(t - l ) sec q

Hantaran Radiasi
dan Atmosfer Bintang
DND - 2007
Hukum Radiasi
atau
Hukum Kuadrat Kebalikan
2
DND - 2004
Hukum Kuadrat Kebalikan
Applies to radiation, gravitational and electric fields
DND - 2007
Intensitas
Intensity
(W/m2)
Area (m2)
I=P
A
Intensity = 7.96 W/m2
DND - 2007
Power (watt)
Intensity = 1.99 W/m2
Hukum Kuadrat Kebalikan
• The intensity of radiation measures how much power
flows per unit of area.
• When radiation comes from a single point, the
intensity decreases inversely as the square of the
distance.
• This is called the inverse square law and it applies to
all forms of radiation.
DND - 2007
Hukum Kuadrat Kebalikan
• For all forms of electromagnetic radiation, the
intensity, I, at a distance, d, from a source of
intensity, Io, is given by:
I  Io/d2
• From this relationship, it was predicted that, if
one star is twice as far away as another star, the
distant star would be apparently only a quarter
as bright as the closer star  I0 = Luminositas
DND - 2007
Stellar Luminosity
• We measure the star’s flux, but the intrinsic
property is the Luminosity
• This is the amount of power radiated per unit
time
• Related to the measureable flux by:
Inverse Square Law
DND - 2007
L  4d I  4d I
2
1 1
2
2 2
L
I1 
4d12
d2
d1
DND - 2007
L
L
I 
I2 
2
2
4

d
4d 2
However, the apparent magnitude mixes up the intrinsic
brightness of the star (or luminosity) and the effect of
distance (which has nothing to do with the luminosity of the
star).
L
Inverse square law: I 
;
2
4d
DND - 2007
I1 L1 d 22

I 2 L2 d12
Using the Inverse Square Law
• Measure distance to star (using parallax),
measure flux  luminosity
• Star’s power output in Watts
• Find other similar stars, assume luminosities
are the same  distances
• Use particular types of star as ‘standard candles’
for determine distances to e.g. stellar clusters
DND - 2007
Measuring Distances: Parallax
• Observe ‘nearby’ star at the
extremes of the earth’s orbit
• Measure the difference in its
apparent position relative to
‘distant’ background stars
• Use trigonometry to deduce
the distance of the nearby
star
DND - 2007
Hukum Kuadrat Kebalikan dan Jarak
Bintang
• As a result of this law we can determine how
far away a light source is if we know its
intrinsic luminosity – or the rate at which it
radiates energy per second – and measure its
brightness when its energy reaches us.
. This is the basis for the second method for
measuring the distances to distant stars and
galaxies.
• For example, if we observe two stars, each of
the same luminosity, but one 100 times
brighter than the other, then the brighter
object must be 10 times closer.
DND - 2007
• So, if we measure the brightness of the star, and know its
luminosity, we can easily calculate its distance.
The only problem is - how do we know the luminosity of the star ?
• Luckily, there is at least one class of star for which the intrinsic
luminosity can be calculated: the so-called CEPHEID VARIABLES.
These are stars that pulsate, and their period of pulsation depends
on their luminosity. So if we measure this period, we know the
luminosity of the star. Combining this with a measure of their
brightness (flux), we can then estimate their distance from us.
• Using these stars, it has been possible to measure the size of our
Galaxy, and the distance to other galaxies too.
• In fact, this is one of the fundamental methods astronomers have of
investigating the size of the Universe around us.
DND - 2007
Brightness and distance
• Apparent magnitude: tells us how bright a star
looks to our eyes
Intensity, or radiation flux received by the
telescope: Energy of radiation coming through
unit area of the mirror per second (J/m2/s)
DND - 2007
Brightness and Distance
The flux received from the star is proportional to its
intrinsic brightness or luminosity (L) and inversely
proportional to the square of the distance (d):
L
I 
2
4d
L
R
d
DND - 2007
Kecerlangan dan Jarak
DND - 2007
Intrinsic Brightness, or luminosity
The flux received from the star is proportional to its
intrinsic brightness or luminosity (L) and inversely
proportional to the square of the distance (d):
L
__
I=
4d2
Star A
Star B
DND - 2007
Both stars may appear equally bright, although
star A is intrinsically much brighter than star B.
Earth
Distance and Intrinsic Brightness
Example:
Recall that:
Magn.
Diff.
