MAKALAH PENGOLAHAN DATA SEISMIK

MAKALAH PENGOLAHAN DATA SEISMIK
“Aplikasi Fungsi Matematika Untuk Pengolahan Data Seismik”
Dosen Pengampu: Sukir Maryanto, Ph. D.
Disusun Oleh:
Rendi Pradila Hab Sari (115090700111016)
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2014
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Warrahmatullahi Wabarrokatuh.
Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta
hidayahnya sehingga Makalah tentang “Aplikasi Fungsi Matematika Untuk Pengolahan Data
Seismik” ini dapat Penulis selesaikan sesuai dengan deadline yang telah ditentukan. Shalawat
serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Muhammad SAW,
sebaik-baik hamba Allah, pemimpin orang yang bertakwa, dan pemilik kasih sayang di antara
manusia. Shalawat dan salam semoga tercurah pula pada segenap keluarganya, para sahabatnya,
dan pengikut setianya sampai akhir jaman.
Makalah ini adalah makalah yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengolahan
Data Seismik oleh mahasiswa prodi Geofisika jurusan Fisika FMIPA Universitas Brawijaya
dengan dosen pengampu bapak Sukir Maryanto, Ph. D. Didalamnya membahas tentang
keterkaitan suatu fungsi matematika dalam pemrosesan data seismik berikut aplikasinya dalam
studi kasus eksplorasi minyak/gas, eksplorasi geothermal maupun volcano-tektonik. Semoga
dengan hadirnya makalah ini dapat memberikan manfaat serta syafa’at bagi siapapun yang
membacanya. Aamiin.
Malang, 29 Maret 2014
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Semakin pesatnya kemajuan teknologi pada saat ini, mempengaruhi kemajuan
pengolahan data khususnya di bidang geofisika. Sebagai contoh adalah dalam pengolahan
data seismik. Tujuan dari pengolahan data seismik adalah untuk menghasilkan penampang
seismik yang mencerminkan geologi bawah permukaan, sehingga memungkinkan interpreter
untuk lebih mudah mendefinisikan prospek.
Seluruh proses geofisika dapat dideskripsikan secara matematika termasuk proses
pengolahan data seismik. Proses pengolahan data seismik merupakan aplikasi dari teori dasar
matematika seperti transformasi fourier, matriks, wavelet, integral, diferensial, dll. Teoriteori ini menjadi dasar dari pengolahan data seismik digital. Kebanyakan dari seismic data
processing berdasar pada cabang matematika yang disebut Statistical Communication Theory.
Karena itu sebelum menggunakan software kita perlu memahami bagaimana prinsip-prinsip
dasar matematis dari langkah-langkah pengolahan data digital tersebut.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah sebagai berikut:
1.2.1 Bagaimana keterkaitan fungsi matematika dalam pemrosesan data seismik?
1.2.2 Apa aplikasi dari fungsi matematika dalam pemrosesan data seismik dan bagaimana
interpretasinya untuk bidang seismologi?
1.2.3 Apa contoh dari studi kasus aplikasi fungsi matematika tersebut dalam eksplorasi
minyak/gas bumi, geothermal dan vulkano-tektonik?
1.3 Tujuan
Makalah ini dibuat bertujuan untuk mengetahui tentang:
1.3.1 Keterkaitan fungsi matematika dalam pemrosesan data seismik,
1.3.2 Aplikasi dari fungsi matematika dan interpretasinya untuk bidang seismologi,
1.3.3 Studi kasus dari salah satu aplikasi yang telah dijelaskan di bidang eksplorasi minyak/gas
bumi, geothermal dan vulkano-tektonik.
1.3 Manfaat
Dari makalah ini diharapkan pembaca dapat mengetahui tentang penerapan fungsi
matematika dalam pemrosesan data seismik dan aplikasinya dibidang eksplorasi minyak/gas
bumi, geothermal dan vulkano-tektonik.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Peran Fungsi Matematika Dalam Seismologi
2.1.1 Diferensial dan Integral
Teori penjalaran gelombang seismik banyak menggunakan prinsip matematika.
