Logika Proposisional - E

ILMU
KOM
PUTER
FAK
MIPA
UGM
Logika Informasi
Materi.
1). Logika Proposisi.
a). Pengenalan Informal
b). Penghubung Logis (Operator, Functor)
c). Tabel Kebenaran dp Formula.
d). Penghubung Logis yang lain.
e). Memanipulasi Formula Proposisinal.
f). Negasi dp Formula Proposisional.
g). Argumen.
Logika Informasi
Buku Teks.
Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” ,
Prentice Hall .
Buku Referensi .
1). Arindama Singh , 2004 ; “Logics For Computer Science ”, Prentice Hall of
India.
2). Manna, Z and Waldinger, R., 1985 , “ The Logical Basis for Computer
Programming” , Addison-Wesley Publishing Company. Inc.
3). Suprapto, Logika Informatika, 2003, “Logika Informatika (Dasar-dasar
Logika untuk Pemrograman Komputer & Perancangan Komputer) ”,
Penerbit Gava Media Yogyakarta.
4). Setiadi Rachmat, 2004 , “ Pengantar Logika Matematika”, Penerbit
Informatika Bandung.
Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Mereka
menyajikan pernyataan seperti misalnya :
1. Saya mempunyai uang
2. Benda ini tenggelam dalam air
3. Kotak ini berisi cabe
4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam
5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI
6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf.
7. Saya lapar
8. Benda ini padat
9. India merupakan suatu negara
10. 1 + 101 = 110
Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap yaitu
T(rue) atau F(alse)
Logika Proposisional
Pengenalan Informal
•
Logika adalah suatu system berbasis proposisi.
•
Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat
ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) dan tidak keduanya.
•
Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah
satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan
dengan F).
•
Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1
Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan mengguna
kan penghubung logis yang disebut operator atau functor.
Sebagai contoh :
1) Saya mempunyai uang dan saya lapar
2) Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (ba
lok) akan tenggelam diair.
3) Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI
4) Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot.
5) Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya pu
tus.
Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut :
1) Tutuplah pintu itu
2) Dilarang merokok
3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu
Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraan
kita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah se
dang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam lo
gika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentu
kan.
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini suatu pernyataan?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
yes
Apa nilai kebenaran daripada
proposisi tersebut?
true
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“520 < 111”
Apakah ini suatu pernyataan ?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
yes
Apa nilai kebenaran daripada
proposisi tersebut?
false
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“y > 5”
Apakah ini suatu statement?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
no
Nilai kebenarannya tergantung pada nilai daripada
y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not specified).
Kita sebut tipe pernyataan ini suatu fungsi
proposisional atau kalimat terbuka.
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.”
Apakah suatu statement?
yes
Apakah ini suatu proposition?
yes
What is the truth value
of the proposition?
false
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“Please do not fall asleep.”
Apakah ini suatu pernyataan?
no
Ia adalah suatu permintaan.
Apakah ini merupakan proposisi?
Only statements can be propositions.
no
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“Jika gajah berwarna merah,
Mereka dapat sembunyi dibawah pohon perdu.”
Apakah ini suatu pernyataan?
yes
Apakah ini suatu proposisi?
yes
Apa nilai kebenaran daripada
proposisi tersebut?
Probably
false
Permainan.
The Statement/Proposition Game
•
“x < y if and only if y > x.”
Apakah ini suatu pernyataan?
Apakah ini suatu proposisi?
yes
yes
…karena nilai kebenarannya tidak tergantung
pada nilai yang diberikan untuk x dan y
Apa nilai kebenaran dp proposisi tsb?
true
Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Definisi .
Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang
memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah
saja, akan tetapi tidak keduanya.
Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi
disebut atom.
Logika Proposisional
Pengenalan Informal
Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru
maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang
dilambangkan dng simbol :
1).  : “not”, atau “negasi” ( simbol lain adl ~ )
2).  : “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &)
3).  : “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or”
4).  : “xor”, atau “exclusive or”
5). : “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional”
6). : “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
1) Negasi (not)
Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p”
akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan
p
( “” disebut operator unary/monadika) dan akan digambarkan dng
tabel kebenaran sebagai berikut :
p p
T
F
F
T
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
2) Konjungsi/conjunction (and)
Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jika
p dan q suatu proposisi, pernyataan p and q akan bernilai kebenaran
T jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T,
dan ditulis dengan
pq
dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb
dan mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat pada slide berikut :
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
Tabel kebenaran juga dapat disajikan dng suatu bentuk dua di
mensi sebagai berikut :
pq
T
F
T
F
p
T
F
F
F
q
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
•
Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi
dua variabel
•
Perhatikan bahwa untuk kalimat “Benda ini berwarna merah”
dan “Benda ini berwarna putih” jika digandeng dengan “and”
maka berbunyi “Benda ini berwarna merah “and” putih” yang
artinya lain dengan “Benda ini berwarna merah and Benda ini
berwarna putih”, jelaskan !!
•
Sifatnya : 1) Komutatif ( p  q = q  p)
2) Asosiatif ( (pq)r = p(qr) )
•
Operand daripada suatu kunjungsi juga disebut dng conjunct.
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
3) Disjungsi (or)
Disjungsi yang juga ada yang menyebut dengan alternatif yang ber
sesuaian dengan bentuk “ Salah satu dari … atau ….” (“Either.. Or..) .
Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q
(atau keduanya) bernilai T, dan ditulis :
pq
dan mempunyai tabel kebenaran seperti pada slide berikut.
