Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh

Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh
Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Program Studi Matematika FMIPA UAD
Abstrak
Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui pemodelan matematika mengenai transmisi
virus dengue di dalam tubuh manusia dan mengetahui dinamika virus dengue di dalam
tubuh manusia yang menyebabkan penyakit demam berdarah. Tulisan ini membahas
suatu model matematika transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia yang
memberikan gambaran mengenai virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran
darah manusia. Hasil yang diperoleh menunjukan bahwa setelah beberapa hari masa
viremia, populasi virus akan menurun. Pertumbuhan virus dipengaruhi oleh kemampuan
virus menginfeksi dan kemampuan sistem kekebalan tubuh.
Kata Kunci : Titik equilibrium, matriks Jacobian,
1. Pendahuluan
Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit menular yang disebabkan
oleh virus dengue. Penyakit ini merupakan salah satu masalah kesehatan
masyarakat di Indonesia yang cenderung semakin meningkat jumlah penderita
dan semakin luas penyebarannya. Nyamuk Aedes aegypti merupakan vector utama
penyebar virus dengue, spesies lain seperti Aedes albopipictus,Aedes
polynesiensis, berperan sebagai nyamuk sekunder. Nyamuk Aedes aegypti terinfeksi
melalui pengisapan darah dari orang yang sakit dan dapat menularkan virus
dengue kepada manusia, baik secara langsung (setelah menggigit orang yang sedang
dalam fase viremia) maupun secara tidak langsung, setelah melewati masa inkubasi
dalam tubuhnya (masa inkubasi ekstrinsik/extrinsic incubation period) (Soewondo,
2002).
Secara garis besar patogenesis DBD adalah setelah virus dengue masuk ke tubuh
manusia, virus ini selama 3-8 hari berada dalam masa inkubasi di lokasi gigitan
(sebagian turut peredaran darah). Setelah berkembang biak virus akan masuk ke
dalam peredaran darah dan menyebabkan terjadinya viremia. Masa viremia ini
dimulai 6-18 jam sebelum terjadi sakit dan berlangsung antara 1-7 hari (Vaughn dkk
2000). Setelah masa viremia virus tidak ditemukan di darah. Viremia adalah
masa dimana virus berada di dalam aliran darah sehingga dapat ditularkan
kepada orang lain melalui gigitan nyamuk.
Masa inkubasi dari infeksi virus dengue berkisar 7 sampai 10 hari. Fase viremia
terjadi ketika pasien mulai demam dan terinfeksi. Viremia dimulai pada hari
sebelum terserang penyakit dan berakhir pada hari terakhir dimana virus tersebut
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
115
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
terdeteksi. Adanya virus didalam tubuh menimbulkan reaksi hebat sel-sel tubuh.
Walaupun virus pada akhirnya lenyap, namun reaksi tubuh akan menimbulkan
tanda-tanda dan gejala penyakit DBD (Malavige dkk, 2004).
Aplikasi model matematika memiliki peran penting dalam berbagai bidang ilmu.
Permasalahan yang ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan
dalam model matematika dengan menggunakan beberapaasumsi. Dari model
matematika yang ada selanjutnya dapat dianalisis perilaku-perilaku di dalamnya.
Nuning Nuraini et al membangun sebuah model matematika mengenai
transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia yang memberikan gambaran
mengenai virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Oleh
karena itu, penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan tersebut dengan
menambahkan asumsi bahwa sel terinfeksi akan tereliminasi konstan setiap kali
mengadakan kontak dengan sel fagosit.
Model dan simulasi mengenai transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia
pada tulisan ini terdapat tiga kompartemen yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus
dengue. Virus ditransmisikan ke dalam tubuh manusia melalui gigitan nyamuk
Aedes aegypti. Sel darah yang menjadi target utama virus dengue adalah sel
monosit/makrofag kemudian menginfeksi sel darah putih dan jaringan limfatik.
Virus yang masuk akan berkembangbiak. Virus tersebut bersikulasi di dalam
darah. Pada saat virus masuk , sel-sel sistem imun (monosit, makrofag, limfosit
B dan T) akan mengenali virus yang masuk dan berusaha mengeliminasinya.