Salah satunya diferensial dan integral. Teori ini didasarkan pada prinsip persamaan
gelombang. Misalkan persamaan dalam kasus perjalaran gelombang 1-D dapat dinyatakan
dalam persamaan diferensial parsial orde 2 bersama kondisi syarat batas dan awal berikut
(Powers, 1999) :
Solusi persamaan elastodinamik di atas dapat dinyatakan dalam persamaan
potensial displacement (dapat juga dinyatakan dalam vektor potensial displacement) secara
berturut-turut untuk gelombang P dan S (Lay dan Wallace, 1995) :
Dimana F(t) adalah gaya sumber, α = kecepatan gelombang P =
kecepatan gelombang S =
dan β =
, μ = modulus rigiditas, λ = konstanta Lame, ρ = densitas
medium perambatan gelombang, misal potensial displacement kompresi Ap = Ap k (untuk
kasus gaya sumber gempa berarah sumbu z), As = As k dimana hubungan antara potensial
displacement dengan displacement itu sendiri adalah sebagai berikut:
Persamaan diferensial orde 2 potensial displacement di atas mempunyai solusi dalam
bentuk integral konvolusi berikut (Lay dan Wallace, 1995) :
2.1.2 Bilangan Kompleks
Bentuk umum dari bilangan kompleks ditunjukkan pada persamaan berikut:
Hasil representatif dari persamaan di atas ditunjukkan pada gambar 1. Pada gambar
tersebut terlihat a + ib, dengan a dan b adalah bilangan real, kemudian ditambahkan
dengan variabel real lainnya, maka jika:
(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
(a+ib) (c+id)
= ac + iad + ibc + ibd
= ac + i(ad+bc) + i2bd
= ac – bd + i(ad-bc)
Maka untuk semua bilangan dengan penambahan tersebut disebut bilangan kompleks,
berikut bilangan dengan fungsi a+ib. Pengertian dari bilangan kompleks itu sendiri
merupakan semua bilangan pada z = a + ib dimana a dan b adalah bilangan real sementara i
adalah bilangan imajiner.
Gambar 1. Hasil representative pada bilangan kompleks (Mathematical Foundation,
tanpa tahun)
Pada ilmu seismologi, bilangan kompleks banyak digunakan untuk gelombang
bidang sebagai superposisi dari sinyal seismik menggunakan notasi kompleks:
2.1.3 Matriks
Sebuah matrik m x n adalah sebuah susunan persegi panjang dari angka dengan m
baris dan n kolom. Peran matriks dalam seismologi adalah untuk:
-
Penentuan tensor stress dan strain
-
Permasalahan inverse dan tomographic forward
-
Menghitung interpolasi atau operator diferensial untuk metode diferensial terhingga.
Contoh dari peranan matriks dalam seismologi ini adalah untuk menentukan
principal stress dan principal axis (nilai eigen). Prinsip dasar matriks yang digunakan pada
penentuan nilai eigen adalah matriks identitas I:
Dengan persamaan untuk mencari principal stress-nya adalah AI=x. Lalu teori
mengenai transpose matrik (gambar 2a) dan determinan matriks 2x2 (gambar 2b) juga
berperan untuk menentukan nilai eigen value maupun vektor.
(a)
(b)
Gambar 2. Transpose matriks (a) dan determinan matriks 2x2 (b)
Apabila determinan ini merupakan matrik 3x3, maka kita bisa menuliskannya sebagai
Atau
2.2 Peran Fungsi Matematika Dalam Pengolahan Data Seismik
Meskipun hasil dari data seismik telah dikurangi dan ditampilkan, hal yang ingin
ditonjolkan dari data tersebut belumlah nyata. dengan demikian, ada langkah selanjutnya
yaitu pengolahan data yang akan memperkuat tampilan yang ingin ditonjolkan tersebut.
Metode yang telah dideskripsikan untuk digunakan dalam kebanyakan hasil data seismik
tersebut dibuat dalam bentuk yang matematis. Kebanyakan dari pengolahan data seismik
didasarkan pada cabang matematika yang disebut Statistical Communication Theory
(Gadallah & Fisher, 2009). Fungsi matematika sangat berperan penting pada pengolahan
data seismik. Hal ini karena fungsi dari pengolahan data itu sendiri agar kita bisa
mendapatkan gambar sinyal seismik yang merepresentasikan kondisi bawah permukaan
dengan akurat.
Beberapa fungsi matematika yang sering digunakan pada pengolahan data seismik
dijabarkan sebagai berikut:
2.2.1 Hubungan Domain Waktu dan Domain Frekuensi
Pada awalnya data seismik direkam secara analog antara 1960 hingga akhir 1970.