Intensity Ratio
1
2.512
2
2.512*2.512 = (2.512)2 =
6.31
…
…
5
(2.512)5 = 100
For a magnitude difference of 0.41
– 0.14 = 0.27, we find an intensity
ratio of (2.512)0.27 = 1.28
DND - 2007
Betelgeuse
App. Magn. mV = 0.41
Rigel
App. Magn. mV = 0.14
Definition of apparent magnitude:
Define the magnitude scale so that two objects that differ by
5 magnitudes have an intensity ratio of 100.
mB  m A  5;
IA
 100
IB
IA
 ( 2.512)mB  m A
IB
DND - 2007
mB  m A  1;
IA 5
 100  2.512
IB
 IA 
( mB  m A )  2.5 Log 
 IB 
Distance and Intrinsic Brightness (2)
Rigel is appears 1.28 times
brighter than Betelgeuse,
But Rigel is 1.6 times further
away than Betelgeuse
Thus, Rigel is actually
(intrinsically) 1.28*(1.6)2 =
3.3 times more luminous than
Betelgeuse.
DND - 2007
Betelgeuse
Rigel
Absolute magnitude
Recall that for two stars 1 and 2
I2
m2  m1  2.5 log
I1
Let star 1 be at a distance d pc
and star 2 be the same star brought to the distance 10 pc.
Then
I2 d 2
 2
I1 10
log
I2
 log d 2  log 10 2  2 log d  2
I1
I2
m2  m1  2.5 log
I1
M  m  5 log d  5
m2 = M
Inverse:
DND - 2007
d (pc)  10
( m  M 5) / 5
The Distance Modulus
If we know a star’s absolute magnitude, we can
infer its distance by comparing absolute and
apparent magnitudes:
Distance Modulus
= mV – M V
= -5 + 5 log10(d [pc])
Distance in units of parsec
Equivalent:
d = 10(mV – MV + 5)/5 pc
DND - 2007
Absolute magnitudes of two different stars
1 and 2:
If two stars are at the same distance of 10 pc from the earth:
I 2 L2

I 1 L1
I2
L2
M 2  M1  2.5 log  2.5 log
I1
L1
DND - 2007
Absolute Magnitude (2)
Back to our example of
Betelgeuse and Rigel:
Betelgeuse
Rigel
mV
0.41
0.14
MV
-5.5
-6.8
d
152 pc
244 pc
Betelgeuse
Rigel
Difference in absolute magnitudes:
6.8 – 5.5 = 1.3
=> Luminosity ratio = (2.512)1.3 = 3.3
DND - 2007
Organizing the Family of Stars
We learned how to characterize stars with many
different parameters
Is there any correlation between stellar
luminosities, radii, temperature, and masses???
DND - 2007
The Size (Radius) of a Star
We already know: flux increases with surface
temperature (~ T4); hotter stars are brighter.
But luminosity also increases with size:
A
Star B will be
brighter than
star A.
B
Luminosity is proportional to radius squared, L ~ R2.
Quantitatively:
DND - 2007
L = 4  R2 s T4
Surface area of the star
Surface flux due to a
blackbody spectrum
Hantaran Radiasi dan
Atmosfer Bintang
DND - 2007
Persamaan Hantaran Pancaran
 Pengamatan bintang dengan menggunakan teleskop
hanya dapat mencapai bagian luar bintang saja yang
disebut dengan atmosfer bintang. Sedangkan bagian
dalam bintang tidak pernah bisa terjangkau oleh
pengamatan astronomi.
 Akan tetapi pengetahuan tentang bintang tidak akan
lengkap tanpa mengetahui sifat fisis bagian dalamnya.
Apalagi apa yang diamati pada bagian luar bintang
tidak terlepas dari struktur bagian dalamnya.
 Para astronom berusaha membuat
model struktur bintang berdasarkan
apa yang diamati dari permukaannya.
DND - 2007
 Walaupun tidak ada satupun astronom yang yakin
sepenuhnya bahwa model bintang yang dibuatnya
benar, namun apabila modelnya berkelakuan sesuai
dengan yang diamati, maka kemungkinan besar model
tersebut sudah berada pada arah yang benar.
 Sebenarnya antara atmosfer bintang dan bagian
dalamnya tidak ada batas yang jelas, karena
seluruhnya merupakan satu kesatuan.
 Astronom membedakan kedua bagian bintang tersebut
hanya untuk memudahkan analisis matematiknya saja.