Sistem imun dalam tubuh akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan
antigen yang masuk atau menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar
dan menginfeksi sel sehat lainnya.
2. Perumusan Model
Pada penelitian ini, sel dibagi menjadi dua kelas, yaitu sel rentan yang
dinotasikan dengan 𝑆(𝑡)dan sel terinfeksi yang dinotasikan dengan 𝐼(𝑡). Serta
virus dengue yang dinotasikan dengan 𝑉(𝑡).
.
1.
Sel rentan 𝑆(𝑡)
Sel rentan adalah sel sehat yang belum diinfeksi oleh virus. Hal-hal yang
mempengaruhi laju sel rentan :
2.
a. Kelahiran alami dengan laju yang konstan.
b. Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi
sel rentan dengan partikel virus (adanya penginfeksian virus).
c. Kematian alami dengan laju yang konstan.
Sel terinfeksi 𝐼(𝑡)
Sel terinfeksi adalah sel rentan
yang mempengaruhi laju sel terinfeksi :
116
yang
terinfeksi
virus. Hal-hal
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
a. Jumlah
sel terinfeksi akan
bertambah
karena adanya
partikel virus yang menginfeksi sel rentan.
b. Kematian alami akan mengurangi jumlah sel terinfeksi
dengan laju yang konstan.
c. Sel terinfeksi akan tereliminasi konstan setiap kali mengadakan
kontak dengan sel fagosit.
Mekanisme destruksi sel yang terinfeksi virus dengue berjalan sebagai berikut :
virus mengifeksi tubuh lewat nyamuk masuk ke dalam peredaran darah. Sel-sel sistem
imun (monosit, makrofag, limfosit B dan T) akan mengenali virus yang masuk ini
dan berusaha mengeliminasinya. Sel-sel sistem imun bersama faktor larut yang
ada akan membangun respons imun. Faktor larut yang ada (misalnya CRP dan
komplemen) yang mempunyai fungsi membantu penjagaan tubuh (kekebalan
innate). Selain itu juga memfasilitasi respons yang terjadi agar bekerja
sebagaimana mestinya (kekebalan adaptive) sehingga sel fagosit (sel T dan
makrofag) dapat mengeliminasi virus yang ada. Perlu di ingat bahwa virus
dengue dapat mengelak respons yang terjadi sehingga tidak dikenali dan dapat
berkembang biak dalam sel yang diinfeksinya.
3.
Virus dengue 𝑉(𝑡)
Virus merupakan parasit yang berukuran mikroskopik yang menginvasi dan
memanfaatkan sel makhluk hidup lain untuk melanjutkan siklus hidupnya. Untuk
melangsungkan hidupnya, virus mencari sel inang untuk ditempati, ketika virus
mendapatkan sel inang untuk melangsungkan hidupnya, virus akan bereproduksi
dan menghasilkan virus-virus baru. Dalam penelitian ini virus tersebut adalah
virus degue. Hal-hal yang mempengaruhi laju virus dengue :
a. Jumlah virus dengue akan bertambah dari banyaknya sel yang
terinfeksi dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru
tersebut.
b. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya kematian alami
dengan laju yang konstan.
c. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang
menghancurkan virus dengue tersebut.
d. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel virus
dengue yang menginfeksi sel rentan.
Setelah virus masuk ke dalam tubuh, virus akan mencari sel inang tanpa
memperhatikan tipe sel inang untuk diinfeksi. Selanjutnya, virus akan melakukan
beberapa tahapan untuk bereproduksi. Saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh
akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau
menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat
lainnya. Terdapat beberapa sel yang berperan dalam sistem imun, yaitu sel B, sel T
dan makrofag.