Setelah 50 tahun berlalu hingga sekarang data mulai direkam secara digital. Konsep yang
paling penting dari pengolahan data seismik yaitu bahwa sinyal ini bisa dideskripsikan
sama dengan time series (Amplitudo vs waktu), atau kombinasi dari spektrum amplitudo
(Amplitudo vs frekuensi) dan spektrum fasa (fasa vs frekuensi). Pada kasus ini, awalnya
sinyal didefinisikan dalam bentuk domain waktu. pada kasus kedua baru sinyal
didefinisikan sebagai frekuensi domain. Dari sini, tentu saja memberikan kita pertanyaan
mengenai arti dari fasa. Arti yang paling mudah dari fasa adalah fasa nol. Time series atau
fungsi yang simetris dengan waktu-nol adalah fasa-nol. Fungsi kosinus adalah contohnya.
Gambar 3 memperlihatkan gelombang cosinus berada di tengah pada saat waktu-nol dan
gelombang cosinus two time-shifted. Gelombang cosinus yang bergeser ke arah kiri
dikatakan sebagai phase lead. Contoh pentingnya adalah pergeseran ini terjadi sebesar 1/6
atau 60º. Gelombang cosinus yang bergeser ke kanan disebut sebagai phase lag, yang
bergeser 1/8 atau 45º (Gadallah & Fisher, 2009).
Gambar 3. Definisi dari fasa: Atas: Fasa-Nol, tengah: Phase Lead 60º, bawah: Phase
Lag 45º (Gadallah & Fisher, 2009).
Selain itu beberapa bentuk perbedaan domain waktu dan domain frekuensi yang
harus kita pahami adalah:
-
Wavelet domain waktu dapat dikumpulkan dengan menjumlahkan satu set frekuensi
tunggal sinyal sinusoidal,
-
Wavelet domain waktu dapat didekomposisikan ke dalam frekuensi tunggal sinyal
sinusoidal,
-
Amplitude dan spektra fasa menetapkan komponen sinusoidal sehingga tidak terlalu
penting untuk memperlihatkan sinusoidal tunggal untuk memperlihatkan ekuivalen dari
domain waktu dan domain frekuensi.
-
Untuk mengubah domain waktu ke domain frekuensi ini digunakan transformasi
fourier dan untuk mengembalikannya dari domain frekuensi menjadi domain waktu
digunakan inversi transformasi fourier (Gadallah & Fisher, 2009).
2.2.2 Transformasi Fourier
Transformasi fourier, seperti telah dijelaskan pada sub-subbab 2.2.1 digunakan
untuk mengubah domain waktu ke domain frekuensi, sedangkan untuk mengubah dari
domain frekuensi ke domain waktu disebut transformasi fourier inverse. Mengapa kita
mengubah dari domain waktu ke domain frekuensi? Biasanya kita berpikir bahwa data
seismik merupakan variasi dari waktu pada amplitudo yang memiliki variasi geophone.
Ketika kita mengambil sudut pandang ini, kita berpikir bahwa domain waktu adalah
variabel yang independen. Kita juga terkadang menemukan bahwa ketepatan domain
waktu ini mengenai gelombang seismik sebagai superposisi dari banyak gelombang
sinusoidal yang berbeda pada amplitudo, frekuensi dan fasanya. Kemudian amplitudo dan
fasa relatif merupakan fungsi dari frekuensi sehingga kita berpikir tentang domain
frekuensi (Tellford dkk, 1976). Bentuk transformasi fourier yang paling sering digunakan
dirumuskan pada gambar 4 berikut:
Gambar 4. Transformasi fourier (atas) dan Transformasi Fourier Inverse (Bawah)
(Camina dkk, 1984)
2.2.3 Filtering and Convolution
Kebanyakan model time series merupakan sebuah bentuk yang linear dan kita
bisa mengandaikan sebuah filter sebagai sebuah input. Salah satu kemungkinan yang
bisa dianggap sebuah model dengan input X(t) dan output Y(t) dapat kita lihat pada
gambar 4 di mana filtering input X(t) ke Y(t)= L{X(t)}. Nilai Y(t) ini merupakan sebuah
hasil konvolusi. Inti dari sebuah konvolusi adalah perkalian dari 2 buah fungsi L dan
X(t) yang menghasilkan output Y(t). dalam hal ini, L merupakan sebuah kernel
konvolusi atau filter. Konvolusi menggabungkan 3 sinyal yaitu sinyal masukan,
keluaran dan respon impuls dimana 2 buah sinyal dikombinasikan secara matematik
menjadi sinyal dalam bentuk lain.