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Sifat :
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
T
T
F
1) Komutatif ( p  q
=qp
)
2) Asosiatif ( (p  q)  r = p  (q  r) )
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
• Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif or”
dan “exclusive or”.
Sebagai contoh :
• “Pintu rumah terbuka” or “jendela rumah terbuka”. Hal tersebut
dapat keduanya
• “Suta pergi kekantor naik becak” or “Suta pergi kekantor naik
angkot”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya.
• Contoh pertama “or inclusive” dan disimbolkan dengan 
• Contoh kedua “or exclusive” atau “non-equivalen” dan disimbol
kan dengan  ( atau XOR atau  )
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
4) Implikasi (Implication)
Arti dp pernyataan “If p then q” atau “p implies q” atau “q if p”
atau “p hanya jika q” atau “q sarat perlu untuk p” atau “p sarat
cukup untuk q” adalah T jika salah satu dari p bernilai T dan q ber
nilai T atau jika p bernilai F. Jika tidak demikian, yaitu p bernilai T
dan q bernilai F, maka nilai F. Ditulis :
pq
dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut (ada yang menggu
nakan simbol )
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
Pernyataan berikut adalah sama :
1). “If p then q”
3). “q if p”
5). “q sarat perlu untuk p”
2). “p implies q”
4). “p hanya jika q”
6). “p sarat cukup untuk q”
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat :
“Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport”
Penjelasannya adalah sebagai berikut :
1) Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka
legal (T)
2) Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempu nyai passport (F),
maka illegal (F)
3) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempu nyai passport (T),
maka legal (T)
4) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport
(F), maka legal (T)
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
kondisional konversi inversi kontrapositif
pq
qp
p  q
q  p
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
•
Perhatikan bahwa : pernyataan p  q selalu mempunyai tabel
kebenaran dng (p)  q dan juga dengan (pq), (buat tabel
kebe narannya)
•
Contoh penggunaannya :
Buktikan bahwa jika x bilangan real maka jika x^2 bilangan gasal
maka x bilangan gasal.
Bukti andaikan x genap maka x = 2n dimana n sebarang bilangan
real. X^2 = (2n)^2= 4n^2 = 2(2n^2) yang juga bilangan genap.
Sehingga didapat, dengan kontraposistif, terbukti.
Resume
, , , →
Negasi
T
F
.
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
p
p
s
p r
q
..
p
F
T
p
q
T
T
T
F
pq
Disjungsi
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
Konjungsi
Implikasi (berarti : If p then q atau p implai q atau
q if p atau p hanya jika q, atau q sarat perlu p)
Resume
p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
Kondi
sional
pq
T
F
T
T
Kon
versi
qp
T
T
F
T
Inver
si
p  q
Kontra
Posisi
q  p
T
T
F
T
T
F
T
T
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
5) Ekuivalensi
Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenar
an T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yg
sama ditulis dengan simbol :
pq
dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut ( ada yang
menggunakan simbol )
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
Sifat :
1) Komutatif ; ( p  q = q  p)
2) Asosiatif ; ( (p  q)  r = p  (q  r) )
3) Pernyataan (p  q) mempunyai tabel kebenaran yang sama
dengan pernyataan p  q (Tunjukan)
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
•
Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan “ p
jika dan hanya jika q”
•
Pernyataan p  q disebut juga dengan bikondisional daripada p dan
q, sebab ia selalu mempunyai tabel kebenaran sama-dng
p  q =T (p  q )  (q  p) atau (p  q)  (p  q)
•
Ditulis dengan p  q =T (p  q)  (q p)
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
•
Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat :
•
n
 pi
i=1
•
n
 pi
i=1
n
;
v pi ;
i=1
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
•
•
•
•
Prioritas Operator
Terkuat monadika ()
Untuk diadika terkuat (), kemudian () dan berikutnya ()
dan yang lainnya berikutnya lagi seperti misalnya ()
Contoh :
“Saya lapar  saya sedih  saya bahagia  saya telah kenyang ”
berarti
“(Saya lapar  saya sedih)  (saya bahagia  saya telah kenyang)”
Soal-Soal
Mana yang pernyataan dan mana yang bukan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ngawi adalah ibukota propinsi Jawa Timur.
Dilarang merokok
119 adalah bilangan bulat
Buka pintu
Logika informatika adalah mudah
Yogya kota pelajar
Makanlah yang banyak
Sesama cabup tak boleh saling mendahului
Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah
Soal-soal
1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika
a. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian
b. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilang
an prima
a. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya
mendapat hadiah TTS
Jawab
a. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian
Kalimatnya menjadi : P  Q
a. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima
Kalimatnya menjadi : P  Q
a. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan
R = saya mendapat hadiah TTS
Kalimatnya menjadi : (Q  R)  P
Soal-soal
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini :
a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima
b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0
c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3
Jawab :
a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu kota RI)
b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkan konsekuen
nya (2 = 0 ) salah
c. Benar, karena konsekuennya (2x2 <3x3) benar
Soal-soal
3. Tentukan nilai kebenaran daripada :
a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalah
Kebumen berada di Jawa Timur.
b. Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangan
genap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2
4. Tuliskan dengan simbol logika kalimat-kalimat dibawah ini :
a. Matahari sangat verah dan kelembabannya tidak tinggi
b. Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan ma
lam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil
c. Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergi
ke Bandung.
d. Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan prima
adalah a merupakan bilangan gasal atau sama dng 2