MATEMATIKA SEKOLAH 2 Disusun oleh : Novi Diah Wahyuni

MATEMATIKA SEKOLAH 2
Disusun oleh :
Novi Diah Wahyuni
1001060083
Riswoto
1001060085
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO
2011
BARISAN DAN DERET
BARISAN ARITMETIKA
Perhatikan barisan-barisan bilangan berikut ini :
a. 2, 8, 14, 20, …
b. 3, 5, 7, 9, …
c. 25, 20, 15, 10, …
Barisan diatas merupakan contoh barisan aritmetika. Secara umum dapat
dikatakan bahwa U1,U2,U3,U4, …Untuk
disebut barisan aritmetika jika U2-
U1=U3-U2= … =Un-Un-1= konstanta.
Konstanta dalam hal ini disebut dengan beda (b)
Untuk barisan pada contoh diatas :
a. 8 – 2 = 14 – 8 = 20 – 14 = … = 6. Jadi bedanya adalah 6.
b. 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = … = 2. Jadi bedanya adalah 2.
c. 20 – 25 = 15 – 20 =10 – 15 = … = -5. Jadi bedanya adalah -5.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b
dapat diturunkan seperti berikut :
U1= a
U2= a + b
U3= a + 2b
U4= a + 3b
U5= a + 4b
…
Un = a + (n-1)b
Suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)b Dimana : a adlah suku
pertama, dan b adalah beda.
Contoh :
Carilah suku ke-20 barisan aritmetika -3,2,7,…
Jawab :
a = -3, b = 7-2 = 5, n = 20
Un = a + (n-1)b
U20 = -3 + (20-1)5
U20 = -3 + 19.5
U20 = -3 + 95
U20 = 92
DERET ARITMETIKA
Dari sembarang barisan aritmatika 4, 7, 10, 13, 16, . . . dapat dibentuk suatu deret
yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut yaitu
4+7+10+13+16+ …
Karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan suku-suku dari barisan
aritmatika, maka deret yang terentuk adalah deret aritmatika.
Secara umum dapat dinyatakan :
Jika diketahui U1, U2, U3, . . ., Un merupakan suku-suku barisan aritmatika, maka
U1+U2+U3+ ,,, +Un disebut deret aritmatika, dengan Un = a + (n-1)b.
Jjika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka
rumus umum untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Sn = a + (a +b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …+ (a + (n-1)b)
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + a
+
2Sn = (a + Un) + (a + Un ) + (a + Un) + … + (a + Un)
Penjumlahan sebanyak n suku
2Sn = n(a + Un) ↔ Sn =
1
n(a  Un)
2
Sn =
1
na  (a  (n  1)b)
2
Sn =
1
n2a  (n  1)b
2
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :
Sn 
1
n2a  ( n  1)b
2
Contoh :
1. Carilah jumlah 100 suku pertama deret 1+3+5+…
Jawab :
a = 1 , b = 3-1 = 2 , n = 100
S100 =
1
.1002.1  (100  1)
2
S100 = 50(2 + 99.2)
S100 = 50(200)
S100 = 10.000
2. Carilah jumlah deret 3+8+13+ … +93
Jawab :
a = 3,
b = 8-3 = 5
Un = 93
kita cari n terlebih dahulu
Un = a + (n-1)b
93 = 3 + (n-1)5
93 = 3 + 5n-5
93 = 5n -2
93+2 = 5n
95 = 5n
n = 19
Sn =
1
na  U n 
2
Sn =
1
.19(3  93)
2
Sn = 912
BARISAN GEOMETRI
Perhatikan barisan-barisan berikut ini !
a. 2, 6, 18, 54, …
b. 5, -10, 20, -40, …
c. 27, 9, 3, 1, …
Barisan-barisab diatas merupakan contoh barisan geometri. Secara umum dapat
dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, … Un merupakan barisan geometri jika:
U
U2 U3 U4


 ...  n = konstanta.
U1 U 2 U 3
U n1
Kontanta tersebut dinamakan rasio (r). Pada contoh barisan di atas,
a. Rasio =
6 18 54


 ...  3
2 6 18
b. Rasio =
 10
20
 40


 ...  2
5
 10
20
c. Rasio =
9
3 1
1
   ... 
27 9 3
3
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r dapat
ditentukan seperti berikut ini :
U1 = a
U2 = ar
U3 = ar2
U4 = ar3
Un = arn-1
Contoh :
Carilah suku ke-7 pada barisan geometri 9, 3, 1,
1
,
3
Jawab : a = 9,
r=
Maka
1
U 7  9 
3
1 1
, , ...
3 9
n=7
7 1
6
9
1
→ U 7  9  → U 7  6
3
3
U7 
32
36
U7 
1
34
U7 
1
8
DERET GEOMETRI
Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri
maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari sukusuku barisan tersebutyang disebut deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan
bahwa :
Jika U1 , U 2 , U 3 , ... U n merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri,
maka U1  U 2  U 3  ...  U n disebut deret geometri, dengan U n  ar n 1
Jika Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
S n  U 1  U 2  U 3  ... U n , maka
S n  a  ar  ar 2  ...  ar n  2  ar n 1
Kalikan S n dengan r
rS n  ar  ar 2  ar 3  ...  ar n 1  ar n
Kurangkan rS n terhadap S n
S n  a  ar  ar 2  ...  ar n  2  ar n 1
rS n  ar  ar 2  ...  ar n  2  ar n 1  ar n
S n  rS n  a  ar n
S n (1  r )  a(1  r n )
a(1  r n )
Sn 
1 r
Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah :
Sn 
a(1  r n )
(r n  1)
; untuk r  1 atau S n 
; untuk r  1
1 r
1 r
Contoh :
Carilah jumlah tujuh suku pertama deret geometri -2 + 1 Jawab :
a = -2,
r= 
1
, n=7
2
1 1
+ -…
2 4
S7 
  1 7 
 2 1     
  2  
 1
1  
 2
1 