Gambar 4. Model linear time series dimana Y(t)= L{X(t)} (Camina dkk, 1984)
Jika X(t) merupakan sebuah bentuk yang diketahui, kita bisa memiliki
beberapa persamaan mengenai properti dari Y(t). Faktanya, kita akan mengambil
kesimpulan mengenai bentuk L dari pengetahuan tentang X(t) dan Y(t). Dalam teori
konvolusi kita mengenal konvolusi kontinyu dan konvolusi diskrit. Pada konvolusi
kontinyu respon impuls ditentukan dengan menghitung integral konvolusi, sehingga dapat
kita nyatakan dalam persamaan integral berikut ini:
Sedangkan untuk konvolusi diskrit dapat ditentukan dengan konvolusi sinyal diskrit yang
dituliskan sebagai:
Konvolusi ini banyak digunakan dalam pemfilteran. Filtering merupakan sebuah
proses dimana diambil sebagian sinyal dari frekuensi tertentu, dan membuang sinyal pada
frekuensi yang lain. Ada 3 bentuk spesial yang biasanya digunakan dalam filtering
menggunakan konvolusi, yaitu band pass filter, Low Pass filter dan High Pass Filter. Pada
sinyal seismik, Band Pass membuat gambaran sinyal menjadi lebih jelas. Low pass filter
membuat sinyal yang difilter menjadi lebih blur. Sinyalnya bekerja dengan mengambil
citra dengan gradiasi intensitas yang halus dan perbedaan intensitas yang tinggi akan
dikurangi atau dibuang.
Sedangkan
untuk
high
pass
filter
proses
filter
yang
mengambil citra dengan gradiasi intensitas yang tinggi dan perbedaan intensitas yang
rendah akan dikurangi atau dibuang. Ketiga filter ini memiliki bentuk spesial seperti
pada persamaan berikut:
1. Band Pass Filter
2. Low Pass Filter
3. High Pass Filter
(Camina dkk, 1984)
2.2.4 Correlation
Fungsi correlation merupakan pengukuran antara 2 data set. 1 set digantikan secara
relatif dengan yang lain. Nilai yang sama pada 2 set dikalikan bersama dan sinyalnya
dijumlahkan untuk memperoleh nilai cross-correlation. Kita mengekspresikan nilai dari
cross-correlation antara 2 data set xt dan yt sebagai:
Dimana τ adalah displacement pada yt relatif ke xt. Kalau diperhatikan pada sub-subbab
sebelumnya persamaan ini hampir mirip dengan persamaan konvolusi diskrit. Jika 2 data
set ini adalah cross-correlated pada domain waktu. Efeknya pada domain frekuensi adalah
sama, yaitu sebagai pengalian spectrum kompleks pada data set pertama oleh konjugasi
dari spektrum kompleks pada data kedua (Tellford dkk, 1976).
Ada kasus yang khusus dimana data set telah terkorelasi sendiri disebut
autocorrelation. Fungsi autocorrelation ini simetris karena pergeseran waktu ke kanan
adalah sama dengan pergeseran ke kiri. Persamaan sebelumnya menjadi:
Autocorrelation memiliki nilai puncak pada pergeseran waktu nol. Untuk
autocorrelation yang nilainya berada pada zero-shift ini disebut normalized correlation atau
energi pada trace:

Karena nilai zero-shift pada autocorrelation adalah energy dari trace, maka
energy per unit waktu atau kekuatan dari trace dan
adalah
adalah energy setiap
penambahan frekuensi, biasanya disebut energy densitas (Tellford dkk, 1976).
Pada pengolahan data seismik, crosscorrelation merupakan alat yang bagus dan
paling sering digunakan ketika kita memiliki kualitas data yang tidak bagus. Ini biasanya
digunakan di banyak proses untuk menghitung koreksi static dan menghitung jumlah dari
moveout normal untuk memperkenalkan lintasan trace dari offset berbeda sebelum stacking
(Tellford dkk, 1976).
2.2.5 Analisis Kecepatan
Penampilan analisis kecepatan dapat diperlihatkan pada gambar 5. Ini merupakan
analisis yang baik karena data yang diinvolved baik. Ketinggian pada kontur adalah plot
persamaan dari event. Lokasi dari hasil ketinggian kecepatan (atau normal moveout) adalah
optimasi dari stack. Perkalian gelombang primer akan memberikan kenaikan pada puncak
dan karena itu hasilnya dapat diinterpretasikan untuk menghitung nilai terbaik yang akan
digunakan untuk stacking data.
