Vektor Dimensi 2 dan 3_Iffatul dan Tim.

Vektor-Vektor
dalam
Ruang Berdimensi-2
dan
Ruang Berdimensi-3
Disusun oleh:
Achmad Fachrurozi
Albert Martin Sulistio
Iffatul Mardhiyah
Rifki Kosasih
Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia 2010
Vektor-Vektor Dalam
Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3
3. 1 Pengantar Vektor (Geometris)
Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang
berdimensi-2 atau ruang berdimensi-3. Arah panah menentukan arah vektor, dan panjang panah
menentukan panjang vektor. Ekor dari panah tersebut disebut titik pangkal vektor, dan ujung
panah disebut titik ujung vektor. Vektor dilambangkan huruf kecil cetak tebal (misalnya a, b, v,
w, dsb). Ketika mendiskusikan vektor, semua bilangan riil disebut skalat, dan dilambangkan
huruf kecil cetak miring (misalnya, a, b, k, m, dsb). Jika titik pangkal suatu vektor v adalah A,
dan titik ujungnya adalah B, maka dituliskan v  AB .
Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen atau dapat dipandang
sama (walaupun terletak dalam posisi berbeda). Jika v dan w ekuivalen maka dituliskan v = w.
Definisi
Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v+w adalah vektor yang ditentukan
sebagai berikut: Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik
ujung vektor v. Vektor v+w disajikan oleh panah dari titik pangkal v hingga ke titik ujung w.
Berikut ilustrasinya
Berdasarkan gambar diatas terlihat bahwa v+w = w+v dan jumlah dua vektor tersebut adalah
diagonal dari jajargenjang yang ditentukan oleh v dan w dengan kedua titik pangkalnya sama.
Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Didefinisikan
bahwa 0+v = v+0 = v untuk sebarang vektor v. Vektor nol mempunyai sebarang arah yang sesuai
dengan keadaannya. Jika v adalah sebarang vektor tak-nol, maka –v (yaitu negatif dari v) adalah
vektor yang besarnya sama dengan v tetapi arahnya terbalik. Vektor –v ini mempunyai sifat v+(v) = 0. Didefinisikan pula -0 = 0.
Definisi
Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai
v-w = v+(-w)
Definisi
Jika v adalah suatu vektor tak-nol dan k adalah suatu skalar tak-nol, maka hasil kali kv adalah
vektor yang panjangnya kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan
berlawanan dengan arah v jika k < 0. Didefinisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
Vektor kv tersebut disebut penggandaan skalar dari v. Vektor-vektor yang merupakan
penggandaan skalar satu sama lain adalah sejajar. Begitu pula sebaliknya.
Vektor-vektor dalam sistem Koordinat
Anggap v adalah sebarang vektor pada bidang dan asumsikan bahwa v diletakkan
sehingga titik pangkalnya berada pada titik asal sistem koordinat segi empat. Misalkan titik
ujung v adalah titik (v1 , v2 ) dalam ruang berdimensi-2. Koordinat dari titik ujung v tersebut
disebut komponen v dan ditulis
v = (v1 , v2 )
Dengan memperhatikan hal diatas maka jika vektor-vektor yang ekuivalen diletakkan
sehingga titik pangkalnya berada di titik asal, maka jelas bahwa titik ujungnya harus berhimpit.
Jadi vektor-vektor tersebut mempunyai komponen yang sama.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa dua vektor v = (v1 , v2 ) dan w = (w1 , w2 ) dikatakan
ekuivalen jika dan hanya jika v1  w1 dan v2  w2 . Operasi penjumlahan vektor dan perkalian
vektor dengan skalar mudah dilakukan dalam bentuk komponen.
Berikut ilustrasi untuk penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar.
Penjumlahan vektor
Perkalian vektor dengan skalar
Berdasarkan gambar tersebut, Jika v = (v1 , v2 ) dan w = (w1 , w2 ) didapat v+w = (v1  w1 , v2  w2 )
dan kv = (kv1 , kv2 ) . Lalu, karena v-w = v+(-1)w, maka berdasarkan operasi penjumlahan dan
perkalian skalar diatas, didapat v-w = (v1  w1 , v2  w2 ) .
