BAB 2 : Vektor oleh Vita Nuriyanti

BAB 2
VEKTOR
A. BESARAN VEKTOR
Secara sederhana pengertian vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh
dari besaran ini misalnya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya. Untuk
menggambarkan vektor digunakan garis berarah yang bertitik pangkal. Panjang anak panah
mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor.imbol
vektor menggunakan huruf kapital yang dicetak tebal (bold) atau miring dengan tanda
panah di atasnya seperti gambar berikut:
PENGURAIAN
Jika beberapa vektor dapat menghasilkan satu vektor resultan, maka satu vektor dapat kita
uraikan menjadi 2 vektor yang saling tegak lurus pada masing-masing sumbunya. Contohnya
vektor dapat diuraikan atas sumbunya x dan y. Lihat gambar berikut,
Persamaan persamaan di atas dapat digunakan untuk menghitung resultan dari 3 atau lebih
vektor
Notasi
Gambar 1. Beberapa contoh gambar dan notasi vektor.
Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor. Besar sebuah vektor
dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya dengan memberi tanda mutlak (||) atau
dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar
vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap
arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan
terhadap sumbu-x positif. Gambar 2. memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan
arah masing-masing membentuk sudut 45°, 90°, dan 225° terhadap sumbu-x positif.
Gambar 2. Arah vektor dinyatakan oleh sudut yang dibentuknya terhadap sumbu positif.
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Dalam sistem koordinat terdapat 3
macam vektor satuan yaitu :
a. Vektor satuan dalam arah sumbu x diberi simbol Î
b. Vektor satuan dalam arah sumbu y diberi simbol ĵ
c. Vektor satuan dalam sumbu z diberi simbol k
vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang
didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang masing masing menyatakan
vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.
Sehingga vektor a dapat ditulis :
a = ax i + ay j
dan besar vektor a adalah :
a = √𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2
B. OPERASI VEKTOR
Penjumlahan Vektor
Inti dari operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponenkomponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya atau
secara sederhana berarti mencari resultan dari 2 vektor. Aga susah memang dipahami dari
definisi tertulis. Kita coba memahaminya dengan contoh
Untuk vektor segaris, resultannya
R = A + B + C + n dst…
untuk penjumlahan vektor yang tidak segaris misalnya seperti gambar di bawah ini
rumus penjumlahan vektor bisa didapat dari persamaan berikut
Menurut aturan cosinus dalam segitiga,
(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2(OP)(PR) cos (180o – α)
(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2(OP)(PR) -(cos α)
(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 + 2(OP)(PR) cos α
Jika OP = A, PR = B, dan Resultan ‘R’ = OR
maka didapat persamaan
R2 = A2 + B2 + 2AB cos α
Rumus menghitung resultan vektornya
Dalam penjumlahan vektor bisa menggunakan 2 cara
1. Penjumlahan Vektor dengan cara Jajar Genjang (Pararelogram)
yaitu seprti yang dijelaskan di atas. Metode yang digunakan adalah dengan mencari diagonal
jajar genjang yang terbentuk dari 2 vektor dan tidak ada pemindahan titik tangkap vektor.
2. Penjumlahan Vektor dengan Cara Segitiga
pada metode ini dilakukan pemindahan titik tangka vektor 1 ke ujung vektor yang lain
kemudian menghubungkan titi tangkap atau titik pangkal vektor pertama dengn titik ujung
vektor ke dua. Lihat ilustrasi gambar di bawah ini.
Untuk vektor yang lebih dari 2, sama saja. Lakukan satu demi satu hingga ketemu resultan
akhirnya. Dari gambar di atas, V = A + B dan R = V + C atau R = A + B + C
Pengurangan Vektor
Pengurangan Vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, cuma yang membedakan
adalah ada salah satu vektor yang mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya vektor A
bergerak ke arah timur dan B bergerak ke arah barat maka resultannya
R = A + (-B) = A – B
Rumus Cepat Vektor
berikut rumus cepat panduan mengerjakan soal vektor fisika
Jika α = 0o maka R = V1 + V2
Jika α = 90o maka R = √(V12 + V22)
Jika α = 180o maka R = | V1 + V2 | –> nilai mutlak
Jika α = 120o dan V1 = V2 = V maka R = V
Penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain
memiliki nilai, juga memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa
vektor disebut vektor resultan.
