan 110 V?
Jawab
Hamabatan mula-mula yang dimiliki alat
R = 110/5,5 = 20 Ω
a) Jika tegangan turun 10 persen, maka tegangan menjadi
V’ = 110 – 10% × 110 = 110 – 0,1 × 110 = 110 – 11 = 99 V
Besar arus yang mengalir
I’ = V’/R = 99/20 = 4,95 A
b) Jika hambatan dikurangi 10 persen, maka hambatan baru menjadi
R’ = R - 10% × R = 20 – 0,1 × 20 = 20 – 2 = 18 Ω.
Arus yang mengalir
I = V/R’ = 110/18 = 6,1 A
144
7) Baterei 12 V mendorong arus 0,5 A pada sebuah tahahan. (a) Berapakah besar tahanan
tersebut? (b) Berapa Joule kehilangan energi baterei selama satu menit.
Jawab
Diberikan
V = 12 V
I = 0,5 A
(a) Hambatan
R = V/I = 12/0,5 = 24 Ω.
(b) Daya baterei yang hilang
P = V I = 12 × 0,5 = 6 W
Energi yang hilang selama ∆t = 1 menit = 60 s adalah
E = P ∆t = 6 × 60 = 360 J.
8) Sebuah kawat tembaga memiliki hambatan 10 Ω. Di manakah kawat tersebut harus dipotong
agar hambatan salah satu potongan tujuh kali hambatan potongan yang lain? Hitung pula
hambatan tiap potongan tersebut.
Jawab
Misalkan panjang mula-mula kawat L.
Luas penampang kawat A.
Panjang potongan pertama: L1.
Panjang potongan kedua: L – L1
Hambatan potongan pertama
R1 = ρ L1/A
Hambatan potongan kedua
R2 = ρ (L - L1)/A
Tetapi
R1 = 7 R2
Sehingga
ρ L1/A = 7 ρ (L - L1)/A
145
atau
L1 = 7 (L – L1)
L1 = 7L – 7L1
8L1 = 7L
atau
L1 = 7L/8
Hambatan total kawat
R = ρ L /A = 10 Ω
Hambatan potongan pertama
R1 = ρ L1 /A = ρ (7L/8) /A = (7/8) ρ L /A = (7/8) R = (7/8) × 10 = 8,75 Ω.
Hambatan potongan kedua
R2 = R – R1 = 10 – 8,75 = 1,25 Ω.
9) Berapakah suhu kawat tembaga harus dinaikkan (jika mula-mula suhunya 20 oC) agar
hambatannya bertambah 20%
Jawab
Diberikan
To = 20 oC
R = Ro + 20% Ro = 1,2 Ro
Berdasarkan tabel 26.1 α = 0,0068 (oC)-1
Dengan menggunakan persamaan (26.6)
R = Ro [1 + α (T – To)]
R/Ro = 1 + α (T – To)
1,2 = 1 + 0,0068 (T – To)
0,0068 (T – To) = 1,2 –1 = 0,2
atau
146
(T – To) = 0,2/0,0068 = 29,4 oC
Jadi besarnya kenaikan suhu adalah 29,4 oC.
10) Kawat yang panjangnya 10 m terbuat dari 5 m tembaga dan 5 m aluminium yang memiliki
diameter yang sama (1,0 mm). Beda potensial sebesar 80 V diberikan pada ujung-ujung
gabungan kawat tersebut. (a) berapakah hambatan total kawat, (b) berapakah arus yang mengalir
pada kawat? (c) berapakah beda potensial sepanjang kawat aluminium saja dan berapakah beda
potensial sepanjang kawat tembaga saja?
Jawab
Diberikan
Panjang kawat aluminium: LA = 5 m
Panjang kawat tembaga: LT = 5 m
Diameter kawat: d = 1 mm = 10-3 m.
Luas penampang kawat: A = πd2/4 = 3,14 × (10-3)2/4 = 7.85 × 10-7 m2.
Berdasarkan Tabel 26.1
Tahanan jenis aluminium: ρA = 2,65 × 10-8 Ωm
Tahanan jenis tembaga: ρT = 1,68 × 10-8 Ωm
Hambatan kawat aluminium
RA = ρA LA/A = 2,65 × 10-8 × 5/7.85 × 10-7 = 0,17 Ω.
Hambatan kawat tembaga
RT = ρT LT/A = 1,68 × 10-8 × 5/7.85 × 10-7 = 0,11 Ω.
Karena kawat aluminium dan tembaha disusun seri, maka hambatan keduanya juga tersusun seri.
Hambatan total kawat menjadi
R = RA + RT = 0,17 + 0,11 = 0,28 Ω.
(b) Arus yang mengalir pada kawat
I = V/R = 80/0,28 = 286 A.
(c) Beda potensial sepanjang kawat aluminium
VA = I RA = 286 × 0,17 = 48,6 V
Beda potensial sepanjang kawat tembaga
VT = I RT = 286 × 0,11 = 31,4 V
11) Berapakah tegangan maksimum yang dapat diberikan pada tahanan 2,7 kΩ dan memiliki
daya 0,25 W?
147
Jawab
Agar hambatan tersebut tidak terbakar, maka daya yang dihasilkan tidak boleh melebihi 0,25 W.
Jadi
Pmaks = 0,25 W
R = 2,7 kΩ = 2 700 Ω.
Pmaks = (Vmaks)2/R
Atau
(Vmaks)2 = Pmaks × R = 0,25 × 2 700 = 675 V2
atau
Vmaks = (675)1/2 = 26 V
12) Berapa banyak bola lampu 100 W yang dapat dipasang secara parallel di rumah yang
memiliki tegangan 220 V dan sekering 2,5 A?
Jawab
Arus maksimum yang diijinkan asalah Im = 2,5 A
Arus yang mengalir pada masing-masing bolam lampu: I = P/V = 100/220 = 0,45 A.
Jumlah bolam lampu yang dapat dipasang adalah Im/I = 2,5/0,45 = 5 buah.
13) Tentukan hambatan pengganti dari “tangga hambatan” pada Gbr.3.31. Hambatan tiap tahanan
sama, yaitu 200 Ω.
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Gambar 3.31
Jawab
Kita hitung hambatan tahap demi tahap
Tiga hambatan paling kanan tersusun secara seri, sehingga hambatan penggantinya adalah
148
RA = R + R + R = 3R
RA dengan hambatan keempat dari kanan (posisi mengahdap atas bawah) tersusun secara
parallel, sehingga hambatan penggantinya, RB memenuhi
1/RB = 1/RA + 1/R = 1/3R + 1/R = 1/3R + 3/3R = 4/3R
atau
RB = 3R/4
Hambatan RB dengan hambatan kelima dan keenam dari kanan (melintang di atas dan di bawah)
tersusun secara seri sehingga dapat digantikan oleh hambatan RC yang memenuhi
RC = RB + R + R = 3R/4 + R + R = 3R/4 + 4R/4 + 4R/4 = 11R/4
Hambatan RC dengan hambatan ketujuh dari kanan (posisi menghadap atas bawah) tersusun
secara parallel, sehingga dapat digantikan oleh hambatan RD yang memenuhi
1/RD = 1/RC + 1/R = 1/(11R/4) + 1/R = 4/11R + 11/11R = 15/11R
arau
RD = 11R/15
Hambatan RD dengan dua hambatan paling kiri tersususun secara seri, sehingga dapat digantikan
oleh hambatan RT yang memenuhi
RT = RD + R + R = 11R/15 + R + R = 11R/15 + 15R/15 + 15R/15 = 41R/15
Hambatan RT merupakan hambatan pengganti semua tahanan yang dipasang dalam rangkaian.
Jadi, besarnya hambatan pengganti adalah
RT = 41 × 200/15 = 547 Ω
14) (a) Pada Gbr. 3.32, tentukan hambatan pengganti rangkaian hambatan jika nilai tiap
hambatan adalag R = 2,8 kΩ. Anggap hambatan dalam baterei nol. (b) tentukan arus yang
mengalir pada masing-masing hambatan. (c) tentukan beda potensial antara titik A dan B?
Jawab
149
Gambar 3.33 memperlihatkan tahapan-tahapan perhitungan tahanan pengganti.
R
B
R
R
R
R
A
C
ε = 12 V
R
Gambar 3.32
Pada Gbr. 3.33(a) hambatan atas dan kiri tersusun secara seri sehingga dapat digantikan oleh
hambatan R1
R1 = R + R = 2R
Pada Gbr. 3.33(b), hambatan R1 dan hambatan yanh berposisi diagonal tersusun secara paralel,
sehingga dapat digantikan oleh hambatan R2 yang memenuhi
1/R2 = 1/R1 + 1/R = 1/2R + 1/R = 1/2R + 2/2R = 3/2R
atau
R2 = 2R/3
Pada Gbr. 3.33(c), hambatan R2 dan hambatan di sisi kanan tersusun secara seri, sehingga dapat
digantikan oleh hambatan R3 yang memenuhi
R3 = R2 + R = 2R/3 + R = 5R/3
Pada Gbr. 3.33(d), hambatan R3 dan hambatan R yang melintang di tengan tersusun secara
paralel, sehingga dapat digantikan oleh hambatan R4 yang memenuhi
1/R4 = 1/R3 + 1/R = 1/(5R/3) + 1/R = 3/5R + 5/5R = 8/5R
atau
150
R4 = 5R/8
R3
R
B
(a)
(d)
R
R
R
A
R
R
A
ε = 12 V
ε = 12 V
R
R
B
(b)
R4
(e)
A
R
R1
R
R
ε = 12 V
A
R
ε = 12 V
R
(f)
RT
A
B
ε = 12 V
(c)
R2
R
A
R
ε = 12 V
(g)
C
A
R
R
ε = 12 V
Gambar 3.33
Pada Gbr. 3.33(e), hambatan R4 dan hambatan paling bawah di sisi kanan tersusun secara seri,
151
sehingga dapat digantikan oleh hambatan RT yang memenuhi
RT = R4 + R = 5R/8 + R = 5R/8 + 8R/8 = 13R/8
Hambatan RT merupakan hambatan total rangkaian.
Jadi, hambatan total rangkaian adalah
RT = 13R/8 = 13 × 2,8/8 = 4,55 kΩ.
