Optimasi Ekonomi - Blog UB

Tugas Tersturtur Mata Kuliah Ekonomi Manajerial
Resume Bab “Optimasi Ekonomi”
Kelompok 2
1. Pupun Sofiyati
115030201111037
2. Isty Puji H
115030205111004
3. Della Herlita
115030207111046
Fakultas Ilmu Administrasi
Jurusan Administrasi Bisnis
Universitas Brawijaya
Malang
Optimasi Ekonomi
A. Memaksimasi nilai perusahaan
Tujuan pokok manajemen adalah memaksimumkan nilai perusahaan.
Tujuan ini di rumuskan dalam bentuk persamaan :
TR – TC
(1+i)t
Memaksimumkan persamaan seperti diatas mencakup beberapa faktor,
yaitu Penerimaan. Biaya, dan Tingkat diskonto tiap tahun pada masa yang akan
datang.
Penerimaan total (TR) suatu perusahaan secara langsung ditentukan
oleh jumlah produk yang terjual dan harga jualnya. Berarti TR adalah harga
pokok (P) dikalikan dengan kuantitas (Q) atau TR= P x Q. Faktor2 yang
mempengaruhinya yaitu: pemilihan produk yang dirancang perusahaan,
pengolahannya, dan penjualannya; strategi periklanan yang digunakan;
kebijakan harga yang ditetapkan; bentuk perekonomian yang dihadapi; dan sifat
persaingan yang ada dipasar. Jadi penerimaan mempertimbangkan permintaan
maupun penawaran.
Analisis biaya memerlukan penelaahan sistem-sistem produksi alternatif,
pilihan-pilihan teknologi, kemungkinan-kemungkinan input yang digunakan, dst.
Harga faktor-faktor produksi berperanan penting dalam penentuan biaya, dan
oleh karena itu masalah penawaran faktor-faktor produksi juga penting untuk
dipertimbangkan.
Adapula hubungan antara tingkat diskonto dengan product mix, asset
fisik, dan struktur keuangan suatu perusahaan. Faktor-faktor ini mempengaruhi
biaya dan tersedianya sumber daya keuangan bagi perusahaan tersebut, dan
akhirnya menentukan tingkat diskonto yang digunakan oleh para investor untuk
menetapkan nilai untuk perusahaan tersebut.
Untuk menentukan tindakan yang optimal, maka keputusan berkenaan
dengan pemasaran, produksi, dan keuangan harus seperti halnya dengan
keputusan-keputusan yang berhubungan dengan SDM, distribusi produk, dll
digabungkan dalam suatu sistem yang terpadu dimana setiap tindakan akan
mempengaruhi seluruh bagian perusahaan tersebut. Untuk keputusan seharihari, teknik optimisasi parsial yang lebih sederhana sering digunakan.
Optimisasi parsial menyarikan komplesitas dari proses pengambilan keputusan
yang terpadu itu dan hanya memusatkan kepada tujuan-tujuan yang lebih
terbatas didalam berbagai departemen dari perusahaan tersebut. Misalnya,
departemen pemasran seringkali diharuskan untuk menetapkan biaya
periklanan minimum yang bisa mencapai tujuan penjualan, sesuai dengan lini
produk (produk line) perusahaan dan kendala-kendala harga pasar. Sama juga
halnya, departemen produksi diharapkan untuk meminumkan biaya produksi
dengan kualitas yang sama, hal ini untuk mencapai keputusan yang optimal.
Proses pengambilan keputusan yang rumit, baik dalam masalah optimasi
terpadu ataupun parsial terjadi dalam dua tahap. Pertama, seseorang harus
menyajikan hubungan ekonomi tersebut dalam satu bentung yang bisa
dianalisis, ini berarti bahwa penyajian masalah tersebut dalam hubungan
analitis. Kedua, seseorang harus menerapkan berbagai teknik untuk
menentukan penyelesaian yamg optimal.
B. Metode Penyajian Hubungan Ekonomi
Hubungan-hubungan ekonomi seringkali disajikan dalam bentuk
persamaan, tabel, dan grafik. Mungkin cara yang paling mudah untuk
mempelajari hubungan ekonomi dan memahami optimasi ekonomi adalah
dengan menelaah beberapa bentuk hubungan fungsional yang berperan
penting dalam model dasar penilaian.
