3-Matematika

MATEMATIKA DASAR
ARITMATIKA
BARISAN ARITMATIKA
1. BARISAN ARITMATIKA
 Sering disebut barisan hitung, adalah barisan
bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku
sebelumnya dengan menambah atau mengurangi
suatu bilangan tetap
 Bilangan tetap tersebut disebut pembeda (selisih
antara dua suku berurutan)
 Suku pertama ditulis U1, sedangkan suku ke-n ditulis
Un dan Pembeda ditulis b
 Pembeda positif disebut barisan naik,sedang
pembeda negatif disebut barisan turun
Contoh
Barisan aritmatika: 3,7,11,15,...
U1 =3 , U2 =7
b = 7-3 = 4
2. Barisan bilangan :26,23,19,16,...
1.
2. RUMUS SUKU KE-n BARISAN ARITMATIKA
atau
Keterangan
Un = Suku ke-n
U1 = a = Suku pertama
b = pembeda
Contoh
Tentukan suku ke-21 dari barisan
aritmatika:17,15,13,11,...
 a=17 ; b=(-2) ; n= 21
 U21 = 17+ (21-1)(-2) = (-23)
2. Diketahui suku ke-1 barisan aritmatika adalah 6
dan suku kelimanya 18,tentukan pembedanya!
1.
3. RUMUS SUKU TENGAH BARISAN
ARITMATIKA
 Jika banyaknya suku ganjil, suku yang ditengah
disebut suku tengah (Ut )
DERET ARITMATIKA
 Deret diartikan sebagai jumlah dari suku2 suatu
barisan bilangan
 Perhatikan barisan aritmatika 3,5,7,9,...
dari barisan tersebut dapat dibuat deret
aritmatika:
Sn = 3 + 5 + 7 + 9 + ...
dengan demikian jika diketahui barisan bilangan
aritmatika: U1 , U2 ,..., Un maka dapat dibuat
menjadi deret aritmatika:
Sn = U1 + U2 +...+ Un
 Rumus jumlah n suku pertama dari deret
aritmatika :
atau
 Dimana setiap deret aritmatika berlaku:
CONTOH
1.


Diket deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + ...
Jumlah 16 suku pertama adalah:
Berarti a = 3 ; b = 7- 3 = 4
Jadi
BARISAN GEOMETRI
1. DEFINISI
 Barisan geometri atau barisan ukur adalah
barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari
suku sebelumnya dengan mengalikan dengan suatu
bilangan tetap yang tidak sama dengan nol.
 Bilangan tetap tersebut disebut pembanding atau
rasio (p)
2. RUMUS SUKU KE-n BARISAN GEOMETRI
atau
Keterangan:
U1 = a = suku ke-1
Un = suku ke-n
p = pembanding
CONTOH
1.


1.
Carilah suku ke-11 dari barisan 2,6,18,...
a=2 ; p= 6/2=3
Maka
Jika suku ke-1 dari barisan geometri adalah 27 dan
suku ke-4 sama dengan 1, tentukan
pembandingnya?
DERET GEOMETRI
BEBERAPA PENGERTIAN DERET
1. Deret berhingga (Sn)
Adalah deret yang banyaknya suku berhingga,atau
disebut jumlah n suku pertama
2. Deret tak terhingga ()
 adalah deret yang diperoleh dari suatu barisan tak
hingga, atau disebut jumlah sampai tak terhingga
suku2 barisan tak hingga

 Rumus jumlah suku yang pertama barisan
geometri :
rumus berlaku untuk 0< p< 1 , sedangkan untuk p
yang lain berlaku
CONTOH
1.

Diket deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + ...
tentukan jumlah 9 suku pertama dari deret
tersebut!
p = 6/2 =3 ; a= 2
ALJABAR
BENTUK ALJABAR
 adalah suatu bentuk matematika yang dalam
penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili
bilangan yang belum diketahui
 Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk
menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharihari.
BENTUK ALJABAR (2)
1.


