BAB I - Teknik Elektro UGM
advertisement
Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 1 BAB 0 KONSEP VEKTOR DAN MATRIX 1. Tujuan Bab ini terutama membahas konsep vektor dan matrix, yang dalam buku klasik berjudul “Introduction to Matrix Analysis” yang ditulis oleh Richard Bellman sebelum tahun 1960 disebut sebagai "obyek studi aritmetika dalam matematika tingkat tinggi”. Sebelum membahas kedua hal itu disinggung lebih dahulu pengertian obyek, besaran dan nilai (skalar). 2. Obyek, besaran, nilai dan satuan Obyek adalah suatu yang menjadi pokok pembicaraan. Obyek dapat apa saja, benda mati (misal batu atau potlot) atau benda hidup (hewan, manusia). Misalkan saja obyek itu sebuah benda berupa sebuah bola. Seorang pengamat dapat memperhatikan besar bola itu, beratnya, material yang dipakai, suhu bola, muatan kelistrikannya (misalnya bola itu berisi menyimpan energi listrik), warna atau sifat permukaannya, ... bahkan harga beli atau nama pemiliknya (jika itu patut diperhatikan). Besarnya bola dapat dinyatakan dalam volume atau diameter bola. Mengenai beratnya, bola itu dapat dinyatakan dalam satuan gram, kilogram, atau ton. Tentang material yang dipakai seorang pengamat dapat memperhatikan komposisi kimia, sedang mengenai warna atau sifat permukaan kiranya ada cara-cara untuk mengungkapkannya dengan tepat. Volume, diameter, berat, komposisi kimia dan sebagainya itu merupakan contoh dari besaran-besaran atau atribut yang dapat ada pada bola tersebut. Pada dasarnya tiap besaran mengungkapkan satu informasi yang utuh tentang obyek tersebut. Jadi besaran dapat didefinisikan sebagai sifat melekat pada sebuah obyek atau benda (konkrit atau abstrak), yaitu sifat yang terdapat dalam, atau yang tak dapat dipisahkan dari, obyek atau benda tersebut sehingga dapat difahami sebagai salah satu ciri, atribut atau jatidiri obyek atau benda tersebut. Informasi seseorang tentang suatu besaran atau atribut obyek itu dapat dikonkritkan dengan memberi lambang matematika atas besaran itu dan mencantumkan angka atau nilai numeris, dalam satuan yang sesuai. Pada dasarnya nilai adalah sesuatu yang diberikan oleh seseorang untuk menggambarkan tingkatan, intensitas atau besarnya besaran tersebut. Besaran diameter, misalnya, biasanya diberi lambang d, dengan nilai yang dinyatakan dalam satuan milimeter, meter atau kilometer, dan bukan dalam kilogram atau derajat Celsius. Tiap orang memiliki umur (usia). Usia seseorang dapat diberi lambang u (misalnya), dan pada saat meninggalnya seorang wanita barangkali memiliki usia yang nilainya 27.8, misalnya dengan satuan tahun. Pada umumnya dikatakan orang bahwa wanita ini meninggal pada usia muda. Angka atau nilai itu biasanya diperoleh melalui pengukuran menurut tatacara yang sudah disepakati atau dibakukan secara internasional. Maka dikatakan, besaran diameter d memiliki nilai berupa sebuah angka dalam semesta angka real R. Secara singkat, d R. Notasi d R mengisyaratkan pula, bahwa dalam garis angka real R nilai besaran d diwakili oleh sebuah titik. Demikian pula untuk besaran usia bagi seseorang. 1 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 2 Sekarang dapat ditanyakan apakah dalam contoh diatas "muda" bukan nilai juga untuk besaran usia tersebut? Untuk besaran usia seseorang, bukankah dikenal pula nilai "tua", "setengah tua", "balita", dan sebagainya? Apakah besaran harus diberi nilai numeris? 3. Besaran skalar dan besaran vektor Dalam fisika, besaran-besaran yang hanya memiliki nilai tunggal (sebuah angka real) disebut juga besaran skalar. Besaran yang memiliki nilai jamak disebut vektor. Misalnya, kecepatan yang terdapat pada sebuah benda yang bergerak. Besaran ini memiliki sekurangkurangnya dua nilai, yaitu besarnya kecepatan (laju) dan arah geraknya. Maka dalam fisika kecepatan dimengerti sebagai besaran vektor. Dalam buku ini besaran vektor diberi arti yang lebih luas.. Vektor dapatlah dipandang sebagai himpunan besaran-besaran dengan index yang jelas (untuk menunjukkan lokasinya dalam himpunan itu). Masing-masing besaran disebut elemen vektor tersebut. Dalam naskah ini vektor diberi lambang huruf alfabet kecil dengan garis bawah. Misalnya, diberikan vektor a. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor a dilambangkan oleh ai. Vektor a dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai ai, dengan i = 1, 2, .. n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini: a1 a 2 a = a3 a n Vektor seperti itu disebut vektor-kolom. Jika elemen-elemen tersebut ditulis berderet membentuk satu baris, maka vektor itu disebut vektor-baris. Kecuali disebut dengan jelas, vektor senantiasa dimengerti sebagai vektor-kolom. Sebagai contoh seorang manusia pasti memiliki usia, tinggi badan dan berat badan. Masing-masing memang merupakan besaran skalar; namun ketiga besaran itu dapat digabungkan dalam sebuah besaran vektor f yang terdiri atas tiga elemen: f1 f = f 2 , f 3 dengan f1, f2 dan f3 merupakan elemen pertama, kedua dan ketiga vektor f tersebut. Dapat saja dipilih, misalnya, usia sebagai elemen pertama, tinggi badan dan berat badan sebagai elemen kedua dan ketiga. Dalam hal seperti itu pastilah elemen-elemen vetor itu memiliki nilai dengan satuan yang berbeda pula. Lalu dapat ditanyakan apakah satuan untuk vektor f tersebut? 