(b)Arus yang mengalir pada baterei sama dengan arus yang mengalir pada hambatan paling
bawah di sisi kanan merupakan arus total yang mengalir dalam rangkaian, yaitu
IT = V/RT = 12/4 550 = 0,003 A
Karena hanya ada satu baterei yang dipasang, arah arus ini, jelas keluar dari kutub positif baterai
dan masuk pada kutub negatif baterei. Yaitu dari kiri ke kanan pada lintasan paling bawah yang
ditempati baterei.
Sekarang kita tentukan beda potensial antara titik C dan A. Lihat arah arus seperti pada Gbr.
3.33(f)
Vca = Σ I R - Σ ε = IT R – ε
Berdasarkan perjanjian
Arah lintasan yang dibuat berlawanan dengan arah arus. Jadi IT = - 0,003 A.
Lintasan yang dipilih masuk ke ε dari kutub positif, maka ε diberi harga negatif: ε = - 12 V
Jadi
Vca = -0,003 × 2 800 – (-12) = 3,6 V
Arus yang mengalir pada hambatan melintang antara titik C dan A adalah
Ica = Vca/R = 3,6/2 800 = 0,0013 A
Arus yang mengalir pada semua hambatan di sebelah atas A dan C adalah
I’ = It – Ica = 0,003 – 0,0013 = 0,0017 A
152
Arus I’ sama dengan arus yang mengalir pada hambatan di sisi kanan atas. Arah arus adalah dari
bawah ke atas.
Beda potensial antara titik B dan A, sama dengan perkalian arus I’ dengan dengan hambatan R2
pada Gbr 3.33 (c). Jadi
Vba = I’ R2 = I’ × (2R/3) = 0,0017 × (2 × 2 800/3) = 3,17 V
Dengan demikian, arus yang mengalir pada R yang berposisi diagonal adalah
I’’ = Vba/R = 3,17/2800 = 0,00113 A
Arus yang mengalir pada hambatan paling atas dan kiri atas adalah
I’’’ = Vba/2R = 3,17/(2 × 2 800) = 0,00057 A
(c) Tegangan antara titik A dan B sama dengan negatif tegangan antara titik B dan A. Kita sudah
hitung, Vba = 3,17 V. Maka Vab = -3,17 V.
15) Misalkan kamu memiliki sumber tegangan 6 V. Tetapi kamu memiliki alat elektronik yang
membutuhkan tegangan 4 V. Bagaimana cara mendapatkan tegangan 4 V dari sumber tegangan 6
V?
Jawab
Kita menggunakan dua buah tahanan, yang dikenal sebagai pembagi tegangan. Rangkaiannya
tampak pada Gbr. 3.34
R1
ε=6V
a
R2
b
Gbr. 3.34 Rangkaian pembagi tegangan
153
Arus yang mengalir pada tahanan R1 dan R2 adalah
I = ε/(R1 + R2)
Tegangan antara titik a dan b adalah
Vab = I R2 =
ε
R1 + R2
× R2 =
R2
×ε
R1 + R2
Agar diperoleh tegangan 4 V dari sumber tegangan 6 V maka
4 = R2/(R1+R2) × 6
atau
(R1 + R2)/R2 = 6/4
R1 + R2 = 6 R2/4
R1 = 6R2/4 – R2 = R2/2
Jadi, kita perlu memasang dua buah hambatan dengan hambatan R1 setengah kali hambatan R2.
Contohnya, R1 = 10 Ω dan R2 = 20 Ω.
16) Dua tahanan, ketika dihubungkan secara seri ke tegangan 110 V menghasilkan daya
seperempat dari yang dihasilkan ketika kedua tahanan tersebut dihubungkan secara paralel. Jika
hambatan satu tahanan 2,2 kΩ, berapakah hambatan tahanan yang lainnya?
Jawab
Misalkan hambatan tahanan yang lain R maka
Ketika dihubungkan seri, hambatan total adalah Rs = R + 2200 Ω.
Daya yang dihasilkan
Ps = V2/Rs
Ketika dihunungkan secara paralel maka hambatan total Rp memenuhi
1/Rp = 1/R + 1/2200 = (2200 + R)/2200 R
atau
Rp = 2200 Rp/(2200 + Rp)
154
Daya yang dihasilkan
Pp = V2/Rp
Tetapi
Ps = 1/4 Pp
Atau
V2/Rs = (1/4) V2/Rp
1/Rs = 1/4Rp
Rs = 4 Rp
R + 2200 = 4 × 2200 R/(R + 2200)
(R + 2200)2 = 8800 R
R2 + 4400R + 4 840 000 = 8800 R
R2 – 4400 R + 4 840 000 = 0
(R – 2200)2 = 0
atau
R = 2200 Ω = 2,2 kΩ.
Jadi tahanan lain memiliki hambatan 2,2 kΩ juga.
17) Lampu 75 W, 220 V dihubungkan secara paralel dengan lampu 40 W, 220 V. Berapakah
hambatan total lampu?
Jawab
Hambatan lampu pertama R1 = V2/P1 = 2202/75 = 645 Ω.
Hambatan lampu kedua R2 = V2/P2 = 2202/40 = 1 210 Ω.
Hambatan total lampu, R memenuhi
1/R = 1/645 + 1/1 210 = 0,00155 + 0,000826 = 0,002376
atau
155
R = 1/0,002376 = 421 Ω
Soal Latihan
1) Berapakah arus dalam ampere jika 1000 ion Na+ mengalir melalui membran sel selama 6,5
µs? Muatan satu ion Na+ sama dengan muatan elektron, hanya tandanya positif.
2) Berapakah hambatan sebuah toaster jika diberikan tegangan 110 V muncul arus 2,8 A?
3) Baterei 9 V dihubungkan ke lampu yang memiliki hambatan 1,6 Ω. Berapa elektron yang
meninggalkan baterei selama satu menit?
4) Sebuah hair dryer menarik arus 9 A ketika disambuknan ke tegangan 110 V. (a) Berapakah
hambatan hair dryer? (b) Berapa muatan yang mengalir selama 15 menit?
5) Berapakah diamater kawat tungsten yang panjangnya 1 meter jika hambatannya 0,22 Ω?
6) Dapatkan kawat tembaga yang diamaternya 2,5 mm memiliki hambatan yang sama dengan
kawat tungsten yang panjangnya sama dengan panjang kawat tembaga tersebut?
7) Sebuah kawat aluminium, ketika dihubungkan ke tegangan 10,0 V tepat menghasilkan arus
0,4212 A. Pada saat itu suhu kawat tepat 20 oC. Kemudian kawat tersebut ditempatkan pada
lingkungan yang suhunya tidak diketahui. Dengan memberikan tegangan yang sama, arus yang
mengalir pada kawat menjadi 0,3618 A. Berapakah suhu lingkungan kawat tersebut?
8) Tentukan, pada suhu berapakah tahanan jenis tembaga menjadi sama dengan tahanan jenis
tungsten pada suhu 20 oC?
9) Sebuah bolam lampu mengandung filamen yang memiliki hambatan 12 Ω kerika dalam
kondisi dingin dan 140 oC pada keadaan panas. Perkirakan suhu filamen dalam bola lampu
ketika saklar di “ON” kan (lampu menyala) jika koefisien suhu hambatannya adalah α = 0,0060
(oC)-1
10) Berapakah daya maksimum yang dikonsumsi oleh sebuah walkman jika arus maksimum
yang ditarik oleh alat tersebut dari sumber tegangan 9 V adalah 350 mA?
11) (a) Berapakah hambatan dan arus yang mengalir pada bolam lampu 60 W jika dihubungkan
ke sumber tegangan 120 V? (b) Ulangi pertanyaan di atas untuk bolam lampu 440 W.
12) Sebuah pembangkit listrik memberikan daya 520 kW ke sebuah pabrik melalui kabel yang
tahanan totalnya 3 Ω. Berapa daya listrik yang terbuang jika tegangan yang diberikan 50.000 V?
Dan berapa daya yang terbuang jika tegangan 20.000 V?
13) Delapan lampu sejenis dihubungkan secara seri pada tegangan listrik 220 V. (a) berapa beda
tegangan yang dialami tiap lampu? (b) Jika arus yang mengalir 0,8 A, berapakah hambatan yang
dimiliki masing-masing lampu dan daya yang dihasilkan oleh masing-masing lampu tersebut?
14) Delapan lampu serupa dihubungakan secara paralel pada tegangan 110 V. Jika arus yang
mengalir pada tiap lampu adalah 240 mA, berapakah hambatan tiap lampu dan daya yang
dihasilkan masing-masing lampu?
15) Empat buah lampu yang memiliki hambatan masing-masing 140 Ω dihubungkan secara seri.
(b) berapakah hambatan total ke empat lampu tersebut? (b) berapakah hambatan total jika lampu
disusun secara paralel?
156
16) Tiga buah lampu yang memiliki hambatan masing-masing 40 Ω dan tiga buah lampu yang
memiliki hambatan masing-masing 80 Ω dihunungkan secara seri. (a) Berpakah hambatan total
enam lampu tersebut? (b) Berapakah hambatan total jika enam lampu tersebur disusun secara
paralel?
17) Dari satu buah hambatan 40 Ω dan satu buah hambatan 80 Ω, hambatan yang nilai berapakah
yang mungkin diperoleh dari kombinasi kedua hambatan tersebut?
18) Misalkan kamu memiliki tiga buah hambatan, masing-masing 500 Ω, 900 Ω, dan 1,4 kΩ.
Berapakah hambatan terbesar yang dapat kamu peroleh dengan mengkombinasikan tiga
hambatan tersebut? Berapakah hambatan terkecil yang dapat kamu peroleh?
19) Tiga buah tahanan 240 Ω dapat dikombinasikan dalam empat cara yang berbeda. Hitunglah
hambatan pada tiap-tiap kombinasi tersebut.
20) Tahanan 2,1 kΩ dan 2,8 kΩ dihubungkan secara paralel. Kombinasi tersebut kemudian
dihubungkan secara seri dengan tahanan 1,8 kΩ. Jika daya maksimum yang sanggup ditahan
masing-masing tahanan 0,25 W, berapakah tegangan maksimum yang bisa dipasang pada
rangkaian tersebut?
21) Dua buah lampu yang memiliki daya yang sama dihubungan ke tegangan 220 V. Manakah
yang lebih terang jika jika kedua lampu tersebut dipasang secara seri dibandingkan apabila kedua
lampu tersebut dipasang secara paralel?
