Modul Aljabar Linear dan Matriks

RUANG VEKTOR
Pertemuan : 5,6&7
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
1. Mengetahui sifat-sifat dan operasi vektor di R2 dan R3.
2. Mengetahui aksioma ruang vektor dan syarat subruang.
3. Mengidentifikasi suatu himpunan vektor sebagai suatu ruang vektor atau subruang
vektor .
4. Mengidentifikasi suatu himpunan vektor membangun dan bebas linear.
5. Menentukan matriks transisi dari perubahan basis.
6. Menentukan basis dan dimensi dari himpunan vektor-vektor yang merupakan
anggota dari suatu ruang vektor atau subruang.
7. Menentukan ruang baris, ruang kolom, ruang null dan dimensinya.
Materi
:
3.1 Vektor di R2 dan R3
Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah.
Perhatikan gambar berikut ini :
A
v
Titik O disebut titik pangkal vektor dan titik A disebut titik ujung
Vektor dengan titik pangkal O dan titik ujung A dinotasikan dengan
OA atau dapat dituliskan dengan huruf kecil v
O
Contoh 3.1
Di dalam sistem koordinat vektor dapat digambarkan sebagai berikut:
Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (R2)
Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (R3)
Z
Y
A Titik Ujung
w
v
O
Titik Pangkal A
Titik Ujung
B
B
Y
X
OO
Titik Pangkal
X
OA, OB disebut vektor standar karena titik pangkal vektor tersebut berada pada titik O.
Definisi 3.1
Berikut ini adalah cara menghitung norma atau panjang dari suatu vektor yang berada di R2
dan di R3
Vektor Panjang vektor di R2
Panjang vektor di R3
A = (a1 , a2 ) dan B = (a2 , a2 )
A = (a1 , a2 , a3 ) dan B = (b1 , b2 , b3 )
AB
 b a 
AB   1 1 
 b2  a2 
 b1  a1 


AB   b2  a2 
b  a 
 3 3
AB  (a1  b1 ) 2  (a2  b2 ) 2
AB  (a1  b1 ) 2  (a2  b2 ) 2  (a3  b3 ) 2
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Vektor Panjang vektor di
v 
v
v 1
 v2 
R2
Panjang vektor di R3
 v1 
 
v   v2 
v 
 3
v  v1  v2
v  v1  v2  v3
Konsep vektor ini dapat diperluas hingga ke Rn , Rn sering dikenal dengan ruang Euclidis.
Penjelasan tentang konsep ruang akan dijelaskan pada subbab berikutnya.
3.2 Operasi –Operasi Vektor
Seperti halnya di dalam matriks, di dalam vektor juga ada operasi yang bisa dilakukan.
Diantaranya adalah :
a. Penjumlahan Vektor
Cara segitiga
vw
w
v
w
v
Cara jajaran genjang
w
w
v
vw
v
b. Perkalian Vektor dengan Skalar
2u
u
c. Vektor Negatif
u
u
 Latihan 3.1
 2
 1 
 3 




Misalkan u   2  , v   3  , w   5  . Hitunglah ekspresi yang ditunjukkan:
 4
2
 4 
 
 
 