Persamaan Persamaan Linier 1 variabel
Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan
pangkat satu.
Contoh:
X + 3 = 10.
X + 3 – 3 = 10 – 3 (sama sama dikurangi dengan
bilangan yang sama yaitu 3)
X=7
BENTUK ALJABAR (3)
2. PertidaksamaanPertidaksamaan Linier 1 variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat
terbuka yang memiliki tanda <,>, Pada persamaan
linear berlaku ruas kiri dan kanan dapat ditambah,
dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama
,jika variabel bertanda minus, harus diganti
menjadi positif dengan mengali bilangan negatif
dan membalikan tanda.
UNSUR-UNSUR ALJABAR
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor



Variabel : lambang pengganti suatu bilangan
yang belum diketahui nilainya dengan jelas
Konstanta : suku dari suatu bentuk aljabar yang
berupa bilangan dan tidak memuat variabel
Faktor : bagian dari bentuk yang diuraikan
UNSUR-UNSUR ALJABAR (2)
Perhatikan bentuk 12a + 2b + 3c + 8
 Variabel : a, b, c
 Konstanta : 8
 Faktor dari 2b => 1, 2, b, 2b
2b = 2 . b
=1.2.b
UNSUR-UNSUR ALJABAR (3)
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis



Suku : variabel beserta koefisiennya atau
konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan
oleh operasi jumlah atau selisih
Suku Sejenis : suku yang memiliki variabel dan
pangkat dari masing-masing variabel yang sama
(2a dan 3a)
Suku Tak Sejenis : suku yang memiliki variabel
dan pangkat dari masing-masing variabel yang
tidak sama ( 2x dan 2x2 )
UNSUR-UNSUR ALJABAR (4)
 Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak
dihubungkan oleh operasi jumlah dan selisih. contoh
: 2x, 4y, …
 Suku dua merupakan bentuk aljabar yang
dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
contoh : 2x-4y, a²-5, …
 Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang
dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.
contoh : 2x²+3x-1, 3x+4y-xy, …
OPERASI HITUNG ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk


Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan
pengurangan hanya dapat dilakukan pada sukusuku yang sejenis.
Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada sukusuku yang sejenis.
OPERASI HITUNG ALJABAR (2)
2.


Perkalian
Berlaku sifat distributif perkalian terhadap
penjumlahan, yaitu a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
Berlaku sifat distributif perkalian terhadap
pengurangan, yaitu a . (b – c) = (a . b) – (a . c)
OPERASI HITUNG ALJABAR (3)
3. Perpangkatan

Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian
berulang dengan bilangan yang sama
OPERASI HITUNG ALJABAR (4)
4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat diperoleh
dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu
masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian
melakukan pembagian pada pembilang dan
penyebutnya.
OPERASI HITUNG ALJABAR (5)
5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan
dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan
pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
OPERASI HITUNG ALJABAR (6)
6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar
 Kelipatan Persekutuan terKecil
 Faktor Persekutuan terBesar
 Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan:
 Bilangan prima
bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor
yaitu bilangan itu sendiri dan 1,
yaitu {2,3,5,7,11,.....}.
 Faktorisasi prima
Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktorfaktor prima. Untuk melakukan faktorisasi
prima ini diperlukan pohon faktor.
 Carilah KPK dan FPB dari 12pq dan 8pq2
12pq = 22 X 3 X p X q
8pq2 = 23 X p X q2
 Carilah KPK dan FPB dari 12pq dan 8pq2
12pq = 22 X 3 X p X q
8pq2 = 23 X p X q2
KPK = 23 X 3 X p X q2
= 24pq2
FPB = 22 X p X q
= 4pq
PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling
sederhana apabila pembilang dan penyebutnya
tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan
penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk
menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat
dilakukan dengan cara membagi pembilang dan
penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari
keduanya.
PECAHAN BENTUK ALJABAR (2)
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan
Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
b. Perkalian dan pembagian
c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
a. Penjumlahan dan pengurangan
 Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada
pecahan diperoleh dengan cara menyamakan
penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau
mengurangkan pembilangnya. Untuk menyamakan
penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebutpenyebutnya.
 Contoh:
=
b. Perkalian dan pembagian
 Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda
dengan perkalian bilangan pecahan.
 Contoh:
c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
 Operasi perpangkatan merupakan perkalian
berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga
berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar
 Contoh :
Contoh Soal
1.
Nadia mengendarai sepeda motor dengan
kecepatan 40 km/jam. Dari tempat yang sama,
sejam kemudian Sinta mengenderai sepeda motor
ke arah yang sama dengan kecepatan 56 km/jam.
Tentukan setelah berapa jam perjalanan Sinta
menyalip atau mendahului Nadia.
2.
Irwansyah mempunyai selembar seng dengan
panjang 80 cm dan lebar 60 cm. Ia ingin
mengecilkan seng tersebut dengan memotong
panjang dan lebarnya sama besar sehingga luas
seng yang diperoleh menjadi setengah luas mulamula. Berapa panjang dan lebar seng yang harus
dipotong?
3. Dalam suatu pertandingan harga karcis
pada kelas utama dijual Rp 25.000.- per orang,
sedangkan kelas ekonomi Rp.10.000,-. Jika
banyak karcis yang terjual 860 lembar, dengan
pemasukan Rp. 13,4 juta, tentukanlah jumlah
penonton kelas utama.
GEOMETRI DAN
PENGUKURAN
DEFINISI
 Geometri adalah bagian matematika yang
mempelejari bentuk-bentuk. Abstaksi dalam dunia
nyata adalah tiga dimensi – panjang, lebar dan tinggi
– dan secara umum meniadakan kualitas lain seperti
warna atau kasar atau halusnya permukaan
GEOMETRI DATAR
K0NSEP DASAR
1. Definisi Ruas Garis