Gambar 5. Analisis kecepatan (a) section seismik, (b) analisis kecepatan dari data (a), (c)
semblance/ kemiripan bentuk dari rekaman waktu yang lain, (d) puncak amplitudo di
tiap rekaman waktu (Tellford dkk, 1976).
Analisa kecepatan penting untuk diketahui karena dengan analisa kecepatan akan
diperoleh nilai kecepatan yang cukup akurat untuk menentukan kedalaman, ketebalan,
kemiringan (dip) dari suatu reflektor atau refraktor (Tristiyoherni dkk, tanpa tahun).
2.2.6 Migrasi
Migrasi dilakukan pada pengolahan data seismik dengan tujuan untuk dapat
memindahkan posisi pemantul semu (hasil rekaman) ke posisi pemantul yang sebenarnya
(pemantul geologi) dan mengumpulkan titik difraksi ke puncak kurva difraksi yang
diakibatkan oleh sesar, kubah garam, pembajian, dll (Yilmaz, 1987). Prinsip migrasi secara
geometri matematika menggunakan persamaan untuk model bidang miring dengan kecepatan
tunggal dapat didekati dengan menggunakan persamaan hubungan kemiringan yaitu :
2.3 Contoh Aplikasi dan Studi Kasus
2.3.1 Dibidang Eksplorasi Minyak dan Gas Bumi
Contoh aplikasi fungsi matematika di bidang Eksplorasi Oil&Gas salah satunya
seperti pada artikel ilmiah yang berjudul “Aplikasi Migrasi Metode Beda Hingga pada
Pengolahan Data Seismik untuk Menggambarkan Penampang Bawah Permukaan yang
Sebenarnya” oleh Eka Nusantara, Hernowo Danusaputro dan Nasio Asmoro Hadi dari
UNDIP yang dipublikasikan pada jurnal Berkala Fisika.
Pengolahan data seismik bertujuan memperbaiki S/N rasio. Hal ini berarti semua
noise yang mengganggu atau menyelubungi informasi refleksi sedapat mungkin diredam
dan sebaliknya semua informasi refleksi dipertahankan dan bahkan diperkaya
(spektrum/amplitudo-nya) dan dikoreksi (spektrum fasenya), sehingga akan diperoleh
penampang seismik yang benar. Dalam proses migrasi beda hingga data yang digunakan
sebagai masukan adalah penampang waktu 2D zero offset yang belum dimigrasi
(unmigrated), yang disimbolkan dengan y(x,t,t = Tmulai). Dengan x adalah sumbu
horisontal, t adalah sumbu waktu perekaman dan t adalah waktu yang telah di hitung,
sumbu ini menghubungkan konversi waktu terhadap kedalaman bawah permukaan
menggunakan kecepatan yang diberikan oleh pengolah data.
Sebagai hasil akhir pengolahan data seismik didapatkan penampang seismik yang
sudah termigrasi.
2.3.2 Dibidang eksplorasi Geothermal
Studi kasus ini diambil dari paper milik Kurniawati (2013) yang meneliti tentang
pusat hydrothermal di daerah Cangar dengan menggunakan particle motion. Besarnya nilai
frekuensi yang didapatkan akan menentukan aktivitas hydrothermal di daerah tersebut.
Spektrum frekuensi nya menerapkan prinsip FFT, dimana data yang terekam didomain
waktu akan ditransformasikan ke domain frekuensi. Data gempa mikro di daerah Cangar
memiliki frekuensi dominan diatas 15 Hz (lihat gambar 6).
Gambar 6. Spektrum frekuensi gempa mikro (Kurniawati, 2013)
Batas frekuensi yang telah ditentukan berdasarkan analisis spektrum frekuensi dan
spektrogram akan diterapkan pada proses pemfilteran. Sinyal yang telah difilter selanjutnya
dicuplik setiap 1 sekon. Hal ini bertujuan untuk mengetahui arah pergerakan partikel. Hasil
plot pergerakan partikel pada komponen horisontal akan diketahui posisi dari titik episenter
masing-masing event. Analisis pergerakan partikel yang terdiri atas komponen horisontal
dan vertikal dapat digunakan untuk memperkirakan jarak episenter dan hiposenter suatu
kejadian gempa. Berdasarkan hasil penelitian, sumber gempa berada pada kedalaman 17
hingga 60 meter dibawah permukaan bumi.