Saat virus masuk kedalam tubuh dan mengenai sel inang, sel T akan menjadi
aktif. Sel T terbagi menjadi tiga, yaitu :
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
117
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
a. Sel T sitotoksik yang berfungsi menghancurkan sel inang yang memiliki
antigen asing.
b. Sel T penolong yang berfungsi meningkatkan perkembangan sel B aktif
menjadi sel plasma, memperkuat aktivitas sel T sitotoksik dan sel T
penekan yang sesuai, dan mengaktifkan makrofag.
c. Sel T penekan yang menekan produksi antibodi sel B dan aktifitas sel T
sitotoksik dan penolong.
Setelah sel T aktif, sel T penolong akan mengaktifasi sel B yang kemudian terbagi
menjadi dua. Yaitu menjadi plasma sel yang menghasilkan antibodi untuk
melawan virus dan sel pengingat yang siap merespon lebih cepat agar apabila
virus kembali ke dalam tubuh, sel B bisa lebih cepat memproduksi antibodi.
Diagram dibawah ini menggambarkan proses transmisi virus dengue di dalam
tubuh manusia.
1. Laju pertumbuhan sel rentan : Parameter 𝛿 menyatakan banyaknya sel
rentan yang diproduksi (sumsum tulang, kelenjar limfa/organ limfoid)
atau dengan kata lain adanya kelahiran alami dengan laju yang konstan.
Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi sel rentan
dengan partikel virus (adanya penginfeksian virus), 𝛽 menyatakan interaksi
tersebut. Kemudian sel rentan akan berkurang dengan adanya kematian
alami dengan laju yang konstan, 𝛿 menyatakan laju kematian alami.
2. Laju pertumbuhan sel terinfeksi : Pertambahan sel terinfeksi terjadi karena
adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. Sedangkan berkurang
karena adanya kematian alami dengan laju yang konstan, dinyatakan
118
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
dengan 𝜎. Kemudian sel terinfeksi akan tereliminasi konstan setiap kali
mengadakan kontak dengan sel fagosit, yang dinyatakan dengan 𝜂 .
3. Laju pertumbuhan populasi virus dengue : Jumlah virus dengue akan
bertambah dari banyaknya sel yang terinfeksi, yang dinyatakan dengan
𝜇 dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru yang dinyatakan
dengan 𝜂 . Sedangkan jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya
kematian alami dengam laju yang konstan, dinyatakan dengan 𝛾1 dan
jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang
menghancurkan virus dengue tersebut yang dinyatakan dengan 𝛾2 .
Kemudian jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel
virus dengue yang menginfeksi sel rentan sebesar 𝛽 .
Dari diagram di atas dihasilkan formula untuk mengetahui dinamika virus dengue
yang disajikan dalam suatu model matematika :
1)
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝛼 − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝛿𝑆(𝑡)
2)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝜎𝐼(𝑡) − 𝜂𝐼(𝑡)
3)
𝑑𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝜇𝑛𝐼(𝑡) − 𝛾1 𝑉(𝑡) − 𝛾1 𝑉(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡)
…(1)
Dengan
𝛼: kelahiran alami sel rentan
𝛽 ∶ peluang perpindahan virus dengue
𝛿 ∶ kematian alami sel yang terinfeksi
𝜂 ∶ kematian sel yang terinfeksi oleh sel fagosit
𝜇 ∶ peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue
𝑛 ∶ banyaknya duplikasi virus dengue baru
𝛾1 ∶ kematian alami virus dengue
𝛾2 ∶ kematian virus dengue dengan sel T
Dimana 𝛼, 𝛽, 𝜎, 𝜂, 𝛾1 , 𝛾2 > 0 dan 𝑆, 𝐼, 𝑉 ≥ 0
3. Analisa Model
Salah satu masalah yang penting dalam pemodelan ini adalah analisis
dinamika sistem persamaan diferensial nonlinier model yang telah disusun.
