Model Persamaan Ruang Keadaan ( State

Matakuliah
Tahun
Versi
: H0134 / Sistem Pengaturan Dasar
: 2005
: <<versi/revisi>>
Pertemuan 23-24
Model Persamaan Ruang Keadaan
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• mengembangkan analisis sistem
pengaturan dalam model persamaan
Ruang Keadaan (state space)
2
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Model Ruang Keadaan:
Konsep state State space
Definisi , model persamaan
state variable
state space
persamaan keadaan
matrix transisi keadaan
Hubungan Fungsi alih dengan pers. ruang keadaan
persamaan output
controllability
observability
3
• Model Persamaan Ruang Keadaan
( State Space Model )
– Teori kontrol modern diperlukan karena kecenderungan
sistem yang makin kompleks yang mungkin mempunyai
multiple input dan multiple output.
– Sistem kontrol modern dengan model ruang keadaan menggunakan pendekatan wawasan waktu ( time domain )
berbeda dengan sistem kontrol konvensional yang
menggunakan wawasan frekuensi.
– State dari suatu sistem dinamik adalah himpunan variabelvariabel yang paling kecil ( disebut variabel keadaan / state
variable ) dimana pengetahuan tentang variabel ini pada t =
t0 bersama dengan pengetahuan tentang input pada t  0
secara lengkap akan menentukan kelakuan dari sistem
untuk t  t0.
– State variable menentukan state / keadaan dari sistem
dinamik. Jika paling sedikit diperlukan n variabel x1, x2 ,
……..xn untuk menggambarkan secara lengkap kelakuan
dari sistem dinamik maka n variabel diatas adalah himpunan
variabel keadaan.
4
– State vector adalah vektor yang n buah komponenkomponennya merupakan n buah variabel keadaan.
– State space adalah ruang berdimensi n yang sumbu
koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2, …….., sumbu
xn.
– Persamaan Ruang Keadaan

x( t )  A( t )x( t )  B( t )u( t )
y( t )  C( t )x( t )  D( t )u( t )
A(t) : state matrix.
B(t) : input matrix.
C(t) : output matrix.
D(t) : direct transmission matrix.
5
– Diagram Blok sistem dengan ruang keadaan
D(t)
u(t)
B(t)
X(t)
+
X(t)
dt
+
+
C(t)
+
y(t)
A(t)
– Pada sistem mekanik berikut akan diturunkan persamaan
keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang
merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yang
merupakan perpindahan dari massa m dari titik setimbang
ketika tidak ada gaya luar
6
Pada sistem mekanik berikut merupakan sistem orde 2 akan
diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya.
u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan
y(t) adalah output yaitu perpindahan posisi dari massa m dari titik
setimbang ketika tidak ada gaya luar

y(t)

K
m y  b y  ky  u
u(t)
M
B
7
Dari persamaan (1) , (2) dan (3) :

x1  x2


1
1
(  ky  b y )  u
m
m

k
b
1
x1  x2  u
m
m
m
x2 
x2  
Persamaan output
y  x1
Dalam bentuk matriks persamaan adalah :
   0
1 
x
1
  

  k
b


x  
m 
 2  m
x 
y  0 1  1 
x2 
 x1 
 
 
 x 2 

0
 
1 u
m 
8
Persamaan diatas merupakan persa-maan keadaan
dan persamaan output dari sistem mekanik dan
mempunyai bentuk standar :

x( t )  A( t )x( t )  B( t )u( t )
dengan matrik D = 0
y( t )  C( t )x( t )  D( t )u( t )
9
• Fungsi Alih terhadap Persamaan Ruang Keadaan
Persamaan keadaan dan output sistem dinyatakan
sbb :

x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Jika pada persamaan di atas dilakukan transformasi
Laplace dengan kondisi awal x(0) adalah nol, maka :
SX = AX + BU
Y = CX + DU
( sI – A ) X = B.U
masukkan persamaan ini ke persamaan untuk Y,
10
Y = C( sI – A )-1BU + DU
Y = [ C( sI – A )-1B + D ] U
Fungsi alih G(s) adalah ratio output terhadap input :
Y ( s)
[C ( sI  A) 1 B )  D ]U
G ( s) 

U ( s)
U
G ( s )  C ( sI  A) 1.B  D
Contoh soal :
Tentukanlah fungsi alih sistem mekanik pada contoh
soal sebelumnya.
11
G ( s )  1