d. u  v
a. 3u  5v  w
b. 12 u  v  2w
1
w
e.
w
c. u  v
IF/2011
18
3.3 Ruang Vektor dan Sub Ruang Vektor
Vektor – vektor yang dikumpulkan dalam suatu himpunan dan mempunyai sifat-sifat yang
sama disebut dengan ruang vektor. Untuk mengenali himpunan yang diamati sebagai ruang
vektor maka perlu diketahui terlebih dahulu sifat-sifat yang harus dimiliki oleh ruang vektor
dan subruang. Pengetahuan tentang ruang vektor dan subruang akan membantu kita untuk
mengenali bentuk dan karakteristik dari solusi sistem persamaan linear yang dicari. Berikut ini
diberikan definisi dari ruang vektor dan subruang.
Aksioma 3.1
Misalkan V suatu himpunan tak kosong dimana operasi penjumlahan dan perkalian skalar
didefinisikan, jika untuk setiap u , v, w anggota V dan α,β adalah skalar berlaku:
(f) α skalar, u V   u V
(g)  (  u )  ( )u
(a) u , v  V  u  v V
(b) u  v  v  u
(c) u  (v  w)  (u  v)  w
(h)  (u  v)   u   v
(d) 0  V  u  0  0  u  u, u  V
(i) (   )u   u   u
(e) u V ,   u V  u  (u )  0
(j) 1u  u
Maka V disebut ruang vektor dan anggota dalam V disebut vektor.
Contoh 3.2:
1. Misalkan V  R 2 adalah himpunan vektor-vektor yang didefinisikan sebagai berikut
 x   x 
x  x  x x 
Aturan perkalian skalar   1    1  dan aturan penjumlahan  1    2    1 2 
 y1    y1 
 y1   y2   y1  y2 
2
Maka dapat dilihat bahwa R memenuhi semua aturan dari aksioma 3.1., sehingga R2
disebut dengan ruang vektor.
 a b 

2. Misalkan V  M 22  
 a, b, c, d  R  dan didefinisikan aturan perkalian skalar
 c d 

 a b   a b 
a b   e f   a e b  f 


 dan aturan penjumlahan 



 c d  c d 
 c d   g h  c  g d  h
Dapat ditunjukkan bahwa M 22 adalah ruang vektor matriks yang sering disebut dengan
ruang matriks.


3. Misalkan V  P2  a0  a1 x  a2 x 2 a0 , a1 , a2  R dan didefinisikan aturan perkalian skalar
 (a0  a1 x  a2 x )   a0   a1 x   a2 x dan aturan penjumlahan
2
2
(a0  a1 x  a2 x 2 )  (b0  b1 x  b2 x 2 )  (a0  b0 )  (a1  b1 ) x  (a2  b2 ) x 2
Jika diberikan suatu ruang vektor V, maka kita dapat membentuk ruang vektor lain S yang
merupakan himpunan bagian dari V dan menggunakan operasi-operasi pada V.
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Definisi 3.2
Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari suatu ruang vektor V dan S memenuhi syaratsyarat berikut ini maka berlaku :
a)  x  S jika x  S untuk sembarang skalar  .
b) x  y  S jika x  S dan y  S .
maka S disebut subruang dari V.
Contoh 3.3:


 x 

Misalkan S =   x  R  . Tunjukkan S adalah subruang dari R2.


 0 

Penyelesaian:
u 
v 
Ambil u   1  , v   1   S dan   R maka
0
0
 u  u 
1.  u    1    1   S
0  0 
u  v  u  v 
2. u  v   1    1    1 1   S
0 0  0 


 x 

Dari 1. dan 2. Terbukti S =   x  R  adalah subruang dari R2.


 0 

Contoh 3.4:


 x 

Diketahui K =   x  0  . Periksalah apakah K adalah subruang dari R2.
 0 



1
K bukan subruang dari R2 karena terdapat u     K dan 1  R sehingga (1)u  R .
0
 Latihan 3.2
1. Periksa apakah himpunan berikut adalah subruang dari R2 .
 x 

 x 

 

 

a. K   y  x  2 y, z   y 
b. K   y  x  2 y  1
 z 

 z 

 

 

2. Periksa apakah himpunan berikut adalah subruang dari M2x2 (M2x2 adalah ruang matriks
yang semua anggotanya berukuran 2 x 2)
 a b 