Pertaman akan ditentukan titik equilibrium model. Titik equilibrium memenuhi
persamaan-persamaan
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
119
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
0 = 𝛼 − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝛿𝑆(𝑡)
0 = 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡) − 𝜎𝐼(𝑡) − 𝜂𝐼(𝑡)
0 = 𝜇𝑛𝐼(𝑡) − 𝛾1 𝑉(𝑡) − 𝛾1 𝑉(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝑉(𝑡)
Diperoleh dua titik equilibrium, yaitu keadaan yang bebas virus, 𝐸1 = (𝑆, 𝐼, 𝑉) =
𝛼
( , 0,0) dan keadaan dimana yang terdapat virus, 𝐸2 = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑉 ∗ ), dengan
𝛿
𝑆∗ =
𝐼∗ =
𝑉∗ =
(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
𝛽(𝜇𝑛 − (𝜎 + 𝜂))
𝛼𝛽(𝜇𝑛 − (𝜎 + 𝜂)) − 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
(𝜎 + 𝜂)𝛽(𝜇𝑛 − (𝜎 + 𝜂))
𝛼𝛽(𝜇𝑛−(𝜎+𝜂))−𝛿(𝜎+𝜂)(𝛾1 +𝛾2 )
𝛽(𝜎+𝜂)(𝛾1 +𝛾2 )
…(2)
Titik equilibrium 𝐸1 menunjukan keadaan yang bebas virus karena pada
kondisi ini tidak ada virus dan sel terinfeksi, dan 𝐸2 merupakan titik equilibrium
yang menunjukan keadaan yang terdapat virus.
Dalam model penyebaran penyakit menular, basic reproductive number (𝑅0 )
didefinisikan sebagai nilai ekspektasi dari jumlah infeksi baru yang terjadi setelah
satu terinfeksi dalam populasi yang rentan. Besaran ini digunakan sebagai ambang
batas untuk mentukan kondisi wabah penyakit. Jika 𝑅0 > 1 maka penyakit akan
mewabah sedangkan jika 𝑅0 < 1 maka penyakit tidak akan mewabah (Anderson
and May, 1991). Dengan menentukan nilai 𝑅0 , maka akan diketahui apakah virus
tersebut akan menyebar atau tidak.
Ilustrasi dari 𝑅0 misalnya terdapat populasi manusia yang peka dan tidak ada
manusia yang terinfeksi. Kemudian ada manusia yang terinfeksi virus dan
berinteraksi dengan manusia peka. Maka, jika 𝑅0 < 1 , tidak akan terjadi
endemik. Dalam artian, manusia yang peka tersebut tidak akan tertular penyakit
dan penyakit tidak menyebar, dan manusia yang sakit (yang terinfeksi virus) bisa
sembuh setelah beberapa waktu. Sedangkan jika 𝑅0 > 1 , akan terjadi endemik.
Yang artinya, setelah beberapa waktu, manusia yang sakit akan menularkan
penyakitnya. Sehingga, manusia yang awalnya sakit kemungkinan akan sembuh
dan manusia yang sehat akan sakit.
Next generation matrix adalah salah satu metode untuk menentukan Basic
Reproduction Number 𝑅0 pada sebuah model epidemik. Misal 𝐹𝑖 adalah laju
kemunculan infeksi baru pada kompartemen 𝑖 karena hubungan antar
kompartemen dan 𝑊𝑖 = 𝑊𝑖− − 𝑊𝑖+ , dimana adalah laju transfer individu antar
kompartemen yang masuk kedalam kompartemen 𝑖 sedangkan 𝑊𝑖− adalah laju
transfer individu antar kompartemen yang keluar dari kompartemen 𝑖. Dari
matriks 𝐹𝑖 dan 𝑊𝑖 dapat dibentuk next generation matrix𝐹𝑊 −1 . Bentuk tersebut
dapat diperoleh dengan membentuk matriks dari turunan parsial 𝐹𝑖 dan 𝑊𝑖 , yaitu
120
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
𝐹=[
𝜕𝐹𝑖 (𝑋0 )
]
𝜕𝑋𝑗
Dan 𝑊 = [
…(i)
𝜕𝑊𝑖 (𝑋0 )
]
𝜕𝑋𝑗
…(ii)
Dimna 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑚 dan 𝑋0 adalah Diseases
Free
Equilibrium
(DFE).
𝑅0 diperoleh dengan mencari nilai eigen dominan dari matriks 𝐹𝑊 −1 (Zhien Ma dan
Jia Li).