1

 
0  s
 0


G ( s )  1
s

0 
k
 m
G ( s )  1
b

s


m
1

0[
]
b
k 
2
s 
s
k

m
m  
 m
G ( s) 
 0
0 


k
1 
 m
1 


b
s
m 
1
1 



b
 
m  

1
0
 
 0
1
 m 
0
 
 
1
 m 

1



s

0
 
 
1
 m 
1
ms 2  bs  k
12
Terminologi State space:
•
State
•
•
State variable
•
•
Sekumpulan minimum variable;shg dgn mengetahui keadaan variable
tsb dpt menggambarkan keadaan sistem
Sekumpulan variable minimum untuk dptmendeskripsikan sistem
State vector
•
Vektor yg menentukan secara unik keadaan sistem
•
State space
• Ruang berdimensi n dengan sumbu x1, x2,.......xn
• Dengan x adalah state variable
•
Persamaan state space
•
Persamaan untuk mendeskripsikan sistem; tidak unik tetapi
mempunyai jumlah state variable yg sama utk sistem yg sama
13
Model Ruang Keadaan (state space)
14
15
16
17
18
r(t)
e
1
x2
2
s 1
x1= y
s3
y  x1
ur
x3
3
s  4
2
. x2
s3
x1 
x2 
1
(u  x3)
s 1
x3 
3
x1
s4



s.x1  3.x1  2. x 2
s. x 2  x 2  u  x3
s.x3  4 x3  3. x1

x1  3x1  2x2

x2   x2  x3  u

x3  3x1  4 x3
dalam bentuk matriks (state space) dituliskan sebagai:
 x1 
 
 x 2  
 x3 
 
0   x1   0 
 3 2

   
 0  1  3   x2    1  u
 3
0  4   x3   0 

 x1 
 
y  1 0 0  x 2 
 x3 
 
19
u
1
s 1
y  x2
2
.x1
s3
1
x1 
.u
s 1
x2 
s.x1  x1  u
s.x 2  3x 2  2.x1
X2
X1
2
s3
y
x1   x1  u
x 2  2 x1  3 x 2
y  x2
 x1 
 
 x2 
  1 0   x1   1 
      u
 
2

3

  x2   0 
 x1 
y  0 1  
 x2 
20
u
y
2
s2  14s  3
y  x1
x1  x2  y
Pers. Diferensial sistem:
X1
( s 2  4 s  3)Y ( s )  2.u ( s )
d2
d
y
(
t
)

4
y (t )  3 y (t )  2.u (t )
2
dt
dt
dalam bentuk persamaan keadaan:
 x1 
 
 x2 
1   x1   0 
 0
      u
 

3

4

  x2   2 
x 
y  1 0 1 
 x2 
21
X2
u1
3
s5
m
+
1
s 1
x1= y
y  x1
x1 
1
( x 2  x3)
s 1
+
2
s3
u2
s x1  x1  x 2  x3
x1   x1  x2  x3
X3
2
x3 
.u2
s3
s.x3  3 x3  2 u2
x3   3 x3  2 u2
3
u1
s5
sx2  5 x2  3 u1
x2   5 x2  3u1
x2 
22
1   x1   0 0 0   u1 
 x1    1 1
  
  
 

x

0

5
0
x
2

3
0
0
 2 
  
  u2
 x   0
0  3   x3   0 2 0   0 
 3 
 x1 
 
y  1 0 0  x 2 
 x3 
 
23
syms s t
a=[-1 1 1;0 -5 0;0 0 -3]
b=[0 0 0;3 0 0;0 2 0]
c=[1 0 0]
u(1)=laplace(diff(t))
u(2)=laplace(diff(2*t))
u=[u(1);u(2);0]
w=s*eye(3)-a
wi=inv(w)
x=wi*b*u
xt=ilaplace(x)
x1=x(1)
x2=x(2)
x3=x(3)
yt=x(1)
pretty(yt)
24
Controllability dan observability sistem pengaturan
Controllability sistem pengaturan
•
Sistem disebut controlable jika utk semua input u(t) maka semua state
dapat dialihkan berdasarkan input tsb.
observability sistem pengaturan
•
Pd sistem yg observable maka semua state dpt diketahui
keadaannya (‘’dpt diukur ’’)
G0
Sistem dgn 4 diagram sub-sistem:
G0 =unobservable & uncontrollable
G1
G2
G1 = controllable & unobservable
G2 =controllable & observable
G3 = uncontrollable & observable
U(t)
G3
25