Bab 5 Sifat Glb. Pa..

BAB V. SIFAT GELOMBANG DARI PARTIKEL
Bangsa Perancis Louis Victor prince de Broglie (1892 - 1987) menyampaikan hipotesisnya bahwa materi memiliki sifat gelombang di samping sifat partikel. Prinsip ini yang merupakan pangkal dari pengembangan mekanika kuantum
dari Erwin Schrodinger berkebangsaaan Austria (1887 - 1961).
A. Sifat Gelombang Elektron
1. Gelombang de Broglie
de Broglie pada tahun 1924 menyarankan tentang alasan teoritis yaitu analogi dualitas gelombang partikel photon. Jika panjang gelombang (λ) serta momen
tum elektron (p) besaran tersebut dihubungkan dalam persamaan sebagai
hf
h
λ =
juga p =
1
c
p
Persamaan (1) λ merupakan panjang gelombang photon (partikel materi atau panjang gelombang de Broglie). Menurut de Broglie persamaan (1) berlaku untuk
semua benda tidak hanya elektron saja. Apabila partikel massa m memiliki kecepatan v atau momentum mv sehingga panjang gelombang de Broglie menjadi
h
λ =
2a
mv
Makin besar momentum partikel, panjang gelombang de Broglie akan semakin
pendek. Dalam persamaan (2a) dapat berlaku keadaan relativitas untuk massa
mo
m =
3
1  v2 / c2
Dari persamaan (1 atau 2a) h disebut tetapan Planck dan c kelajuan cahaya dan f
frekuensi photon. Dengan persamaan (3) memberikan bentuk persamaan (2a) men
jadi
λ =
h 1  v2 / c2
mo v
Contoh 1.
Berapakah panjang gelombang de Broglie dari materi
a. mobil massa 1000 kg bergerak dengan kecepatan 100 m s-1
b. bola golf massa 46 gram berkecepatan 30 m s-1
c. asap rokok 10-6 gram berkecepatan 1 cm s-1
d. elektron berkecepatan 107 m s-1
2b
61
Penyelesaian menggunakan persamaan (2a)
6,63 .10 34 Js
a. mobil λ =
= 6,6 .10-39 m
3
1
(10 kg) 100 ms
6,63 .1034 Js
= 4,8 .10-34 m
1
(0,046 kg) 30 ms
6,63 .10 34 Js
c. asap λ =
= 6,6 .10-25 m
(10 9 kg) 10 2 ms 1
Hasil perhitungan panjang gelombang mobil, bola golf dan asap terlalu kecil
b. bola golf λ =
apabila dibanding dengan ukuran bola sehingga sebagai akibat perilaku gelombang yang diharapkan tidak terlalu tampak.
d. Panjang gelombang elektron karena kecepatan elektron v << c maka nilai
massa bukan massa relativitas yaitu 9,1 .10-31 kg
6 ,63 .10 34 Js
λ =
= 7,3 .10-11 m
(9,1 .10 31 kg) 10 7 ms 1
Karena kecilnya nilai h sehingga hanya partikel ukuran atom (inti atom) yang
berperilaku gelombangnya dapat teramati. Hasil perhitungan (d) panjang gelombang hampir mendekati ukuran elektron. Misal ukuran jari-jari atom H2 5,3 .10-11
m sehingga dilihat dari perbandingan ukurannya tampak dapat berperilaku sebagai
gelombang.
Contoh 2.
Berapa panjang gelombang de Broglie elektron yang memiliki energi kinetik 1 eV ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (2).
Contoh soal ini bukan masalah relativitas karena nilai energi diam elektron
5,1 .105 eV (diketahui 1 eV merupakan nilai yang sangat kecil bila dibanding
h
energi diamnya). Persamaan (2) λ =
dari pernyataan momentum (p =
2m Ek
mv) sehingga p2 = m2 v2 → p = 2m Ek .
p = 2 m ( Ek ) = 2 (9,1)(10 31 kg)(1eV )(1,6 )[10 19 J (eV ) 1 ] = 5,4 .10-25 kg m s-1
6 ,63 .10 34 Js
= 1,2 .10-9 m
25
1
5,4 .10 kg ms
1
2 m c 2 ( Ek ) sehingga
Jawaban dapat dilakukan dengan p = 2 m ( Ek ) =
c
Panjang gelombangnya menjadi λ =
pc =
2 (5,1)(10 5 eV )(1eV ) = 1,0 .103 eV
62
Panjang gelombangnya menjadi λ =
h
hc
1240 eV nm
=
=
= 1,2 nm
1,0 .10 3 eV
p
pc
Contoh 3.
Sebuah photon dan sebuah elektron memiliki panjang gelombang sama. Ba
gaimana perbandingan momentum linier photon dan elektronnya ? Bagimana perbandingan energi total photon dengan partikel ? Bagaimana perbandingan energi
kinetik photon dengan partikel ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (2)
Persamaan (2) λ =
 ph
h
h
atau p =
→ pph = pp sehingga tinggal
mv