𝛽𝑆𝑉
𝐹𝑖 = (
)
𝛽𝑆𝑉
0
𝐹=(
0
𝛼𝛽
0
𝛽𝑆
𝛿)
)=(
𝛽𝑆
𝛼𝛽
0
𝛿
(𝜎 + 𝜂)𝐼
𝑊𝑖− = (
)
(𝛾1 + 𝛾2 )𝑉
𝑊𝑖+ = (
0
)
𝜇𝑛𝑙
(𝜎 + 𝜂)𝐼
𝑊𝑖 = (
)
(𝛾1 + 𝛾2 )𝑉 − 𝜇𝑛𝑙
Dengan menggunnakan (𝑖𝑖) diperoleh
𝜎+𝜂
𝑊=(
−𝜇𝑛
0
)
𝛾1 + 𝛾2
Setelah diketahui matriks 𝐹 dan 𝑊, selanjutnya dibentuk next generation matrix
𝐹𝑊 −1.
𝑊 −1 =
1
𝛾 + 𝛾2
( 1
𝜇𝑛
(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
0
)
𝜎+𝜂
1
0
(𝜎 + 𝜂)
=
𝜇𝑛
1
(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 ) (𝛾1 + 𝛾2 )
(
)
Maka
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
121
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
𝐹𝑊 −1
0
=(
0
1
𝛼𝛽
0
(𝜎 + 𝜂)
𝛿)
𝜇𝑛
1
𝛼𝛽
(𝜎
+
𝜂)(𝛾
+
𝛾
)
(𝛾
+
𝛾2 )
𝛿 (
1
2
1
)
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 ) 𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
=
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
(𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 ) 𝛿(𝛾1 + 𝛾2 ))
Akan ditentukan nilai eigen dari 𝐹𝑊 −1
𝜆𝐼 − 𝐹𝑊 −1
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
𝜆 0 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 ) 𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
=(
)
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
0 𝜆
(𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 ) 𝛿(𝛾1 + 𝛾2 ))
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
−
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
=
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
−
𝜆−
𝛿(𝛾1 + 𝛾2 ))
( 𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
𝜆−
Maka persamaan karakteristik dari 𝐹𝑊 −1 adalah
det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑊 −1 ) = 0
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
−
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
𝛿(𝛾1 + 𝛾2 ) |
det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑊 −1 ) = ||
|=0
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
−
𝜆−
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
𝜆−
Didapat
(𝜆 −
𝛼𝛽
𝛼𝛽𝜇𝑛
) (𝜆 −
)
𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
− (−
𝜆2 −
122
𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
) (−
)=0
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
𝜆𝛼𝛽𝜇𝑛
𝜆𝛼𝛽
−
=0
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 ) 𝛿(𝛾1 + 𝛾2 )
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
𝜆 [𝜆 − (
𝜆𝛼𝛽𝜇𝑛 − 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂)
)] = 0
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
Maka 𝜆 = 0 atau
𝜆=
𝜆𝛼𝛽𝜇𝑛 − 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂)
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
Maka diperoleh basic reproduction number dari model ini adalah
𝑅0 =
𝛼𝛽𝜇𝑛 − 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂)
𝛿(𝜎 + 𝜂)(𝛾1 + 𝛾2 )
Titik equilibrium yang bebas dari virus (𝐸1 ) , akan stabil asimtotik lokal jika
dan𝑅0 < 1 tidak stabil untuk lainnya.
Lakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian dari sistem (1)
yang didasarkan pada 𝐸1 . Dimana 𝐸1 merupakan titik equilibrium dengan keadaan
bebas virus.