157
Bab 4
Kemagnetan
Setelah cukup banyak membahas kelistrikan pada beberapa Bab terdahulu, pada bagian ini kita
akan belajar fenomena lain yang sangat penting, yaitu kemagnetan. Fenomena ini sering kita
amati dalam kehidupan sehari-hari. Contoh fenomena kemagnetan adalah pergerakan jarum
kompas menuju arah utara selatan (lebih tepatnya mendekati arah utara selatan), tarikan atau
tolakan dua batang magnet, terjadinya aurora di dekat kutub bumi, dan sebagainya. Dan ternyata
para ahli fisika telah menemukan hubungan yang sangat erat antara fenomena kelistrikan dan
kemagnetan. Kelistrikan dapat dihasilkan oleh proses pada magnet, dan sebaliknya kemagnetan
dapat dihasilkan oleh proses pada listrik. Oleh karena itu kelistrikan dan kemagnetan dapat
dipandang sebagai satu fenomena saja yang sekarang dinamai electromagnet (elektro dan
magnet).
4.1 Gaya Antar Kutub Magnet Permanen
Salah satu gejala kemagnetan yang dapat kalian amati dengan mudah adalah tertariknya paku
atau potongan besi oleh batang magnet. Batang magnet seperti ini dikelompokan sebagai magnet
permanen. Disebut magnet permanen karena sifat kemagnetan tetap ada kecuali dikenai
gangguan luar yang cukup besar seperti pemanasan pada suhu yang cukup tinggi atau pemukulan
yang cukup keras.
Setiap magnet memiliki dua kutub yang berlawanan. Salah satu kutub dinamai kutub utara dan
kutub lainnya dinamai kutub selatan. Dinamakan kutub utara karena kutub tersebut akan
mengarah ke kutub utara geografi bumi. Sebaliknya, kutub selatan cenderung mengarah ke kutub
selatan geografi bumi.
Dua kutub magnet yang didekatkan akan saling melakukan gaya. Sifat gaya antar kutub magnet
sebagai berikut
i) Kutub sejenis melakukan gaya tolak-menolak
ii) Kutub tak sejenis melakukan gaya tarik-menarik
iii) Besarnya gaya tarik atau gaya tolak antar dua kutub berbanding lurus dengan kekuatan
masing-masing kutub dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar dua kutub.
Secara matematika, besar gaya antar kutub magnet dapat ditulis
F =k
m1m2
r2
(4.1)
dengan F = gaya antar kutub, m1 = kekuatan kutub pertama (Ampere meter), m2 = kekuatan kutub
kedua, r = jarak antara ke dua kutum, dan k = konstanta yang besarnya 10-7 Weber/(Ampere
158
meter)
Gambar 4.1 Kutub magnet sejenis tolak-menolak dan kutub tak sejenis tarik-menarik.
Contoh
Dua magnet batang mempunyai kekuatan kutub yang sama. Ketika kutub utara dari satu megnet
didekatkan dengan kutub selatan magnet yang lainnya sampai 1 cm, gaya yang dialami adalah 0,001
N.
a) Gaya tolak atau gaya tarikkah yang terjada pada dua kutub?
b) Berapa kekuatan masing-masing kutub?
Jawab
Diberikan:
Kekuatan kutub sama. Misalkan kekuatan kutub m maka m1 = m2 = m.
F = 0,001 N
r = 1 cm = 0,01 m
k = 10-7 Wb/A m
a) Karena kutub yang berdekatan adalah kutub utara dan selatan (kutub tak sejenis) maka gaya yang
dialami ke dua kutub adalah gaya tarik menarik.
b) F = k m1 m2/r2
0,001 = 10-7 m . m/(0,01)2
0,001 = 10-7 m2/0,0001
0,001 = 0,001 m2
m2 = 0,001/0,001 = 1
atau
m = 1 Ampere meter
Jadi kekuatan kutub masing-masing magnet adalah m1 = m2 = 1 Ampere meter.
159
4.2 Mengapa kutub magnet cenderung mengambil arah utara-selatan?
Kegiatan
Coba kalian tempatkan sebuah magnet batang yang cukup besar di atas meja dengan
kutub-kutubnya berarah barat-timur. Kutub utara magnet mengarah ke barat dan kutub selatan
magnet mengarah ke timur. Kemudian ikatkan sebuah magnet jarum dengan benang sehingga
berada dalam posisi horizontal. Dekatkan magnet jarum di atas magnet batang. Amati
bagaimana arah kutub magnet jarum? Kalian amati kutub utara magnet jarum menghadap ke
timur dan kutub selatan magnet jarum mengarah ke barat. Mengapa?
Karena kutub utara magnet jarum ditarik oleh kutub selatan magnet batang dan kutub selatan
magnet jarum ditarik oleh kutub utara magnet batang. Pengamatan ini dapat menjelaskan
mengapa megnet yang menggantung bebas selalu mengambil arah utara selatan. Ini akibad bumi
kita sebenarnya sebuah magnet permanen dengan arah kutub sebagai berikut:
i) Kutub selatan magnet bumi berada di sekitar kutub utara geograi bumi
ii) Kutub utara magnet bumi berada di sekitar kutub selatan geografi bumi
Lokasi kutub magnet bumi tidak tepat berimpit dengan kutub geografi bumi sehingga jarum
kompas tidak tepat mengarah ke kutub-kutub bumi.
Gambar 4.2 Bumi adalah magnet yang sangat besar. Kutub selatan magnet bumi berada di
sekitar kutub utara geografi bumi dan kutub utara magnet bumi berada di sekitar kutub selatan
geografi bumi.
4.3 Sudut deklinasi
Kutub selatan magnet bumi berada di bagian utara Canada, pada jarak sekitar 1300 km dari
160
kutub utara geografi bumi. Akibatnya, jarum kompas tidak tepat menunjuk arah utara selatan.
Beda antara sudut yang ditunjukkan oleh jarum kompas dengan arah kutub geografi bumi disebut
sudut deklinasi. Untuk menentukan sudut deklinasi kalian tempatkan jarum kompas di atas poros
yang memungkinan jarum tersebut dapat berputar bebas dalam arah horisontal. Amati arah kutub
selatan dan utara jarum kompas dan amati arah selatan-utara geografi di tempat tersebut. Sudut yang
dibentuk oleh ke dua arah tersebut disebut sudut deklinasi.
Kutub selatan
magnet
Kutub
utara
θ
Kutub
selatan
Kutub utara
magnet
Gambar 4.3 Sudut antara sumbu jarum kompas dan arah utara selatan, θ, disebut sudut deklinasi
4.4 Sudut Inklinasi
Sudut inklinasi disefiniskan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis hubung kutub utara-selatan
jarum kompas dengan garis horisontal di tempat tersebut. Untuk menentukan sudut inlkinasi kalian
tempatkan jarum kompas pada poros yang memungkinkan jarum berputar bebas dalam arah vertikal.
Amati arah kutub selatan-utara jarum kompas terhadap arah garis horisontal. Sudut yang dibentuk
oleh ke dua arah tersebut disebut sudut inklinasi. Jika kutub utara jarum kompas berada di sebelah
atas garis horisontal kita sebut tempat tersebut memiliki sudut inklinasi positis. Sebaliknya jika
kutub utara jarum kompas berada dibawah garis horisontal kita sebut tempat tersebut memiliki
inklinasi negatif.
Tanpa terlalu sulit, kalian dapat menunjukkan bahwa di kutub selatan sudut inklinasi +90o
sedangkan di kutub utara sudut inklinasi -90o. Pada tempat lain di permukaan bumi sudut inklinasi
berada atara -90o sampai +90o. Makin dekat ke khatulistiwa sudut inklinasi makin mendekati 0o.
Karena kutub utara dan selatan magnet bumi tidak tepat beimpit dengan kutub utara dan selatan
geografi bumi, maka pada daerah yang memiliki lintang yang berbeda, sudut inklinasi berbeda
walaupun cukup kecil. Pada lintang tertentu selalu ada dua tempat yang memiliki sudut deklinasi
161
yang sama (coba kalian pikirkan).
Kutub selatan
magnet
Kutub
utara
ϕ
Arah
horisontal
Kutub utara
magnet
Kutub
selatan
Gambar 4.4 Sudut antara sumbu jarum kompas dan arah horisontal disebut sudut inklinasi
4.5 Domain Magnet
Kegiatan
Ambil sebuah magnet batang yang agak panjang, lalu potong menjadi dua. Apa yang akan kamu
dapatkan? Tiap potong juga merupakan magnet bukan? Masing-masing memiliki kutub utara
dan selatan sendiri-sendiri. Mengapa demikian?
Gambar 4.5 Jika magnet permanen dipotong maka tiap potongan tetap merupakan magnet.
162
Jawabannya adalah sebuah magnet permanen sebenarnya terdiri atas domain-domain magnet
yang ukurannya sangat kecil. Tiap domain sudah merupakan magnet. Jika sebuah magnet
dipotong maka masing-masing potongan mengandung sejumlah domain sehingga
masing-masing memperlihatkan sifat kemagnetan. Jika hasil potongan dipotong lagi maka
masing-masing potongan baru masih mengandung sejumlah domain sehingga meperlihatkan
sifat kemagnetan. Sifat kemagnetan mungkin akan hilang jika ukuran potongan lebih kecil
daripada ukuran domain dan ini biasanya dalam orde micrometer.
Gambar 4.6 Magnet permanen mengandung domain-domain magnet. Satu domain magnet
merupakan magnet elementer (magnet terkecil) dalam benda tersebut
4.6 Garis Gaya Magnetik
Kalian sudah belajar bahwa keberadaan gaya antar muatan listrik dapat dijelaskan dengan
sederhana bila diperkenalkan konsep garis gaya listrik. Garis gaya listrik dilukiskan keluar dari
muatan positif dan masuk pada muatan negatif. Untuk mendapatkan kemudahan yang sama,
maka diperkenalkan juga konsep garis gaya pada magnet.
i) Garis gaya magnet dilukiskan keluar dari kutub utara dan masuk di kutub selatan.
ii) Kerapatan garis gaya per satuan luas di suatu titik menggambarkan kekuatan medan magnet di
titik tersebut.
iii) Kerapatan garis gaya terbesar diamati di kutub magnet. Ini berarti medan magnet paling kuat
di daerah kutub.
iv) Makin jauh dari kutub maka makin kecil kerapatan garis gaya. Ini berarti makin jauh dari
kutub maka makin lemah medan magnet.
163
Gambar 4.7 Lukisan garis gaya magnet
4.7 Tidak Ada Muatan Magnetik
Pada muatan listrik kita mendapatkan bahwa garis gaya keluar dari muatan positif dan masuk
pada muatan negatif. Kedua muatan dapat dipisahkan sejauh-jauhnya sehingga kita dapat
memperoleh muatan positif yang teriosolasi atau muatan negatif yang terisolasi. Namun, tidak
demikian dengan magnet. Kita tidak pernah menemukan kutub utara magnet saja (tanpa kutub
selatan) atau kutub selatan magnet saja (tanpa kutub utara). Kutub utara dan kutub selatan
magnet selalu muncul berpasangan.
Kutub utara yang terpisah atau kutub selatan yang terpisah disebut muatan magnet. Karena tidak
pernah ditemukan kutub utara atau kutub selatan yang terpisah maka kita simpulkan tidak ada
muatan magnet.
4.8 Medan Magnet
Seperti pada definisi medan listrik, kita juga mendefinisikan medan magnet. Di sekitar suatu
magnet dihasilkan medan magnet dengan sifat sebagai berikut:
i) Arah medan magnet sama dengan arah garis gaya magnet
ii) Besar medan magnet sebanding dengan kerapatan garis gaya magnet
Di sekitar kutub magnet kerapatan garis gaya magnet paling besar sehingga didapati medan
magnet yang paling besar.
Arah garis gaya keluar dari kutub utara dan masuk ke kutub selatan. Dengan demikian, arah
medan magnet keluar dari kutub utara dan masuk di kutub selatan.
r
Kita simbolkan medan magnet dengan B , yang merupakan sebuah besaran vector. Satuan
164
medan magnet adalah Tesla yang disingkat T.
B
Gambar 4.8 Lukisan medan maget.
4.9 Gaya Lorentz
Magnet tidak hanya melakukan gaya pada magnet lain, tetapi juga dapat melakukan gaya pada
arus listrik. Jika kawat yang dialiri arus listrik ditempatkan dalam medan magnet, maka kawat
tersebut mendapat gaya dari magnet. Besar dan arah gaya yang dialami kawat yang dialiri arus
listrik dalam medan magnet diberikan oleh hokum Lorentz
r
r r
F = I L×B
(4.2)
r
r
dengan F : gaya yang dilami kawat berarus listrik, I : besar arus listrik, dan L : vector panjang
r
kawat yang dikenai medan magnet (m). Besar vector L sama dengan bagian panjang kawat
yang dikenai medan magnet saja sedangkan arahnya sama dengan arah arus dalam kawat.
r
B : vektor medan magnet (T)
Gambar 4.9 Medan magnet melakukan gaya pada kawat yang dialiri arus listrik
Besarnya gaya Lorentz yang dialami kawat berarus listrik dapat ditulis
165
F = ILB sin θ
(4.3)
r
r
dengan θ adalah sudut antara vector L dan vector B .
Untuk menentukan arah gaya Lorentz, kita gunakan aturan sekrup putar kanan. Caranya sebagai
berikut.
i) Tempatkan vector panjang kawat dan vector medan magnet sehingga titik pangkalnya
berimpit.
ii) Putar sekrup putar kanan dari arah vector panjang kawat ke arah vector medan magnet.
iii) Arah maju sekrup sama dengan arah gaya Lorentz pada kawat.
r
B
B
I
r
L
r
F
Gambar 4.10 Menentukan arah gaya Lorentz
4.10 Definisi Satu Tesla
Jika arah arus dan arah medan magnet saling tegak lurus (θ = 90o, atau sin θ =1) maka gaya
Lorentz pada kawat memenuhi
F = ILB
(4.4)
Jika kawat dialiri arus satu ampere dan panjang kawat yang dikenai medan magnet adalah satu
meter, maka besarnya medan magnet sama dengan satu tesla jika gaya yang bekerja pada kawat
adalah satu Newton.
Contoh
Kawat yang panjangnya 10 m ditempatkan dalam medan magnet yng kuat medannya 0,01 T.
Bagian kawat yang dikenai medan magnet hanya sepanjuang 10 cm, Arahj arus kawat terhadap
medan magnet membenrutk sudut 30o. Berapa besar gaya yang bekerja pada kawat?
Jawab
166
I = 100 mA = 0,01 A
B = 0,01 T
θ = 30o
L = 10 cm = 0,1 m (hanya mengambil panjang bagian kawat yang dikenai medan magnet)
Maka
F = I L B sin θ
= 0,1 × 0,1 × 0,01 T × sin 30o = = 0,1 × 0,1 × 0,01 ×1/2
= 5 × 10-5 N
4.11 Gaya Lorentz Pada Muatan yang Bergerak
Kalian sudah tahu bahwa muatan yang bergerak menghasilkan arus listrik bukan? Dengan
demikian, muatan yang bergerak dalam medan magnet juga mengalami gaya Lorentz. Kita dapat
menurunkan persamaan gaya Lorentz untuk muatan yang bergerak dari persamaan gaya Lorentz
untuk arus pada kawat.
Telah kita bahas, gaya Lorentz pada kawat yang dialiri arus adalah
r
r r
F = I L×B
Tetapi, arus sama dengan muatan yang mengalir per satuan waktu, atau
I=
q
∆t
(4.5)
dengan ∆t adalah selang waktu dan q adalah muatan yang mengalir dalam selang waktu tersebut.
Selanjutnya kita dapat menulis gaya Lorentz pada kawat berarus listrik sebagai berikut
r
r ⎛ q ⎞r r
⎛L⎞ r
F = ⎜ ⎟ L × B = q⎜⎜ ⎟⎟ × B
⎝ ∆t ⎠
⎝ ∆t ⎠
(4.6)
r
r
L
adalah panjang per satuan waktu. Untuk muatan yang bergerak, L adalah
Tetapi,
∆t
r
L
tidak lain daripada
perpindahan muatan dan ∆t adalah lama waktu perpindahan. Jadi,
∆t
kecepatan muatan, atau
167
r
L r
=v
∆t
(4.7)
Akhirnya, dengan substitusi persamaan (4.7) ke dalam persamaan (4.6) diperoleh gaya Lorentz
pada muatan yang bergerak memenuhi
r
r r
F = qv × B
(4.8)
Besarnya gaya Lorentz menjadi
F = qvB sin θ
(4.9)
r
r
dengan θ adalah sudut antara vector v dan vector B .
Gambar 4.11 Lintasan muatan listrik yang bergerak dalam medan magnet mengalami
pembelokan akibat gaya Lorentz. Muatan yang berpuatan positif dan negatif membelok ke arah
yang berlawanan.
Contoh
Sebuah partikel yang mempunyai massa 200 miligram dan membawa muatan 2 × 10-8 coulomb
daitembakkan tegak lurus dan horizontal pada medan magnet serba sama yang horizontal dengan
kecepatan 5 × 104 m/s. Jika partikel itu tidak mengalami perubahan arah, tentukan kuat medan
magnet
Jawab
Diberikan
m = 200 miligram = 2 × 10-4 kg
v = 5 × 104 m/s
168
q = 2 × 10-8 C
g = 10 m/s2
Di sini ada dua gaya yang bekerja. Pertama adalah gaya gravitasi ke bawah. Kedua adalah Gaya
Lorentz. Agar lintasan partikel tidak berubah maka besar gaya Lorentz sama dengan besar gaya
gravitasi.
Besar gaya gravitasi = m g
Karena lintasan partikel tegak lurus medan magnet, maka besar gaya Lorentz = q v B sin 90o = q
v B.
Karena kedua gaya sama maka
qvB=mg
atau
B=
mg
(2 × 10 −4 ) × 10
=2T
=
qv (2 × 10 −8 ) × (5 × 10 4 )
4.12 Pembelokkan Lintasan Muatan Dalam Medan Magnet
Seperti yang dibahas di atas, arah gaya Lorentz selalu tegak lurus B dan tegak lurus v. Arah gaya
yang selalu tegak lurus arah gerak pada partikel bermuatan yang bergerak dalam medan magnet
persis sama dengan gaya pada benda yang sedang bergerak melingkar beraturan. Pada benda
yang bergerak melingkar, selalu bekerja gaya ke arah pusat lingkaran, sedangkan arah gerak
selalu menyinggung lintasan (tegak lurus gaya). Dengan demikian, kita bias mamastikan bahwa
lintasan muatan yang masuk dalam medan magnet dalam arah tegak lurus membentuk lintasan
lingkaran. Karena lintasan berbentuk lingkaran maka pada muatan ada gaya sentripetal sebesar
Fs = m
v2
r
(4.10)
dengan v : laju partikel, m : massa partikel, dan r : jari-jari lintasan
Sumber gaya sentripetal adalah gala Lorentz yang dihasilkan oleh medan magnet yang besarnya
FL = qvB
(4.11)
Dengan menyamakan nilai ke dua gaya tersebut kita peroleh
qvB = m
v2
r
atau
169
m=
qBr
v
(4.12)
Tampak dari persamaan (4.12) bahwa, jika laju dan muatan partikel diketahui maka dengan
mengukur jari-jari lintasan, kita dapat menentukan massa partikel.
Contoh
Sebuah partikel yang memiliki satu muatan elementer memasuki daerah yang mengandung
medan magnet 0,010 T dengan laju 2,0 × 107 m/s arah tegak lurus medan magnet. Diamati bahwa
partikel tersebut bergerak dalam lintasan lingkaran dengan jari-jari 11 mm. Tentukan massa
partikel tersebut.
Jawab
Diberikan
q = satu muatan elementer = 1,602 × 10-19 C
B = 0,010 T
v = 2,0 × 107 m/s
θ = 90o
r = 11 mm = 0,011 m
Massa partikel
m=
qBr
v
(1,602 × 10 −19 ) × (0,010) × (0,011)
=
= 9 × 10 −31 kg
7
(2 × 10 )
r
Gambar 4.12 Massa atom dapat ditentukan berdasarkan jari-jari lintasan dalam medan magnet.
170
Tanda silang artinya medan magnet berarah ke belakang menembus kertas.