p
Energi total photon Eph = hf =
hc
= pc energi partikel Ep = m c2 = p c

Energi total partikel > dari energi photon karena umumnya v << c.
c
.
v
v
Energi kinetik photon Ekph = Eph = p c partikel Ekp = ½ m v2 = p . Ek parti
2
kel < Ek photon karena umumnya v << c.
Hipotesis (de Broglie) menyatakan bahwa elektron mempunyai sifat gelombang. de Broglie menunjukkan bahwa orbit-orbit Bohr, atom H2, dapat diperoleh
berdasarkan keadaan keliling orbit. Keliling orbit elektron merupakan kelipatan
bulat panjang gelombang. Bila orbit keliling berupa lingkaran sehingga terjadi
hubungan
2πr = n λ
4
Selanjutnya persamaan (4) sebagai keadaan gelombang berdiri dengan tali panjang (2πr ujung terikat). Persamaan (1 dan 4) akan membentuk persamaan
nh
h
2πr = n
atau rp =
2
p
2. Kelajuan Gelombang de Broglie
5
Apabila kecepatan perambatan gelombang de Borglie (w) sehingga dalam ge
lombang akan terdapat hubungan w = fλ. Energi photon E = hf energi parmc 2
tikel E = mc2 ; (f =
) dengan menggunakan persamaan (2) kecepatan geh
lombang de Broglie menjadi
mc 2 h
c2
w =
=
6
h mv
v
Karena kecepatan partikel v (nilai v < c) sehingga nilai w persamaan (6) akan le-
63
bih besar c. Analisis tersebut memberikan hasil yang tidak terduga. Dengan demikian kita harus membedakan antara kecepatan fase atau kecepatan gelombang dan
kecepatan kelompok.
Bila kita memiliki dua gelombang berjalan dan melakukan superposisi maka
hasil superposisinya akan memunculkan pengertian kecepatan kelompok dan fase.
Dua gelombang yang memiliki persamaan sebagai berikut
Y1 = A Cos (ωt - kx)
dan Y2 = A Cos [(ω + dω) t - (k + dk) x]
7a
7b
Superposisi gelombang persamaan (7) yaitu Y = Y1 + Y2 hasilnya menjadi
Y = 2A Cos ½ [(2ω + dω) t - (2k + dk) x] Cos ½ (dω t - dk x)
Nilai dω kecil dibandingkan dengan ω juga dk dengan k sehingga dapat diperoleh
anggapan 2ω ≈ 2ω + dω juga 2k ≈ 2k + dk. Dengan demikian hasil superposisi
menjadi
Y = 2A Cos (ωt - kx) Cos ½ (dω t - dk x)
8
Persamaan. (8) menyatakan gelombang berfrekuensi sudut ω dengan angka gelombang k yang termodulasi dengan frekuensi ½ dω dan angka gelombang ½ dk
Efek dari modulasi menghasilkan kelompok gelombang. Kecepatan fase (w) memenuhi hubungan (ωt - kx) = tetap dan jika diferensial menjadi ω dt - k dx = 0
dan kecepatan fase didefinisikan sebagai
dx

w =
=
9
dt
k
Gelombang pembawa, merupakan kelompok gelombang berjalan dengan memenuhi persamaan ½ (dω t - dk x) = tetap atau ½ (dω dt - dk dx) = 0. Dengan de
mikian jika kecepatan kelompok u didefinisikan sebagai
dx
d
u =
=
10
dt
dk
Frekuensi sudut (ω) angka gelombang (k) gelombang de Broglie dari partikel massa diam mo yang bergerak dengan kecepatan v adalah ω = 2 πf. Dengan
mc 2
2 m c 2
memasukkan nilai f =
sehingga ω =
. Dengan demikian frekuensi
h
h
gelombang de Broglie menjadi
2 mo c 2
ω =
11
h 1  v2 / c2
64
Angka gelombang k =
menjadi
k =
2

dan lewat persamaan (2) bentuk k = 2π
mv
sehingga
h
2 mo v
12
h 1  v2 / c2
d / dv
serta persamaan (11) dibuat menjadi bentuk
dk / dv
2  mo v
2  mo
d
dk
=
dan persamaan (12)
=
. Dengan demi
2
2 3/ 2
dv
dv
h(1  v / c )
h(1  v 2 / c 2 ) 3 / 2
kian nilai kecepatan kelompok persamaan (10) menjadi
Persamaan (10) dibuat u =
u = v
13
Persamaan (12). menyatakan bahwa kecepatan kelompok sama dengan kecepatan
partikelnya.
Contoh 4.
2
dengan γ tegangan permu
kaan, ρ kerapatan air. Carilah bentuk kecepatan kelompok gelombang tersebut !
Kecepatan fase gelombang permukaan air
Penyelesaian menggunakan persamaan (9 dan 10)
2