 Model Persamaan
Perhatikan hubungan antara jumlah produk yang dijual (Q) dengan
penerimaan total (TR). Dengan menggunakan notasi fungsional, hubungan
tersebut dapat dituliskan seperti berikut: TR = f(Q)
Nilai dari variabel dependen (TR) ditentukan oleh variabel independen
(jumlah produk yang terjual atau Q); persamaan tersebut hanya menunjukan
adanya suatu hubungan. Namun suatu hubungan fungsional yang lebih khusus
diberikan oleh persamaan:
TR = P x Q
Disini P menunjukan harga tiap unit yang terjual, dan hubungan antara variabel
dependen dengan variabel independen ditetapkan secara tepat.
 Model Tabel dan Grafik
Selain model persamaan, model tabel dan grafik seringkali digunakan untuk
menyajikan hubungan-hubungan ekonomi. Contoh nya pada tabel 2.1 tabel ini
menunjukan hubungan fungsional yang sama dengan persamaan TR = P x Q
serta gambar 2.1 yang menyajikan grafik berdasarkan pada persamaan
tersebut.
Tabel 2.1
Hubungan Antara TR dengan Q :
TR = P x Q (dimana nilai P adalah konstan Rp 150,00)
Jumlah unit yang terjual
Total Revenue (TR)
1
Rp 150,00
2
Rp 300,00
3
Rp 450,00
4
Rp 600,00
5
Rp 750,00
6
Rp 900,00
Gambar 2.1
Grafik Hubungan Antara TR dengan Q
C. Hubungan Antara Nilai Total, Rata-Rata, dan Marginal
Hubungan marginal didefinisikan sebagai perubahan variabel dependen dari
suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah satu variabel independen
sebesar satu unit. Dalam fungsi TR, penerimaan marginal (MR) adalah
perubahan penerimaan total yang disebabkan oleh perubahan satu unit barang
yang dijual.
Tabel 2.2
Hubungan Antara Nilai Total, Marginal, dan Rata-Rata Untuk Sebuah
Fungsi Laba
Q
Laba Total
Laba Marginal
Laba Rata-Rata
0
Rp 0
-
-
1
Rp 19
Rp 19
Rp 19
2
Rp 52
Rp 33
Rp 26
3
Rp 93
Rp 41
Rp 31
4
Rp 136
Rp 43
Rp 34
5
Rp 175
Rp 39
Rp 35
6
Rp 210
Rp 35
Rp 35
7
Rp 217
Rp 7
Rp 31
8
Rp 208
Rp -9
Rp 26
 Hubungan Antara Nilai Total dengan Marginal
Hubungan antara nilai total dengan marginal dalam anaisis pengambian
keputusan berperan penting, karena jika nilai marginal tersebut negatif, maka
nilai total akan menurun.
Data pada tabel 2.2 menjelaskan bahwa laba marginal pada output 1
sampai output 7 adalah postif, dan aba total meningkat jika output meningkat
pada kisaran output tersebut. Namun karena pada output ke 8 pada laba
marginal menunjukan nilai yang negatif, maka laba akan menurun jika output
dinaikan mencapai tingkat tersebut. Hal ini terjadi karena memaksimasi fungsi
aba atau apa saja terjadi pada titik dimana hubungan marginal bergeser dari
positif ke negatif.
 Hubungan Antra Nilai Rata-Rata dengan Marginal
Hubungan antara nilai rata-rata dengan nilai marginal juga penting dalam
analisis pembuatan keputusan manajerial. Hal ini disebabkan karena nilai
marginal menunjukan perubahan dari nilai total, maka jika nilai marginal
tersebut lebih besar dari nilai rata-rata, maka nilai rata-rata tersebut sedang
menaik.
Data pada tabel 2.2 menunjukan untuk ouput yang ke 2 sampai yang ke 5,
laba marginal lebih besar dari laba rata-rata, dan pada setiap tingkat output
laba rata-rata meningkat, walaupun dari unit output yang ke 4 ke unit output 5
laba marginal turun dari Rp 43 menjadi Rp 39, tetapi laba marginal tersebut
masih lebih besar laba rata-rata pada tingkat output sebanyak 4 unit (Rp 34).