Vektor-Vektor dalam ruang berdimensi-3.
Sistem koordinat segi empat dalam ruang berdimensi-3 memiliki tiga sumbu koordinat
yang saling tegak lurus, diberi nama sumbu x, y dan z. Setiap pasangan koordinat menentukan
suatu bidang yang disebut bidang koordinat, yaitu bidang-xy, bidang-xz dan bidang-yz. Untuk
setiap titik P dalam ruang berdimensi-3 diberikan tiga pasangan terurut (x, y, z) yang disebut
koordinat titik P. Berikut contoh penyusunan titik-titik yang koordinatnya adalah (4, 5, 6) dan
(-3, 2, -4)
Sistem koordinat dalam ruang berdimensi-3 mempunyai dua kategori, yaitu sistem
tangan-kiri dan tangan-kanan. Berikut ilustrasinya.
Dalam pembahasan disini hanya akan digunakan sistem tangan-kanan.
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, mengenai komponen suatu vektor dalam ruang
berdimensi-2, maka didapat pula pernyataan untuk komponen untuk vektor-vektor dalam ruang
berdimensi-3 sebagai berikut
v = (v1 , v2 , v3 )
dan
w = ( w1 , w2 , w3 )
Dua vektor v dan w ekuivalen jika dan hanya jika v1  w1 , v2  w2 dan v3  w3
v+w = (v1  w1 , v2  w2 , v3  w3 )
kv = (kv1 , kv2 , kv3 ) dan
v-w = (v1  w1 , v2  w2 , v3  w3 )
Contoh: Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka
v+w = (5, -1, 3) 2v = (2, -6, 4) -w = (-4, -2, -1) dan v-w = (-3, -5, 1)
Kadang suatu vektor titik pangkalnya tidak berada dititik asal. Jika vektor P1 P2
mempunyai titik pangkal P1 ( x1 , y1 , z1 ) dan titik ujung P2 ( x2 , y2 , z2 ) , maka
PP
1 2  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )
Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut.
Vektor P1 P2 adalah selisih vektor OP2 dan vektor OP1 , sehingga
PP
1 2  OP2  OP1  ( x2 , y2 , z2 )  ( x1 , y1 , z1 )  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )
Jadi komponen P1 P2 diperoleh dengan pengurangan koordinat titik pangkal dari koordinat titik
ujung.
Pergeseran Sumbu
Penyelesaian atas banyak permaslahan bisa disederhanakan dengan menggeser sumbu
koordinat untuk memperoleh sumbu baru yang sejajar dengan sumbu aslinya. Berikut adalah
ilustrasinya.
Pada gambar diatas, sumbu suatu sistem koordinat-xy telah digeser sehingga diperoleh
suatu sistem koordinat-x’y’ yang titik asalnya adalah O’ yang berada pada titik (k, l) dalam
koordinat-xy. Suatu titik P pada ruang berdimensi-2 sekarang mempunyai koordinat (x, y) dan
(x’, y’). Untuk melihat kaitan antar kedua koordinat tersebut, tinjau vektor O’P . Pada sistem
koordinat-xy titik pangkalnya adalah (k, l) dan titik ujungnya adalah (x, y), sehingga O’P = (x-k,
y-l). Sedangkan pada sistem koordinat-x’y’ titik pangkalnya adalah (0,0) dan titik ujungnya
adalah (x’, y’), sehingga O’P = (x’, y’). Oleh karena itu diperoleh x’ = x-k dan y’ = y-l
Rumus tersebut dinamakan persamaan pergeseran.