 3
2
k
k → ω = k w atau ω =
w =
serta λ =
sehingga w =
k



Kecepatan kelompok

d
k
u =
sehingga u = 3/2
dk

Contoh 5
g
Gelombang merambat dengan kecepatan fase w =
dengan g percepat2
an gravitasi bumi. Bagaimana bentuk kecepatan kelompok (u) gelombang ini ?
Nyatakan hasil tersebut dalam kecepatan fase !
Penyelesaian menggunakan persamaan (9 dan 10)


2
g
Kecepatan fase w =
(karena k =
) dan w =
sehingga
=

k
k
k
g
k
d
g
= ½
sehingga u = ½ w.
dk
k
3. Kecepatan Kelompok, Fase dan Indeks Bias
atau ω = g k . Kecepatan kelompok u =
Kecepatan fase (w = v) dalam ruang hampa berlaku v = (μoεo)-1/2, di dalam
bahan berlaku v = (με)-1/2. Indeks bias dinyatakan sebagai n = (μrεr)1/2. Di alam ter
65
dapat bahan dispersif dan nondipersif. Bahan nondispersif (kecepatan bukan
fungsi frekuensi u = w misal ruang hampa). Bahan dispersif (kecepatan sebagai
fungsi frekuensi u ≠ w) serta terdapat dua jenis yaitu normal dispersif dan anomali dispersif.
Bahan normal dispersif kecepatan fase (w) bertambah dengan bertambahdw
dw
nya λ, (
> 0; u < w). Bahan anomali dispersif
< 0 ; u > w). Jika ω = 2π f
d
d
dv
dv
sehingga ω = k v persamaan (10) u = v +
atau u = v - λ
dk
d
B. Sifat Gelombang Partikel
1. Partikel dalam Kotak
Gerak terbatas di dalam kotak dengan persyaratan atau anggapan,
-. dinding kotak cukup keras sehingga tumbukan partikel dengan dinding
lenting sempurna
-. Kecepatan gerak partikel jauh lebih kecil dari kecepatan
ℓ
Gambar 1
cahaya. Gerak partikel (sebagai gelombang) di dalam kotak
diasumsikan sebagai gelombang berdiri sebagai akibat pantulan
gelombang (partikel) dengan dinding kotak dapat dianggap pantulan dalam ujung
terikat.
Jika partikel dalam kotak panjang kotak  sehingga panjang gelombang de
ℓ
Gambar 2
Broglie (  n ) yang mungkin adalah
2
n =
14
n
Persamaan (14) n merupakan bilangan bulat 1, 2, 3 . . . . .
dan seterusnya. Dari persamaan (1 dan 14) memberikan formulasi momentum lini
er yang mungkin dalam kotak menurut de Broglie menjadi
h
h
pn =
= n
2
n
15
p2
dari persamaan (12) karena partikel dalam model seper
2mo
ti ini tidak memiliki energi potensial, sehingga energi yang dimiliki harus bernilai
h2
2
En = n
16
8 mo  2
Persamaan (16) menyatakan tingkat energi yang diijinkan serta n disebut bilangan
Energi kinetik Ek =
66
kuantum. Persamaan (16) menyatakan bahwa partikel di dalam kotak tidak dapat
memiliki energi sembarang seperti partikel bebas. Gelombang partikel dalam kotak, panjang gelombang atau energi tertentu pula sehubungan dengan λ.
Contoh 6.
Berapakah energi sebuah elektron di dalam kotak panjang 10-10 m
Penyelesaian menggunakan persamaan (16)
(6 ,626 .10 34 js) 2
En = n2
= 6,0 .10-18 n2 J = 38 n2 eV
 31
10
8 (9,1 .10 kg)(10 m)
Energi minimum yang harus dimiliki elektron yang bersesuaian untuk n = 1,
adalah 38 eV , n = 2 adalah 152 eV
Contoh 7.
Benda massa 1,5 μg bergerak diantara dua dinding terpisah 0,1 mm. Benda
tersebut menempuh kedua dinding diperlukan waktu 120 detik. Berapa bilangan
kuantum yang dimiliki benda dalam gerakan tersebut ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (16).
s
10 4 m
v =
=
= 8,33 .10-7 m s-1 dengan demikian E = Ek = ½ mv2 set
120 s
hingga menjadi E = ½ (1,5 .10-9 kg)( 8,33 .10-7 m s-1)2 = 5,2 .10-22 J
8 (1,5 .10 9 kg)(5,2 .10 22 J )(10 4 m) 2
= 3,8 .1014
34
2
(6 ,63 .10 Js)
Bilangan ini sangat besar tidak mungkin terjadi daerah pembicaran kuantun fisik
Persamaan (14) n =
2. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg
Partikel yang bergerak (dipandang memiliki gelombang de Broglie) dan partikel dianggap berada pada posisi tertentu di dalam gelombang kelompok. Jika
kita ingin mengetahui secara tepat letak partikel maka kita perlu mempersempit
kedudukan partikel dalam kelompok gelombangnya. Dengan demikian, kedudukan partikel tertentu dengan tepat dapat ditemukan, tetapi panjang gelombangnya
sulit ditentukan keberadaannya. Terdapat hubungan timbal-balik antar ketidakpastian posisi yang inheren Δx dari pertikel yang bersangkutan dengan momentumnya yang inheren Δp. Semakin kecil Δx maka semakin besar nilai Δp dan sebaliknya.
Superposisi dua gelombang serah dengan ω dan k yang sedikit berbeda akan
menghasilkan sederet gelombang kelompok. Hubungan antara jarak Δx dan pe-