 a b 

H

ad

bc

0
a. H  
b.
a

b

c

d

0






 c d 

 c d 



3. Periksa apakah himpunan berikut adalah subruang dari P2.


a. A  a0  a1 x  a2 x 2 a0  a1  a2  R


b. A  a0  a1 x  a2 x 2 a0  1, a1 , a2  R
IF/2011
19
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
3.4 Kombinasi Linear dan Membangun
Lebih lanjut akan dijelaskan bahwa solusi dari SPL (khususnya SPL dengan jumlah solusi
takhingga banyaknya) akan membentuk suatu subruang. Solusi SPL ini dapat dituliskan kembali
dalam bentuk penjumlahan dan perkalian skalar antar basis. Untuk itu sebelum menjelaskan
konsep basis, berikut ini diperkenalkan terlebih dahulu mengenai istilah kombinasi linear,
membangun dan bebas linear dari vektor-vektor kolom.
Definisi 3.3
Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor v1 , v2 ,..., vr jika bisa
dinyatakan dalam bentuk :
w  1 v1  2 v2  ...   n vn
Dengan 1 ,  2 , ,  n adalah skalar.
Contoh 3.5:
 4 
1
6
3


 
 
 
Diketahui u   2  dan v   4  dalam R3. Periksalah apakah w   0  dan a   1  adalah
 4 
 1 
 2
2
 
 
 
 
kombinasi linear dari vektor u dan v .
Penyelesaian:
a. Jika w adalah kombinasi linear dari vektor u dan v maka w dapat dituliskan ke dalam
bentuk w  1 u  2 v sehingga diperoleh
 4 
1
6
 4   1   6 2 
 4   1  6 2 
 
 
  ->   
 
 ->   

 0   1  2    2  4 
 0    21    4 2 
 0    21  4 2 
 4 
 1
 2
 4      2 
 4     2 
 
 
 
   1  2
2
   1
Dengan menyamakan komponen-komponen diperoleh
1  6 2  4
 1 6 4   1 6 4   1 6 4   1 6 4 

 
 
 

21  4 2  0
 2 4 0  ~  0 8 8  ~  0 1 1  ~  0 1 1 
 1 2 4   0 8 8   0 8 8   0 0 0 
1  2 2  4

 
 
 

Sehingga diperoleh  2  1 dan 1  2 . Karena 1 dan  2 memenuhi ketiga
persamaan maka w adalah kombinasi linear dari vektor u dan v .
b. Jika a adalah kombinasi linear dari vektor u dan v maka a dapat dituliskan ke dalam
bentuk a  1 u   2 v sehingga diperoleh
3
1
 6
 3   1   6 2 
 3   1  6 2 
 
 
  ->   
 
 ->   

 1  1  2    2  4 
 1   21    4 2 
 1   21  4 2 
2
 1
 2
 2      2 
 2     2 
2
 
 
 
   1  2
   1
Dengan menyamakan komponen-komponen diperoleh
1  6 2  3
 1 6 3  1 6 3  1 6 3  1 6 3 

 
 
 

21  4 2  1  2 4 1 ~  0 8 7  ~  0 1 7 / 8  ~  0 1 7 / 8 
 1 2 2   0 8 5   0 8 5   0 0 1 
1  2 2  2

 
 
 

IF/2011
20
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Jelas bahwa SPL ini tidak mempunyai solusi sehingga a bukan kombinasi linear dari
vektor u dan v .
Latihan 3.3
1
 3
 2
 
 


Diketahui u   1  , v   1  dan w   2  , nyatakan
3
5
 4
 
 
 
kombinasi linear dari vektor-vektor u , v, w .
6
 9 
 


a. a   11 
b. b   7 
6
 15 
 


vektor-vektor berikut ini sebagai
Definisi 3.4
Diketahui V adalah ruang vektor dan S  s1 , s2 ,..., sn dimana s1 , s2 ,..., sn V . S dikatakan


membangun (merentang) V jika v V , v merupakan kombinasi linear dari S, yaitu :
v  1 s1  2 s2  ...  n sn
1 ,2 , ,n skalar
S disebut ruang rentang dan s1 , s2 ,..., sn disebut rentang dari V.
Contoh 3.6:
1
 2
 3




Apakah u   2  , v   4  , w   4  membangun di R3?
 3
6
7
 
 
 