Contoh: Anggap suatu sistem koordinat-xy digeser sehingga diperoleh suatu sistem koordinatx’y’ yang titik asalnya mempunyai koordinat-xy (k, l) = (4, 1)
a) Carilah koordinat-x’y’ dari titik dengan koordinat –xy P(2, 0)
b) Carilah koordinat-xy dari titik dengan koordinat-x’y’ Q(-1, 5)
Penyelesaian:
a) Persamaan pergeserannya adalah x’ = x-4 dan y’ = y-1. Sehingga koordinat-x’y’ dari titik
P adalah x’ = 2-4 = -2 dan y’ = 0-1 = -1. Jadi dalam koordinat-x’y’ P(-2, -1)
b) Persamaan pergeseran dapat ditulis pula menjadi x = x’+4 dan y = y’+1. Sehingga
koordinat-xy dari titik Q adalah x =-1+4 = 3 dan y = 5+1 =6. Jadi dalam koordinat-xy
Q(3, 6).
3.2
NORMA SUATU VEKTOR ; ARITMATIKA VEKTOR
Pada bagian ini kita akan menetapkan aturan dasar dari aritmatika vektor
SIFAT-SIFAT OPERASI VEKTOR
Teorema :
Jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan berdimensi 3 dan k dan l adalah
skalar, maka hubungan berikut ini berlaku.
a) u + v = v + u
b) (u+v)+w = u+(v+w)
c) u + 0 = 0 + u = u
d) u + (-u) = 0
e) k(lu) = (kl)u
f) k(u+v)=ku + kv
g) (k+l) u = ku +lu
h) 1u=u
NORMA SUATU VEKTOR
Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai norma u dan dinyatakan sebagai ||u||.
Anggap u =(u1 ,u 2 )vektor dalam ruang berdimensi-2.
berdasarkan teorema pythagoras kita dapatkan :
||u|| = u12  u 22
Anggap u =(u1 ,u 2 , u 3 )vektor dalam ruang berdimensi-3.
berdasarkan teorema pythagoras kita dapatkan :
||u|| = u12  u 22  u 32
suatu vektor bernorma 1 disebut suatu vektor satuan
Jika P1 ( x1 , y1 , z1 ) dan P2 ( x2 , y2 , z2 ) adalah dua titik dalam ruang
berdimensi -3. maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah
norma P1P2
P1P2 = (x 2 -x1 , y 2 -y1 , z 2 -z1 )
d=
 x 2 -x1    y2 -y1    z 2 -z1 
2
2
2
contoh :
1. u =(-3,2,1)
||u|| =
 -3
2
  2   1  14
2
2
2. P1 (2, 1, 5) dan P2 (4, 3,1)
d=
 x 2 -x1 
d=
 4-2 
d=
44
2
2
  y 2 -y1    z 2 -z1 
2
2
  (-3)-(-1)   1-(-5) 
2
2
3.3 Hasil Kali Titik ; Proyeksi
Misalkan u dan v adalah vektor tak-nol dalam R2 atau R3 ,anggap vektor-vektor in telah
diposisikan sehingga titik pangkalnya berhimpitan. Sudut antara vektor u dan v adalah
dimana
Definisi
,
.
Hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u . v didefinisikan sebagai
Anggap u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3), sudut antara vektor u dan v adalah
ditunjukkan
pada gambar di bawah ini. Sesuai aturan cosinus, diperoleh :
Karena
, maka
dan dapat
disederhanakan menjadi
.
Mencari Sudut Antar Vektor dari definisi di atas, sudut antar vektor dapat diperoleh dari
.
Selanjutnya, dalam memperoleh informasi dari sudut antar dua vektor, teorema di bawah ini
dapat digunakan.
Teorema
Anggap u dan v adalah vektor-vektor dalam R2 atau R3.
(a)
(b) Jika u dan v adalah vektor tak-nol, sudut antara vektor u dan v adalah
#
lancip Jika dan hanya jika u . v > 0
#
tumpul Jika dan hanya jika u . v < 0
#
=
, maka
Jika dan hanya jika u . v = 0
Vektor – Vektor Ortogonal merupakan vektor-vektor yang tegak lurus. Berdasar teorema (b) di
atas; jika u dan v adalah vektor tak-nol, maka
=
Jika dan hanya jika u . v = 0, artinya u
dan v saling tegak lurus (orthogonal), dituliskan
.
Contoh : Tunjukkan bahwa dalam vektor tak-nol n = (a,b) tegak lurus dengan garis
.