Oleh karena itu, sepanjang nilai marginal itu berada diatas nilai rata-rata, maka
nilai rata-rata tersebut akan naik. Laba marginal pada output sebanyak 6 unit
adalah Rp 35, sama dengan laba rata-rata pada 5 unit, demikian pula laba ratarata tidak berubah antara output sebesar 5 dan 6 unit. Akhirnya, laba marginal
dari output yang ke 7 dibawah laba rata-rata pada output sebesar 6 unit dan
menyebabkan laba rata-rata turun.
 Grafik yang menunjukan hubungan antaar nliai total, marginal, dan ratarata
Perhatikan bahwa kurva laba total naik dari titik asal menuju titik C. Oleh
karena, garis-garis yang digambarkan yang bersinggungan dengan kurva laba
total menjadi lebih curam jika titik singgung tersebut mendekati C, maka laba
marginal naik sampai titik singgung tersebut. Ini juga dilukiskan pada gambar
(b) dimana kurva laba marginal mengkat sampai pada tingkat output Q1, sama
dengan titik C pada kurva laba total. Pada titik C tersebut, slope kurva laba total
adalah maksimu. Oleh karena itu laba marginal adalah maksimum pada titik itu.
Antara titik C dan E laba total terus meningkat karena aba marginal masih tetap
postif walaupun sudah turun. Pada titik E kurva aba total berslope nol dan hal
ini berarti tidak terjadi kenaikan maupun penurunan laba. Oleh karena itu, laba
marginal pada titik E tersebut ( output Q3 pada gambar b) sama dengan nol
dan laba total menjadi maksimum. Setelah melampaui titik E kurva laba total
berslope negatif dan laba marginal menjadi negatif.
Selain hubungan nilai total rata-rata dan total marginal, hubungan antara
nilai marginal dengan rat-rata juga ditunjukan pada gambar (b). Pada tingkat
output yang rendah, dimana kurva laba marginal terletak diatas kurva laba ratarata, maka kurva laba rata-rata sedang menaik. Walaupun laba marginal
mencapai titik maksimum pada ouput Q1 dan kemudian turun, tetapi kurva laba
rata-rata terus meningkat sepanjang kurva laba marginal masih diatasnya.
Pada tingkat output Q2, laba marginal sama dengan laba rata-rata, dan pada
saat itu laba rata-rata mencapai nilai maksimumnya. Setelah melampaui otput
Q2, kurva laba marginal terletak di bawah kurva laba rata-rata, dan kurva laba
rata-rata tersebut mulai turun.
D. Kalkulus Deferensial
Walaupun tabel dan grafik bermanfaat untuk menjelaskan konsep hubungan
ekonomi, tetapi persamaan seringkali lebih cocok untuk digunakan dalam
proses pemecahan masalah. Salah satu alasannya adalah bahwa teknik
analisis kalkulus diferensial bisa digunakan untuk menemukan nilai maksimum
dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara efisien melalui analisis marginal.
Selain itu, konsep kalkulus dasar mudah dikembangkan untuk masalah
pengambilan keputusan dimana pilihan-pilihan yang ada bagi pembuatan
keputusan dibatasi oleh beberapa kendala.
Konsep Turunan
Kita telah mendefenisikan nilai marginal sebagai perubahan nilai variabel
dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit suatu variabel
independen. Perhatikan fungsi Y=f(X). Dengan menggunakan(data) sebagai
tanda perubahan, kita bisa menunjukkan perubahan nilai variabel independen
(X) dengan notasi ∆X dan perubahan variabel dependen (Y) dengan notasi ∆Y.
Perbandingan ∆Y/∆X menunjukkan suatu spesifikasi umum dari konsep
Δ𝑦
marginal : Marginal Y = Δ𝑥
Perubahan Y yaitu ∆Y dibagi dengan perubahan X yaitu ∆X menunjukkan
perubahan variabel dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit nilai
X.
Secara konseptual, suatu turunan(derivative) merupakan suatu spesifiksi
yang tepat dari hubungan marginal secara umum, ∆Y/∆X. Untuk mendapatkan
sebuah turunan kita harus mendapatkan nilai dari rasio ∆Y/∆X untuk suatu
perubahan variabel yang sangat kecil.