67
lebaran Δk bergantung pada bentuk gelombang kelompok serta bergantung pada
definisi Δx dan Δk yang diperlukan. Hubungan perkalian ketidakpastian Δx dan
Δk dinyatakan sebagai.
Δx Δk ≥ ½
17
p
sehingga
h
ketidakpastian Δk dalam gelombang de Broglie dengan ketidakpastian momentum
Persamaan (1) memberartikan nilai angka gelombang k = 2 π
Δp dalam partikel menjadi
h
Δp = Δk
akibatnya lewat persamaan (17) menjadi
2
h
Δx Δp ≥
18
4
Persamaan (18) menyatakan ketidakpastian yang disampaikan oleh Werner
Heisenberg (1901 – 1976) pada tahun 1927. Prinsip ketidakpastian dapat didekati
dari berbagai arah.
Photon memiliki sifat gelombang, dengan demikian kedudukan elektron Δx
tidak dapat ditentukan dengan ketelitian yang lebih kecil dari panjang gelombang
yang dipakai kira-kira nilai λ (dengan kata lain Δx ≈ λ). Δx merupakan nilai ketidakpastian dalam nilai x yang dapat diamati. Semakin pendek nilai λ semakin
kecil juga nilai ketidakpastian Δx untuk elektron tersebut.
Setiap photon memiliki momentum h/λ dan bila photon tersebut bertumbukan terjadi perubahan momentum (perubahan momentumnya Δp = h/λ dan nilai Δp
merupakan ketidakpastian dari p). Kedua persamaan di atas menyatakan bila λ
pendek akan dihasilkan Δx kecil tetapi Δp besar. Sebaliknya bila λ besar dihasilkan Δp kecil tetapi Δx besar.
Jika kedua persamaan digabungkan dengan mengingat persamaan (1) akan
dihasilkan bentuk
Δp Δx ≈ h
19
Persamaan (19) lebih biasa dipakai dari persamaan (18) karena batas bawah h/2
sangat jarang dipenuhi.
Contoh 8.
Inti atom berjari-jari 5 .10-15 m. Lewat prinsip ketidakpastian, tentukan batas
bawah energi elektron, yang harus dimiliki untuk dapat menjadi partikel penyusun
68
inti atomik !
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
Dengan mengambil nilai Δx = 5 .10-15 m sehingga nilai ketidak pastian
h 1
1
6 ,63 .10 34 Js
Δp ≥
≥
= 11 .10-21 kg ms-1
4 x
5 .10 15 m
4 (3,14)
Nilai 11 .10-21 kg ms-1, merupakan ketidakpastian momentum elektron dalam inti.
0rde momentum (p) harus besar paling sedikit sama dengan 11 .10-21 kg ms-1.
Elektron dengan momentum 11 .10-21 kg ms-1 akan memiliki Ek jauh lebih besar
dari energi diamnya (mo c2).
Energi (pc) sehingga E ≥ (11 .10-21 kg ms-1)(3 .108 m) ≥ 33 .10-13 J. Energi
elektron agar dapat menjadi partikel dalam inti, harus berenergi > 32 .10-14 J. Dari
eksperimen elektron dalam atom mantap tidak memiliki energi kurang dari
32 .10-14 J sehingga dapat disimpulkan tidak ada elektron dalam inti.
Contoh 9.
Atom hidrogen jari-jari 5,3 .10-11 m gunakan prinsip ketidakpastian untuk
memperkirakan energi elektron yang dapat dimiliki oleh atom.
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
h 1
1
6 ,63 .10 34 Js
Persamaan (18) Δp ≥
≥
≥ 99 .10-26 kg ms-1
4 x
4 (3,14)
5,3 .10 11 m
Elektrom yang memiliki momentum 99 .10-26 kg ms-1 (berkelakuan sebagai par99 .10 26 kg m s 1
p2
tikel klasik) sehingga Ek = ½ mv2 = ½
= ½
m
9,1 .10 31 kg
= 5,4 .10-19 J = 3,4 eV.
Catatan. Ek elektron pada tingkat terendah dalam atom hidrogen 13,6 eV.
3. Pemakaian Prinsip Ketidakpastian
Bentuk ketidakpastian pengukuran energi E yang diradiasikan pada selang
waktu Δt dalam proses atomik. Bila gelombang kelompok dapat dianggap sebagai
1
satu gelombang frekuensi Δf dalam pengukuran Δf ≥
sehingga ketidakpastian
t
energi ΔE ≈ h Δf menjadi
h
ΔE ≥
atau ΔE Δt ≥ h
20a
t
Perhitungan yang teliti persamaan (20a) berdasarkan sifat gelombang kelompok
terkoreksi menjadi
69
h
4
Persamaan (20b) merupakan bentuk ketidakpastian energi dan waktu
ΔE Δt ≥
20b
Contoh 10.
Elektron tereksitasi, kelebihan energinya berupa photon. Periode rata-rata
berlangsungnya eksitasi atom dan saat meradiasikannya 10-8 s. Berapakah ketidak
pastian energi dan waktu ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (20)
6 ,63 .10 34 Js
ΔE ≥
= 5,3 .10-27 J.
8
(4 ) 10 s
gelombang datang
E
Ketidakpastian frekuensi menjadi Δf ≥
h
Δy
y
27
5,3 .10 J
= 8,0 .108 Hz.
gelombang bias =
6 ,63 .10 34 Js
θ
Partikel lewat suatu celah, jika lebar ce
lah Δy dengan jarah antar celah y. Misal
Gambar 3.
elektron jatuh pada celah, secara tegak lurus
rus, sehingga memiliki ketidakpastian Δy. Pola difraksi minimum pertama terjadi