Penyelesaian:
 x
 
3
Misalkan u , v, w membangun R 3 maka untuk sembarang vektor  y   R akan ditunjukkan
z
 
 x
 
bahwa vektor  y  adalah kombinasi linear dari u , v, w , sehingga dapat dituliskan
z
 
1
 2
 3  x 
 
 
1  2    2  4    3  4    y 
 3
 6
7  z 
 
 
   
Atau dalam bentuk matriks dapat dituliskan menjadi
 1 2 3  1   x 

   
 2 4 4   2    y 
 3 6 7     z 

 3   
IF/2011
21
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Persamaan linear ini akan konsisten jika tidak ada
reduksi baris.
Dengan OBE diperoleh
1 2 3 1 2 3  1 2

 
 
 2 4 4  ~  0 0 2  ~  0 0
 3 6 7   0 0 2   0 0

 
 
baris 0 pada matriks A setelah dilakukan
0

1
0 
Karena ada baris yang 0 maka pastilah ada vekor di R 3 yang bukan merupakan kombinasi
linear dari u , v, w . Jadi u , v, w tidak membangun di R 3 .
Latihan 3.4
1
 2
1
Diketahui u    , v    , w    . Apakah u , v, w membangun di R3?
 2
 2
 3
3.5 Bebas Linear dan Bergantung Linear
Definisi 3.5
Misalkan S = { v1 , v2 ,..., vr } adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, vektor-vektor
v1 , v2 ,..., vr disebut bebas linear jika untuk persamaan vektor
mempunyai satu-satunya penyelesaian yaitu
1  0,  2  0, ...,  r  0
1 v 1  v2  .2 ..r vr 
Definisi 3.6
Misalkan S = { v1 , v2 ,..., vr } adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, vektor-vektor
v1 , v2 ,..., vr disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar 1 ,  2 , ...,  r yang tidak
semuanya nol sehingga 1 v1   2 v2  ...   r vr  0 .
Contoh 3.7:
 1
1
a. Vektor-vektor   dan   adalah bebas linear karena jika
 1
 2
 1
 1  0
1     2      maka 1   2  0 dan 1  2 2  0 sehingga diperoleh 1   2  0
 1
 2  0
 4
 4 
b. Diketahui dua vektor   dan   maka
 3
 3 
 4
 4   0 
1     2     
 3
 3   0 
41  4 2  0
misalkan  2  t maka 1  t
31  3 2  0
Maka kedua vektor bergantung linear. Atau tanpa menyelesaikan sistem persamaan linear
dapat ditunjukkan bahwa determinan dari matriks koefisiennya = 0 maka sistemnya punya
penyelesaian tak-trivial.
IF/2011
22
0
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
 Latihan 3.5
Periksalah apakah vektor-vektor berikut ini bebas linear atau bergantung linear
 4
8
1
 2
1
 


a. u   1 , v   0 
b. u    , v    , w   
 2
 2
 3
3 
1
 
 
3.6 Basis dan Dimensi
Definisi 3.7
Misalkan V ruang vektor dan S  {s1 , s2 ,..., sn } . S disebut basis dari V jika memenuhi dua syarat,
yaitu :
1. S bebas linear
2. S membangun V
Basis dari suatu ruang vektor bisal lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal, yaitu:
a. Basis standar
Contoh 3.8:
 1   0   0  
1 0 0
      
     
0 1
0
 0   1   0  
n
,
,...,
- S 
 dimana   ,   ,...,   adalah anggota vektor R sehingga














     
 0   0  1  
 0   0  1 
-
1 0 0
     
 0  ,  1  ,...,  0  adalah basis standar dari Rn .
     
     
 0   0  1 
 1 0   0 1   0 0   0 0  
S  
,
,
 ,
  adalah basis dari M 22 .
0
0
0
0
1
0
0
1









Didalam R2 dan R 3 , basis standar sering dituliskan menjadi i, j , k .
b. Basis tidak standar
Definisi 3.8
Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan
vektor terhingga v1 , v2 ,..., vn yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan seperti


itu maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi hingga.
Teorema 3.1
Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan v1 , v2 ,..., vn adalah sembarang


basis, maka:
a. Setiap himpunan yang lebih dari n vektor adalah tak bebas linear.
b. Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang membangun V.
IF/2011
23
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Teorema 3.2
Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang
sama.
Definisi 3.9
Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V),
didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.
Teorema 3.3
Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n , dan jika S adalah suatu himpunan dalam V
dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V jika S merentang V atau S bebas
linear.
Contoh 3.9:
1
 2
 3




Misalkan v1   2  , v2   9  , v3   3  . Tunjukkan bahwa himpunan S={ v1 , v2 , v3 } adalah suatu
1
0
 4
 
 
 
3
basis dari R .
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa himpunan S membangun R3 akan ditunjukkan bahwa untuk
 b1 
sembarang b   b2   R3 bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear
b 
 3
b  1v1  2v2  3v3
 b1 
1
 2
 3
 
 
 
 
Sehingga diperoleh
 b2   1  2    2  9    3  3 
b 
1
 0
 4
 3
 
 
 
 b1   1  2 2  3 3 
  

 b2    21  9 2  3 3 
 b     4

1
3
 3 

Dengan menyamakan komponen-komponen berpadanan diperoleh:
1  2 2  3 3  b1
21  9 2  3 3  b2
1 
4 3  b3
Untuk menunjukkan bahwa S membangun R3 harus ditunjukkan bahwa sistem persamaan
linear diatas punya penyelesaian untuk semua b .
Untuk menunjukkan bebas linear maka jika
1 v1  2 v2  3 v3  0
Maka 1   2  3  0
Karena dim R3 = 3 dan jumlah anggota S = 3, maka kita hanya perlu menunjukkan bahwa
vektor-vektornya saling bebas linear atau membangun. Dengan menunjukkan matriks
koefisiennya punya determinan tidak nol, maka dikatakan S bebas linear dan membangun
IF/2011
24
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
1 2 3


A   2 9 3
1 0 4


det( A)  1
Jadi S adalah basis untuk R3.
Latihan 3.6
 1   2   1  


a. Tunjukkan bahwa  2  ,  1  ,  0   adalah basis R3
 3   0   1  
      
b. Periksa apakah  x 2 , x 2  x  1, x  1 adalah basis bagi P2
3.7 Vektor Koordinat dan Matriks Transisi
Banyak masalah aplikasi disederhanakan dengan cara mengubah suatu sistem koordinat ke
sistem koordinat lain. Prinsip mengubah sistem koordinat dalam suatu ruang vektor prinsipnya
sama dengan mengubah dari suatu basis ke bentuk basis lainnya. Untuk itu diberikan
pengertian dari vektor koordinat dan matriks transisi yang berkaitan dengan perpindahan basis
ke basis yang lain.
Definisi 3.10

Misalkan V adalah suatu ruang vektor dengan basis B = b1 , b2 ,..., bn

dan v V . Vektor
koordinat v terhadap basis B adalah :
 1 
 

v    2 
 B  
 
n 
Dimana 1 b1  2 b2 
 n bn  v
Contoh 3.10:
 1   1   1  
1


 
Tentukan vektor koordinat v   0  terhadap basis B   0  ,  2  ,  1 
 3
 0   0   2  
 
      
Penyelesaian
 1 
Koordinat v terhadap B adalah vektor v     2  yang memenuhi
B
 
 3
1
1
 1  1
 
 
1  0    2  2    3  1   0 
 0
 0
 2   3
 
 
   
Sehingga diperoleh matriks augmentednya
IF/2011
25
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
 1 1 1 1  OBE  1 0 0  94 

 
3 
 0 2 1 0  ~  0 1 0 4 
0 0 2 3 0 0 1 3 

 
2 
  94 
 
Jadi  v    34 
B
 3 
 2 
Perhatikan bahwa urutan vektor di basis menentukan vektor koordinat. Jika
 1   1   1  
      