Notasi matematis untuk sebuah turunan adalah :
𝑑𝑦
Δ𝑦
= lim
𝑥→0 Δ𝑥
𝑑𝑥
Konsep turunan sebagai limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope
dari sebuah kurva pada sebuah titik. Gambar 2.4 menunjukkan konsep tersebut
dengan menggunakan kurva yang sama dengan gambar 2.3. perhatikan bahwa
pada gambar 2.4 slope rata-rata dari kurva tersebut antara titik A dan D dihitung
dengan cara berikut :
Δ𝑦 𝑌4 − 𝑌1
=
Δ𝑥 𝑋4 − 𝑋1
Dan ditunjukkan sebaga slope dari garis yang menghubungkan kedua titik
tersebut. Sama juga halnya, slope rata-rata dari kurva tersebut bisa dihitung
sepanjang interval-interval X yang semkain mengecil dan ditunjukkan oleh
garis-garis penghubung lainnya, seperti yang menghubungkan titik B dan C
dengan D. Pada limitnya jika X mendekati nol, maka perbandingan ∆Y/∆X
samadengan slope dari sebuah garis yang bersinggungan dengan kurva
tersebut pada titik D. Slope dari garis singgung ini didefinisikan sebagai
turunan( dY/dX) fungsi tersebut pada titik D; slope itu menunjukkan perubahan
marginal Y yng disebabkan oleh suatu perubahan X hyang sangat kecil pada
titik tersebut.
Gambar 2.4
Misalkan , variabel dependen Y adalah penerimaan total (TR), dan variabel
independen adalah output. Maka turunan dY/dx menunjukkan bagaimana
hubungan antara penerimaan dengan output pada suatu tingkat output tertentu.
Oleh karena perubahan penerimaan output didefinisikan sebagai penerimaan
marginal (MR), maka turunan TR samadengan MR tingkat output tertentu.
Keadaan yang sama terjadi untuk biaya total atau total cost (TC): turunan
fungsi TC pada setiap tingkat output menunjukkan biaya marginal atau marginal
cost (MC) ;pada output tersebut.
 KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI
Mencari turunan dari suatu fungsi bukanlah merupakan pekerjaan yang sulit.
Rumus-rumus atau kaidah-kaidah dasar untuk pendeferensiasian disajikan
dibawah ini.
a) KAIDAH KONSTANTA
Turunan dari konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y = sebuah konstanta,
maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0
Keadaan ini digambarkan pada gambar 2.5 untuk y=2. Oleh karena Y
didefinisikan sebagai konstanta, mala nilainya tidak berubah-ubah walaupun X
berubah, dan karena itu dY/dX pasti samadengan nol.
Gambar 2.5
b) KAIDAH PANGKAT
Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = a𝑋𝑏 , dimana a dan b merupakan
konstanta adalah samadengan pangkat (eksponen) b dikalikan dengan
koefisien a dikalikan dengan variabel X pangkat b-1 :
Y = a 𝑋𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= b.a. X (b-1)
c) KAIDAH PENJUMLAHAN DAN SELISIH
Notasi berikut ini akan digunakan terus sampai akhir bab ini untuk
menunjukkan sejumlah aturan diferensiasi :
U = g (X) : U adalah g fungsi X
V = h (X) : V adalah h fungsi X
Turunan dari suatu penjumlahan (atau selisih) sama dengan jumlah (atau
selisih) dari turuna secara individual. Oleh karena itu, jika Y = U + V maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑈
𝑑𝑋
𝑑𝑉
+ 𝑑𝑋
Misalkan, U= g(X) =2X², V = h(X)= -X³ dan Y= U + V = 2X² - X³
𝑑𝑦
Maka : 𝑑𝑥 = 4X – 3X²
Turunan fungsi yang pertama (2X²) samadengan 4X diperoleh melalui
kaidah pangkat; turunan fungsi yang kedua (-X³) samadengan 3X² diperoleh
dengan cara yang sama; dan turunan fungsi secara total merupakan jumlah
dari turunan-turunan dari bagian-bagiannya.
d) KAIDAH PERKALIAN
Turunan dari perkalian antara dua fungsi adalah samadengan fungsi yang
pertama dikalikan dengan turunan dari fungsi fungsi yang kedua, ditambah
dengan fungsi yang kedua dikaliakn fungsi yang pertama. Oleh karena itu, jika
Y = U . V maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑉
=𝑈
𝑑𝑉
𝑑𝑋
𝑑𝑈
+ V 𝑑𝑥
𝑑𝑈
Misalnya, jika Y = 3X² (𝑑𝑋 ) + (3-X) (𝑑𝑥 )
= 3X²(-1) + (3-X)(6X)
= -3X² + 18X – 6X²
= 18X – 9X²
Faktor yang pertama 3X² dikalikan dengan turunan dari faktor yang kedua 1, dan ditambah dengan faktor yang kedua (3-X) dikalikan dengan turunan
faktor yang pertama 6X.
