Teori Bilangan

Bimbingan Olimpiade
Teori Bilangan
1. Nilai n terkecil sehingga bilangan
20102010...2010
n buah 2010
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Habis dibagi 99 adalah ....
Diketahu FPB (a, 2008) = 251. Jika a > 2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah ....
Bilangan asli terkeci lebih dari 2011 yang bersisia 1 jika dibagi 2,3,4,5,6,7,8,9,10 adalah ....
Banyak faktor positif dari 5! Adalah ....
Ada berapa faktor positif dari 27355372 yang merupakan kelipatan 10?
Berapa banyak pembagi genap dan pemagi ganjil dari 56 – 1 ?
Jika 10999999999 dibagi oleh 7, maka sisanya adalah ....
55
66
88
99
1010
8. Mana di antara 5 ekspresi 55 , 66 ,88 ,99 ,1010
yang angka terakhirnya berturut-turut
bukan 5, 6, 8, 9 atau 0?
9. Nanang mencari semua bilangan empat angka yang selisihnya dengan jumlah keempat
angkanya adalah 2007. Banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari ....
2 a
merupakan bilangan
3 b
10. Tentukan semua bilangan bulat a dan b sehingga bilangan
rasional.
11. Banyak bilangan asli kurang dari 1000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x2 – y2 untuk
suatu bilangan ganjil x dan y adalah ....
SOlUSI
Misalkan x = 2m + 1 dan y = 2n + 1
2
2
x − y = 4m(m + 1) − 4n(n + 1)
2
2
m(m + 1) dan n(n + 1) keduanya adalah bilangan genap maka x − y merupakan kelipatan 8.
2
2
Selain itu, 8k = (2k + 1) − (2k − 1) sehingga setiap bilangan kelipatan 8 dapat diubah menjadi
selisih kuadrat dua bilangan ganjil.
2
2
Maka banyaknya bilangan asli kurang dari 1000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x − y
dengan x dan y adalah bilangan ganjil adalah ⎣
1000
⎦ − 1 = 124. Tanda −1 sebab 1000 tidak
8
termasuk ke dalam bagian ini.
2
∴ Maka banyaknya bilangan asli kurang dari 1000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x −
2
y dengan x dan y adalah bilangan ganjil adalah 124.
12. Tentukan semua bilangan asli terdiri dari angka, misalkan abcdef, dengan a≠0 dan d≠0 yang
memenuhi abcdef = (def)2
SOLUSI
5
4
3
2
5
4
3
2
a ⋅ 10 + b ⋅ 10 + c ⋅ 10 + d ⋅ 10 + e ⋅ 10 + f = (100d + 10e + f)
2
4
2
2
2
2
2
2
3
2
a ⋅ 10 + b ⋅ 10 + c ⋅ 10 + d ⋅ 10 + e ⋅ 10 + f = d ⋅ 10 + e ⋅ 10 + f + 2de ⋅ 10 + 2df ⋅ 10 + 2ef ⋅ 10
2
100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f = 10000d + 100e + f + 2000de + 200df + 20ef
Angka satuan ruas kiri = f
2
Angka satuan ruas kanan = angka satuan f
Nilai f yang memenuhi adalah 0, 1, 5 atau 6
Angka puluhan ruas kiri = e
Angka puluhan ruas kanan = angka satuan 2ef + angka puluhan f
• Jika f = 0
Angka puluhan ruas kanan = 0 + 0 = 0 sehingga e = 0
2
2
100000a + 10000b + 1000c + 100d = 10000d
Angka ratusan ruas kiri = d sedangkan angka ratusan ruas kanan = 0 sehingga d = 0 (tidak
memenuhi)
• Jika f = 1
2
Angka puluhan ruas kanan = angka satuan 2ef + angka puluhan f = 2e + 0 = 2e.
Karena angka puluhan ruas kiri = e maka nilai e yang memenuhi adalah e = 0
2
100000a + 10000b + 1000c + 100d + 1 = 10000d + 1 + 200d
Angka ratusan ruas kiri = d sedangkan angka ratusan ruas kanan = 2d sehingga d = 0 (tidak
memenuhi)
• Jika f = 5
2
Angka puluhan ruas kanan = Angka satuan 10e + Angka puluhan 5 = 0 + 2 = 2 sehingga e =
2
2
2
100000a + 10000b + 1000c + 100d + 25 = (100d + 25) = 10000d + 5000d + 625
Angka ratusan ruas kanan = 6 sehingga d = 6
2
625 = 390625
• Jika f = 6
2
Angka puluhan ruas kanan = Angka satuan 12e + Angka puluhan 6 = (Angka satuan 2e) + 3
Angka puluhan ruas kiri = e sehingga nilai e yang memenuhi adalah e = 7
2
2
100000a + 10000b + 1000c + 100d + 76 = (100d + 76) = 10000d + 15200d + 5776
Angka ratusan ruas kiri = d
Angka ratusan ruas kanan = (Angka satuan 2d) + 7 sehingga d = 3
2
376 = 141376
2
2
∴ Nilai abcdef yang memenuhi adalah 390625 = 625 dan 141376 = 376 .
13. Ani mempunyai sangat banyak dadu dengan ukuran 3 cm x 3 cm x 3 cm. Jika ia memasukkan
dadu-dadu tersebut ke dalam sebuah kardus dengan ukuran 50 cm x 40 cm x 35 cm maka
berapa banyak dadu yang bisa masuk ke dalam kardus tersebut?
14. Jika n adalah bilangan aslu sehingga 3n adalah faktor dari 33! Maka nilai n terbesar yang
mungkin adalah ....
15. Pada bagian kanan 100! Terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak ....