Chapter 4: Image Enhancement in the Frequency Domain

Materi 03
Pengolahan Citra Digital
Transformasi Citra
1
Tujuan
• Memberikan pemahaman kepada mahasiswa
mengenai :
–
–
–
–
Transformasi Fourier 1 dimensi dan 2 dimensi
Makna representasi citra pada domain frekuensi
Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi
Keterkaitan proses filtering pada domain spasial
dengan proses filtering pada domain frekuensi
– Beberapa filter penghalusan pada domain frekuensi
2
Penemu
• Ahli Matematika Prancis bernama Jean
Baptiste Joseph Fourier, lahir 1768.
• Fungsi apa saja yang berulang secara
periodik dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan sinus dan/atau cosinus
dengan frekuensi yang berbeda-beda.
Masing-masing dikalikan dengan koefisien
yang berbeda-beda pula. Jumlahan ini
selanjutnya disebut Fourier Series.
3
Ide Fourier
• Fungsi yang tidak periodik sekalipun (namun
area di bawah kurva memiliki luas berhingga)
tetap dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari
fungsi sinus dan/atau cosinus dengan bobot
koefisien tertentu. Transformasi ini disebut
Fourier Transformation (FT).
• Pengembangan FT adalah Fast Fourier
Transformation (FFT).
4
Ide Fourier
5
Ide Fourier
• Suatu fungsi yang diekspresikan baik
dengan deret Fourier maupun
transformasi Fourier, bisa direkonstruksi
kembali (secara lengkap) dengan proses
kebalikannya, tanpa kehilangan informasi.
• Karakteristik ini memungkinkan kita untuk
bekerja dalam “Fourier domain” dan
selanjutnya kembali ke domain asal dari
fungsi, tanpa kehilangan informasi.
6
Transformasi Fourier 1-D
• Transformasi Fourier dari suatu fungsi diskrit (DFT) satu
variabel, f(x), x=0,1,2, … , M-1, dirumuskan sebagai
berikut :
1 M 1
 j 2ux / M
F (u ) 
f
(
x
)
e
for u  0,1,..., M  1

M x 0
• Dari F(u), kita bisa mendapatkan kembali fungsi asal
dengan menggunakan kebalikan dari transformasi
Fourier diskrit (IDFT) :
M 1
f ( x)   F (u )e j 2ux / M for
x  0,1,..., M  1
u 0
7
Transformasi Fourier 1-D
• Nilai u disebut dengan domain frekuensi.
• Masing-masing dari M buah of F(u) disebut
komponen frekuensi dari transformasi.
• Transformasi Fourier seringkali dianalogikan
dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu
alat yang dapat memisahkan cahaya menjadi
berbagai komponen warna. Masing-masing
komponen warna memiliki panjang gelombang
yang berbeda.
8
Transformasi Fourier 1-D
• |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 disebut magnitude
atau spektrum dari transformasi Fourier
dan :
 I (u ) 
 (u )  tan 

 R(u ) 
1
disebut sudut fase atau spektrum fase dari
transformasi.
9
Transformasi Fourier 1-D
10
Transformasi Fourier 2-D
• DFT dari fungsi citra f(x,y) berukuran M x N diberikan
dengan persamaan berikut:
1 M 1 N 1
 j 2 ( ux / M  vy / N )
F (u, v) 
f
(
x
,
y
)
e

MN x 0 y 0
untuk u=0,1,2,…,M-1 dan v=0,1,…,N-1
• Dari F(u,v), kita bisa mendapatkan kembali f(x,y)
menggunakan IDFT dengan rumusan sebagai berikut:
f ( x, y ) 
M 1 N 1
  F (u, v)e
j 2 ( ux / M  vy / N )
u 0 v 0
untuk x=0,1,…,M-1 dan y=0,1,…,N-1
11
Transformasi Fourier 2-D
• Variabel u dan v adalah variabel transformasi atau variabel
frekuensi, sedangkan x dan y adalah variabel spasial atau variabel
citra.
• Spectrum Fourier, sudut fase, dan power spectrum didefinisikan
sebagai berikut:
F (u , v )
 R
2
( x, y )  I
2
( x, y ) 
1/ 2
 I (u , v ) 

 R (u , v ) 
 (u , v )  tan 1 
P (u , v )  F (u , v )
2
 R 2 (u , v )  I 2 (u , v )
R(u,v) dan I(u,v) adalah bagian real dan imajiner dari F(u,v).
12
Transformasi Fourier 2-D
• Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu
dengan (-1)x+y sebelum dilakukan perhitungan
transformasi Fourier, karena titik pusat dari
transformasi Fourier perlu digeser.