2 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 3 Untuk menghemat ruangan penulisan, untuk vektor tersebut diatas ditulis pula a (ai), dengan i =1,2,...,n, dan simbul dapat dibaca sebagai “didefinisikan dengan”. Jadi jika misalnya ai R, yaitu bahwa ai bernilai real, maka secara ringkas dapat ditulis pula a (ai ) Rn. Dalam konteks ini Rn dapat dibaca sebagai “semesta angka real berdimensi n”. Untuk selanjutnya, kecuali jika dinyatakan lain, naskah ini hanya membahas vektor (dan matrix) dengan elemen-elemen bernilai real saja. Vektor a dengan n = 1 tentulah sama dengan besaran biasa. Jika n = 2, maka vektor tersebut ada dalam R2, ruang real berdimensi dua, dan oleh karena itu juga diwakili oleh sebuah titik dalam salib sumbu Kartesian tersebut. Hal yang sama berlaku untuk vektor dengan n = 3, 4, ... dan sebagainya. 4. Matrix Jika vektor membentuk larik berdimensi satu, maka matrix adalah larik berdimensi dua, karena memiliki dua index, yaitu index untuk baris dan index untuk kolom. Matrix diberi lambang dengan huruf alfabet besar. Misalnya diberikan matrix A. Elemen matrix A pada baris i dan kolom j diberi lambang aij. Index pertama i senantiasa menyatakan nomor baris, dan index kedua j menyatakan nomor kolom. Jika matrix A itu terdiri atas m baris dan n kolom, secara singkat akan ditulis A = (aij), i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Nah, jika aij R, tentulah A Rmxn. Ditulis secara lengkap, a11 a 21 a 31 A (aij) = a m1 a12 a13 a 22 a 23 a 32 a 33 a m2 a m3 a1n a2 n a 3n . a mn Karena tiap kolom dari matrix membentuk vektor kolom, maka juga dapat ditulis, bahwa A (aj) = [ a1 a2 a3 ... an], dengan aj Rn, j = 1, 2, ..., n. Notasi seperti ini tentu saja sangat menghemat tempat. Cara penulisan lain adalah berdasarkan baris. a 1T T a 2 . a = a T 3 a T n T Superskrip (...) ditambahkan untuk menunjukkan bahwa lambang yang bersangkutan membentuk vektor baris. Karena itu, agar masih tetap menghemat tempat, biasanya ditulis pula 3 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 T T T 4 T a = a1 a 2 a 3 a n T. Cara penulisan mana yang dipilih, tentulah tergantung kepada situasi. Sangat menarik untuk diresapi, bahwa sebenarnya besaran vektor merupakan perluasan dari konsep besaran skalar, dan matrix merupakan perluasan dari konsep vektor. Selain itu patut dicatat bahwa notasi vektor membuka peluang untuk melambangkan himpunan besaran dengan sebuah huruf saja, -- berapapun cacah elemen pembentuk besaran itu. Nanti akan ditunjukkan bahwa notasi matrix memungkinkan seseorang untuk mengungkapkan suatu yang komplex dengan cara yang ekonomis. 5. Macam-macam vektor dan matrix Vektor nol, dilambangkan oleh 0, adalah vektor dengan semua elemen bernilai nol. Analog dengan itu, matrix nol (disingkat MNol) adalah matrix dengan semua elemennya bernilai nol. Matrix nol juga diberi lambang 0, dan dari konteksnya akan jelas apakah 0 itu vektor nol atau matrix nol (vektor nol adalah matrix nol dengan cacah kolom = 1). Matrix atau vektor nol berperan mirip nilai real nol, karena operasi aljabar atas matrix ini memberikan hasil yang mirip dengan hasil operasi atas nilai real nol. Jenis vektor yang ternyata penting adalah vektor basis. Vektor basis ei adalah vektor dengan semua elemen bernilai nol, kecuali elemen ke-i bernilai 1. Misalnya, vektor basis e3 R7 adalah 0 0 1 e3 = 0 . 0 0 0 Tentu saja dalam ruang berdimensi n ada vektor basis n buah, yaitu e1, e2, e3, ..., en. Secara singkat: ei Rn dengan 1 i n. Matrix dengan cacah baris sama dengan cacah kolom disebut matrix bujur sangkar (MBS). Dibawah ini adalah MBS A = (aij) RnXn a11 a12 a13 a1n a a 22 a 23 a 2 n 21 a 31 a 32 a 33 a 3n . a n1 a n 2 a n 3 a nn Jika cacah baris tidak sama dengan cacah kolom, matrix disebut matrix persegi panjang (MPP). 