𝐽𝐸1 =
(
−𝛿
0
0
−𝜎 − 𝜂
0
𝜇𝑛
𝛼𝛽
𝛿𝑅0
𝛼𝛽
𝛿𝑅0
−
−𝛾1 − 𝛾2 −
𝛼𝛽
𝛿𝑅0 )
Diperoleh nilai eigen – 𝛿 dan persamaan karakteristik :
𝑞(𝑠) = 𝑠 3 + 𝑎𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑐
Dimana
𝑎 =𝜆+
𝑏 = (𝜎 + 𝜂)𝜆 +
𝛼𝛽
+ 𝜎 + 𝜂 + 𝛿𝑅0
𝛿𝑅0
(𝜎 + 𝜂)𝛼𝛽 𝛼𝛽𝜇𝑛
𝛼𝛽
−
+ 𝛿𝑅0 𝜆 + 𝛿𝑅0 𝜎 + 𝛿𝑅0 𝜂 +
𝛿𝑅0
𝛿𝑅0
𝑅0
𝑐 = 𝛿𝑅0 (𝜎 + 𝜂)𝜆 −
𝛼𝛽𝜇𝑛 𝛼𝛽(𝜎 + 𝜂)
+
𝑅0
𝑅0
Dan 𝜆 = (𝛾1 + 𝛾2 ).
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
123
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz untuk mendapatkan determinan
yang positif, haruslah memenuhi 𝑎𝑏 > 𝑐 atau
𝑟1 𝑅04 + 𝑟2 𝑅03 + 𝑟3 𝑅02 + 𝑟4 𝑅0 + 𝑟5 > 0
…(4)
Dimana
𝑟1 = 𝛿 3 (𝜆 + 𝜎 + 𝜂)
𝑟2 = 𝛿 2 (𝜆2 + 𝜎 2 + 𝜂 2 + 𝜆𝜎 + 𝜆𝜂 + 2𝜎𝜂)
𝑟3 = 𝛼𝛽(𝜆𝛿 + 𝜎𝛿 + 𝜂𝛿 + 𝛿 2 ) + 𝜆𝛿 2 (𝜎 + 𝜂)
𝑟4 = 𝛼𝛽(𝛿(𝜆 + 𝜎 + 𝜂))
𝑟5 = 𝛼 2 𝛽2
Maka dari penjabaran diatas dapat disimpulkan: titik equilibrium 𝐸2 ada jika
𝑅0 > 1, dan dikatakan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika memenuhi
kondisi (4).
4. Simulasi Numerik
Simbol
𝛼
𝛽
1
𝛿
𝜎
𝜂
𝜇
124
Definisi
Laju kelahiran alami
sel rentan
Peluang
perpindahan
virus dengue
Laju kematian alami
sel rentan
Laju kematian alami
sel yang terinfeksi
Laju kematian alami
sel yang terinfeksi
Peluang sel terinfeksi
Satuan
Nilai
Sumber
𝑗𝑎𝑚−1
0.05556 − 0.1668
Yudi Ari A
𝑗𝑎𝑚−1
0.001 − 0.01
Yudi Ari A
𝑗𝑎𝑚
2.4 𝑥 103 − 7.2 𝑥 103
Yudi Ari A
𝑗𝑎𝑚−1
0.03 − 0.32
Nuning et al
𝑗𝑎𝑚−1
0.001
𝑗𝑎𝑚−1
0.01389 − 0.0208
Nuning
nuraini et al
Yudi Ari A
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
yang
menghasilkan
virus dengue
𝑛
𝛾1
𝛾2
Banyaknya
duplikasi
virus dengue baru
Laju kematian alami
virus dengue
Laju kematian virus
dengue dengan sel T
𝑗𝑎𝑚−1
600 − 700
𝑗𝑎𝑚−1
1−4
𝑗𝑎𝑚−1
4 − 33
Ririn
Nuning
nuraini et al
Yudi Ari A
Simulasi dalam Keadan Bebas Virus
Simulasi pada keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat sejumlah sel
rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Nilai awal sel rentan 𝑆(0) = 60 , sel yang
terinfeksi 𝐼(0) = 10 , virus dengue 𝑉(0) = 100 .
Dari nilai parameter tersebut diperoleh titik equilibrium pada saat keadaan bebas
virus, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah
(135.5122,0,0)pada saat 𝑡 → ∞ Asumsi mengenai simulasi pada keadaan ini,
yaitu jika 𝑉 < 1 maka dapat diartikan tidak terdapat virus dengue.
