BAB II MATEMATIKA EKONOMI

BAB II
DERET UKUR
Husnayetti
1
1. PENGERTIAN DU
Deret ukur adalah suatu deret yang
perbandingan
suku-suku
yang
berurutannya merupakan bilangan tetap
2
2. BENTUK UMUM Deret Ukur
a = suku awal
p = pengganda
Sn = suku ke n
3
3. MENENTUKAN SUKU KE n ( Sn)
Rumus untuk menentukan suku ke n untuk
DU adalah :
Misalkan kita punya DU adalah :
2,4,8,16,32…
Contoh deret ini mempunyai p = 2 yaitu
dengan cara membandingkan suku-suku
yang berurutannya mis : 4/2 = 2
Suku Pertama = 2 = a
Suku ke dua
=4=2x2=a.p
4
Suku Pertama 2 = a
Suku ke 2
4=2x2=a.p
Suku ke 3
8 = 2x2x2 = a.p.p = ap 2
Suku ke 4
16 = 2x2x2x2 =
a.p.p.p=ap3
Dengan formula diatas maka kita dapat
menentukan rumus untuk suku ke n =
Sn = a.p (n-1)
5
Contoh :
Diketahui Deret Ukur beranggotakan
3,9,27….. .Tentukanlah suku ke enam dari
deret tersebut
S6 = ap 5
S6 = 3.3 5 =3 6 = 729
6
Contoh :
Sebuah DU mempunyai suku pertama 20
dan ratio antar suku yang berurutannya
adalah 2.Hitunglah suku ke 10 ?
Diket :
a=20 dan p=2
Ditanya S10
S10 = a.p 9 = 20 . 2 9
S10 = 10.240
7
Contoh :
Deret ukur X mempunyai nilai suku
pertama
1.600
dan
rationya
0,125.Sedangkan
deret
ukur
Y
mempunyai nilai suku pertama 50 dan
rationya 4. Pada suku keberapa kedua
deret ini mempunyai nilai yang sama ?
Diket :
Deret X, a=1.600 dan p=0,125
Deret Y, a=50 dan p=4
8
Snx =1.600 . 0,125
(n-1)
Sny =50 . 4 (n-1)
1.600 . 0,125 (n-1) = 50 . 4 (n-1)
1.600/50 = 4 (n-1)/0,125 (n-1)
32 = 32 (n-1)
1 = (n-1)
1+1 = n = 2
9
4. MENENTUKAN JUMLAH S/D
SUKU KE n ( Dn)
Menentukan jumlah sampai dengan suku
ke n (Dn) itu adalah dengan
menjumlahkan suku pertama sampai
dengan suku ke n. Rumus yang digunakan
adalah :
Dn = a+ap+ap2+ap3+……. apn-1 ……… 1
p.Dn = ap+ap2+ap3+ap4+….apn-1+ apn.... 2
10
• Kemudian
persamaan
persamaan (2)
Dn – pDn = a – ap n
Dn (1-p) = a (1-pn)
(1)
dikurang
Dn = a (1-pn) untuk p < 1
1-p
Dn = a (pn-1) untuk p > 1
p-1
11
Contoh :
Sebuah deret ukur mempunyai suku
pertama 15 .Ratio antar suku-suku yang
berurutannya 10.hitunglah berapa jumlah
sampai dengan suku ke 5
Diket :
a=15 dan p=10
Ditanya : D5
D5 = 15 ( 10 5 – 1 ) = 166.665
10-1
12
Contoh :
Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari
sebuah deret ukur masing-masing
adalah 800 dan 204.800. Hitunglah :
a. Suku awal dan pengganda
b. Suku ke lima
c. Jumlah sampai dengan suku ke lima
13
S3= ap2 = 800
S7 = ap6 = 204.800 = ap2. p4= 800 . p4
204.800 = 800 . p4 , p4 =256 dan p=4
800= a . 42 = a . 16, maka a = 800/16=50
14
S5 = a p 4 = 50 . 4 4 = 50 . 256 = 12.800
D5 = 50 ( 4 5 –1) =17.050
3
15
1. Tentukanlah suku awal dan ratio
darisebuah deret ukur jika diketahui suku
ke 5 = 80 dan suku ke 9 = 640
2. Tentukanlah nilai n dari suatu deret ukur
yang suku pertamanya adalah 3, dan