4 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 5 Untuk MBS A (aij) RnXn , semua elemen dengan index pertama = index kedua, i = j, yaitu a11, a22, a33, ..., ann, disebut elemen diagonal, karena elemen-elemen itu berada pada garis diagonal (atau diagonal utama). Elemen lainnya (karena tidak berada pada garis diagonal) tentu saja bukan elemen diagonal. MBS A (aij) RnXn dengan aij = aji disebut matrix simetris (disingkat MSim) karena garis diagonal utama berfungsi sebagai sumbu simetri. Matrix diagonal (MDiag) adalah MBS dengan semua elemen bukan elemen diagonal memiliki nilai nol. 0 0 a 11 0 0 a 0 0 22 0 a 33 0 A= 0 0 0 0 a nn Demi tujuan penghematan dalam penulisan, serfing ditulis juga A = diag(a11, a22, a33, .., ann). Matrix satuan (MSat), dilambangkan dengan I, didefinisikan sebagai matrix diagonal dengan semua elemen diagonal bernilai satu. Matrix segitiga ternyata merupakan jenis MBS yang sangat penting. Ada dua jenis matrix segitiga, yaitu matrix segitiga bawah (MSB) dan matrix segitiga atas (MSA). Matrix segitiga bawah A (aij) RnXn memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua i < j. Sebaliknya matrix segitiga bawah A (aij) RnXn memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua j < i. Dalam konteks ini MDiag adalah MSB dan MSA sekaligus, demikian juga MSat. MSB atau MSA dengan semua elemen diagonalnya bernilai satu disebut MSB-satuan atau MSA-satuan. R nXn Dalam berbagai bidang teknik dikenal Matrix Tridiagonal. Matrix tridiagonal A (aij) memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua i - j > 1. Dikenal pula matrix pita A (aij) RnXn memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua i-j > m, untuk suatu nilai m < n . Selain itu dikenal pula matrix jarang, yaitu matrix dengan cacah baris dan cacah kolom yang relatif sangat besar (misalnya 100000) dan dengan sebagian terbesar (misalnya 95%) dari elemenelemennya bernilai nol (dan hanya sebagian kecil saja yang bernilai taknol). Kiranya dapat ditanyakan sekarang, apakah ada jenis matrix yang berindex lebih dari dua? -- Memang ada matrix-matrix jenis itu, bahkan Albert Einstein dikenal sangat memanfaatkan jenis-jenis matrix itu dalam kegiatan penelitiannya; akan tetapi hal itu berada diluar jangkauan pembahasan buku ini. Matrix seperti itu biasanya disebut tensor. 6. Operasi atas matrix Operasi transpose. Operasi transpose atas matrix A, ditulis AT, mengubah elemen-elemen A dalam susunan baris menjadi elemen-elemen dalam susunan kolom dan yang tadinya 5 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 6 membentuk kolom menjadi tersusun dalam baris. Sebagai akitabnya tentu saja (AT)T = A. Oleh karena itu matrix simetris dapat didefinisikan sebagai matrix MBS dengan sifat khusus AT = A. Khusus: Operasi transpose atas vektor kolom menghasilkan vektor baris, dan operasi transpose atas vektor baris menghasilkan vektor kolom. Oleh karena itu jika v adalah vektor kolom, maka vT adalah vektor baris. Operasi perkalian sebuah nilai real dengan matrix. Jika matrix A dikalikan dengan sebuah nilai R, maka baik A maupun A menghasilkan matrix C yang memiliki dimensi sama dengan A. C (cij) dengan cij : = aij. Artinya, matrix C diperoleh dengan mengalikan tiap elemen dari matrix A dengan nilai real . Operasi pertambahan. Matrix A dan matrix B hanya dapat dipertambahkan, jika m = p dan n = q. Artinya, pertambahan dua matrix A dan B hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk A dan B serta cacah kolom A dan B sesuai (compatible). Hasilnya adalah matrix C dengan sifat, bahwa cij : = aij + bij Operasi pertambahan atas dua matrix dilakukan dengan menjumlahkan elemen pada lokasi baris dan kolom yang sama pada kedua matrix yang diperetambahkan tersebut. Tentu saja operasi ini bersifat komutatif, artinya A + B = B + A. Dapat dibuktikan, bahwa (A + B)T = AT + BT. Operasi pengurangan. Matrix A dan matrix B hanya dapat diperkurangkan, jika m = p dan n = q. Artinya, pertambahan dua matrix A dan B hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk A dan B serta cacah kolom A dan B sesuai (compatible). Hasilnya adalah matrix C dengan sifat, bahwa cij : = aij - bij Operasi pengurangan atas dua matrix dilaksanakan dengan melakukan pengurangan atas elemen pada lokasi baris dan kolom yang sesuai pada kedua matrix yang diperkurangkan. Tentu saja, operasi pengurangan matrix A oleh matrix B dapat juga dimengerti sebagai operasi pertambahan matrix A oleh matrix -B. Selain itu juga dapat dibuktikan, bahwa (A - B)T = AT - BT. Operasi perkalian. Operasi perkalian atas matrix A dan B tersebut diatas menghasilkan matrix C := AB, dengan sifat sebagai berikut: n C (cij), dengan cij := a b ik kj i 1 Secara implisit telah disyaratkan dalam rumus ini bahwa operasi perkalian tersebut hanya terlaksana jika cacah kolom n dari A sama dengan cacah baris p dari B adalah sama. Sebagai akibatnya, matrix C memiliki cacah baris m dan cacah kolom q. Dalam hal itu A dan B dapat dikalikan, karena syarat kesesuaian (compatibility) dipenuhi. 6 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 7 Atas dasar itu dapatlah dimengerti bahwa pada umumnya operasi perkalian tidak komutatif. Artinya pada umumnya AB BA sekalipun misalnya kedua operasi perkalian itu dapat dilaksanakan (karena keduanya adalah MBS). Oleh karena itu bekerja dengan lambang matrix dan vektor urutan penulisan adalah penting. Sekarang, dapat juga dibuktikan bahwa (AB)T = BT AT. Perkalian A dengan B untuk menghasilkan matris C seyogyanya dilaksanakan dengan menulis A dan B, sedemikian sehingga tiap elemen dari C dapat dihitung dan dicek dengan mudah. Susunan penulisan yang cocok untuk itu adalah dibawah ini. B AC Contoh berikut menjelaskan hal itu. Disini C : = AB. 