2.3.3 Dibidang Volkano-tektonik
Dalam kasus data seismik, yaitu sumber gempa berasal dari gempa gunungapi,
fungsi F(t) dapat dihubungkan dengan bentuk sinyal sumber gunungapi. Dinamika erupsi
gunungapi diharapkan diperoleh dengan cara mengetahui variasi besar dan arah gaya
maupun stress (momen tensor) dari sumber gempa gunungapi yang mengakibatkan erupsi
(Gunawan, 2010). Persamaan yang digunakan pada kasus ini adalah persamaan diferensial:
Untuk mengetahui pemodelan displacement-nya, maka diilustrasikan hubungan
antara geometri sesar suatu gempabumi dengan gaya ekivalen suatu double couples
(gambar 7; Stein dan Wysession, 2003). Displacement ini dirumuskan pada persamaan:
Dimana:
Cp =
ρ = densitas medium (batuan)
r = jarak antara sumber gempa dan stasiun perekam gempa
α = kecepatan gelombang seismik kompresi
t = waktu
= seismic moment rate function atau source time function
Untuk gelombang S (shear wave) displacement dinyatakan dalam uθ dan uφ
Dimana β : kecepatan gelombang seismik kompresi. Displacement akibat
mekanisme patahan double couples dicerminkan oleh variasi bentuk sinyal sumber gempa
∂M(t)/∂t dalam arah θ dan φ, dimana momen seismik M(t) = rigiditas (atau μ)*slip history
(atau u(t))*luas bidang patahan (atau A(t)). Untuk penyederhanaan momen seismik dapat
dinyatakan sebagai ∂M/∂t= μ*A*∂u(t)/∂t, dimana u(t) adalah source time function.
Dari hasil penelitian Gunawan (2010) ini berdasarkan beda waktu antara first
motion sinyal pada lokasi sumber gempa double couples dan first motion sinyal di lokasi
receiver pada simulasi propagasi gelombang P maka untuk displacement radial diperoleh
waktu tempuh gelombang sebesar 2 detik. Displacement pada komponen φ mendekati nol
o
dikarenakan lokasi receiver, dalam hal ini φ mandekati 0 (atau sin(φ) ∼ 0) artinya uφ ∼ 0.
Gambar 7. Kombinasi gaya sebagai sumber gempa (sumber gempa paling sederhana
adalah single force dan single couple). Bidang untuk simulasi sumber gempa double
couples adalah bidang Y-Z (Gunawan, 2010)
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Prinsip matematika banyak digunakan dalam seismologi maupun dalam
pengolahan data seismik. Fungsi-fungsi matematika yang berperan dalam seismologi yaitu
integral, diferensial, bilangan kompleks, matriks, dll. Sedangkan untuk pengolahan data
seismic fungsi matematika banyak digunakan dalam proses filtering, konvolusi, transformasi
fourier, dll. Fungsi matematika ini dapat diaplikasikan dalam eksplorasi geothermal, minyak
gas dan volcano-tektonik.
DAFTAR PUSTAKA
Camina, R., G.J. Janecek, Graham, Trotman. 1984. Mathematics for Seismic Data Processing
and Interpretation. John Wiley and Sons, Ltd.
Nusantara, Eka, dkk. 2005. Aplikasi Migrasi Metode Beda Hingga pada Pengolahan Data
Seismik untuk Menggambarkan Penampang Bawah Permukaan yang Sebenarnya.
Berkala Fisika. 8(2):61-68
Gadallah, M. R., R. Fisher. 2009. Exploration Geophysics. Berlin: Springer
Gunawan, Hendra. 2010. Analisis Data Geofisika Monitoring Gunungapi Berdasarkan
Pengembangan Pemodelan Analitik Dan Diskrit (Bagian III) : Suatu Studi Konsep
Mekanisme Sumber Gempa. Bulletin Vulkanologi dan Bencana Geologi, Volume 5
Nomor 1: hal. 7-11
Lay, T dan Wallace, T.C., 1995. Modern Global Seismology, Academic Press, hal. 521
Powers, D.L. 1999, Boundary Value Problems, Harcourt-Academic Press, hal. 528
Telford, W. M., Geldart L.P, Sheriff, R.E. 1976. Applied Geophysics. New york: Cambridge
University Press
Tristiyohermi, Wahyu, Wahyuni, Widya Utama. Tanpa Tahun. Analisa Pre-Stack Time
Migration (PSTM) Data Seismik 2D Pada Lintasan “ITS” Cekungan Jawa Barat
Utara. Laboratorium Geofisika Jurusan Fisika FMIPA ITS Surabaya
Yilmaz, Ozdogan. 1987. Seismic Data Processing. Society Exploration Geophysics