 f ( x, y)( 1) x  y  F (u  M / 2, v  N / 2)
Persamaan di atas menetapkan bahwa titik
pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(1)x+y [yaitu F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan
v=N/2.
13
Transformasi Fourier 2-D
• Nilai transformasi pada (0,0) adalah
1
F (0,0) 
MN
M 1 N 1
 f ( x, y)
x 0 y 0
yang merupakan rata-rata dari f(x,y).
• Jika f(x,y) adalah citra, nilai dari Transformasi Fourier pada titik
pusat menyatakan tingkat keabuan rata-rata dari citra.
• Spektrum dari transformasi Fourier transform adalah simetris,
artinya:
F (u, v)  F (u,v)
• Sifat simetris dan pemusatan dari transformasi Fourier
menyederhanakan spesifikasi dari filter simetris sirkular pada
domain frekuensi.
14
Transformasi Fourier 2-D
15
Filtering pada Domain
Frekuensi
• Karena frekuensi dikaitkan dengan rata-rata perubahan, maka
frekuensi-frekuensi dari transformasi Fourier dikaitkan dengan
pola-pola variasi intensitas dalam citra.
• Komponen frekuensi dengan variasi paling rendah (u=v=0)
berkaitan dengan tingkat keabuan rata-rata dalam citra.
• Ketika agak menjauh dari titik pusat transformasi, frekuensifrekuensi rendah berkaitan dengan komponen citra yang
memiliki variasi intensitas yang rendah.
• Ketika semakin menjauh dari titik pusat transformasi,
frekuensi-frekuensi yang lebih tinggi berkaitan dengan
komponen citra yang memiliki variasi intensitas yang tinggi.
Yaitu tepi dari objek dan komponen citra lainnya yang
perubahan tingkat keabuannya cukup cepat, misalnya noise.
16
Filtering pada Domain
Frekuensi
17
Comparison : Low Frequency
Original Images
Showing a silhoutte of spaceship
(Girty Lue).
Transform View
Low Frequency
Small variation between image’s
component, major frequency is
low.
Shown by the Fourier Transform
Result
18
Comparison : High Frequency
Original Images
Showing image of Freedom and
Justice with METEOR unit also the
Eternal Spaceship from Gundam
SEED.
Transform View
High Frequency
High variation between
image’s component, major
frequency is High.
Shown by the Fourier
Transform Result
19
Filtering pada Domain
Frekuensi
•
Langkah-langkah filtering pada domain
frekuensi adalah:
1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y untuk memusatkan
transformasi.
2. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1).
3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v).
4. Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3).
5. Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4)
6. Kalikan hasil (5) dengan (-1)x+y.
20
Filtering pada Domain
Frekuensi
21
Filtering pada Domain
Frekuensi
• Filter yang didefinisikan sebagai berikut:
if
(u, v)  ( M / 2, N / 2)
0
H (u, v)  
1 otherwise
disebut filter notch karena filter tersebut
adalah fungsi konstan dengan sebuah
lubang (notch) di pusatnya.
22
Filtering pada Domain
Frekuensi
23
Filtering pada Domain
Frekuensi
• Filter lowpass adalah filter yang mengubah
(menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan
melewatkan (passing) komponen frekuensi
rendah. Citra yang difilter menggunakan filter
lowpass memiliki detail yang kurang tajam
dibandingkan citra asal.
• Filter highpass adalah filter yang mengubah
(menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan
melewatkan (passing) kompinen frekuensi
tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter
menggunakan filter highpass memiliki detail
yang lebih tajam dibandingkan citra asal.
24
Filtering pada Domain
Frekuensi
25
Filtering pada Domain
Frekuensi
26
Sample: Monochrome
Low
Pass
Gaussian Blur
High
Pass
Sharpen More
27
Sample: Color
Low
Pass
Gaussian Blur
High
Pass
Sharpen More
28
Other Implementation :
Low Pass Filter
“Noised” image
Smooth image
Gaussian Low Pass
Original Image
Flare effect (beam)
Enhanced Image
Reduced Flare effect
29
Other Implementation :
High Pass Filter
Easier to read text
Hard to read text
Gaussian High Pass
Original Image
Enhanced Image
Flare effect (beam)
More Flare Effect
Reduced Eye Point
30
Other Implementation :
High Pass Filter
Easier to read text
Hard to read text
Sharpen
Original Image
Enhanced Image
More Flare Effect
Flare effect (beam)
Exposure of Eye Point
31
Other Implementation :
High Boost Filtering
Unsharp Mask