4.13 Spektrometer Massa
Spektrometer massa adalah alat yang dapat menentukan massa atom dengan teliti. Alat ini
memanfaatkan prinsip gaya Lorentz. Atom yang akan diukur massanya mula-mula diionisasi
sehingga bermuatan positif. Ion tersebut ditembakkan dalam medan magnet yang diketahui
besarnya. Jika laju ion dapat ditentukan maka masa atom dapat dihitung berdasarkan pengukuran
jari-jari lintasannya.
a) Selektron Kecepatan
Agar massa atom dapat dihitung maka laju ion harus diketahui terlebih dahulu. Bagaimana cara
menentukan laju ion dengan mudah? Cara yang mudah adalah menggunakan selektor kecepatan.
Selektor kecepatan memanfaatkan gaya listrik dan gaya magnet. Medan magnet dan medan
listrik dibangkitkan dalam suatu ruang dalam arah yang saling tegak lurus.
Partikel bermuatan ditembakkan masuk ke dalam ruangan yang mengandung dua medan tersebut.
Baik medan listrik maupun medan magnet masing-masing melakukan gaya pada partikel.
Gaya yang dilakukan medan listrik = q E
Gaya yang dilakukan medan magnet = q v B
Besar medan listrik dan medan magnet diatur sedemikian rupa sehingga ke dua gaya tersebut
persis sama besar dan berlawanan arah. Dalam keadaan demikian, partikel tidak mengalami
pembelokkan
+
Gambar 4.13 Dalam selektor kecepatan, medan listrik dan medan magnet menarik partikel
dalam arah berlawanan. Hanya partikel yang ditarik dalam arah berlawanan dengan gaya yang
sama besar yang bergerak dalam garis lurus.
Jadi, agar lintasan partikel lurus maka harus terpenuhi
171
qE=qvB
atau
v=
E
B
(4.13)
Jadi, hanya partikel dengan laju v = E/B yang memiliki lintasan yang lurus. Partikel dengan
laju ;ebih besar atau lebih kecil dari v = E/B mengalami pembelokkan. Jika di depan dan di
belakang selektron kecepatan dipasan dua lubang dalam posisi lurus, dan partikel masuk di celah
pertama maka hanya partikel dengan laju v = E/B yang dapat losos pada celah kedua. Partikel
dengan laju lebih besar atau lebih kecil tertahan oleh dinding dan tidak didapatkan di sebelah
luar celah kedua. Dengan demikian, kita mendapatkan ion dengan kecepatan yang sudah tertentu
yang keluar dari celah kedua.
b) Spektrometer Massa Lengkap
Spektrometer massa yang lengkap mengandung selektron kecepatan (yang mengandung medan
listrik dan medan magnet yang berarah tegak lurus) dan ruang pembelokan yang mengandung
medan magnet saja. Selektron kecepatan memilih partikel dengan laju tertentu saja yang
memasuki ruang pembelokan. Di ruang pembelokan, jari-jari lintasan partikel diukur sehingga
berdasarkan informsi laju yang dihasilkan oleh selektron kecepatan dan dengan mengukur
jari-jari lintasan, maka massa atom dapat ditentukan dengan mudah.
+
r
Gambar 4.14 Skema spektrometer massa lengkap yang terdiri dari slektor kecepatan dan daerah
pembelokan.
172
Berdasarkan Gambar 4.14, laju partikel yang lolos selector kecepatan memenuhi
v=
E
B1
(4.14)
dengan E : kuat medan listrik pada sekeltor kecepatan dan B : kuat medan magnet pada selektor
kecepatan
Atom membelok dalam ruang pembelokan sehingga massanya memenuhi
m=
=
qB2 r qB2 r
=
v
E / B1
qB1 B2
r
E
(4.15)
dengan B2 : kuat medan magnet pada ruang pembelokan, E : jari-jari lintasan atom pada ruang
pembelokan, dan q : muatan atom
Gambar 4.15 Foto spektrometer massa
4.15 Massa Isotop
Spektrometer massa merupakan alat yang sangat teliti. Alat ini mampu mengukur massa atom
hingga perbedaan satu proton atau satu neutron. Isotop adalah atom yang dalam intinya memiliki
jumlah proton yang sama tetapi jumlah neutron berbeda. Jadi, isotop hanya berbeda dalam
jumlah neutron tetapi jumlah proton maupun jumlah elektron sama. Apabila dilewatkan pada
spektrometer massa maka isotop yang berbeda memiliki jari-jari lintasan yang sedikit berbeda.
Apabila diamati dengan teliti hasil yang terekam pada film spektrometer mass, dipeoleh pola
173
seperti berikut ini.
A
B
C
D
Gambar 4.16 Garis-garis pada film hasil rekaman spektrometer massa
Garis-garis yang terpisah cukup jauh mewakili atom dari unsur yang berbeda. Garis-garis yang
berkelompok merepresentasikan isotop-isotop dari suatu unsur. Berdasarkan Gambar 4.16:
Unsur A memiliki dua isotop
Unsur B memiliki tiga isotop
Unsur C tidak memiliki isotop
Unsur D memiliki empat isotop
Contoh
Atom karbon dengan massa atomik 12,0 smu ditemukan dalam bentuk campuran dengan usnur
lain yang tidak diketahui. Ketika dikaji dengan spektrometer massa, atom karbom nemempuh
litasan dengan jari-jari 22,4 cm sedangkan atom yang belum diketauhi menempuh lintasan
dengan jari-jari 26,2 cm. Dapatkah kalian perkiranaan unsur apakah yang tidak dikenal tersebut?
Anggap muatan atom karbon dan atom yang tidak dikenal sama.
Jawab
Massa atom dihitung dengan rumus
m=
qB1 B2
r
E
Jika muatan atom yang melewati spektrometer sama, maka kita dapatkan
m∝r
atau
m2 r2
=
m1 r1
Berdasarkan soal
m1 = 12,0 sma
r1 = 22,4 cm
r2 = 26,2 cm
Maka
174
m2 =
r2
26,2
m1 =
× 12,0 = 14,03 sma
r1
22,4
Berdasarkan tabel periodik, unsur dengan massa tomik 14,0 adalah nitrogen. Jadi unsur yang
bercampur dengan oksigen adalah nitrtogen.
4.16 Siklotron
Siklotron adalah alat yang mempercepat partikel bermuatan dalam lintasan lingkaran. Siklotron
yang pertama kali dibuat adalah siklotron elektron. Siklotron mempercepat muatan
menggunakan medan listrik bolak-balik. Medan magnet juga dipasang untuk membelokkan arah
gerak muatan sehingga dapat dipercepat kembali oleh medan listrik dalam arah sebaliknya.
Skema siklotron tampak pada Gambar 52.25
Gambar 4.17 Skema siklotron
Medan listrik hanya berada antara pelat elektroda A dan B. Di luar elektroda terdapat medan
magnet. Misalkan partikel yang akan dipercepat memiliki muatan positif. Selama melewati
daerah antara dua elektroda (antara A dan B) partikel dipercepat oleh medan listrik yang arahnya
dari posisi 1 ke posisi 2. Percepatan yang dialami partikel adalah
a=
qE
m
(4.16)
dengan q : muatan partikel, E : kuat medan listrik, dan m : mass partikel
Ketika meninggalkan titik 2, partikel hanya dikenai medan magnet sehingga dibelokkan
membentuk lintasan lingkaran. Akibatnya, partikel kembali mengenai elektroda pada titik 3.
Ketika partikel mencapai titik 3, arah medan listrik sudah berubah menjadi dari elektroda A ke
175
elektroda B. Akibatnya, partikel diperepat dari titik 3 ke titik 4. Ketika meninggalkan titik 4,
partikel dibelokkan oleh medan magnet sehingga kembali ke titik 1 yang kemudian dipercepat ke
titik 2 oleh medan listrik yang telah berubah arah lagi. Begitu seterusnya. Pada akhirnya partikel
memiliki laju yang sangat besar setelah mengalami percepatan yang terus menerus.
Frekuensi tegangan bolaki-balik harus diatur sedemikian rupa sehingga partikel mengalami
medan listrik berarah ke kiri sekita partikel mengenai titik 1 (ketika bergerak dari titik 4) dan
berarah ke kanan ketika partikel mengenai titik 3 (ketika bergerak dari titik 2). Frekuensi tersebut
dapat dihitung sebagai berikut.
Misalkan laju partikel ketika bergerak dalam medan magnet adalah v. Gaya Lorentz yang bekerja
pada partikel adalah
FL = qvB
Gaya ini merupakan gaya sentripetal pada partikel (karena lintasan partikel berupa lingkaran).
Gaya sentripetal dapat ditulis
Fs = m
v2
v
= mv = mvω
r
r
(4.17)
dengan ω adalah frekuensi sudut putaran partikel.
Samakan FL dan Fs diperoleh
qvB = mvω
atau
ω=
qB
m
(4.18)
Agar partikel mengalami percepatan yang tepat (seperti yang diuraikan di atas) maka frekuensi
sudut tegangan antara dua elektroda harus sama dengan frekuensi sudut putaran partikel.
4.17 Efek Hall
Fenomena gaya Lorentz diaplikasikan pula dalam menyelidiki material. Salah satu aplikasinya
adalah menyelidiki sifat pembawa muatan listrik dalam material berdasarkan suatu fenomena
yang bernama efek Hall. Efek Hall adalah peristiwa terbentuknya beda potensial antara dua sisi
material yang dialiri arus listrik ketika material tersebut ditempatkan dalam medan magnet yang
176
arahnya tegak lurus arah aliran muatan (arah arus).
Akibat adanya medan magnet maka muatan positif dan negatif mengalami pembelokan dalam
arah berlawanan. Sehingga pada satu sisi permukaan benda terjadi penumpukan muatan positif
dan pada sisi yang berlawanan terjadi penumpukan muatan negatif. Dua sisi benda seolah-oleh
bersifat sebagai dua pelat sejajar yang diberi muatan listrik sehingga timbul beda potensial antara
dua sisi tersebut. Beda potensial tersebut disebut tegangan Hall.
Medan magnet
Arah gaya
magnet
Arah arus
Elektron
Material
Gambar 4.18 Eelektron yang mengalir dalam bahan membelok ke sisi bahan jika bahan tersebut
ditempatkan dalam medan magnet.
Dari nilai tegangan Hall maka dapat ditentukan konsentrasi pembawa muatan dalam material.
Efek Hall merupakan metode yang sangat sederhana untuk menentukan kerapatan pembawa
muatan (muatan per satuan volum) dalam bahan semikonduktor.