e) KAIDAH HASIL BAGI
Turunan dari hasil bagi dari suatu fungsi adalah sama dengan penyebut
yang dikalikan dengan turunan pembilang, dikurangi dengan pembilang
dikalikan dengan turunan penyebut, dan kemudian semuanya dibagi dengan
penyebut kuadrat. Maka, jika Y = U/V, maka:
𝑑𝑈
𝑑𝑉
𝑉. 𝑑𝑋
– 𝑈. 𝑑𝑋
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑣2
f) KAIDAH RANTAI
Turunan sebuah fungsi dari sebuah fungsi diperoleh dengan cara. Jika Y = f
(U), dimana U =g(X), maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑌
𝑑𝑈
𝑑𝑈
+ 𝑑𝑋
Misalkan , Y = 2U - U², dan U =2X³, maka bisa mendapatkan dY/dX
dengan cara berikut :
Langkah 1
𝑑𝑌
𝑑𝑈
= 2 – 2U
Dengan mensubstitusikan nilai U diperoleh :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 – 2(2X³)
= 2 – 4X³
Langkah 2
𝑑𝑈
𝑑𝑋
= 6X²
Langkah 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑌
𝑑𝑈
x
𝑑𝑈
𝑑𝑋
= ( 2 – 4X³) 6X²
= 12X² - 24𝑋 5
E. Memaksimalkan dan meminimalkan fungsi
Jika suatu fungsi berada pada keadaan maksimum atau minimum, maka
slopenya atau nilai marginalnya pasti nol. Turunan suatu fungsi ditunjukkan
oleh slope atau nilai marginalnya pada suatu titik tertentu. Oleh karena itu,
maksimisasi atau minimisasi dari suatu fungsi terjadi jika turunannya sama
dengan nol.
Fungsi laba: 𝜋 = −10.000 + 400𝑄 − 2𝑄 2
Disini 𝜋 = laba total dan Q adalah jumlah output. Jika output sama dengan
nol, maka perusahaan tersebut akan rugi sebesar Rp10.000,00(biaya tetap
atau fixed cost adalah Rp10.000,00). Tetapi jika output menungkat, maka laba
juga akan meningkat. Titik impas atau break event point dicapai pada saat
output berjumlah 29 unit. Laba maksimum dicapai pada saat output sebesar
100 unit dan setelah itu laba menurun.
Tingkat output yang memaksimumkan laba bisa diperoleh dengan
menghitung nilai dari fungsi tersebut. Laba maksimum juga dapat diperoleh
dengan mendapatkan turunan(marginal) dari fungsi laba tersebut, kemudian
menentukan nilai Q yang membuat turunan(marginal) tersebut sama dengan
nol.
Laba Marginal:
M𝜋) =
𝑑𝜋
𝑑𝑄
= 400 – 4Q
Dengan menyamakan turunan tersebut sama dengan nol maka:
400-4Q
4Q
Q
= 0
= 400
= 100 unit
Oleh karena itu, jika Q=100, maka laba marginal sama dengan nol dan
laba total adalah maksimum.
Pembedaan Nilai Maksimum dengan Nilai Minimum
Masalah akan muncul jika turunan digunakan untuk menentukan nilai
maksimum atau minimum. Agar suatu fungsi menjadi maksimum atau
minimum, maka fungsi tersebut harus tidak dalam keadaan menaik atau
menurun, oleh karena itu slopenya harus sama dengan nol. Namum demukian,
karena nilai marginal akan menjadi nol baik untuk nilai maksimum maupun
minimum dari suatu fungsi, maka analisis selanjutnya perlu untuk menentukan
apakah nilai maksimum atau minimum tersebut telah ditemukan. Konsep
turunan kedua digunakan untuk membedaan nilai maksimum dengan minimum
dari suatu fungsi. Turunan kedua merupakan turunan dari turunan pertama.