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 2 A = 0 4 1 0 0 5 5 3.5 1 5 2 0 1 1 0 2 0 0 2 0 3 1 4 2 5 2 1 2 = B 3 15 . 1 0 5 = C 4 Misalnya, nilai elemen c34 dapat ditetapkan dengan memperhatikan kenyataan bahwa nilai elemen itu diperoleh sebagai hasil operasi atas baris 3 dari matrix A dengan kolom 4 dari matrix B. Oleh karena itu, maka c34 : = (0)(-1) + (-4)(2) + (1)(3) + (0)(1.5) = -5. Nilai elemen lain dapat dihitung dengan cara sama, sebagai latihan. Operasi pembagian. Operasi pembagian tidak didefinisikan. Operasi A/B atau B/A tidak ada dalam kamus aljabar matrix. Operasi invers. Operasi invers mengganti peran operasi pembagian. Matrix A disebut invers dari matrix B, atau B disebut matrix invers dari A jika dan hanya jika AB = BA = I Atas dasar itu digunakan notasi: A = B-1 atau B = A-1. Dapat juga dikatakan, bahwa AA-1 = A-1A = I BB-1 = B-1B = I 7 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 8 Dari kenyataan ini dapat disimpulkan, bahwa matrix satuan I berperan mirip angka real 1 dan A-1 dapat dibayangkan mengambil peran yang mirip dengan 1/A. Itulah sebabnya dalam matrix tidak dikenal operasi pembagian. Selanjutnya dapat dicatat bahwa dari sifat komutatifnya harus ditegaskan disini, bahwa operasi invers hanya terdapat pada matrix bujur sangkar. Artinya matrix persegi panjang tidak memiliki invers. Sebaliknya, pastilah bahwa tidak semua matrix bujur sangkar memiliki invers. Contoh sederhana adalah matrix bujur sangkar dengan semua elemen memiliki nilai nol. Matrix bujur sangkar seperti itu disebut matrix singular. Lawannya (yaitu yang memiliki invers) disebut matrix taksingular. Berapakah (AB)-1? Karena (AB)-1(AB) = I, maka tidak sulit untuk menjabarkan, bahwa (AB)-1 = B-1 A-1. Sebagai sebuah ilustrasi, tinjaulah matrix A sebagai berikut: 5 4 3 2 1 4 4 3 2 1 A = 3 3 3 2 1 . 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Matrix ini ternyata memiliki matrix B sebagai inversnya, dengan 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 B = 0 1 2 1 0 . 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 Relasi invers antara matrix A dan B dapat ditunjukkan dengan verifikasi langsung atas hasil kali A dengan B, atau antara B dengan A. Demikian juga dalam berbagai kajian sering disebut matrix Hilbert, yaitu matrix H (hij) Rn n, dengan hij := 1/(i+j-1). Matrix ini memiliki invers yang berupa matrix G (gij) Rn n, dengan ( 1) i j ( n i 1)! ( n j 1)! gij := , 1 i,j n. (i j 1)[(i 1)! ( j 1)! ] 2 ( n i )! ( n j )! Dapatkah anda menunjukkan bahwa memang G dan H itu berelasi invers? Operasi pendiferensialan dan pengintegralan. Operasi pendiferensialan dan pengintegralan atas besaran vektor atau matrix dilaksanakan dengan mendiferensialkan dan mengintegralkan tiap elemen matrix tersebut. 8 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 9 Operasi pendiferensialan vektor, matrix atau ungkapan yang lain yang mengandung besaran-besaran vektor dan matrix harus mengikuti aturan operasi pendiferensialan dan aturan yang berlaku atas vektor dan matrix. Diberikan matrix A dan B. Operasi pendiferensialan ke variabel bebas t atas matrix A menghasilkan matrix C, yang elemen-elemennya diberi nilai hasil pendiferensialan ke t atas elemen-elemen yang sesuai dari matrix A. Dus d d C = A cij = (aij). dt dt Oleh karena itu d T d (A ) = ( A)T dt dt d d d (A + B) = A + B dt dt dt d d d (AB) = ( A ) B + A ( B). dt dt dt Dalam hal ini, jika A adalah matrix dengan elemen-elemen konstan, tak tergantung pada t, maka d d (AB) = A B. dt dt T Selanjutnya jika A = x dan B = y. didapatkan d T d d (x y) = ( xT) y + xT ( y). dt dt dt Jika dalam pada itu diberikan juga matrix bujur sangkar W dengan elemen-elemen konstan, relasi-relasi dibawah ini harus diterima sebagai hal yang benar juga. d T d d (x Wy) = ( xT) Wy + xT ( Wy) dt dt dt d d = ( xT) Wy + xT W ( y). dt dt Sekarang, jika W juga bersifat simetris, maka (Wx)T = xTWT = xTW membuat d T d d (x Wx) = ( xT) Wx + xT W ( x) dt dt dt d d = ( x)T (Wx) + (Wx)T ( x) dt dt d T = 2 ( x) (Wx). dt Selanjutnya, misalkan x (xk) Rn. Jika pendiferensialan dilakukan bukan ke t tetapi ke xk, maka (xTWx) = 2 ( x)T (Wx) x k x k T = 2 ek Wx. Operasi pengintegralan atas matrix A = (aij) menghasilkan matrix lain B = (bij) yang diperoleh dengan mengintegralkan tiap elemen dari matrix A: bij := aij dx . 9 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 10 Disini x adalah variabel pengintegrasi. 