4.18 Bremstrahlung
Teori elektrodinamika klasik menyimpulkan bahwa partikel bermuatan listrik yang memiliki
percepatan atau perlambatan memancarkan gelombang elektromagnetik. Peristiwa ini disebut
bremstahlung. Misalkan elektron dipercepat dengan beda potensial beberapa puluh ribu volt. Jika
elektron tersebut ditumbukkan pada permukaan logam maka kecepatannya berkurang secara
drastis. Elektron mengalami perlambatan yang sangat besar, sehingga elektron memancarkan
gelombang elektromagnetik. Gelombang elektromagnetik yang dipancarkan berada pada semua
frekuensi. Frekuensi gelombang elektromagnetik yang dipancarkan dengan intensitas terbesar
memenuhi hubungan
hν = eV
(4.19)
dengan ν : frekuensi gelombang elektromagnetik yang dipancarkan dengan intensitas terbesar,
177
h : konstnta Planck (6,625 × 10-34 J s), e : muatan electron, dan V : beda potensial yang
mempercepat elektron
Jika beda potensial yang digunakan untuk mempercepat elektron adalah puluhan ribu volt maka
frekuensi dengan intensitas maksimum berada di daerah sinar-X. Ini adalah cara menghasilkan
sinar-X yang dipakai di kedokteran.
Atom-atom di
permukaan logam
Elektron berkecepatan
tinggi menabrak
permukaan logam
Sinar X
dipancarkan
Gambar 4.19 Proses produksi sinar-X
Jika percepatan partikel berubah secara peiodik dengan periode T maka gelombang
elektromagnetik yang dipancarkan memiliki periode T juga. Contoh partikel yang memiliki
percepatan periodik adalah partikel yang bergrak melingkar atau partikel yang berosilasi
harmonik. Antene pemancar adalah contoh perangkat yang memproduksi gelombang
elektromagnetik dengan periode tertentu akibat osilasi muatan listrik.
Contoh
Sebuah elektron di dalam tabung hampa dipercepat antara dua elektrode yang memiliki beda
potesial 80 kV dan menabrak anoda. Berapa panjang gelombang elektron yang dihasilkan?
Jawab
Diberikan
e = 1,602 × 10-19 C
V = 80 kV = 8 × 104 V
Frekuensi gelombang yang dihasilkan
eV (1,602 × 10 −19 ) × (8 × 10 4 )
=
= 1,9 × 1019 Hz
ν=
−34
h
(6,625 × 10 )
Panjang gelombang yang dihasilkan
178
3 × 10 8
λ= =
= 1,6 × 10 −11 m
19
ν 1,9 × 10
c
4.19 Aurora
Di samping dalam proses produksi sinar-X, peristiwa bremstahlung dapat diamati di sekitar
kutub bumi dalam bentuk cahaya terang, yang dikenal dengan Aurora. Penyebab munculnya
Aurora dapat dijelaskan secara singkat sebagai berikut:
Misalkan sebuah muatan dengan kecepatan tertentu masuk ke dalam daerah yang mengandung
medan magnet dengan sudut yang tidan tegak lurus medan magnet. Bentuk lintasan partikel
berubah menjadi spiral seperti pada gambar berikut ini.
Gambar 4.20 Lintasan partikel yang masuk ke dalam medan magnet umumnya berbentuk spiral
Bumi memiliki medan magnet dengan arah keluar dari kutub selatan (kutub utara bumi) dan
masuk di kutub utara (kutub selatan bumi). Jika partikel bermuatan dari luar angkasa masuk ke
bumi dengan sudut tertentu maka partikel tersebut bergerak dalam lintasan spiral menuju ke arah
kutub magnet bumi. Selama bergerak dalam lintasan spiral, partikel memiliki percepatan
sehingga memancarkan gelombang elektromagnetik. Saat mendekati kutub magnetik bumi,
konsentrasi partikel sangat besar sehingga intensitas gelombang elektromagnetik yang
dipancarkan sangat tinggi dan dapat diamati dengan mata. Itu sebabnya mengapa aurora hanya
diamati di sekitar kutub.
179
Gambar 4.21 Lintasan partikel bermuatan ketika memasuki medan magnet bumi
Gambar 4.22 Aurora borealis yang diamati di kutub utara
Soal dan Penyelesaian
1) Partikel bermuatan q bergerak dengan laju tetap memasuki medan magnet dan medan listrik
secara tegak lurus (medan listrik tegak lurus medan magnet). Apabila besar insuksi magnet 0,2T
dan kuat medan listrik 6 × 104 V/m, tentukan laju partikel
Jawab
Jika partikel memasuki medan magnet dalam arah tegak lurus maka gaya Lorentz yang dialami
adalah
FL = qvB
Jika di ruang tersebut terdapat medan listrik, maka gaya Coulomb yang dialami partikel adalah
FE = qE
Jika lintasan partikel lurus maka ke dua gaya tersebut sama besar,
qvB = qE
atau
v=
E 6 × 10 4
=
= 3 × 10 5 m/s
B
0,2
180
2) Tabung televisi menggunakan medan magnet untuk membelokkan berkas elektron. Elektron
ditembakkan dari senjata elektron dalam tabung dengan laju 2 × 107 m/s. Elektron-elektron
tersebut kemudian bergerak menuju layar yang jaraknya 20 cm arah horisontal. Selama
perjalanan, elektron dibelokkan dalam arah tegak lurus oleh medan magnet sejauh 10 cm.
Hitunglah kuat medan magnet yang terpasang dalam tabung.
Jawab
Gambar 4.23
Diberikan
v = 2 × 107 m/s
x = 20 cm = 0,2 m
y = 10 cm = 0,1 m
Karena mengalami pembelokan dalam arah vertikal, maka selama bergerak, komponen
kecepatan elektron dalam arah horisontal selalu berubah. Tetapi perubahan tersebut tidak terlalu
besar. Kita dapat menganggap komponen kecepatan arah horisontal tidak berubah jauh, sehingga
waktu yang diperlukan elektron mencapai layar dapat didekati sebagai berikut
t=
x
0,2
=
= 10 −8 s
7
v 2 × 10
Karena mengalami pembelokan arah vertikal maka elektron memeiliki percepatan arah vertikal,
a, yang memenuhi
y=
1 2
at
2
atau
a=
2y
2 × 0,1
=
= 2 × 1015 m/s
2
−8 2
t
(10 )
181
Berdasarkan hukum Newton II, gaya yang dialami elektron dalam arah vertikal adalah
F = ma = (9,1 × 10 −31 ) × (2 × 1015 ) = 1,82 × 10 −15 N
Sumber dari gaya tersebut adalah gaya Lorentz. Untuk medan yang tegak lurus arah gerak
elektron maka
F = evB
atau
B=
F
1,82 × 10 −15
=
= 5,7 × 10 − 4 T
ev (1,6 × 10 −19 ) × (2 × 10 7 )
3) Gambar 4.24 memperlihatkan sebuah neraca yang digunakan untuk mengukur arus. Di antara
kutub magnet terdapat kawat lurus AB yang dialiri arus. Polaritas magnet ditunjukkan pada
gambar.
i) Agar dapat menentukan kuat medan magnet, ke mana arus diarahkan?
ii) Panjang bagian kawat yang bersentuhan dengan medan magnet adalah 6 cm. Jika kuat medan
listrik yang dilalui kawat adalah 0,05T, hitunglah arus yang mengalir pada kawat agar massa
yang diukur neraca bertambah sebesar 2,5 g.
Gambar 4.24
4) Partikel bermuatan q bergerak dengan laju tetap memasuki medan magnet dan medan listrik
secara tegak lurus (medan listrik tegak lurus medan magnet). Apabila besar induksi magnet 0,2 T
dan kuat medan listrik 6 × 104 V/m, tentukan laju gerak partikel (UMPTN 1997)
Jawab
Diberikan
B = 0,2 T
E = 6 × 104 V/m
182
Agar lintasan partikel tegak lurus medan listrik dan magnet maka laju partikel memenuhi
E 6 × 10 4
= 3 × 10 5 m/s
v= =
B
0,2
5) Sebuab tabung sinar-X menghasilkan sinar-X dengan panjang gelombang minimum λ.
Tentukan beda potensial antara katode dan anode untuk menghasilkan sinar ini
Jawab
Frekuensi sinar-X yang dihasilkan memenuhi hubungan
hν = eV
atau beda potensial antara katode dan anode adalah
V =
hν
e
Dengan menggunakan hubungan antara frekuensi dan panjang gelombang
ν=
c
λ
maka
V =
hc
eλ
6) Jarum kompas tidak selalu mengarah sejajar dengan permukaan bumi, tetapi satu ujung sedikit
mengarah ke tahan dan ujung lainnya mengarah ke atas. Jelaskan
Jawab
Penyebabnya karena medan magnet bumi tidak selalu sejajar dengan permukaan bumi.
Ketidaksejaran yang besar dijumpai di daerah sekitar kutub. Di lokasi kutub magnet bumi, arah
medan maget bumi tegak lurus permukaan bumi. Di tempat ini posisi jarum kompas juga tegak
lurus permukaan bumi. Sudut antara jarum kompas dengan garis yang sejajar dengan permukaan
bumi disebut sudut inklinasi.
7) Dua batang besi selalu menarik satu sama lainnya, tidak peduli ujung manapun yang saling
didekatkan. Apakah ke dua batang tersebut magnet? Jelaskan
Jawab
Hanya satu batang yang merupakan magnet, sedangkan yang lainnya bukan magnet. Jika dua
batang merupakan magnet, maka ketika ujung-ujung dua batang didekatkan maka akan ada gaya
tolak (ketika kutub sejenis berdekatan). Tetapi dengan hanya satu batang saja yang merupakan
magnet maka ujung manapun yang didekatkan maka akan selalu terjadi gaya tarik.
183
8) Misalkan kamu memiliki tiga batang besi di mana dua matang merupakan magnet. Dapatkan
kamu menenrukan dua batang yang merupakan magnet tanpa bantuan benda lain?
Jawab
Dapat.
Ambil dua batang.
Dekatkan kutub-kutubnya.
Ubah jenis kutub-kutub yang didekatkan.
Jika ketika kalian dekatkan kutub-kutub yang didekatkan dijumpai gaya tolak dan gaya tarik
maka dua batang yang kalian pegang merupakan magnet.