DND - 2007
 Oleh karena lapisan atmosfer bintang jauh lebih tipis
dari besar keseluruhan bintang
Lapisan atmosfer dianggap sebagai permukaan
bidang sejajar
Atmosfer
DND - 2007
Tinjau suatu elemen luas ds yang terletak pada
kedalaman x dari permukaan atmosfer (x = tebal
geometri dari permukaan ke elemen ds). Misalkan q
adalah sudut antara arah normal ds dan arah x
n
x=0
x
q
ds
DND - 2007
x<0
 Energi pancaran dengan panjang gelombang antara l
dan l + dl yang melewati elemen luas ds dalam sudut
ruang d dan dalam waktu dt adalah,
n
Il(q, x) ds d dt dl . . . . . (1-1)
Intensitas spesifik
q
d
ds
DND - 2007
 Misalkan pancaran tersebut melalui elemen massa yang
berbentuk silinder dengan penampang ds dan tinggi ds
serta sumbu silindernya sejajar dengan arah pancaran
 Maka akibat penyerapan energi oleh massa dalam
tabung, intensitas spesifiknya akan berkurang sebesar
dIl(q, x) = - kl Il(q, x) r ds . . (1-2)
q
dx
ds
ds
DND - 2007
Kerapatan
Koefisien absorpsi
Intensitas berkurang
Pengurangan intensitas sebanding
dengan kerapatan massa di dalam
silinder dan tebal silinder dan juga
sebanding dengan besarnya intensitas
itu sendiri
ds = dx secq
. . . . . . . . . . . . . . . . (1-3)
Subtitusikan pers (1-3) ke pers
(1-2)
dIl(q, x) = - kl Il(q, x) r ds
akan diperoleh,
q
dx
ds
ds
dIl(q, x) = - kl Il(q, x) r dx secq . (1-4)
Definisikan tebal optik, yaitu
dtl = - kl r dx
. . . . . . . . . . . (1-5)
Subtitusikan pers (1-5) ke pers (1-4) akan diperoleh,
dIl(q, x) = Il(q, x) secq dtl
atau
DND - 2007
dIl(q, x)
= secq dtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-6)
Il(q, x)
 Integrasikan medium kontinu dan pers (1-6) dari tl
sampai 0 (permukaan),
0
Pers. (1-6) :
tl
0
dIl(q, x)
= secq dtl
Il(q, x)
tl
Maka akan diperoleh.
Il(q, x) = e - tl secq Ilo(q, x)
Intensitas setelah
terjadi penyerapan
. . . . . . . . (1-7)
Intensitas awal
Intensitas berkurang dengan faktor redaman sebesar
exp(-tl sec q) setelah menempuh tebal optis sebesar tl
DND - 2007
Hubungan antara tebal optik dan tebal geometri
Il = e -tl sec q Ilo
tl = 0
x=0
q
tl + dtl
tl > 0
Il o
x + dx
x<0
 Selain menyerap energi, elemen silinder juga akan
memberikan pancaran. Besarnya intensitas yang
dipancarkan oleh elemen tabung adalah,
DND - 2007
jl r ds = jl r dx secq . . . . . . . . . . . . . (1-8)
Koefisien emisi
 Jadi setelah melewati elemen silinder, pancaran akan
mengalami pengurangan energi akibat penyerapan
sebesar,
Pers (1-4) : dIl(q, x) = - kl Il(q, x) r dx secq
dan penambahan energi akibat pancaran (pers. 1-8)
sehingga,
dIl(q, x) = - kl Il(q, x) r dx secq + jl r dx secq . . . (1-9)
DND - 2007
 Apabila kita subtitusikan pers. (1-5)
dtl = - kl r dx
ke pers. (1-9)
dIl(q, x) = - kl Il(q, x) r dx secq + jl r dx secq
maka akan diperoleh,
dIl(q, tl) = Il(q, tl) sec q dtl 