7. Ilustrasi Ilustrasi berikut ini ditampilkan dengan dua tujuan. Yang pertama, ingin ditonjolkan ekonomi atau manfaat dari notasi dan operasi aljabar atas matrix. Sekaligus ingin juga dijabarkan beberapa relasi penting, yang kiranya berguna bagi pembahasan selanjutnya. Perkalian dua buah vektor. Diberikan dua buah vektor x (xi) dan y (yi) dalam Rn. Ada dua operasi perkalian , yaitu xTy dan x yT. Operasi xTy menghasilkan nilai real, karena n T T x y = y x := x y i i i 1 Dalam fisika, operasi ini disebut perkalian dalam, perkalian skalar atau perkalian titik. Jika yTx = 0 maka kedua vektor itu ortogonal (tegak lurus satu sama lain). Dalam literatur ║ x ║ (xTx)1/2 = ( x 1 x 2 x 3 x n )1/2 disebut norm-2 untuk x, dan merupakan nilai real yang penting untuk menyatakan besarnya vektor x. Periksa pembahasan lebih lanjut mengenai hal ini . 2 2 2 2 Operasi x yT disebut perkalian luar. Hasilnya bukan nilai real, tetapi sesuai dengan sajian diatas, sebuah matrix bujur sangkar. x1 y1 x y 2 1 x y x yT : = 3 1 x n y1 x1 y2 x2 y2 x3 y2 xn y2 x1 y3 x1 yn x2 y3 x2 yn x3 y3 x3 yn xn y3 x n y n Dapat juga ditulis, x1 y T T x2 y T x yT : = x3 y = [ y1x y2x y3x ... ynx. ] x yT n Tentu saja x yT y xT. Tetapi x yT = (y xT)T. Khususnya, jika diberikan x : = ei dan y : = ej, maka xTy = eiT ej = 0 jika i j, dan xTy = eiT ej = 1 jika i = j. Dengan kata lain ei dan ej bersifat ortogonal. Selanjutnya, dalam hal ini x yT : = ei ejT = matrix nol dengan elemen baris ke-i kolom ke-j diganti menjadi bernilai satu. 10 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 11 Perkalian matrix dengan vektor. Perkalian matrix A dengan vektor x, jika dapat sesuai, memberi hasil vektor. Hasil kali Ax adalah vektor kolom sedang xTA adalah vektor baris. Himpunan m buah persamaan linear : a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1ixi + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2ixi + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3ixi + ... + a3nxn = b3 ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + aiixi + ... + ainxn = bi am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amixi + ... + amn xn = bm dapat ditulis dalam notasi matrix sebagai berikut: a11 a12 a 21 a 22 a31 a32 a m 1 a m 2 a13 a 23 a33 am 3 a1n a 2 n a3 n a mn b1 x1 b x 2 2 x3 = b3 b m x n atau lebih singkat lagi: dengan A (aij) R mXn Ax = b, dan vektor b (bi) Rm . Sifat linear dari tiap persamaan yang ada didalamnya kiranya tampak dari sifat linear yang muncul dalam tiap-tiap suku yang membentuk persamaan tersebut. Untuk selanjutnya istilah “persamaan linear simultan” dan "persamaan matrix" digunakan bersama-sama, dan dalam arti yang sama. Bagian terbesar dari naskah ini membahas persoalan sebagai berikut: Diberikan : Matrix A (aij) Rm n dan vektor b (bi) Rm Tetapkan : vektor x (xi) Rn, agar Ax = b. Dalam mencoba mencari jawab atau mendapatkan solusi bagi persoalan ini patut diingatkan adanya persoalan azasi, yaitu apakah solusi x tersebut memang ada dan, jika memang ada, apakah solusi itu unik (artinya hanya ada satu buah solusi saja). Jawab bagi persoalan azasi itu diperoleh melalui analisis matematis, dan biasanya berupa sebuah teorema yang telah dibuktikan kebenarannya. Berturut-turut akan dibahas 4 katagori persoalan sebagai berikut: 1. 2. 3. 4. Vektor b Vektor b Vektor b Vektor b 0 dan 0 dan 0 dan = 0 dan m = n (jadi A sebuah MBS); m > n (jadi A sebuah matrix potret); m < n (jadi A sebuah makrix lanskap); m = n (jadi A sebuah MBS). 11 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 12 Persoalan katagori keempat sering diungkapkan juga sebagai persoalan katagori pertama dengan syarat tambahan bahwa b = x. Selanjutnya tiap katagori berurusan dengan atau memiliki bidang penerapan yang nyata dalam industri. Bentuk kuadratis. Besaran skalar := xTWx merupakan bentuk kuadratis = n n i 1 j 1 w ij xi x j . Jika W simetris, maka ada matrix bujur sangkar T dan matrix diagonal sedemikian sehingga W = T TT. Atas dasar itu = xTWx = xT T TTx. Jika dinyatakan y = TTx, maka n = yT y = y j 1 j 2 j . Disini j adalah elemen diagonal ke-j dari matrix D, yang dapat bernilai negatif, nol atau positif. Jika W adalah sedemikian, sehingga > 0 untuk semua vektor taknol x, maka W disebut matrix definit positif. Jika < 0 untuk semua x, maka W disebut matrix definit negatif. Dalam bentuk kuadratis := xTWx, jika x merupakan vektor yang dibentuk oleh arusarus listrik (dalam satuan ampere), sedang W dibentuk oleh elemen-elemen tahanan (dalam satuan ohm), maka besaran skalar = xTWx itu memiliki satuan daya (watt). 8. Matrix terpartisi Matrix dapat ditulis dalam bentuk terpartisi (tersekat). Tiap bagian matrix disebut submatrix. Tiap submatrix memiliki cacah baris dan kolom yang lebih kecil. Dibawah ini diberikan sebuah contoh. 