BAB 1 VEKTOR

BAB 1
VEKTOR
1.1 DEFINISI VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet
PENGGAMBARAN DAN NOTASI VEKTOR
Gambar :
P
Q
Titik P
: Titik pangkal vektor
Titik Q
: Ujung vektor
Tanda panah
: Arah vektor
Panjang PQ = |PQ|
: Besarnya (panjang) vektor
Notasi Vektor
A

A
Huruf tebal
A
Huruf miring
Pakai tanda panah di atas
Panjang vektor A = |A|
(pakai tanda mutlak)
1.2 PENYAJIAN VEKTOR
 Bentuk vektor kolom:
 3
u   
 4
atau
 1 


PQ    2 
 0 


 Bentuk vektor baris:
AB  3, 4 atau v   2, 3, 0
 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR
• Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
▫ Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
▫ Jika u = v, maka
 |u| = |v|
 arah u = arah v
 a=c dan b=d
2
2
Panjang vektor u = | u | a  b
Catatan:
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A
B
A=B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika:
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A
B
A
B
A
B
2. Besar tidak sama, arah sama
A
B
3. Besar dan arahnya berbeda
A
B
1.4 OPERASI-OPERASI VEKTOR
1.4.1 Penjumlahan Vektor
u
w=u+v
v
v
w=u+v
u
• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
a
c
u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
 b   d  b  d 
6
1.4.2 Pengurangan Vektor
• Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
• Dalam bentuk
pasangan bilangan
a
c
u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
v
u
u
w=u-v
-v
7
1.4.3 Perkalian Vektor dengan Skalar
• mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
a
Jika u    dan m bilangan riil ,
b
 a   ma 
maka : mu  m    
 b   mb 
u
2u
8
1.5 DALIL-DALIL OPERASI VEKTOR
•
•
•
•
Komutatif  a + b = b + a
Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
• 1u = u
• 0u = 0, m0 = 0.
• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
Dalil-Dalil Operasi Vektor (lanj.)
•
•
•
•
•
•
(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
1.6 JENIS-JENIS VEKTOR
1.6.1 Vektor Nol
Vektor Nol
adalah
Vektor yang
Semua komponennya
nol, misal 0 = (0, 0, 0)
1.6.2 Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu
vektor yang panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
 0
 0
 
 
 
i   0 , j   1  dan k   0 
 0
 0
1
 
 
 
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+ a3k
adalah
a
ea  a 
e
a
a1i  a2 j  a3 k
a1  a2  a3
2
2
2
Contoh: Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+ 2k
adalah….
Jawab:
e
a
e
a
a

a

i  2 j  2k
12  (2) 2  2 2
e
a

i  2 j  2k
12  (2) 2  2 2
i  2 j  2k
e

e
 13 i  23 j  23 k
a
a
3
1.7 DOT PRODUCT
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
a  b | a || b | cos 

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3],
maka :
a  b  a1b1 a2b2  a3b3



a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
• Besar Sudut
a dihitung
b  a b dgn:
a b
a  b γ dapat
cos  
| a || b |

1 1
a1  a2
2
2 2
2
3 3
b1  b2
2
2
Sifat-Sifat Perkalian Titik (Dot Product)
1. Komutatif : A  B = B  A
2. Distributif : A  (B+C) = (A  B) + (A  C)
3. a  a = │a│2
Contoh Soal
1. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa
panjang vektornya ?
Jawab :
Vektor A =
A =
2i – 3j + 4k
A
=
2
2
2 + (-3) + 4
2
=
29
satuan
2. Tentukanlah hasil perkalian titik (dot product) dari dua buah vektor berikut ini :
A = 2i – 2j + 4k
B = i – 3j + 2k
Jawab :
Perkalian titik :
A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
1.8 Bebas Linier dan Bergantung Linier
Definisi :


Misalkan S  v1 , v2 ,..., vr himpunan vektor di ruang vektor
V, maka S dikatakan bebas linear jika
k1 v1  k2 v2  ....  kr vr  0
mengakibatkan k1 = 0, k2 = 0, …., kr = 0 dan dikatakan
bergantung linear jika terdapat skalar yang tidak semuanya
nol.
Contoh:
1. Apakah vektor v1 = [1, 1], v2 = [1, 2] bebas linear?
2. Periksa apakah vektor-vektor v1 = [1, -2, 3], v2 =[5, 6, -1]
dan v3 = [3, 2, 1] bebas linier?
1.9 Kombinasi Linier
Definisi:
Vektor w dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor
v1 , v2 ,...., vr jika w dapat dinyatakan sebagai
w  k1 v1  k2 v2  ....  kr vr
dengan k1, k2, …., kr merupakan skalar.
Contoh:
Misalkan diberikan vektor u  0, 2, 2 dan v  1,3, 1
Manakah diantara vektor-vektor ini yang merupakan
kombinasi linear dari u dan v
1. w  0, 2, 2
2. w  0, 4,5
LATIHAN
1. Manakah vektor-vektor berikut ini yang bebas linier atau
bergantung linier?
a. u = [-3, 0, 4], v = [5, -1, 2], w = [1, 1, 3]
b. v1 = [3, 1, 2], v2 = [1, 2, 1], v3 = [2, -1, 1]
2. Misalkan diberikan vektor v1 = [1, 3, -1] dan v2 = [0, -2, 2]
Manakah diantara vektor-vektor w ini yang merupakan kombinasi
linear dari v1 dan v2?
a. w = [2, 2, 2]
b. w = [3, 1, 5]
c. w = [0, 0, 0]
d. w = [0, 4, 5]