rationya 2, serta suku ke n (Sn) adalah
384
16
Tabungan Rp. 1.000.000, bunga 10%
1.000.000 + 10% x 1.000.000 = 1.100.000
1.100.000 + 10% x 1.100.000 = 1.210.000
17
5. APLIKASI DU
1. BUNGA MAJEMUK
Model bunga majemuk merupakan
penerapan deret ukur dalam simpan pinjam
Bunga majemuk / Bunga berbunga adalah
suatu metode dimana jumlah bunga yang
diperoleh ditambahkan kedalam uang
pokok untuk menghitung bunga periode
berikutnya
18
Bunga mejemuk digunakan untuk
menghitung nilai yang akan datang dari
suatu pinjaman ( nilai sekarang )
Notasi yang digunakan :
P = uang pokok
F = Nilai akumulasi / nilai yang akan
datang
i = suku bunga
n = jangka waktu / jumlah
19
Rumus untuk menghitung bunga majemuk
Jumlah akumulasi / nilai yang akan datang dari
suatu tabungan atau uang pokok adalah :
Setelah tahun pertama (F1) = P + i P=P(1+i)
Setelah tahun kedua (F2) = P(1 + i) +
i(P(1+i)=P(1+i)2
Setelah tahun ke tiga (F3) = P(1+i)3
Setelah tahun ke-n
Fn = P ( 1+i) n
20
Contoh :
Seorang
nasabah
merencanakan
mendepositokan uangnya di Bank
sebanyak Rp. 10.000.000,- dalam jangka
waktu 5 tahun.Pembungaan depositonya
setahun sekali dengan tingkat bunga yang
diasumsikan konstan sebesar 11%
pertahun.bantulah nasabah itu untuk
menghitung berapa jumlah uang yang
diterimanya pada akhir tahun ke-lima ?
21
Jika perhitungan bunga nya lebih dari
sekali setahun maka rumusnya akan
menjadi :
Fn = P ( 1+ i ) mn
m
m = frekuensi perhitungan bunga dalam
setahun
22
Contoh :
Seorang
nasabah
merencanakan
mendepositokan uangnya di Bank sebanyak
Rp. 15.000.000,- dalam jangka waktu 6
tahun.Pembungaan depositonya tiap 4 bulan
sekali dengan tingkat bunga yang
diasumsikan
konstan
sebesar
12%
pertahun.bantulah nasabah itu untuk
menghitung berapa jumlah uang yang
diterimanya pada akhir tahun ke-enam ?
23
Seorang
nasabah
merencanakan
mendepositokan uangnya di Bank
sebanyak Rp. 15.000.000,- dalam jangka
waktu 7 tahun.Pembungaan depositonya
setahun sekali dengan tingkat bunga yang
diasumsikan konstan sebesar 12%
pertahun.bantulah nasabah itu untuk
menghitung berapa jumlah uang yang
diterimanya pada akhir tahun ke-tujuh ?
24
2. PRESENT VALUE
Present value berarti kita menghitung
nilai sekarang dari nilai yang akan datang
( mengitung P dari nilai F)
P=
F
( 1+i)n
Rumus ini digunakan jika perhitungan
bunganya setahun sekali
25
Kalau perhitungan bunga lebih dari sekali
setahun maka digunakan rumus :
P=
F
( 1+i)mn
m
26
Contoh :
Jika seorang nasabah menginginkan uang
yang didepositokannya selama lima tahun
menjadi berjumlah Rp. 20 Jt, dengan
tingkat suku bunga konstan 11 %
pertahun dan dibungakan setiap tahun,
berapa uang yang harus didepositokannya
sekarang ?
27
Diket :
F5 = 20.000.000
i=11% dan n=5
P= ?