Jika laba total ditunjukan oleh persamaan
𝜋 = 𝑎 𝑏𝑄 + 𝑐𝑄2 − 𝑑𝑄3
Turunan pertama yang merupakan fungsi laba:
𝑑𝜋
𝑑𝑄
= M𝜋 = −𝑏 + 2𝑐𝑄 − 3𝑑𝑄2
Turunan kedua dari fungsi laba total adalah turunan dari fungsi laba marginal:
𝑑2𝜋 𝑑𝑀𝜋
=
= 2𝑐 − 6𝑑𝑄
𝑑𝑄2
𝑑𝑄
Jika turunan pertama menunjukkan slope fungsi laba total, maka turunan
kedua tersebut menunjukkan slope dari turunan pertama tersebut yakni slope
dari kurva laba marginal. Kita bisa menggunakan turunan kedua tersebut untuk
membedakan titik maksimum dan minimum. Jika turunan kedua dari sebuah
fungsi negative maka titik yang ditentukan adalah maksimum, demikian
sebaliknya.
Sebuah contoh dengan bilangan akan memperjelas konsep ini. Misalkan
fungsi laba total ditunjukkan oleh fungsi berikut:
Laba total (𝜋) = −3000 − 2.400𝑄 + 350𝑄 2 − 8,333𝑄 3
Laba marginal ditunjukkan oleh turunan pertama dari laba total tersebut:
Laba marginal (m𝜋) =
𝑑𝜋
𝑑𝑄
= −2.400 + 700𝑄 − 25𝑄 2
Laba total akan maksimum atau minimum pada titik-titik di mana turunan
pertama tersebut(laba marginal) sama dengan nol, maka:
𝑑𝜋
= −2.400 + 700𝑄 − 25𝑄 2 = 0
𝑑𝑄
 Penggunaan Turunan Untuk Memkasimumkan Selisih Antara Dua
Fungsi
Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro adalah MR = MC agar laba
maksimum dapat dicapai. Contoh : perhatikan fungsi penerimaan, biaya, dan
laba berikut ini. Misalkan: TR = 41,5Q – 1,1𝑄 2 ; TC = 150 + 10Q – 0,5𝑄 2 +
0,02𝑄 3 ; Laba total = 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 , maka:
Tingkat output yang bisa memaksimumkan laba tersebut bisa diperoleh
dengan mensubtitusikan fungsi TR dan TC ke dalam fungsi laba, kemudian
menganalisis turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut.
𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶
𝜋 = 41,5 𝑄 − 1,1𝑄 2 − (150 + 10𝑄 − 0,5𝑄 2 + 0,02𝑄 3 )
= 41,5𝑄 − 1,1𝑄 2 − 150 + 10𝑄 + 0,5𝑄 2 − 0,02𝑄 3
𝜋 = −150 + 31,5𝑄 − 0,6𝑄 2 − 0,02𝑄 3
Laba marginal atau turunan pertama fungsi tersebut adalah:
𝑀𝜋 =
𝑑𝜋
= 31,5 − 1,2𝑄 − 0,06𝑄 2
𝑑𝑄
Dengan menentukan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan
rumus abc, kita dapat menemukan akar-akarnya yaitu Q1 = -35 dan Q2 = 15.
Karena output Q1 adalah negatif tidak mungkin terjadi, maka Q1 bukan
merupakan output yang bisa digunakan.
Suatu pengujian terhadap turunan kedua dan fungsi laba tersebut pada
tingkat Q=15 akan menunjukan apakah ini merupakan titik laba maksimum atau
titik laba minimum. Turunan kedua tersebut adalah:
𝑑2𝜋
𝑑𝑀𝜋
=
= −12 − 0.12𝑄
𝑑𝑄2
𝑑𝑄
Dengan memasukan nilai Q=15 pada persamaan tersebut, maka didapatkan
nilai Q yang baru sebesar -3, oleh karena itu Q=15 merupakan titik laba
maksimum.
Untuk melihat hubungan MR dan MC dengan memaksimasi laba,
perhatikan persamaan umum laba 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶, maka persamaan umum laba
marginal adalah M𝜋 = 𝑀𝑅 − 𝑀𝐶 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑀𝑅 = 𝑀𝐶
Dari contoh soal diatas, didapatkan :
MR =
𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄
= 41,5 − 2,2𝑄 ; MC =
𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄
= 10 − 𝑄 + 0,06𝑄 2
𝑀𝑅 = 41,5 − 2,2𝑄 = 10 − 𝑄 + 0,06𝑄 2 = 𝑀𝐶
Maka dari persamaan tersebut di peroleh hasil
−31,5 + 1,2𝑄 + 0,06𝑄 2 = 0
Akhirnya diperoleh Q1 = -35 dan Q2 = 15. Hal ini menunjukan bahwa MR = MC
pada tingkat output yang menghasilkan laba maksimum.