atau
cos q
dIl(q, tl)
dtl
jl
kl
sec q dtl
= Il(q, tl) 
jl
kl
. . . . . . (1-10)
Persamaan diferensial hantaran pancaran
DND - 2007
Solusi Persamaan Diferensial Pancaran
Solusi pertama :
Kalikan persamaan (1-10) dengan d diperoleh,
cos q
cos q
DND - 2007
dIl(q, tl)
dIl(q, tl)
dtl
dt l
= Il(q, tl) 
jl
kl
d = Il(q, tl) d 
jl
kl
d
Kemudian integrasikan pada seluruh bola
cos q
dI
dtl
d = Il d 
bola
bola
jl
kl
d
bola
Diferensial yang berdasarkan pada t tidak bergantung
pada integrasi di seluruh sudut, sehingga
d
dtl
I cos q d  I d 
bola
DND - 2007
bola
jl
kl
bola
d . . . . . . . . . (1-11)
Dari kuliah Astrofisika I kita ketahui bahwa fluks
pancaran dinyatakan oleh,
2 /2
Fl =
Il cos q sin q dq df  Il cos q d . . . . . (1-12)
d
0 0
bola
Selanjutnya definisikan Intensitas Rata-rata yaitu,
Il d
Jl =
bola
d
bola
DND - 2007
1
=
4
Il d
bola
. . . . . . . . . . (1-13)
Jika pers (1-12) : Fl  Il cos q d
bola
dan pers. (1-13) :
1
Jl =
4
Il d
bola
di subtitusikan ke pers. (1-11) :
d
dtl
I cos q d  I d 
bola
bola
Fl
DND - 2007
4 Jl
jl
kl
bola
d
maka diperoleh,
d
dtl
Fl = 4 Jl 
jl
kl
d
bola
Karena jl/kl tidak bergantung pada besaran sudut,
maka persamaan di atas dapat dituliskan kembali
menjadi,
d F = 4 J  4 jl . . . . . . . . . . . . . . (1-14)
l
kl
dtl
DND - 2007
Karena atmosfer dapat dianggap bukan merupakan
sumber energi (energi berasal dari dalam bintang),
maka atmosfer bintang dapat dianggap berada dalam
kesetimbangan termodinamik (energi yang diserap oleh
suatu elemen materi sama dengan yang dipancarkan).
 Akibatnya jumlah energi yang masuk pada suatu
lapisan atmosfer harus sama dengan jumlah energi
yang meninggalkan lapisan atmosfer tersebut setiap
detiknya.
 Fluks pancaran selalu tetap konstan terhadap
ketebalan optis. Jadi
d F = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-15)
l
dtl
DND - 2007
Subtitusikan pers. (1-15) ke pers. (1-14)
jl
d
Fl = 4 J  4
Pers. (1-14) :
kl
dtl
Pers. (1-15) : d Fl = 0
dtl
4 Jl  4
jl
kl
=0
jl
Jl = k
l
dalam hal ini
jl
Jl = Sl = k
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-16)
fungsi sumber
DND - 2007
Dalam keadaan setimbang termodinamik, harga jl/kl
hanya bergantung pada temperatur sehingga berlaku,
Sl = Bl(T)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-17)
Fungsi Planck
Hukum Kirchoff
jl
sehingga Bl T(tl) = Jl(tl) = k
l
DND - 2007
. . . . . . . . . . . . . . (1-18)
Solusi kedua :
Kalikan persamaan (1-10) :
cos q
dIl(q, tl)
= Il(q, tl) 
dtl
dengan cosq d diperoleh,
jl
kl
jl
dI
(
q
,
t
)
l
l
cos
d = Il(q, tl) cosq d 
cosq d
kl
dtl
Selanjutnya integrasikan pada seluruh bola
2q
cos2
bola
DND - 2007
q
dIl
dt
d = Il cos q d 
bola
jl
kl
cos q d
bola
d
atau
Il
dt
cos2
q d = Il cos q d 
bola
bola
jl
kl
cosq d
bola
. . . (1-19)
karena
cos q d  0
Buktikan !!!