Penyelesaian. Misal
dan
Sedemikian sehingga vektor
titik yang berbeda garis, maka
=
.
-(*)
(*) dapat juga dinyatakan
bahwa n dan
saling tegak lurus.
atau
, maka benar
Teorema
Anggap u dan v adalah vektor-vektor dalam R2 atau R3 dan k adalah suatu skalar,
maka:
Bukti :
(c) Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3), maka
Demikian juga dengan
.
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut :
Dimana
Vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegak lurus dengan a, dan
.
Selanjutnya, vektor w1 disebut proyeksi orthogonal dari u pada a atau komponen vektor dari u
yang sejajar dengan a, dinyatakan dengan Proya u. karena
, maka
. Vektor w2 disebut komponen vektor u yang orthogonal terhadap a.
Teorema
Anggap u dan a adalah vektor-vektor dalam R2 atau R3, a≠0, maka:
Komponen vektor dari u yang sejajar dengan a :
Komponen vektor dari u yang ortogonal dengan a :
Panjang komponen vektor u yang sejajar vektor a bisa diperoleh dari
Sehingga akan menghasilkan
Jika 𝜃 menyatakan sudut yang dibentuk oleh u dan a, maka 𝐮 ∙ 𝐚 = ‖𝐮‖‖a‖ cos θ sehingga
persamaan diatas dapat ditulis sebagai
Berikut adalah contoh penggunaan metode vektor untuk menurunkan suatu rumus yaitu rumus
jarak dari suatu titik pada bidang ke suatu garis.
Contoh. Cari rumus jarak D dimana D adalah jarak antara titik 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ) dan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +
𝑐 = 0.
Penyelesaiaan. Misalkan titik 𝑄(𝑥1 , 𝑦1 ) adalah sebarang titik pada garis tersebut dan letakkan
vektor n = (𝑎, 𝑏) sedemikian sehingga titik pangkalnya ada di Q.
Karena vektor n tegak lurus garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 maka jarak D sama dengan panjang
proyeksi orthogonal ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑄𝑃0 pada n, perhatikan gambar berikut
Dengan menggunakan persamaan sebelumnya diperoleh,
dimana
Sehingga diperoleh
Karena titik 𝑄(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak pada garis tersebut sehingga
Dengan mensubstitusikan persamaan ini maka diperoleh rumus
Cross Product
 Is a bilinear map R3 × R3 → R3.
 Let u, v, and w be a vector in R3 and w = u × v then:
w∙v=w∙u=0
 Meaning: w is perpendicular to both u and v
 Orientation is important
Definition:
a× b = |a||b| sinθn
where θ is the angle between the vectors a and b
 Coordinate notation:
a × b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Matrix Definition
Geometric meaning:
a× b = |a||b| sinθn
|a× b| = |a||b| sinθ
= area of parallelogram
Relationship with dot product:
a) u ∙ (u × v) = 0
b) v ∙ (u × v) = 0
c) |u × v|2 = |u|2|v|2-(u ∙ v) 2
d) u ×(v × w) = (u ∙ w)v-(u ∙ v)w
(u × v) × w = (u ∙ w)v-(v ∙ w)u
Lines and Planes in 3-Space
Lines
 Specify a vector v = (a, b, c) that is parallel to the line
 Given a point on the line p0=(x0, y0, z0), the vector from p0 to arbitrary point in the line is
parallel to v.
p0p = tv for any scalar t.
 Since p0p = (x-x0, y-y0, z-z0)
then(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta, tb, tc)
 Equating LHS and RHS, we get the parametric equation for a line in 3-Space
 Vector form:
r = r0 -tv
Planes
 Specify a vector that is a normal to the plane, n = (a, b, c)
 Given a point on the plane p0=(x0, y0, z0), the vector from p0 to arbitrary point on the
plane p0p is perpendicular to n.
n∙(p0p) = 0
 Since p0p = (x-x0, y-y0, z-z0)
then a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
specifies the plane
 Vector form:
n ∙ (r-r0)=0