4 2 0 2 2 5 2 1 A = 0 2 5 3 2 1 3 7 0 0 2 1 sebelum terpartisi 4 2 0 2 0 0 2 5 2 1 0 0 2 = 0 2 5 3 2 1 2 1 3 7 1 6 0 0 2 1 8 sesudah terpartisi Sekarang matrix terpartisi A itu dapat ditulis memiliki empat elemen berupa submatrix, A 11 A 21 A= dengan 12 A 12 A 22 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 13 2 A12 = 1 3 A22 = 7 1 4 2 0 A11 = 2 5 2 0 2 5 A21 = 2 1 3 0 0 2 0 0 2 1 6 Vektor pun dapat dipartisi atas subvektor-subvektor yang lebih kecil cacah elemennya. Operasi aljabar matrix dapat juga dilaksanakan pada matrix-matrix dan vektor-vektor terpartisi, dengan catatan, bahwa operasi aljabar atas submatrix-submatrix dan subvektor-subvektor yang terlibat didalamnya juga dapat dilaksanakan. Kesesuaian (compatibility) harus tetap dipenuhi. 9. Tiga jenis matrix yang istimewa Ada banyak matrix yang memiliki ciri istimewa dengan kegunaan yang istimewa pula. Pada kesempatan ini hanya dibicarakan tiga buah saja, yaitu matrix permutasi, matris Householder dan matrix Gauss. Matrix permutasi. Diberikan matrix A [a1 a2 a3 ... an] dengan a Rn, dan vektor basis ei. Tidaklah sulit untuk menunjukkan, bahwa A ei = ai. Artinya, A ei = vektor yang membentuk kolom ke-i dari matrix A. Jika demikian halnya, tentulah eiT A sama dengan baris ke-i dari matrix A tersebut. Tinjaulah sekarang, matrix P I - (ei - ej) (ei - ej)T, dengan i j. Seharusnya matrix ini diberi lambang Pij, untuk menunjukkan ketergantungan matrix tersebut terhadap i dan j. Untuk menyederhanakan notasi digunakan notasi P saja. Matrix ini bersifat simetris, karena PT = ( I - (ei - ej) (ei - ej)T )T = IT - ((ei - ej) (ei - ej)T)T = I - ((ei - ej)T)T (ei - ej)T =P Sekarang, matrix apakah PA dan AP itu? Kedua operasi ini dapat dilaksanakan. Memanfaatkan operasi aljabar atas matrix, PA = ( I - (ei - ej) (ei - ej)T) A = A - (ei - ej) (ei - ej)T A = A - (ei - ej) (eiT A - ejT A) = A - ei eiT A + ei ejT A + ej eiT A - ej ejT A. Dengan sedikit imaginasi, jika aTk = baris ke-k matrix A, maka ei eiT A = matrix nol dengan baris ke-i diganti dengan aiT; ei ejT A = matrix nol dengan baris ke-i diganti dengan ajT; 13 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 14 ej eiT A = matrix nol dengan baris ke-j diganti dengan aiT; ej ejT A = matrix nol dengan baris ke-j diganti dengan ajT. Oleh karena itu, maka PA = matrix A dengan baris i dan baris j dipertukarkan. AP = matrix A dengan kolom i dan kolom j dipertukarkan. Atas dasar itu matrix ini disebut matrix permutasi. Selanjutnya, dapat ditunjukkan, bahwa PPT = PP = I. Artinya P-1 = PT. Semua matrix yang inversnya adalah transposenya disebut matrix ortogonal. Matrix satuan pun merupakan matrix permutasi (meskipun tanpa ada yang dipertukarkan). Salah satu penerapan adalah kegiatan penting dalam pengolahan data untuk mengurutkan (dari angka kecil ke angka besar) satu deretan data numeris (misalnya, umur). Jika deretan awal data numeris itu dikemas dalam vektor co, maka mengurutkan operasi permutasi P1 atas co menghasilkan c1, c1 : = P1 c0, sehingga elemen pertama vektor c1 bernilai terkecil. Selanjutnya, atas c1 dilakukan operasi permutasi P2, agar c2 : = P2c1 memiliki elemen kedua dengan nilai terkecil berikutnya, ... dan seterusnya, sampai cn-1 : = Pn-1(Pn-2(...(P3(P2(P1co))) ... )) = Pn-1Pn-2 ... P3P2P1 co memiliki elemen dengan nilai yang sudah urut dari yang terkecil ke yang terbesar. Tentulah pemilihan matrix permutasi Pi itu tergantung pada deretan awal, serta hasil-hasil antaranya. Tentulah pula ada matrix permutasi yang ternyata berupa matrix satuan saja. Pada kesempatan ini patutlah dicatat, bahwa data pada umumnya dikemas dalam bentuk vektor. Jika data dikemas dalam bentuk tabel (matrix), maka tabel (matrix) itu dapat dimengerti sebagai vektor dengan elemen-elemen yang membentuk vektor; dus secara azasi adalah vektor juga. Sebaliknya, besaran yang disebut matrix tampaknya memiliki makna lain, karena misalnya dalam mengurutkan himpunan data, matrix digunakan sebagai operator untuk melakukan operasi yang diinginkan. Matrix sering berperan sebagai operator untuk operasi atas suatu obyek. Matrix Householder. Tinjaulah matrix Householder H I - x xT , dengan x diketahui. Tetapkan nilai dari R agar H bersifat ortogonal. Bahwa H simetris dapat didemonstrasikan dengan mudah. Penerapan sifat ortogonalitas menghasilkan relasi dibawah ini: HHT : = ( I - x xT ) ( I - x xT )T = I - x xT - x xT + 2 x xT x xT = I - 2 x xT + 2( xT x ) x xT, karena xT x bernilai real. Agar HHT : = I, tentulah 14 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 15 2 = 2 (xT x). Ada dua kemungkinan. Pertama, : = 0 -- tentu saja. Kedua, = 2/( xT x) Dalam Rn , ruang real berdimensi n, sebuah vektor c terlukis sebagai sebuah titik saja dalam ruang real tersebut. Jika sebuah matrix Q dioperasikan atas titik tersebut, Qc akan terlukis sebagai sebuah titik lain dalam ruang real itu. Matrix lain S yang dapat berfungsi sebagai operator untuk mengembalikan titik lain itu ke titik (awal) tentulah merupakan invers dari Q tersebut. Karena SQc = c, tentulah SQ = I, atau S = Q-1. Jika Q ortogonal, Q-1 langsung dapat dikonstruksi. Pertanyaan: untuk sembarang vektor taknol c, adakah matrix yang bukan matrix nol, yang sebagai operator atas c menghasilkan vektor nol? Masalah ini dibahas dalam suatu bab berikut. Matrix Gauss. Matrix Gi I - m eiT, untuk pilihan nilai atas vektor m tertentu disebut matrix Gauss. Jika matrix ini dioperasikan kepada sebuah matrix A, maka Gi A = ( I - m eiT ) A = A - m eiT A. eiT A = baris ke-i dari matrix A = aiT. Khususnya, jika dipilih agar m [ 0 0 .. 