Modul Praktek

Modul 1 :
1.1
Aljabar Boolean dan Gerbang Logika Dasar
Tujuan
Setelah mengikuti praktek ini mahasiswa diharapkan dapat:
1. Memahami Aksioma dan Teorema Aljabar Boolean.
2. Memahami gerbang logika dasar dan penggunaannya.
3. Mampu menyederhanakan persamaan Boolean dengan Aksioma dan Teorema Aljabar
Boolean.
4. Mampu merealisasikan persamaan Boolean yang telah disederhanakan dengan
menggunakan gerbang logika dasar dalam bentuk SOP dan POS dengan cara biasa dan
bubble pushing.
1.2
Alat & Bahan
Alat & Bahan Yang digunakan adalah hardware perangkat PC/Laptop dengan Sistem Operasi
Windows/GNU Linux beserta Kelengkapannya serta Software Logisim yang telah terinstall pada
masing-masing PC/Laptop.
1.3
Dasar Teori
1.3.1 Persamaan Boolean
Persamaan Boolan berhubungan dengan variabel-variabel yang bernilai TRUE atau FALSE sehingga
sempurna untuk menjelaskan rangkaian logika.
1.3.1.1 Bentuk Sum of Products (SOP)
Sebuah tabel kebenaran dengan N input memiliki 2N baris, output bernilai 1 untuk tiap kombinasi
semua input tertentu. Tiap baris dalam sebuah tabel kebenaran diasosiasikan dengan sebuah
minterm yang bernilai TRUE untuk baris tersebut.
Gambar 1 menunjukkan
tabel kebenaran 2 input yaitu A dan B. Tiap baris berkorespodensi dengan mintermnya. Sebagai
contoh, minterm untuk baris pertama adalah ̅ karena ̅ bernilai TRUE ketika A = 0 dan B = 1.
Gambar 1 Tabel Kebenaran minterm
Kita dapat menulis persamaan Boolean untuk semua tabel kebenaran d engan menjumlahkan tiap minterm
dengan output Y bernilai TRUE. Gambar 2 menunjukkan sebuah tabel kebenaran dengan lebih dari 1
baris yang memiliki output TRUE. Dengan menjumlahkan tiap minterm yang dilingkari memberikan
̅
Gambar 2 Tabel kebenaran dengan banyak minterm TRUE
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
8
Persamaan Boolean di atas disebut bentuk kanonik Sum of Products (SOP) dari sebuah fungsi karena
merupakan sum (OR) dari semua product-productnya (meng-AND-kan semua bentuk mintermnya).
1.3.1.2 Bentuk Product of Sums (POS)
Alternatif lain untuk mengungkaplan persamaan Boolean yaitu dengan bentuk kanonik product of
sum. Tiap baris tabel kebenaran berkorespodensi dengan sebuah maxterm yang bernilai FALSE untuk
baris tersebut. Sebagai contoh, maxterm pada baris pertama dari tabel kebenaran 2 input adalah
(
) karena (
) bernilai FALSE untuk A = 0 dan B = 0. Kita dapat menulis sebua persamaan
Boolean secara langsung dari tabel kebenarannya dengan meng-AND-kan tiap maxtermnya yang
nilai OUTPUTnya FALSE. Untuk Gambar 3 persamaan Boolean dengan bentuk kanonik POS yaitu:
̅) (
(
)
Gambar 3 Tabel Kebenaran dengan banyak maxterm bernilai FALSE
1.3.1.3 Aljabar Boolean
Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasioperasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar
dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang
menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan
menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan
tanda kurung.
Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi
boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabelvariabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar
boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi
nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan
dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasioperasinya memenuhi aturan tertentu.
Aljabar Boolean berdasarkan sekumpulan aksioma yang kita asumsikan benar dan teorema untuk
menyederhanakan persamaan Boolean yang diketahui.
Tabel 1 Aksioma Aljabar Boolean
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
9
Tabel 2 Teorema Aljabar Boolean untuk 1 variabel
Tabel 3 Teorema Aljabar Boolean untuk beberapa variabel
Contoh 1:
̅̅ ̅
Sederhanakan persamaan Boolean
Aljabar Boolean!
̅ ̅
̅
menggunakan Aksioma dan Teorema
Jawaban:
Langkah 1:
̅̅ ̅
Langkah 2:
̅ ̅(
Langkah 3:
̅ ̅( )
Langkah 4:
̅ ̅
̅ ̅
̅̅ ̅
̅
T3: idempotency
̅)
̅( ̅
)
T8: Distributif
̅( )
̅
T5: Komplemen
T1: Identitas
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
10
1.3.2 Gerbang Logika Dasar
Pengertian GERBANG (GATE) :

Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran.

Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan
tinggi atau low ( 1 atau 0 ).

Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukanmasukannya.
Operasi logika NOT ( Invers ) : Operasi mengubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya 
Tabel 4 Tabel Kebenaran NOT
X
X’
0
1
1
0
Operasi logika AND

Operasi antara dua variabel atau lebih

Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika sebuah variabel masukan tersebut berlogika 1
Tabel 5 Tabel Kebenaran AND 2 masukan
MASUKAN
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
KELUARAN
Y = A.B
0
0
0
1
Simbol
Operasi logika OR
 Operasi antara 2 variabel atau lebih
 Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika semua variabel tersebut berlogika 0.
 Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika minimal 1 variabel tersebut berlogika 1.
Tabel 6 Tabel Kebenaran OR 2 masukan
MASUKAN
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
KELUARAN
Y=A+B
0
1
1
1
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
Simbol
11
Operasi logika NOR
Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di
inverter.
Tabel 7 Tabel Kebenaran NOR 2 masukan
MASUKAN
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
KELUARAN
Y = (A + B)’
1
0
0
0
Simbol
Operasi logika NAND
Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran
gerbang AND yang di inverter.
Tabel 8 Tabel Kebenaran NAND 2 masukan
MASUKAN
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
KELUARAN
Y = (A .B)’
1
1
1
0
Simbol
Operasi logika XOR
Operasi logika ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah
ganjil.
Tabel 9 Tabel Kebenaran XOR 2 masukan
MASUKAN
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
KELUARAN
Y = A XOR B
0
1
1
0
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
Simbol
12
Operasi logika XNOR
Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap
atau tidak ada sama sekali.
Tabel 10 Tabel Kebenaran XNOR 2 masukan
MASUKAN
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
KELUARAN
Y = A XNOR B
1
0
0
1
1
3
2
Simbol
Contoh 2:
Realisasikan, simulasikan dan carilah tabel kebenaran dari persamaan Boolean
menggunakan Logisim!.
̅ ̅
̅
Jawaban:
Realisasi rangkaian logika dari persamaan Boolean
Gambar 4 Rangkaian Logika untuk
Tabel Kebenaran dari persamaan Boolean
1.3.3
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ yaitu:
̅
̅ hasil simulasi dengan Logisim yaitu:
Bubble Pushing
Kadang kala kita dibuat pusing oleh sebuah rangkaian logika yang sulit ditentukan persamaan
Booleannya karena banyak bubble. Bubble pushing merupakan cara yang berguna untuk
menggambar kembali rangkaian logika sehingga buble-buble dapat dikurangi sehingga
fungsi/persamaan Boolean dari rangkaian logika tersebut dapat ditentukan dengan mudah.
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
13
Backward:
 Bentuk berubah
 Menambahkan bubble ke semua input
Forward:
 Bentuk berubah
 Menambahkan bubble ke output
1.4
1.
Percobaan
Tuliskan persamaan Boolean dalam bentuk kanonik Sum of Product (SOP) dan Product of Sums
(POS) untuk tabel kebenaran berikut ke dalam jurnal saudara:
a.
b.
c.
2.
Minimasi/Sederhanakan Persamaan Bolean dalam bentuk SOP yang didapat pada no. 1a sampai
1c dan tuliskan di jurnal saudara persamaan Boolean tersebut, rangkaian logikanya
menggunakan gerbang AND, OR dan NOT dan tabel kebenaran hasil simulasi dari percobaan
ini!.
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
14
3.
Minimasi/Sederhanakan Persamaan Bolean berikut dan tuliskan di jurnal saudara persamaan
Boolean tersebut rangkaian logikanya menggunakan gerbang NAND dan NOR 2 input dan tabel
kebenaran hasil simulasi dari percobaan ini!.
̅̅
a.
̅̅
̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅)
(
b.
4.
Menggunakan Gerbang Ekivalen De Morgan dan metode bubble pushing, tuliskan di jurnal
saudara rangkaian baru dari Gambar 5, persamaan Booleannya dan tabel kebenarannya
berdasarkan hasil simulasi dari percobaan ini!.
Gambar 5 Rangkaian Soal 4
5.
Menggunakan Gerbang Ekivalen De Morgan dan metode bubble pushing, tuliskan di jurnal
saudara rangkaian baru dari Gambar 6, persamaan Booleannya dan tabel kebenarannya
berdasarkan hasil simulasi dari percobaan ini!.
Gambar 6 Rangkaian Soal 5
DAFTAR PUSTAKA

David M. Harris & Sarah L. Harris. 2012. “Digital Design and Computer Architecture, 2nd
edition: Chapter 2
Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer
15