 Optimasi Fungsi dengan Variabel Majemuk
Kaidah untuk menentukan turunan parisal adalah sama dengan kaidah
dalam turunan yang sederhana. Karena konsep turunan parsial menggunakan
suatu asumsi bahwa semua variabel, kecuali satu variabel dimana turunan
tersebut diturunkan, tidak berubah.
Seperti persamaan Y = 10 – 4X = 3XZ – Z2 . dalam fungsi ini ada dua
variabel independen, yaitu X dan, oleh karena itu 2 turunan parsial bisa
dihitung. Untuk menentukan turunan tersebut pada X, maka persamaan
tersebut dapat di tuliskan kembali sebagai :
Y = 10 – 4X + (3Z)X – Z2
Karena Z dianggap konstan, maka turunan parsial Y pada X adalah :
𝜕𝑦
= 0 − 4 + 3𝑍 − 0
𝜕𝑥
= −4 + 3𝑍
Dalam menentukan turunan parsial Y dan Z, X dianggap konstan, maka kita
bisa tulis :
𝜕𝑦
= 3𝑋 − 2𝑍
𝜕𝑧
 Optimasi terkendala
Dalam proses pengambilan keputusan yang dihadapi para manajer, ada
beberapa kendala yang dihadapi para manajer, ada berbagai kendala yang
membatasi pilihan-pilihan yang tesedia bagi para manajer tersebut.
Masalah optimasi terkendala ini dapat dipecahkan dengan berbagai cara.
Dalam beberapa kasus, jika persamaan kendala tidak terlampau rumit, kita
mampu memecahkan persamaan kendala tersebut untuk salah satu dari
variabel- variabel pengambilan keputusan terlebih dahulu, kemudian
mensubtitusikannya ke dalam fungsi tujuan, apakah perusahaan tersebut
bertujuan memaksimumkan atau meminimumkan.
Misalkan perusahaan memproduksi produknya dengan menggunakan dua
pabrikanya dan bekerja dengan fungsi biaya total (TC) sbb:
𝑇𝐶 = 3𝑋 2 + 6𝑌 2 − 𝑋𝑌
Dimana output X merupakan hasil dari pabrik 1 dan Y merupakan hasil dari
pabrik 2. Manajer harus berusaha untuk menentukan kombinasi biaya
terrendah antara X dan Y dengan tunduk pada kendala bahwa produk total
harus 20 unit.
Kendala
𝑋 + 𝑌 = 20
Dengan menyelesaikan kendala X dan mensubtitusikan nilai tersebut kedalam
X = 20 – Y ; dan
fungsi tujuan, maka:
𝑇𝐶 = 3 (20 − 𝑌)2 + 6𝑌 2 − (20 − 𝑌)𝑌
= 3 (400 − 40𝑌 + 𝑌 2 ) + 6𝑌 2 − (20𝑌 − 𝑌 2 )
= 1.200 − 120𝑌 + 3𝑌 2 + 6𝑌 2 − 20 𝑌 + 𝑌 2
𝑇𝐶 = 1.200 − 140 𝑌 + 10 𝑌 2
Setelah mendapatkan fungsi TC yang telah di kombinasikan denga kendala,
maka fungsi tersebut diatas sebagai masalah minimasi tak- terkendala. Untuk
mencari berapa besar nilai X dan Y, maka kita harus menyamakan turunanya
sama dengan nol,
𝑑𝑇𝐶
= −140 + 20𝑌 = 0
𝑑𝑌
20𝑌 = 140
𝑌=7
X + 7 = 20
X = 13
Oleh karena produksi output pabrik 1 adalah 13 unit dan pabrik 2 adalah 7 unit
adalah kombinasi biaya terrendah dalam menghasilkan 20 unit produksi dari
perusahaan tersebut. Maka TC adalah
𝑇𝐶 = 3 (13)2 + 6(7)2 − (13 𝑥 7)
= 507 + 294 − 91
= 710
Daftar Pustaka
Arsyad, lincolin. Ekonomi Manajerial Ekonomi Mikro Terapan Untuk Manajemin
Bisnis. 1993. BPFE: Yogyakarta