Jika salah satu batang yang kalian ambil bukan merupakan magnet maka akan selalu terjadi gaya
tarik saat kalian tukar kutub-kutub yang didekatkan.
9) Bisakah kamu mengentikan elektron yang sedang bergerak dengan medan magnet? Dapatkan
kamu menhentikan dengan medan listrik?
Jawab
Elektron yang sedang bergerak tidak dapat dihentikan oleh medan magnet. Medan magnet hanya
membelokkan arah gerak muatan yang bergerak tanpa mengubah besar kecepatannya (lajunya
tetap).
Sebaliknta, bedan listrik dapat menghentikan elektron yang bergerak. Dengan memberikan
medan yang searah gerak elektron magan elektron akan mendapat gaya yang berlawanan dengan
arah geraknya. Akibatnya, elektron dapat berhenti jika gaya bekerja dalam waktu yang cukup
lama.
10) Bagaimana kamu dapat membedakan bahwa elektron yang sedang bergerak dalam suatu
ruang dibelokkan oleh medan listrik atau medan magnet.
Jawab
Elektron yang dibelokkan oleh medan listrik memiliki lintasan parabola sedangkan yang
dibelokkan oleh medan magnet memiliki lintasan lingkaran (atau irisan lingkaran)
Elektron yang diberollan oleh medan listrik mengalami perubahan laju (energi kinetik berubah)
sedangkan elektron yang dibelokkan oleh medan magnet tidak mengalami perubahan laju (energi
kinetik tetap).
11) Dua ion memiliki massa yang sama tetapi salah satu ion terionisasi sekali dan ion yang
lainnya terionisasi dua kali. Bagaimaan perbedaan jari-jari lintasan ion tersebut dalam
spektrometer massa.
Jawab
Muatan ion kedua adalah dua kali muatan ion pertama.
Hubungan antara massa, muatan, dan jari-jari ion dalam spektrometer massa memenuhi
184
qBr
v
m=
atau
r=
mv
qB
Jika besaran m, v, dan B konstan maka
r∝
1
q
Dengan demikian, ion yang terionisasi dua kali memiliki jari-jari lintasan setengah kali jari-jari
lintasan ion yang terionisasi sekali.
12) Sebuah proton bergerak dalam lintasan lingkaran dan tegak lurus medan magnet yang
besarnya 1,15 T. Jari-jari lintasan adalah 8,40 mm. Hitunglah energi proton dalam eV
Jawab
Gaya Lorentz yang bekerja pada proton
FL = e v B
Karena bergerak pada lintasan lingkaran maka proton mengalami gaya sentripetal
Fs = m v2/r
Gaya sentripetal berasal dari gaya Lorentz sehinga
mv 2
= evB
r
mv = erB
(mv) 2 = e 2 r 2 B 2
⎛1
⎞
2m⎜ mv 2 ⎟ = e 2 r 2 B 2
⎝2
⎠
2mK = e 2 r 2 B 2
atau
e2r 2 B2
2m
Bila dinyatakan dalam satuan eV maka energi tersebut dibagi dengan e, sehingga energi dalam
eV adalah
K=
185
K er 2 B 2
=
e
2m
2
−19
(1,6 × 10 ) × (0,0084) × 1,15
=
= 4,1 × 10 3 eV = 4,1 keV
2 × (1,6 × 10 − 27 )
Energi dalam eV =
13) Partikel bermuatan q bergerak dalam linatsan lingkaran dengan jari-jari r dalam medan
magnet serba sama B. Arah berak partikel dengan medan tegak lurus. Perliahtkan bahwa
momentum partikel memenuhi p = q b r
Jawab
Gaya Lorentz sama dengan gaya sentripetal, atau
qvB = m
v2
r
atau
qB =
mv
r
Dengan demikian, momentum partikel adalah
p = mv = qBr
14) Sebuah peluru yang memiliki massa 3,8 g bergerak dengan laju 180 m/s tegak lurus medan
magnetik bumi yang besarnya 5,00 × 10-5 T. Jika peluru tersebut memiliki muatan netto 8,10 ×
10-9 C, berapa pembelokan peluru setelah menempuh jarak 1,00 km?
Jawab
Gaya yang dialami peluru dalam arah tegak lurus gerak
FL = qvB = (8,1 × 10 −9 ) × (180) × (5,00 × 10 −5 ) = 7,29 × 10 −11 N
Percepatan peluru dalam arah tegak lurus gerak
a=
FL 7,29 × 10 −11
=
= 1,9 × 10 −8 m/s2
m
0,0038
Waktu yang diperlukan peluru bergerak sejauh 1,00 km adalah
t=
1000
= 5,6 s
180
Pergeseran peluru dalam arah vertikal adalah
∆y =
1 2 1
at = × (1,9 × 10 −8 ) × (5,6) 2 = 3 × 10 −7 m
2
2
186
Soal Latihan
1) Jika partikel bermuatan negatif masuk daerah yang mengandung medan magnetik serbasama
yang arahnya tegak lurus kecepatan partikelm apakah energi kinetik partikel akan bertambah,
berkurang, atau tetap? Jelaskan jawabanmu.
2) Mengapa kutub magnet selalu menarik batangan besi, yang manapun jenis kutub tersebut?
3) Jelaskan bentuk lintasan elektron yang diproyeksikan vertikal ke atas dengan laju 1,8 × 106
m/s ke dalam medan magnet serbasama yang arahnya ke belakang menjauhi pengamat
4) Carilah arah gaya yang bekerja pada muatan negatif pada tiap diagram pada gambar dengan v
adalah kecepatan muatan dan B adalah medan magnet.
Gambar 4.25
5) Partikel alfa dengan muatan q = +2e dan massa 6,6 × 10-27 kg dipancarkan dari sumber
radioaktif dengan laju 1,6 × 107 m/s. Berapa kuat medan magnet yang diperlukan untuk
membelokkan lintasan partikel tersebut sehingga membentuk lintasan dengan jari-jari 0,25 m?
6) Sebuah elektron mendapatkan gaya terbesar jika bergerak dengan laju 1,8 × 106 m/s di dalam
medan magnet jika arah gerakannya ke selatan. Gaya yang dialami elektron mengarah ke atas
dan besarnya 2,2 × 10-12 N. Berapa besar dan arah medan magnet? (Petunjuk: mendapatkan gaya
terbesar artinya sudut antara kecepatan dan medan magnet adalah tegak lurus).
7) Sebuah partikel bermassa m dan muatan q bergerak tegak lurus medan magnet B. Perlihatkan
bahwa energi kinetik sebanding dengan kuadrat jari-jari lintasan.
8) Untuk partikel bermassa m dan muatan q dan bergerak dalam medan magnet serba sama B
dalam arah tegak lurus, perlihatkan bahwa momentum sudut memenuhi L = qBr 2
9) Gunakan ide tentang domain untuk menjelaskan fenomena berikut ini
a) Jika magnet dibagi dua maka tiap-tiap bagian tetap merupakan magnet
b) Pemanasan atau pemukulan dapat menghilangkan kemagnetan bahan
187
c) Kemagnetan lebih kuat di sekitar kutup dibandingkan dengan posisi yang jauh dari kutub
d) Ada batas kekuatan magnetik yang dihasilkan oleh batang besi jika batang besi tersebut
dimagnetisasi.
e) Sifat magnetik diinduksi pada batang besi jika batang besi tersebut ditempatkan di dekat
magnet
10) Gambarkan diagram yang memperlihatkan mkedan magnet di sekitar
a) satu magnetik batang
b) dua magnetik batang dengan dua kutub yang berbeda didekatkan
c) dua magnetik batang dengan kutub-kutub utaranya didekatkan
d) bumi
188
Bab 5
Hukum Biot Savart
Kita sudah cukup banyak membahas tentang kemagnetan pada Bab 4. Namun kita lebih
menekankan pada medan magnet yang dihasilkan oleh magnet permanen. Pertanyaan berikutnya
adalah apakah hanya magnet permanen yang dapat menghasilkan medan magnet? Adakah cara
lain menghasilkan medan magnet?
Ternyata jawabannya ada yaitu dengan cara induksi. Medan magnet dapat dihasilkan juga oleh
arus listrik. Kesimpulan ini dapat ditunjukkan dengan pengamatan sederhana berikut ini. Jika di
sekitar kawat konduktor kalian dekatkan sebuah jarum kompas, kalian tidak mengamati efek
apa-apa pada jarum tersebut. Tetapi, begitu kawat dialiri arus listrik, kalian mengamati
pembelokan yang dilakukan jarum kompas. Pengamatan ini menunjukkan bahwa kehadiran arus
listrik menyebabkan munculnya medan magnet, dan medan magnet inilah yang mempengaruhi
jarum kompas
Gaya Lorentz yang dilakukan oleh medan magnet pada arus listrik dapat dipandang sebagai gaya
antar dua buah magnet karena arus listrik menghasilkan medan magnet di sekitarnya. Pada bab
ini kita akan bahas proses terbentuknya medan magnet di sekitar arus listrik. Dengan penekanan
pada penggunaan hokum Biot Savart untuk menentukan medan tersebut.
5.1 Hukum Biot Savart
Berapa besar medan magnet di sekitar arus listrik? Besarnya medan magnet di sekitar arus listrik
dapat ditentukan dengan hukum Biot-Savart. Misalkan kita memiliki sebuah kawat konduktor
yang dialiri arus I. Ambil elemen kecil kawat tersebut yang memiliki panjang dL. Arah dL sama
r
dengan arah arus. Elemen kawat tersebut dapat dinyatakan dalam notasi vector dL . Misalkan
r
kita ingin menentukan medan magnet pada posisi P dengan vector posisi r terhadap elemen
kawat.
r
dL
I
r
r
P
Gambar 5.1 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat
r
Kuat medan magnet di titik P yang dihasilkan oleh elemen dL saja diberikan oleh hokum
189
Biot-Savart
r
r µ o dL × rr
dB =
I
4π
r3
(5.1)
dengan µo disebut permeabilitas magnetic vakum = 4π × 10-7 T m/A.
Medan total di titik P yang dihasilkan oleh kawat diperoleh dengan mengintegral persamaan
(5.1), yaitu
r r
r µo
dL × r
B=
I
4π ∫ r 3
(5.2)
Penyelesaian integral persamaan (5.2) sangat bergantung pada bentuk kawat. Untuk kawat yang
bentuknya rumit, penyelesaian tidak dapat dilakukan dengan mudah. Kita harus menggunakan
komputer untuk mencari medan magnet.