'
B   2  ,  1 ,  0  
 0   2   0  
      
Maka vektor koordinat v terhadap B’ adalah
 34 
 v  '   32 
 B  
 9 
4
Latihan 3.7
Tentukan koordinat relatif dari (3,2,5)T terhadap basis u1  (1,1,1)T , u2  (1, 2, 2)T , u3  (2,3, 4)T .
Teorema 3.4
Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal.
Definisi 3.11
Pandang B  b1 , b2 ,..., bn dan U  u1 , u2 ,..., un untuk ruang vektor V. Matriks transisi dari B

ke U adalah





P  b1  , b2  ... bn 
U
U
U
Dan memenuhi persamaan
v   P v 
v V
 U
 B
Matriks P adalah matriks tak singular dan P’ adalah matriks transisi dari U ke B.
Contoh 3.11:
a. Carilah matriks transisi dari perubahan basis v1 , v2 ke u1 , u2 dimana

 

5
7
 3
 1
v1    , v2    dan u1    , u2   
 2
 3
 2
 1
1
b. Jika  a     tentukan  a 
V
U
 2 
Penyelesaian
a. Kita dapat menuliskan masing-masing basis v1 , v2 ke dalam u1 , u2
v1  p11 u1  p21 u2
v2  p12 u1  p22 u2
IF/2011
26
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
Dengan mensubstitusi v1 , v2 dan u1 , u2 diperoleh dua persamaan sebagai berikut:
 5   3 p11  p21 
 7   3 p12  p22 
    2 p  p  dan     2 p  p 
 2   11
 3   12
21 
22 
p   3
p   4
Dari persamaan ini diperoleh  11     dan  12    
 p21   4 
 p22   5 
 3 4
Sehingga diperoleh P  
 adalah matriks transisi dari basis v1 , v2 ke u1 , u2 .
 4 5 
b. Dapat ditunjukkan pula bahwa

 

 3 4
 3 4  1   5 
a   
  a V  
    
 U
 4 5 
 4 5  2   6 
Latihan 3.8
1. Dari contoh diatas tentukan matriks transisi dari basis u1 , u2 ke v1 , v2

 

2. Misalkan v1  (4,6,7)T , v2  (0,1,1)T , v3  (0,1, 2)T adalah basis dan u1  (1,1,1)T ,
u2  (1, 2, 2)T , u3  (2,3, 4)T

 
a. Tentukan matriks transisi dari u1 , u2 , u3 ke v1 , v2 , v3


b. Jika x  2v1  3v2  4v3 , tentukan koordinat dari x relatif terhadap u1 , u2 , u3

3.8 Rank dan Nulitas
Definisi 3.12
Jika A adalah matriks mxn maka subruang Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A
disebut ruang baris dari A. Subruang dari R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A
disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax  0
adalah subruang dari Rn disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A) .
Contoh 3.12
1 0 0
A

0 1 0
Ruang baris dari A adalah himpunan dari
 (1,0,0)   (0,1,0)   ,  ,0
Misalkan
Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
1
0
 0  
          
0
1
0   
Teorema 3.5
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang null dari suatu matriks
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu kolom
Contoh 3.13:
IF/2011
27
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
 1 2 1 1 


Diketahui
A   2 4 3 0 
1 2 1 5


Tentukan basis untuk ruang kosong A (N(A))
Penyelesaian
Menggunakan operasi baris elementer diperoleh matriks U yang merupakan matriks bentuk
eselon baris tereduksi dari A.
1 2 0 3


U  0 0 1 2
0 0 0 0


Karena persamaan Ax  0 ekivalen dengan U x  0 (berdasarkan Teorema 3.5) maka x  N ( A)
jika dan hanya jika
x1  2 x2 
3x4  0
x1  2 x2  3x4
sehingga
x3  2 x4  0
x3  2 x4
Misalkan x2   dan x4   maka vektor-vektor x  N ( A) berbentuk
 x1   2  3 
 2 
 3 
  



 

 x2   
   1   0 
 x3   2  
 0
 2 
  

 
 


