BAB 1 - elista:.

BAB 1. VEKTOR DAN SKALAR
Definisi 1.1.
(a). vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
(b). Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah.
Contoh-contoh:
perpindahan, kecepatan, gaya dan percepatan adalah
beberapa contoh dari vektor, sedang massa, panjang, waktu, suhu dan
bilangan adalah beberapa contoh dari skalar.
P
Secara grafik, vektor digambarkan sebagai sebuah
anak panah OP yang menyatakan arahnya, sedang
A
besarnya dinyatakan oleh panjang anak panah.
Pangkal O dari anak panah disebut titik asal atau titik
O
pangkal, sedang ujung P disebut titik terminal atau
terminus.
Secara analitis, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf dengan anak panah

diatasnya, seperti A , atau dengan huruf tebal seperti A dan besarnya

dinyatakan dengan A atau A . Untuk memudahkan pengetikan, selanjutnya
setiap vektor akan ditulis dengan huruf tebal.
Skalar dinyatakan dengan huruf-huruf biasa seperti dalam aljabar dan
operasi-operasi dengan skalar juga mengikuti aturan operasi aljabar biasa.
ALJABAR VEKTOR
Sebagaimana skalar, kita dapat mendefinisikan beberapa operasi aljabar
seperti penjumlahan, pengurangan dan perkalian dari vektor-vektor. Untuk
itu diperlukan definisi-definisi yang mendasar seperti:
1. Vektor A dan B dikatakan sama jika keduanya memiliki arah dan besar
yang sama, tanpa memandang kedudukan titik-titik awalnya.
2. Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi arahnya
berlawanan dinyatakan dengan -A.
A
A
B
-A
vektor A dan –A
Vektor A dan B sama
3. Jumlah atau resultan dari vektor A
B
dan vektor B adalah sebuah vektor C
yang dibentuk dengan menempatkan
A
titik awal dari B pada titik terminal
dari A dan kemudian menghubungkan
C=A+B
titik awal dari A dengan titik terminal
dari B.
Jumlah ini ditulis dengan
A+B. Jadi C = A+B.
4. Selisih dari vektor A dan vektor B
didefinisikan sebagai jumlah vektor A
dan –B dan ditulis sebagai A-B =
A+(-B).
A
-B
A-B
Jika A=B, maka A-B didefinisikan
sebagai
B
vektor
nol
dan
ditulis
dengan 0, yang merupakan suatu
vektor yang besarnya nol dan tak
memiliki arah tertentu.
A
5. Hasil kali sebuah vektor A
dengan
sebuah skalar m adalah sebuah vektor
mA yang besarnya m kali besarnya
vektor
A
dan
arahnya
sama
atau
3A
berlawanan dengan arah vektor A,
bergantung
pada
apakah
m
positif
(searah) atau negatif (berlawanan arah).
A
Jika m=0 maka mA=0.
HUKUM-HUKUM ALJABAR VEKTOR
Jika A, B, C vektor-vektor dan m dan n skalar-skalar, maka
1. A+B = B+A
2. A+(B+C) = (A+B)+C
3. mA = Am
4. m(nA) = (mn)A
5. (m+n)A = mA + nA
6. m(A+B) = mA + mB
Dengan hukum-hukum di atas kita dapat memperlakukan beberapa
persamaan vektor sebagai persamaan aljabar biasa, seperti jika A+B=C
maka A=C-B.
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu. Jika A suatu vektor
tak nol maka A /A atau A/A adalah suatu vektor satuan yang searah
dengan vektor A. Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh sebuah vektor
satuan a dalam arah A dikalikan dengan besarnya A. Jadi A = Aa.
z
Dalam sistem koordinat tegak lurus
ruang dimensi tiga, vektor-vektor
satuan yang searah dengan sumbu-
k
sumbu x, y dan z positif berturutturut dinyatakan dengan i, j, dan k.
y
0 j
i
x
KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR DALAM R3
Setiap vektor dalam ruang berdimensi tiga dapat
z
digambarkan dengan titik pangkal yang berimpit
dengan titik O dari sistem koordinat tegak lurus.
Misalkan (A1, A2, A3) koordinat titik pangkal
dari vektor A yang titik pangkalnya berimpit
A
A3k
A1i
dengan O.
A2j
Vektor-vektor A1i, A2j, dan A3k
disebut vektor-vektor komponen dari A dalam
O
x
arah berturut-turut x, y dan z. Sementara itu A1,
A2, A3 disebut komponen dari A dalam arah
berturut-turut x, y dan z.
Vektor A merupakan jumlah atau resultan dari A1i, A2j, dan A3k, sehingga
dapat ditulis A = A1i + A2j + A3k. Besar dari A adalah
A = A=
A12  A22  A32 .
y
Vektor posisi dari O ke titik (x,y,z) ditulis r = xi+yj+zk, dan besarnya adalah
r = r= x 2  y 2  z 2 .
MEDAN SKALAR
Jika pada tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan sebuah
bilangan atau skalar (x,y,z), maka  disebut fungsi skalar dari kedudukan
atau fungsi titik skalar dan dapat dikatakan bahwa sebuah medan skalar 
telah didefinisikan dalam R.
Contoh: (1) temperatur pada setiap titik di dalam atau di atas permukaan
bumi pada suatu tempat tertentu mendefinisikan sebuah medan
skalr.
(2) (x,y,z) = x3y-z2 mendefinisikan sebuah medan skalar.
MEDAN VEKTOR
Jika pada tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan sebuah
vektor V(x,y,z), maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi
titik vektor dan dapat dikatakan bahwa sebuah medan vektor V telah
didefinisikan dalam R.
Contoh: (1) Jika kecepatan pada setiap titik (x,y,z) dalam sebuah fluida
yang sedang bergerak diketahui pada suatu saat tertentu, maka
sebuah medan vektor terdefinisikan.
(2) V(x,y,z) = xy2i –2 yz3j + x2zk mendefinisikan sebuah medan
vektor.
SOAL-SOAL
1. Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yakni
A+B=B+A.
Dari gambar di atas terlihat:
OP + PQ = OQ atau A + B = C
OR + RQ = OQ atau B + A = C.
Maka A+B = B + A.
2. Gaya-gaya F1, F2, …, F6 bekerja pada obyek seperti diperlihatkan. Gaya
apakah yang diperlukan untuk mencegah P bergerak?
2. Tentukan vektor yang memiliki titik pangkal P(x1,y1,z1) dan titik terminal
Q(x2,y2,z2) dan carilah besarnya.
Penyelesaian:
z
vektor kedudukan P adalah
P(x1,x2,x3)
r1 = x1i + y1j + z1k,
r1
vektor kedudukan P adalah
r2 = x2i + y2j + z2k.
2
Q(x2,y2,z2)
Perhatikan gambar:
r1 + PQ = r2
O
atau
PQ = r2-r1
x
= (x2i + y2j + z2k) – (x1i + y1j + z1k)
= (x2-x1)i + (y2-y1)j + (z2-z1)k,
sehingga besarnya PQ:
PQ  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 ,
yang menyatakan jarak antara titik P dan titik Q.
y