 21 

128 

S7 
3
2
 129 
 4

 128 
S7 
3
43
 129  1
S 7  4
.  
32
 128  3
DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Perhatikan deret geometri dibawah ini !
1
1 1 1
   ...
2 4 8
Jumlah tiap suku deret geometri bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan garisgaris bilangan berikut ini :
S(1) = 1
S(2) = 1+
1
2
S(3) = 1+
1 1

2 4
S(4) = 1+
1 1 1
 
2 4 8
Jika deret tersebut diteruskan, maka kita dapatmenghitung banyak seluruh deret
geometri tersebut. Deret geometri yang demikian disebut deret geometri tak
hingga. Dengan memperhatikan garis bilangan diatas terlihat bahwa jumlah deret
deret geometri tersebut mendekati 2.
Dengan menggunakan rumus geometri kita juga dapat menentukan jumlah deret
geometri tak hingga di atas yaitu :
  1 n
1  

2
S n  1  
1
 1

2

1
1  
2
Sn 
1
2







n
Untuk n→∞, maka
1 0
1
2
2
lim S n 
n 
Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya,
maka deret tersebut dinamakan deret yang konvergen.
Beberapa contoh deret yang konvergen :
1 1 1
 
 ...
3 9 27
(1)
1
(2)
100 – 50 + 25 - 12
(3)
1000 + 100 + 10 + 1 + 0,1 +…
1
+…
2
Rasio pada masing-masing deret tersebut adalah
1 1
, dan 0,1
3 2
Perhatikan pula deret geometri tak hingga berikut ini :
(4)
1 + 4 + 16 + 64 +…
(5)
2 – 6 – 18 – 54 -…
(6)
3 + 6 + 12 + 24 +…
Rasio pada masing-masing deret tersebut adalah 4, -3, dan 2
Jika deret tersebut diteruskan, maka nilainya akan semakin besar dan tidak
terbatas. Deret yang demikian disebut deret geometri divergen.
Dengan memperhatikan beberapa contoh deret tersebut, dapat diambil kesimpulan
berikut ini : Suatu deret geometri tak hingga mampunyai jumlah tertentu
(konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval -1 < r <1 atau │r│<1.
Rumus jumlah deret geometri tak hingga
Jumlah n suku pertama geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah :
S n a
1  r 
n
1 r
a  ar n
Sn 
1 r


S   lim S n 
n 
a  ar n
1 r
Untuk n→∞ dan │r│<1, maka rn→0
S 
a0
a

1 r 1 r
Jadi, rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah :
S 
a
1 r
Contoh :
Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut !
36 – 12 + 4 -
4
+…
3
Jawab :
a = 36 dan r = sehingga S  
1
3
36
 1
1   
 3
=
36
4
 
3
= 27
SOAL-SOAL
1.
2.
3.
Tentukan suku yang ditanyakan pada barisan aritmetika di bawah ini !
a.
-4, 2, 8, 14, … ; U41 = …
b.
½, 3, 5½, 8, … ; U100 = …
c.
100, 93, 86, 79, … ; U25 = …
Tentukan jumlah deret aritmetika berikut ini !
a.
5 + 8 + 11 + … + 100
b.
50 + 49½ + 49 + … + (-20)
Jumlah suku ke-n deret aritmetika dinyatakan dengan rumus Sn = 25n – 2n2.
Tentukan barisan yang membentuk deret tersebut !
4.
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah jumlah
bilangan tersebut adalah 27 dan hasil kalinya adalah 405, tentukan barisan
tersebut !
5.
Tentukan suku yan diminta pada barisan geometri dibawah ini !
a.
6.
3 , 3, 3 3 , 9, … ; U10 = …
b.
4, -8, 16, -32, … ; U8 = …
c.
1 1 1 1
, , ,
, ... ; U 9  ...
2 10 50 125
d.
3, -9, 27, -81, … ; U12 = …
Suku ke-3 dan ke-6 suatu barisan geometri masing-masing adalah
32
. Tentukan suku pertama dan rasionya !
81
7.
Tentukan jumlah tak hingga deret geometri berikut :
a.
1 1 1
1
  
 ...
3 6 12 24
b. 4 3  2 3  3 
c.
4
1
3  ...
2
2 1 1
   ...
3 9 54
d. 5  5 2  10  10 2  20  ...
4
dan
3
8.
9.
Tentukan unsur yang dinyatakan dibawah ini :
3
,
2
Sn = 211,
n=…
r = 2,
Sn = 889,
n=…
c. r = 3,
S6 = 3640
a=…
d. a = 3,
S3 =
a. a = 16,
r =
b. a = 7,
19
,
3
r =…
Harga suatu mesin pada saat pembelian adalah Rp.5000.000,00 . Setiap
tahun menyusut 5% terhadap nilai pada awal permulaan tahun. Berapa harga
mesin tersebut pada akhir tahun ke-10 ?
10.
Seorang salesman pada bulan pertama berkeliling menawarkan produknya
dengan sepeda motor menempuh jarak 1000 km. Pada setiap bulan
berikutnya jarak tempuhya berkurang 60 km. Berapa uang yang harus
dikeluarkan untuk mengisi bahan bakar sampai dengan akhir bulan ke-7 jika
harga bahan bakar per liternya Rp.700,00 dan tiap liternya dapat menempuh
jarak 30 km ?