Jika titik A dan B pada garis AB, maka ruas AB
adalah himpunan yang terdiri dari titik A, titik B
dan semua titik yang terletak di antara A dan B.
K0NSEP DASAR
2. Definisi Kesejajaran
 Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika
kedua garis tersebut tidak mempunyai titik sekutu
(titik potong).
K0NSEP DASAR
3. Definisi Aksioma Kesejajaran
 Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada
tepat satu garis h yang sejajar dengan g.
SUDUT
 Sudut berkaitan dengan besar putaran.
 Untuk mengukur panjang suatu benda dapat
menggunakan penggaris berskala, akan tetapi untuk
menghitung sudut, dapat menggunakan busur
derajat untuk menghitung sudut ( busur derajat).
1. Sudut Suplemen (Pelurus), maka dikatakan
AOC suplemen COB, atau COB suplemen 
AOC
2. Dua Sudut Kongruen , AOB kongruen dengan
CPD (biasanya ditulis sebagai: AOB CPD)
3. Sudut Siku-siku, Sudut siku-siku adalah sudut
yang kongruen dengan suplemennya. AOC COB
dan AOC suplemen COB, maka AOC dan COB
masing-masing merupakan sudut siku-siku
LINGKARAN
 Lingkaran L, dengan pusat O dan jari-jari r adalah
himpunan kedudukan titik-titik P yang berjarak
sama dari O, yaitu panjang OP = r.
POLIGON
 Poligon-n A1A2A3 … An, adalah himpunan titik yang terdiri
semua titik pada ruas A1A2A3 ... An–1 An , yang membatasi
suatu daerah cembung. Titik A1,A2, ... , An masing-masing
disebut titik sudut dan ruas , , … , masing-masing disebut
sisi dari poligon tersebut.
 Poligon-n beraturan A1A2 A3 …. An adalah poligon-n
yang bersifat A1A2  A2A3  …  An-1An dan A1  A2
 …  An.
SEGITIGA
 Segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi
 Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga
tersebut.
 Tinggi harus tegak lurus dengan alas sekawan
dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan
alas. Dan harus Anda ketahui bahwa jumlah sudutsudut suatu segitiga adalah 1800.
JENIS-JENIS SEGITIGA
a. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisisisinya
•
•
•
Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama
panjang.
Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang
sama panjang.
Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang.
b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutsudutnya
•
•
•
Segitiga Lancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan
sudut lancip.
Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.
Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul.
KELILING SEGITIGA
 Keliling suatu segitiga adalah jumlah keseluruhan
panjang sisi yang membentuk segitiga. Jika
panjang sisi-sisi segitiga masing-masing adalah a,
b, dan c, maka keliling segitiga tersebut adalah:
 Keliling Segitiga, K = a + b + c
LUAS SEGITIGA
 Luas segitiga
=
=
× alas × tinggi
×a×t
SEGI EMPAT
 Segi empat adalah poligon yang memiliki empat sisi.
 Terdapat pula beberapa segiempat yang memiliki
sifat-sifat istimewa, seperti halnya: persegi,
persegipanjang, jajargenjang, belahketupat, layanglayang, dan trapesium.
Persegi Panjang
 Keliling
:
 Luas
:
2. Persegi
 Keliling
:
 Luas
:
3. Jajaran Genjang
 Luas
:
1.
4. Belah Ketupat
 Luas :
5. Layang-layang
 Luas :
6. Trapesium
 Luas :
GEOMETRI RUANG
KONSEP
 Ruang dalam arti sempit terbentuk oleh adanya
banyak bidang (minimal empat bidang). Kumpulan
bidang tersebut terdapat istilah-istilah titik sudut,
sisi,dan rusuk
LIMAS
 Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh
daerah polygon (yang disebut alas)
KERUCUT
 Kerucut merupakan bentuk limas dengan alasnya
berbentuk lingkaran, atau merupakan benda putar dari
bidang segitiga.
 r = jari-jari lingkaran
s = panjang garis pelukis (panjang dari alas ke puncak kerucut).
t= tinggi kerucut
PRISMA
 Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh
dua daerah polygon kongruen yang terletak pada
bidang sejajar
TABUNG
 Tabung merupakan benda ruang yang terbentuk
oleh dua buah bidang yang berbentuk lingkaran
dan sebuah bidang segiempat
KUBUS
 Kubus adalah benda ruang yang memiliki enam
bidang persegiempat (bujursangkar) yang sama
dan sebangun
BALOK
 Suatu balok terbentuk oleh tiga pasang bidang
segiempat
BOLA
 benda putar dari bidnag yang berbentuk lingkaran
PELUANG, PERMUTASI,
KOMBINASI
PERMUTASI
 Permutasi merupakan penyusunan kumpulan
angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang
berbeda tanpa ada pengulangan
 Dalam permutasi urutan diperhatikan
Contoh
 Diberi 5 angka 3,4,5,6, dan 7 , buat angka yang
terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang
berapa banyak bilangan bisa dibuat?
 Jawab :
5!/ ((5-3)! = 20
 Diberi 5 angka 3,4,5,6, dan 7 , buat angka yang




terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang
berapa banyak bilangan > 400 yang bisa dibuat?
Jawab:
karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak
pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7
karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan
ketiga masing-masing bisa diisi 4 angk dan 3 angka
jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 =
48 angka
 Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat
dengan menyusun unsur secara melingkar menurut
arah putaran tertentu.
 Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n1) !
Contoh
 5 anak ingin makan bersama secara melingkar.
Berapa cara untuk menyusunnya?
 Jawab : (5-1)! = 24 = 12
 Catatan: untuk obyek sejenis (dianggap sama persis)
 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar.
Berpa cara untuk menyusunnya?
Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12
KOMBINASI
 Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan
tidak memperhatikan urutannya
 Misal, diminta memilih 3 orang diantara 5 orang
yang hadir untuk melakukan wawancara kerja
terlebih dahulu?
Contoh
 Komandan batalyon diminta memilih 3 tentara
diantara 5 untuk berangkat ke medan perang tanpa
melihat siapa yang akan dikirim. Berapa carakah?
 Jawab :
5!/ 3!(5-3)! = 10 cara
PELUANG MATEMATIKA
Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang
mungkin muncul dari suatu percobaan disebut ruang sampel.
Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel
atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian
dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam
sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A
) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua
angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
1.
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
 Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang
mungkin dan masing-masing berkesempatan sama
untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini
terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka
peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus
Contoh
 Pada percobaan pelemparan 2 dadu, tentukanlah
peluang percobaan kejadian muncul bilangan
jumlahnya 3!
Jawab : S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16,...,61} maka n ( S )
= 36
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan
jumlahnya 3, maka:
A = {12,21} dan n ( A ) = 2
 P(A) = 2/36 = 1/13
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
 Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang
sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k
 Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval
tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol
dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang
peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
 Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang
sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi
harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x
P( A ).
Contoh
 Pada percobaan pelemparan 2 dadu dilempar
sebanyak 49 kali, tentukanlah peluang percobaan
kejadian muncul bilangan jumlahnya 3!
Jawab : S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16,...,61} maka n ( S )
= 36
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan
jumlahnya 3, maka:
A = {12,21} dan n ( A ) = 2
 P(A) = 2/36 = 1/13
 Frekuensi = 49 * 1/13 = 3