0 mi+1 mi+2 .. mn]T, yaitu bahwa I elemen pertama dari m diberi nilai nol, maka 0 0 0 A# m eiT A = m a T i 1 i T mi 2 a i T mn a i membentuk matrix A# dengan sifat sebagai berikut: elemen-elemen dalam baris 1, 2, ..., i bernilai nol, elemen-elemen dalam baris i + 1 bernilai mi+1 kali nilai elemen-elemen dalam baris i dari A, elemen-elemen dalam baris i + 2 bernilai mi+2 kali nilai elemen-elemen baris i dari A, elemen-elemen dalam baris i + 3 bernilai mi+3 kali nilai elemen-elemen baris i dari A, ... dan seterusnya. Maka diperoleh dibawah ini: 15 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 # GiA : = A - A = a iT1 T a i 2 T a n 16 T a2 T ai T mi 1 a i T mi 2 a i T mn a i T a1 Perhatikanlah, bahwa GiA merupakan matrix yang sama dengan A untuk i baris yang pertama, dan untuk (n-i) baris berikutnya nilai elemen-elemennya, khususnya untuk kolom i, dapat dibuat memiliki sifat tertentu (yaitu bernilai nol) lewat pilihan jitu atas mi+1, mi+2, ... mn-1, dan mn. Jadi matrix Gauss Gi dapat didefinisikan sebagai Gi = (I + m e iT), dengan m (mk) dan mk = 0 untuk k > i. Matrix ini memiliki dua sifat penting sebagai berikut: 1. Gi-1 = (I - m e iT). Dengan perkataan lain invers sebuah matrix Gauss adalah matrix Gauss juga. Sebuah sifat dan operasi invers yang murah sekali. 2. G1 G2 ... Gk = G1 + G2 + ... + Gk - (k-1) I . (Juga sebuah operasi yang murah, bukan?!) Kedua sifat ini dapat dibuktikan kebenarannya dengan mudah dan dimanfaatkan sepenuhnya dalam proses eliminasi Gauss (periksa dibawah ini). Tinjaulah dahulu sebuah matrix A dibawah ini: 1 2 A:= 0 5 1 3 1 0 . 4 2 5 5 2 4 2 0 Sebagai matrix G1, ambillah 1 m 2 G1 : = m3 m4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 0 0 1 1 2 0 5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 yaitu dengan memilih m2 : = -2/1 = -2, m3 : = -0/1 = 0, dan m4 : = -5/1 = -5. Pilihan ini memang dikaitkan dengan nilai-nilai elemen dalam kolom 1 dari matrix A tersebut. Atas dasar ini, dihitung 16 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 1 0 2 1 G1A : = 0 0 5 0 1 2 0 1 = 0 4 0 5 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 2 5 2 1 1 2 0 5 17 1 3 1 0 4 2 5 5 2 4 2 0 Perhatikanlah, bahwa elemen kolom 1 dari G1A bernilai nol semua untuk baris 2 dan seterusnya. Sekarang dipilih agar G2 adalah sebagai berikut. Pilihan ini didasarkan pada komposisi nilai dalam kolom 2 matrix G1A. 1 0 0 1 G2 : = 0 m3 0 m 4 0 0 0 0 1 0 = 0 1 1 0 0 1 0 4 0 5 0 0 0 0 1 0 0 1 G2 dioperasikan kepada G1A. Hasilnya adalah 1 0 0 1 G2G1A : = 0 4 0 5 1 0 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 1 2 0 2 3 0 7 9 1 2 0 1 0 1 1 2 0 4 2 5 0 5 2 1 Sekarang untuk kolom 2, elemen baris 3 dan 4 telah menjadi bernilai nol. Jika G3 sekarang dipilih (mengapa demikian?) 1 0 G3 : = 0 0 0 0 1 0 0 1 0 m4 0 1 0 = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 7 / 2 1 0 0 dan dioperasikan atas G2G1A, maka 17 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 1 0 G3G2G1A = 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 1 0 7 / 2 1 0 1 1 2 2 3 0 15 . 0 0 1 0 0 2 1 0 0 18 1 2 0 1 0 1 1 2 0 0 2 3 0 0 7 9 U G3G2G1A sekarang telah merupakan matrix segitiga atas. Selanjutnya, karena G1-1 1 2 = 0 5 0 0 0 1 0 0 , 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 G2-1 = 0 4 0 5 0 0 0 0 , G3-1 = 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 1 0 0 7 / 2 1 0 0 Maka menurut sifat kedua, L G1-1 G2-1 G3-1 0 1 0 2 1 0 = 0 4 1 5 5 7 / 2 0 0 . 0 1 Perhatikanlah, bahwa ternyata 0 1 0 2 1 0 LU = 0 4 1 5 5 7 / 2 L 0 0 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 2 2 = 0 0 2 3 0 . 5 0 0 0 15 U = Fakta menarik ini dibahas lebih lanjut dalam bab yang akan datang. 18 1 3 1 0 = A. 4 2 5 5 2 4 2 0 A Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 19 10. Metode eliminasi Gauss Sekarang marilah ditinjau penemuan diatas dalam konteks yang lebih luas, misalkan dalam persamaan linear simultan Ax = b dibawah ini 1 2 0 5 1 3 1 0 4 2 5 5 2 4 2 0 x1 1 x 1 2 x 3 = 1 x4 1 Jika G1, G2, dan G3 berturut-turut dioperasikan atas ruas kiri dan ruas kanan persamaan Ax = b, diperoleh persamaan matrix baru: G3G2G1A x = G3G2G1 b. Dengan memperhatikan hasil diatas, persamaan ini selengkapnya adalah sebagai dibawah ini: 1 2 0 1 0 1 1 2 0 0 2 3 . 