Fn = P (1+i) n = P = Fn =
(1 +i)n
20.000.000
( 1,11 ) 5
P = 11,869,026.56
28
Jika hendak dibungakan tidak per-satu
tahun, misalnya tiap 6 bulan, hitunglah
berapa uang yang harus didepositokannya
sekarang ?
P = Fn
=
20.000.000 = 20.000.000
(1 + i )mn
(1 +0,055) 10 1,055 10
m
11,708,611.59
29
Latihan soal
1. Bapak Vecky seorang pengusaha, berharap
lima tahun kemudian akan mendapatkan laba
sebesar Rp. 25 jt.Jika tingkat bunga yang
berlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkan
secara kuartalan,berapa jumlah laba Vecky saat
ini ?
2. Arfina
ingin
menabung
uangnya
Rp.1.500.000,-di bank dengan tingkat bunga
15% pertahun.Berapa nilai uangnya setelah 10
tahun kemudian, jika dimajemukkan sacara
semesteran,bulanan dan kuartalan.
30
3. PERTUMBUHAN PENDUDUK
Penerapan deret ukur yang paling
konvensional dibidang ekonomi adalah
dalam hal penaksiran jumlah penduduk,
sebagaimana yang dikemukakan oleh
Malthus, penduduk dunia tumbuh
mengikuti pola deret ukur, secara
matematik hal tersebut dapat dirumuskan
:
Pn = Po ( 1 +r ) n
31
Dimana :
Pn = Jumlah penduduk tahun n
Po = Jumlah penduduk tahun o ( tahun
awal )
n = Jumlah tahun
r = Tingkat pertumbuhan penduduk
32
Contoh :
Penduduk kota A pada tahun 1990
berjumlah 1.000.000 jiwa. Jika tingkat
pertumbuhannya 2% pertahun. Hitunglah
jumlah penduduk kota tersebut tahun 1995
Diket :
Po = 1.000.000
r = 2% dan n = 5
Pn = Po (1+r)n = 1.000.000 (1.02)5 =
1,104,081
33
Contoh :
Penduduk sebuah kota Metropolitan
tercatat 3,25 Jt jiwa pada tahun 1998,
diperkirakan menjadi 4,5 jt jiwa tahun
2003. Jika tahun 1998 dianggap tahun
dasar, berapa persen pertumbuhan
penduduk pertahunnya. Dan berapa
jumlah penduduk tahun 2005
34
Diket :
Po=3,25 jt
Pn=4,5 jt
n=5
r=…. ?
Pn = Po ( 1 +r ) n
4,5 jt = 3,25 jt ( 1+r) 5
4,5 jt/ 3,25jt = ( 1+r) 5
1,38 = ( 1+r) 5 , 1+r = 5√ 1,38 = 1,06654
r= 1,06654 – 1, r=0,06654, r=6,65%
35
1. Tn X meminjam sejumlah uang Rp. 1.000.000
pada bank Y dengan perjanjian bahwa 3 tahun
kemudian X harus mengembalikan sejumlah
Rp. 1.650.000.Hitunglah berapa persen tingkat
bunga majemuk yang dibebankan pada Tn X
2. Dodi mendepositokan uangnya sejumlah
Rp.625.000 pada sebuah Bank yang memberi
bunga 7,5% tiap 6 bulan secara majemuk
selama jangka waktu tertentu.Agar pada akhir
jangka waktu tersebut Dodi akan menerima
jumlah tabungan Rp. 1.000.000.Hitunglah
selama
berapa
tahun
Dodi
harus
mendepositokan uangnya ?
36
Pertumbuhan Penduduk
• Penduduk suatu kota pada tahun 2000
benjumlah 1.000.000. Dengan tingkat
perumbuhan penduduk yang konstan setiap
tahun setelah 5 tahun kemudian jumlah
penduduk kota tersebut menjadi 1.104.080
jiwa.
Hitunglah
berapa
tingkat
pertumbuhan penduduk kota tersebut per
tahun ?
37