Berikut ini akan dibahas metode-metode untuk menentukan vektor resultan.
1. Resultan Dua Vektor Sejajar
Misalnya, Anda bepergian mengelilingi kota Palu dengan mengendarai sepeda motor. Dua
jam pertama, Anda bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah
istirahat secukupnya, Anda kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur sejauh 30 km lagi.
Di lihat dari posisi asal, Anda telah berpindah sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke
timur. Dikatakan, resultan perpindahan Anda adalah 80 km ke timur. Secara grafis,
perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Menjumlahkan dua vektor searah.
Sedikit berbeda dengan kasus tersebut, misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke
timur, Anda kembali lagi ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan Anda
menjadi 50 km – 30 km = 20 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda diperlihatkan
pada Gambar 4.
Gambar 4. Menjumlahkan dua vektor berlawanan arah.
Dari kedua contoh, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3. dan Gambar 4, menjumlahkan
dua buah vektor sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis, resultan
dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor
resultan R, adalah
R = |A+B|
(1-1)
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor
tersebut berlawanan, besar resultannya adalah
R = |A-B|
(1-2)
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.
2. Resultan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Misalnya, Anda memacu kendaraan Anda lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian
berbelok tegak lurus menuju utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan Anda seperti
diperlihatkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Menjumlahkan dua vektor yang saling tegak lurus.
Besar resultan perpindahannya, r, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai
berikut :
dan arahnya
terhadap sumbu-x positif (atau 37° dari arah timur).
Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus akan
menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya :
(1-3)
dengan arah
(1-4)
terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbux.
3. Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang
diperlihatkan pada Gambar 6 (a). Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara
menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal
vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan
ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan
pada Gambar 6 (b).
Gambar 6. (a) Vektor A dan vektor B mengapit sudut. (b) Menggambarkan vektor resultan
dari vektor A dan vektor B.
Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut.
Perhatikan Gambar 7. Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C
tegak lurus vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari
vektor A dan B, yakni R.
Gambar 7. Menentukan besar resultan dua buah vektor secara analitis.
Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah :
Selanjutnya, juga dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar diperoleh :
C2 + D2 = B2
Dan
dari
trigonometri
Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya
vektor resultan R.
(1-5)
4. Selisih Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Vektor A dan vektor -A, memiliki besar yang sama, yakni |A| = |–A| = A, tetapi arahnya
berlawanan seperti diperlihatkan pada Gambar 8.
Gambar 8. Vektor A Negatif dari sebuah vektor A.
Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor A – B, secara grafis sama dengan jumlah antara
vektor A dan vektor –B, seperti diperlihatkan pada Gambar 9.
Gambar 9. Selisih dua buah vektor.
Secara matematis, vektor selisihnya ditulis R = A – B.
Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari Persamaan (1–5) dengan mengganti θ
dengan 180–θ. Oleh karena, cos (180° – θ ) = –cosθ sehingga diperoleh :
(1-6)
Catatan Fisika :
cos (180 – θ ) = –cosθ. Hal ini dikarenakan cos (180 – θ) sama dengan cos(180) cosθ + sin
(180) sin θ di mana nilai cos (180) = –1 dan nilai sin (180) = 0.Bagaimana jika cos (180 + θ
)? Apakah sama dengan –cosθ ?
5. Melukis Resultan Beberapa Vektor dengan Metode Poligon
Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnya berbeda seperti
diperlihatkan pada Gambar 10 (a), resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan
metode poligon, yakni sebagai berikut.
a. Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada
ujung vektor B.
b. Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan
ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C.
Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 10 (b).
Gambar 10. Menggambarkan resultan beberapa vektor dengan metode poligon.
Secara matematis, vektor resultan pada Gambar 10. ditulis sebagai berikut.
R=A+B+C
6. Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor hasil penjumlahan beberapa buah vektor yang hasilnya nol. Sebagai
contoh, lima buah vektor, A, B, C, D, dan E, menghasilkan resultan sama dengan nol maka
secara matematis ditulis
A+B+C+D+E=0
Dengan menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut diperlihatkan
seperti pada Gambar 11. Perhatikan bahwa ujung vektor terakhir (vektor E) bertemu kembali
dengan titik pangkal vektor pertama (vektor A).
Gambar 11. Penjumlahan lima buah vektor yang menghasilkan vektor nol.