0 0 0 15 x1 1 x 1 2 = x3 3 x4 9.5 Dapat ditunjukkan bahwa soal tipe ini dapat dipecahkan dengan mudah. Vektor x, penyelesaian atas persamaan matrix ini, sekarang diperoleh. Proses yang melibatkan matrix Gauss untuk menghasilkan matrix segitiga disebut “triangulasi” dan metode yang disajikan disini disebut metode eliminasi Gauss. Kiranya dapat disimpulkan, bahwa matrix Gauss sangat berguna dalam mengubah persamaan matrix Ax = b, secara sistematis, menjadi persamaan matrix yang setara Ux = y, dengan U matrix segitiga atas. Itulah proses eliminasi Gauss, yang akan dibahas lebih lanjut kemudian. 11. Relasi Sherman-Morrison-Woodbury Sherman, Morrison dan Woodbury (disingkat SMW) secara terpisah telah menemukan relasi dibawah ini. ( A + u vT )-1 = A-1 - 1 A-1 u vT A-1 1 v T A 1 u Perhatikanlah, bahwa 1 + vTA-1u bernilai real. Untuk membuktikan kebenaran relasi ini dimanfaatkan sifat invers. Konkritnya, harus dicek apakah misalnya 19 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 Q (A + u vT) (A-1- 1 20 A-1u vTA-1) = I. Cara terbaik adalah menguraikan perkalian matrix tersebut: 1 1 Q = A A-1 A A-1 u vT A-1 + u vT A-1 u vT A-1 u vT A-1 =I- 1 u vT A-1 + u vT A-1 - 1 T -1 uv A 1 1 = I - 1 (QED) u vT A-1 = I. Dengan memanfaatkan kenyataan bahwa vT A-1 u = - 1, relasi SMW itu memang terbukti benar adanya. Apakah kehebatan relasi ini? Ada dua matrix A dan B, dengan B hanya berbeda dari A sebesar u vT saja, yaitu B = A + uvT. Menurut SMW, jika A telah diketahui inversnya, maka invers dari B dapat dihitung dengan melakukan koreksi atas invers A. Atas dasar kenyataan itu, invers sembarang matrix Z (jika invers itu ada) dapat ditetapkan dengan penerapan berulang-ulang relasi SMW, bertolak dari fakta awal, misalnya, bahwa invers dari matrix satuan adalah matrix satuan juga. Sebagai ilustrasi, diketahui bahwa 4 3 H 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 memiliki invers dibawah ini, yang dapat dibuktikan dengan langsung memperkalikan kedua matrix itu untuk mandapatkan matrix satuan. 0 1 1 0 1 2 1 0 H-1 0 1 2 1 . 0 1 2 0 Sekarang ingin ditetapkan invers dari matrix 0 2 1 0 1 2 1 0 G 0 1 2 1 . 0 1 2 0 Tampaklah, bahwa matrix G berbeda dari H-1 hanya pada elemen pada pojok kiri atas. Oleh karena itu, karena 20 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 21 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 2 1 0 0 G 0 1 2 1 = 0 1 2 1 + 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 maka teramati bahwa dalam relasi SMW tersebut A = H-1, dan u = v = e1. Jadi karena 4 3 1 + vTA-1u = 1 + 1 0 0 0 2 1 3 2 1 1 3 2 1 0 2 2 1 0 1 1 1 0 =5 maka A-1 4 3 G-1 2 1 - 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.6 12 . 0.8 = 0.4 0.8 12 . 0.2 0.4 0.6 1 4 1 3 5 2 1 A-1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 u vT 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A-1 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 0.2 0.4 0.6 . 0.8 Marilah kita coba menghitung berapa besarnya beban komputasi dalam menghitung invers dengan bantuan relasi SMW. Pada umumnya yang disebut beban komputasi adalah cacah operasi perkalian atau pembagian atas dua nilai skalar yang diperlukan agar seluruh operasi komputasi diselesaikan. Satuan yang dipakai adalah flops, singkatan dari floating point operations. Dalam pengertian itu, operasi perkalian skalar uTv atas dua vektor u, v Rn adalah n flop, tanpa mempertimbangkan kemungkinan adanya nilai nol diantara elemen-elemen dalam kedua vektor itu. Atas dasar itu beban komputasi atas perkalian matrix A RnXn dengan vektor v Rn adalah n2 flops. Jika kenyataan itu diterapkan pada rumus SMW, maka: beban komputasi untuk menghitung 1 + vTA-1u adalah n2 buah flops untuk A-1u dan n buah flops untuk vT(A-1u); total n2+n flops; beban komputasi untuk (A-1u)(vTA-1) adalah 3 n2 flops; karena itu, maka beban komputasi untuk satu operasi SMW adalah 4 n2 + n + 1 flops. 21 Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /24/07/17 -1:35 22 Misalkan operasi SMW dilaksanakan atas dasar fakta bahwa invers matrix satuan adalah matrix satuan juga. Maka untuk matrix berdimensi n n harus dilakukan n buah operasi SMW. Oleh karena itu beban komputasi untuk menetapkan invers dengan relasi SMW adalah n (4 n2 + n + 1) = 4 n3 + n2 + n flops. Beban komputasi sebesar ini tidak terasa untuk n yang kecil. Akan tetapi untuk matrix dengan n besar akan sangat nyata dampaknya pada waktu komputasi. Misal digunakan komputer dengan 1 flops memerlukan 10 detik, untuk matrix dengan n = 100 dibutuhkan waktu komputasi tidak kurang dari 40 detik. Apakah ada cara yang lebih baik untuk menghitung invers? Berikut ini disajikan program MATLAB untuk melaksanakan operasi penetapan invers dengan metode SMW. function [a] = smw(a) % mencari invers matrix dengan sherman-morrison-woodbury % matrix a harus diinputkan lebih dahulu [m,n] = size(a); c = a - eye(n,n); a = eye(n,n); for k = 1:n z = 1 + a(k,:)*c(:,k); a = a - a*c(:,k)*a(k,:)/z; end; MATLAB memiliki fasilitas inv(a) untuk menghitung invers dari matrix A. Bandingkanlah unjuk kerja dari smw(a) dengan inv(a), dengan mengamati cacah flops yang digunakan untuk menetapkan matrix pada berbagai dimensi. 22