pada sudut θ yang diberikan sebagai dalam bentuk persamaan Sin θ =
. Bila
y
sudut θ kecil sehingga nilai Sin θ = θ serta λ = h/p.
Akhirnya kita dapatkan bentuk persamaan
h
θ =
21
p y
Nilai tersebut dihitung ketidakpastian Δp, kita ketahui komponen horisontal
elektron. Dalam masalah tersebut komponen momentum vertikal p. Jangkauan mi
nimum pertama θ harus
p
θ =
p
Persamaan (21 dan 22) diperoleh
Δp Δy = h
22
23
Contoh 11.
h
4
ΔL menyatakan ketidakpastian momentum sudut Δθ menyatakan ketidakpastian
Buktikan prinsip ketidakpastian dapat dinyatakan dalam bentuk ΔL Δθ ≥
posisi sudut.
70
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
Δ x = r Δθ, L = m v r serta ΔL = m Δv r.
h
x
h
h
r Δθ
Δx Δp ≥
atau
r m Δv ≥
akhirnya Δθ Δp ≥
4
r
4
4
Posisi sudut akan menjadi tertentu ketika Δθ ≈ 2π dalam hal ini berh
h
laku Δ L (2π) ≈
akhirnya ΔL ≈
Gambar 4.
4
8 2
Δx
Contoh 12.
Energi 12 eV elektron dapat ditunjukkan berkecepatan 2,05 .106 ms-1.
Asumsikan anda dapat menghitung kelajuan, dengan ketepatan 1,5 %. Dengan
ketepatan tersebut anda secara simultan menghitung momentum elektron ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
p = mv = (9,11 .10-31 kg)(2,05 .106 ms-1) = 1,87 .10-24 kg m s-1
Ketidakpastian momentum 1,5 % akan sama dengan (1,5 %)(1,87 .10-24 kg m s-1)
atau sama dengan 2,80 .10-26 kg m s-1
h
6,63 .10 34 Js
Δx =
=
= 2,4 .10-8 m
2,80 .10 -26 k g m s 1
p