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
125
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
Dari gambar di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat 𝑅0 < 1 maka tidak
akan terjadi endemik. Artinya, tidak akan terjadi penyebaran virus di dalam tubuh.
Meskipun 𝐼 dan 𝑉mengalami kenaikan tetapi kenaikan itu tidak signifikan,
kemudian 𝐼 dan 𝑉 tersebut lama-lama menuju angka dan konstan di angka
0tersebut sampai 𝑡 → ∞ , yang berarti populasi𝐼 dan 𝑉 akan habis. Setelah
menganalisis dan melihat hasil numerik ternyata hal tersebut sama denganbahasan
sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang bebas dari virus, dalam hal ini 𝐸1 =
(135.5122,0,0) akan stabil asimtotik lokal jika 𝑅0 < 1 dan tidak stabil untuk lainnya.
Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas
Simulasi pada keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat sejumlah sel
rentan dan virus dengue. Nilai awal sel rentan 𝑆(0) = 200 , sel yang terinfeksi
𝐼(0) = 0, virus dengue 𝑉(0) = 10 .
Dari nilai parameter tersebut diperoleh titik equilibrium pada saat keadaan
terdapat virus bebas,, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut
adalah (57.1995, 4.6252, 2.5102) pada saat 𝑡 → ∞.
Dari gambar di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat 𝑅0 > 1 maka
akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran virus dengue di dalam
tubuh. Karena nilai I dan V pada hasil simulasinya berturut-turut akan mendekati
angka4.6252 𝑑𝑎𝑛 2.5102, kemudian konstan di titik tersebut sampai 𝑡 → ∞. ,
yang berarti populasi I dan V masih tetap ada di dalam tubuh. Setelah menganalisis
dan melihat hasil numerik ternyata hal tersebut sama dengan bahasan sebelumnya
yaitu untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas, dalam hal ini𝐸2 =
(57.1195, 4.6252, 2.5102) akan stabil asimtotik lokal jika 𝑅0 > 1 dan tidak stabil
untuk lainnya.
126
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
Jurnal Konvergensi
Vol. 4, No. 2, Oktober, 2014
5. Kesimpulan
Dalam suatu model matematika, persamaan diferensial digunakan untuk
mempresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari hari
pada interval waktu kontinu. Model matematika mengenai transmisi virus
dengue di dalam tubuh manusia pada penulisan ini terdapat 3
kompartemen (sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue) yang memberikan
gambaran mengenai virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran
darah manusia. Pertumbuhan virus dipengaruhi oleh kemampuan virus
menginfeksi dan kemampuan sistem kekebalan tubuh.
6. Daftar Pustaka
[1] Adi, Y.A., 2007Model Interaksi Virus Dengeu dan Sel Darah Manusia.
Jurnal Penelitian dan kajian Ilmiah MIPA
[2] Anton, Howard.1995. Aljabar Linear Elementer (Edisi 5), Terj. Elemntary
Linear Algebra (5th ed). P.Silaban, I.N. Susila (Pen), R.Hutauruk (Ed)
P.Silalahi (Kor.) Jakarta:Erlangga
[3] Anderson,. May R.1991.Infection Desease of Human : Dinamic and
Control. New York : Oxford University Press,. Ditemukali 17 maret 2011,
dari http://www.princeton.edu/aglaser/lecture2007_desease.pdf
[4] Burden, Richard., Faires, Douglas. 2001. Numerical Analysis (7th ed).
United States of America : Thompson Learning
[5] Ma, Zhien., Li, Jia. Synamical Modeling and Analysis of Epidemic. World
Scientific Publising Co. Pte. Ltd Sitemukenali 17 Maret 2011, dari
http://worldscibooks.com/medsci/6799.html
[6] Misnadiarly,2009. Demam Berdarah Dengue (DBD). Jakarta : PPO
(Yayasan Obor Indonesia).
Model Dan Simulasi Transmisi Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia
Sri Fitria Metrikawati
127