Original Image
Enhanced Image
Enhanced Flare Effect
Reduction of Eye Point
Flare effect (beam)
Unsharp Mask: Generating Sharp Image by substracting blur version of the image itself
32
Other Implementation :
Combination Filtering
High Pass
Multiplied
Original Image
Low
Pass
Enhanced Image
Slight Flare Effect
Reduction of Eye Point
33
Credits
• Image editing done using Adobe ® Photoshop Ver
8.0 (CS) and various filter plug-ins.
• Frequency obtained by MeeSoft Image Analyzer
Ver 1.2.1.
• Picture samples are taken from
– Gundam Seed Destiny Promotional Video
Sunrise©2004, Source Form: MPEG
– Gundam Seed Destiny Promotional Video
Sunrise©2004, Source Form: XviD
– Freedom Gundam MG Kit Artwork Bandai©2004,
Source Form: Scanning
– Gundam Wing Endless Waltz O.V.A Sunrise©1997,
Source Form: MPEG
34
Filtering pada Domain Spasial vs Filtering
pada Domain Frekuensi
• Jika kita memiliki filter pada domain frekuensi, maka kita
bisa mendapatkan filter pasangannya pada domain
spasial dengan cara menghitung Inverse Fourier
transform (IFT) terhadap filter pada domain frekuensi.
Kebalikannya juga bisa dilakukan.
• Jika kedua filter (di domain spasial dan domain
frekuensi) berukuran sama, maka secara komputasional
akan lebih efisien untuk melakukan filtering pada domain
frekuensi.
• Kita bisa menspesifikasikan filter pada domain frekuensi,
menghitung transformasi inverse-nya, dan selanjutnya
menggunakan filter padanan pada domain spasial
sebagai petunjuk untuk menyusun filter spasial dengan
ukuran yang lebih kecil.
35
Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada
Domain Frekuensi
• Misal H(u) menyatakan fungsi filter Gaussian
pada domain frekuensi dengan persamaan
berikut :
2
2
H (u)  Ae
u / 2
dengan  adalah deviasi standard dari fungsi
Gaussian. Filter padanannya pada domain
spasial adalah :
h( x)  2 Ae
2 2 2 x 2
36
Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada
Domain Frekuensi
• Filter highpass yang disusun dari selisih fungsi
Gaussian berikut :
H (u)  Ae
u 2 / 2 12
 Be
u 2 / 2 22
dengan AB dan 1>2. Filter padanannya
pada domain spasial adalah :
h( x)  2  1 Ae
2 2 12 x 2
 2  2 Be
2 2 22 x 2
37
Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada
Domain Frekuensi
38
Filtering pada Domain Spasial vs Filtering pada
Domain Frekuensi
• Domain frekuensi bisa dianggap sebagai sebuah
laboratorium untuk mempelajari keterkaitan antara
frekuensi dan bentuk citra. Beberapa tugas perbaikan
citra yang sulit (atau bahkan tidak mungkin) untuk
dirumuskan secara langsung pada domain spasial, akan
menjadi cukup mudah untuk diselesaikan pada domain
frekuensi. Begitu kita telah memilih suatu filter melalui
eksperimen pada domain frekuensi, maka implementasi
yang sesungguhnya dilakukan pada domain spasial.
Caranya adalah dengan menspesifikasikan filter
padanan pada domain spasial yang berukuran kecil dan
yang mewakili “intisari” dari fungsi filter (yang berukuran
lebih besar) pada domain spasial.
39
Filter Penghalusan
• Tepi objek dan transisi tajam yang lain
(seperti noise) memiliki kontribusi yang
cukup besar pada komponen frekuensi
tinggi dalam transformasi Fourier.
Sehingga penghalusan (pengkaburan)
bisa dilakukan pada domain frekuensi
dengan cara menurunkan range tertentu
dari komponen frekuensi tinggi.
40
Filter Penghalusan
• Model filtering pada domain frekuensi adalah :
G(u,v) = H(u,v) F(u,v)
dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari
citra yang akan dihaluskan.
• Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v)
yang menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan
komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).
41
Filter Penghalusan
•
Ada tiga tipe filter lowpass, yaitu:
1. Filter Ideal  fungsi filter yang sangat tajam.
2. Filter Gaussian  fungsi filter yang sangat halus.
3. Filter Butterworth  transisi di antara dua fungsi
ekstrim. Filter Butterworth memiliki parameter yang
disebut order filter. Nilai order filter tinggi 
mendekati filter Ideal. Nilai order filter rendah 
mendekati filter Gaussian.
42
Referensi
• Bab 4, “Image Enhancement in the
Frequency Domain”, Digital Image
Processing, edisi 2, Rafael C. Gonzales
dan Richard E. Woods, Prentice Hall,
2002
43