Pada bagian ini kita akan mencari medan magnet di sekitar kawat yang bentuknya sederhana.
Dengan bentuk yang sederhana maka integral menjadi relatif mudah untuk dikerjakan.
5.2 Medan Magnet oleh Kawat Lurus Tak Berhingga
Mencari medan magnet yang dihasilkan kawat lurus tak berhingga dimudahkan oleh arah vector
r
dL yang selalu tetap, yaitu mengikuti arah kawat.
r
r
P
I
r
dL
Gambar 5.2 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat lurus panjang
Sebelum melakukan integral, kita harus menyederhanakan dulu ruas kanan persamaan (5.2).
Misalkan titik P berjarak a dari kawat (arah tegak lurus). Dengan aturan perkalian silang maka
r r
dL × r = dL r sin θ
(5.3)
190
r
r
dengan θ adalah sudut antara vector dL dan r . Dengan demikian, besar medan magnet yang
r
dihasilkan vector dL saja adalah
r r
µ dL × r µ o dL r sin θ µ o dL sin θ
I
I
=
=
dB = o I
4π
4π
4π
r3
r3
r2
(5.4)
Pada ruas kanan persamaan (5.4), baik dL, r, maupun sin θ merupakan variable. Agar integral
dapat dikerjakan maka ruas kanan hanya boleh mengandung satu variable. Oleh karena itu kita
harus menyatakan dua variable lain ke dalam salah satu variable saja. Untuk maksud ini, mari
kita lihat gambar berikut ini.
dθ
P
θ
I
dL
r
a
L
Gambar 5.3 Variabel-variebal integral pada persamaan (5.4)
Tampak dari Gbr 5.3 bahwa
a
= sin θ
r
atau
1
1
= 2 sin 2 θ
2
r
a
(5.5)
a
= tan θ
L
atau
L=
cos θ
a
=a
tan θ
sin θ
(5.6)
Selanjutnya kita mencari diferensial dL sebagai berikut. Dengan melakukan diferensial ruas kiri
191
dan kanan persamaan (5.6) diperoleh
d (sin θ ) ⎤
⎡ d (cos θ )
dL = a ⎢
− cos θ
sin 2 θ ⎥⎦
⎣ sin θ
⎡ cos 2 θ ⎤
cos θ dθ ⎤
sin 2 θ + cos 2 θ
⎡ − sin θ dθ
= a⎢
− cos θ
=
−
+
=
−
θ
a
d
a
dθ
1
⎢
⎥
2
sin 2 θ ⎥⎦
sin 2 θ
⎣ sin θ
⎣ sin θ ⎦
=− a
dθ
sin 2 θ
(5.7)
Substitusi r dan dL dari persamaan (5.5) dan (5.7) ke dalam persamaan (5.4) diperoleh
dB =
=−
µ o ⎛ a dθ ⎞⎛ sin 2 θ ⎞
⎟ sin θ
I⎜−
⎟⎜
4π ⎝ sin 2 θ ⎠⎜⎝ a 2 ⎟⎠
µo I
sin θ dθ
4π a
(5.8)
Tampak bahwa ruas kanan hanya mengandung variable θ sehingga dapat diintegralkan.
Selanjutnya kita menentukan batas-batas integral. Karena kawat panjang tak berhingga, maka
batas bawah adalah L → -∞ dan batas atas adalah L → +∞. Karena tan θ = a / L , maka untuk L
→ -∞ diperoleh tan θ → -0 atau θ = 180o, dan maka untuk L → +∞ diperoleh tan θ → +0 atau θ
= 0o. Jadi batas bawah integral adalah 180o dan batas atas adalah 0o. Dengan demikian, medan
magnet total yang dihasilkan kawat adalah
µo I 0
B=−
sin θ dθ
4π a 180∫
o
o
=−
=
µo I
µ I
0
[− cos θ ]180
= − o [− 1 + (−1)]
4π a
4π a
µo I
2π a
o
o
(5.9)
Ke manakah arah medan magnet yang dihasilkan arus liatrik? Kalian dapat menentukan dengan
aturan tangan kanan. Jika kalian genggam empat jari tangan kanan dan ibu jari dibiarkan lurus
maka
i) Arah ibu jari bersesuaian dengan arah arus
ii) Arah jari-jari yang digenggam bersesuaian dengan arah medan magnet di sekitar arus tersebut
192
Gambar 5.4 Arah medan magnet di sekitar arus listrik dapat ditentukan dengan aturan tangan
kanan atau sekrup putar kanan.
Cara lain adalah berdasarkan arah masuk sekrup putar kanan. Arah masuk sekrup sesuai dengan
arah arus sedangkan arah putar sekrup sesuai dengan arah medan magnet.
Contoh
Kabel jumper yang sering digunakan untuk menstater kendaraan sering dialiri arus 15 A. Berapa
kuat medan magnet pada jarak 15 cm dari kabel tersebut?
Jawab
B=
µo I
15
= 10 −7
= 10 −6 T
4π a
0,15
5.3 Medan magnet oleh kawat lurus berhingga
Sekarang kita akan membahas kasus yang sedikit rumit, yaitu menentukan medan magnet yang
dihasilkan oleh arus listrik pada kawat lurus yang panjangnya berhingga. Misalkan kita memiliki
kawat yang panjangnya L. Kita akan menentukan kuat medan magnet pata titik yang berjarak a
dari kawat dan dan sejajar dengan salah satu ujung kawat. Lihat Gambar 5.5
Untuk menentukan kuat medan magnet di titik pengamatan menggunakan hukum Biot-Savart,
kita tentukan variabel-variabel seperti pada Gbr. 5.6
193
P
a
I
Lo
Gambar 5.5 Menentukan medan magnet oleh kawat lurus yang panjangnya berhingga
P
r
θ
L
dL
a
Lo-L = a/tanθ
Gambar 5.6 Variabel-variabel untuk menentukan kuat medan magnet di posisi yang sejajar
ujung kawat
Serupa dengan pembahasan untuk kawat yang panjangnya tak berhingga, besar medan magnet
r
yang dihasilkan vector dL saja adalah
dB =
µ o dL sin θ
I
4π
r2
(5.4)
Tampak dari Gbr 5.6 bahwa
a
= sin θ
r
atau
1
1
= 2 sin 2 θ
2
r
a
194
Lo − L =
a
tan θ
Dengan demikian,
− dL = − a
dθ
sin 2 θ
(5.5)
atau
dL = a
dθ
sin 2 θ
(5.10)
Dengan substitusi variable-variabel di atas (lihat pembahasan untu kawat panjang tak berhingga)
kita akan dapatkan
dB =
µo I
sin θ dθ
4π a
(5.11)
Ketika elemen dL berada di ujung kiri kawat, maka sudut yang dibentuk adalah θm yang
memenuhi
tan θ m =
a
Lo
(5.12)
Dan ketika elemen dL berada di ujung kanan kawat maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Jadi,
batas integral adalah 90o sampai θm. Maka kita dapatkan medan magnet di titik P adalah
µ o I 90
B=
sin θ dθ
4π a θ∫
o
m
µo
4π
µ
= o
4π
=
o
I
[− cos θ ]θ90m = µ o I − cos 90 o + cos θ m
4π a
a
[
]
I
cos θ m
a
(5.13)
Dengan menggunakan persamaan (5.12) kita mendapatkan
195
cos θ m =
Lo
a 2 + L2o
Dengan demikian, kuat medan magnet di titik P adalah
B=
Lo
µo I
2
4π a a + L2o
(5.14)
Jika panjang kawat di satu sisi sangat besar, atau Lo → ∞ maka a 2 + L2o ≈ L2o . Dengan
demikian
B=
µ o I Lo
µ I
= o
2
4π a Lo 4π a
(5.15)
Besar medan ini persis sama dengan setengah dari kuat medan yang dihasilkan oleh kawat yang
panjangnya tak berhingga di dua sisi.
Sebaliknya jika kawat cukup pendek dibandingkan dengan jarak pengamatan, yaitu a >> Lo
maka a 2 + L2o ≈ a 2 . Dengan demikian
B=
µ o I Lo
µ IL
= o 2o
2
4π a a
4π a
(5.16)
Selanjutnya kita bahas kasus yang lebih umum lagi di mana titik pengamatan berada di antara
dua ujung kawat. Misalkan titik tersebut berjarak a dari kawat dan berjarak b dari salah satu
ujung kawat. Kasus ini sebenarnya tidak terlalu sulit. Kita dapat memandang bahwa medan
tersebut dihasilkan oleh dua potong kawat yang panjangnya b dan panjangnya Lo – b, seperti
pada Gbr. 5.7, di mana titik pengamatan berada di ujung masing-masing potongan kawat
tersebut.
Kuat medan yang dihasilkan oleh potongan kawat kiri adalah
B1 =
µo I
b
2
4π a a + b 2
(5.17)
Kuat medan yang dihasilkan oleh potongan kawat kanan adalah
196
b
Lo-b
a
P
I
Lo
Gambar 5.7 Menentukan kuat medan magnet pada posisi sembarang di sekitar kawat
B2 =
Lo − b
µo I
4π a a 2 + ( Lo − b) 2
(5.18)
Kuat medan total di titik pengamatan adalah
B = B1 + B2
=
µ o I ⎛⎜
Lo − b
b
+
4π a ⎜ a 2 + b 2
a 2 + ( Lo − b) 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(5.19)
Selanjutnya kita mencari kuat medan listrik pada titik yang berada di luar areal kawat, misalnya
pada jarak b di sebelah kiri kawat. Lihat Gambar 5.8
b
a
P
Lo
I
Gambar 5.8 Menentukan kuat medan magnet pada jarak sembarang di luar kawat.
Bagaimana memecahkan masalah ini? Kita pakai trik sederhana. Masalah ini dapat dipandang
sebagai dua potong kawat berimpit. Satu potong kawat panjangnya Lo + b dan dialiri arus ke
kanan dan potong kawat lain panjangnya b dan dialiri arus ke kiri, seperti diilustrasi pada Gbr
5.9. Besar arus yang mengalir pada dua kawat sama. Ujung kiri dua potongan kawat diimpitkan.
Kuat medan magnet yang dihasilkan potongan kawat panjang adalah
197