 0
 1
 x4  
Jadi basis untuk N ( A) adalah  2,1, 0, 0  dan  3, 0, 2,1
T
T
Teorema 3.6
Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris dengan utama
1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan vektor-vektor
kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom
dari U.
Teorema 3.7
Jika A dan B adalah matriks yang ekivalen baris maka
a. Suatu himpunan vektor kolom dari A yang bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor
kolom yang berpadanan dari B juga bebas linear.
b. Suatu himpunan vektor kolom dari A yang diberikan membentuk suatu basis untuk ruang
kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang berpadanan dari B membentuk
suatu basis untuk ruang kolom dari B.
Berdasarkan teorema 3.6 , teorema 3.7 dan teorema 3.5 maka kita dapat menentukan basis
dari suatu matriks A dengan cara
Diketahui himpunan vektor S = { v1 , v 2 , , v k }  Rn
1. Bentuk matriks A yang mempunyai vektor v1 , v 2 ,
, v k sebagai vektor-vektor kolomnya
IF/2011
28
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
2. Reduksi matriks A menjadi matriks baris eselon tereduksi R dan anggaplah w1 , w2 , , wk
adalah vektor-vektor kolom dari U.
3. Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 di U. Vektor-vektor yang berpadanan dari
A merupakan vektor-vektor basis yang membangun S.
4. Nyatakan setiap kolom dari U yang tidak mengandung utama 1 sebagai kombinasi linear
dari vektor-vektor kolom yang mengandung utama 1. Persamaan yang berpadanan untuk
vektor-vektor kolom dari A menyatakan bahwa vektor-vektor yang tidak ada dalam basis
tersebut dapat diperoleh dari kombinasi linear dari vektor-vektor basisnya.
Definisi 3.13
Rank dari suatu matriks A adalah dimensi dari ruang baris/ruang kolom dari A. Nulitas adalah
dimensi dari ruang nol.
Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama dengan banyak kolom dari matriks.
Teorema 3.8
Jika A adalah matriks m x n, maka rank dari A ditambah nulitas dari A sama dengan n.
Contoh 3.14
1 2 3


2 1 0 
Diketahui A  
 3 1 1


 5 0 1
Tentukan
a. Semua vektor baris dan vektor kolom dari A
b. Basis dan dimensi dari ruang kolom A
c. Basis dan dimensi dari ruang baris A
Penyelesaian
a. Vektor baris : v1  (1, 2,3), v2  (2,1,0), v3  (3,1,1), v4  (5,0, 1)
1
 2
3
 
 
 
2
1
0
Vektor kolom : w1    , w2    , w3   
 3
1
1
 
 
 
5
0
 1
 1 2 3  1 2 3

 

2 1 0   0 1 65 

~
U
b. A 
 3 1 1  0 0 1

 

 5 0 1  0 0 0 
Bilangan utama 1 ada pada semua kolom pada matriks U sehingga basis dari ruang kolom
adalah S  {w1 , w2 , w3} dan dimensi ruang kolomnya adalah 3.
IF/2011
29
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
 1 2 3 5   1 2 3 5 
c. A   2 1 1 0  ~  0 1 1 2   U
 3 0 1 1  0 0 1 2 

 

Bilangan utama satu terletak pada kolom ke-1,2,3 maka basis dari ruang baris A adalah
S  {v1 , v2 , v3} dan dimensi ruang baris A adalah 3.
T
Latihan 3.9
1. Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada
 1 1 3 
 1 4 5 2




(i) A   5 4 4 
(ii) A   2 1 3 0 
 7 6 2 
 1 3 2 2 




2. Tentukan basis ruang kolom, basis ruang baris dan rank dari matriks A berikut ini
 1 1 3 2 


 2 0 1 1 
 2 1 1 1 


 3 2 3 3 
3. Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor – vektor berikut ini
1
 3 
 1
 5 
 
 
 
 
0
3
3
3



v1 
, v2 
, v3 
, v4   
1
7
9
5
 
 
 
 
1
1
3
 1 
IF/2011
30