bola
dan kita definisikan
Il cosq d
Hl (tl) =
bola
d
bola
DND - 2007
1
= 4 Il cosq d  1 F . . . (1-20)
4
bola
Il cos2q d
serta Kl (tl) =
1
= 4 Il cos2q d . . . (1-21)
bola
d
bola
bola
selanjutnya subtitusikan pers (1-20) dan (1-21) ke
Pers. (1-19) :
d
dt
Il
cos2
q d = Il cos q d 
bola
4 Kl(tl)
DND - 2007
bola
4 Hl(tl)
jl
kl
cosq d
bola
0
Maka pers. (1-19) menjadi,
d
dtl
4 Kl(tl) = 4 Hl(tl)
dKl
dtl
sehingga
DND - 2007
= Hl
Kl = Hltl + Konstanta
. . . . . . . . . (1-22)
Persamaan Diferensial Hantaran Pancaran
Lanjutan
Subtitusikan pers. (1-18) ke pers. (1-10),
Pers. (1-10) : cos q
dIl(q, tl)
dtl
jl
= Il(q, tl) 
jl
kl
Pers. (1-18) : Bl(T) = k
l
Akan diperoleh persamaan hantaran pancaran dalam
keadaan setimbang termodinamik yaitu,
cosq
dIl(q, tl)
dtl
Bl(tl)
DND - 2007
= Il(q, tl)  Bl T(tl) . . . . . . . . . . (1-23)
temperatur pada kedalaman
tebal optik tl dari permukaan
atau
dIl(q, tl)
dtl
 Il(q, tl) sec q =  Bl(tl) sec q . . . . . (1-24)
Pers. (1-24) ini dapat dituliskan dalam bentuk
dy
+ Py = Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-25)
dx
dimana,
y = Il(tl, q) ,
DND - 2007
x = tl,
Pers. differensial linier
orde pertama
P =  sec q,
Q = Bl(tl) sec q
Solusi pers. (1-25) adalah,
ye
P dx
=C+ Qe
P dx
dx
. . . . . . . . . . . (1-26)
Tetapan integrasi Buktikan ini solusinya !!
Jika kita masukan kembali harga x, y, P dan Q, maka
diperoleh
tl
Il(tl, q) e tl sec q = C  Bl(t) sec q e  t sec q dt . . . . (1-27)
0
Variabel t sebagai pengganti tl
Untuk menentukan tetapan integrasi C, ambil syarat
batas pada,
t l = t l
DND - 2007
Il(tl, q) = Il (tl, q)
Jadi,
tl
C = Il(tl q ) e
*,
tl sec q
 Bl(t) sec q e  t sec q dt . . . . . (1-28)
0
Subtitusikan harga C ini ke pers. (1-27), akan diperoleh,
tl
Il(tl, q ) e tl sec q = Il(tl*, q ) e tl
 sec
q
 Bl(t) sec q e t sec q dt
tl
Apabila diambil tl

, maka
tl sec q
Lim Il(tl q ) e
tl
*,
. . . . . (1-29)
= 0 . . . . . . . . . . . . (1-30)

Hal ini disebabkan karena Il(tl, q)
tidak berubah secepat fungsi
eksponensial dengan pertambahan tl.
DND - 2007

Jadi, Il(tl, q ) = e(t -tl) sec q Bl(t) sec q dt
. . . . . . . . (1-31)
tl
Persamaan ini memberikan intensitas pancaran yg menuju
ke arah luar (kepermukaan ; 0  q  /2 di kedalaman tl.)
q=0
Il
q = /2
q = /2
q=
DND - 2007
Pers (1-31) dapat digunakan untuk menentukan intensitas
pancaran di permukaan bintang (tl = 0) sebagai fungsi q
∞
Il(0, q ) = e tl sec q Bl(tl ) sec q dtl . . . . . . . . . . . (1-32)
0
variabel t dituliskan kembali menjadi tl.
Karena fungsi Planck merupakan fungsi temperatur maka
pers. (1-32) dapat dipecahkan apabila temperatur sebagai
fungsi kedalaman optik (tl) dapat ditentukan.
Dapat dilakukan dengan memecahkan model struktur atmosfer bintang. Model atmosfer bintang memberikan berbagai variabel seperti tekanan gas, tekanan elektron, temperatur dan koefisien absorpsi
sebagai fungsi tl (untuk kuliah Atmosfer Bintang)
DND - 2007
Apabila kita membicarakan bintang, yang dapat kita
tentukan hanyalah intensitas rata-rata pada seluruh
permukaan bintang atau fluks pancaran yaitu,
 /2
Fl(0) = 2 Il(0, q ) cos q sin q dq . . . . . . . . . . . . (1-33)
0 Spektrum Bintang Kelas A
200
180
160
Distribusi energi
pada kontinum
bintang kelas A0V
Intensitas
140
120
100
80
60
40
20
0
3500
4000
4500
5000
5500
Panjang Gelombang
DND - 2007
6000
6500
Pendekatan Pertama Eddington
Menurut Eddington, medan radiasi pada suatu titik terdiri
dari :
 intensitas konstan I1(t) ke arah luar bola dan
 intensitas konstan I2(t) ke arah dalam bola.
q=0
I1
q = /2
q = /2
I2
q=
DND - 2007
I(tl, q ) =
I1(tl) ; 0  q  /2
I2(tl) ; /2  q  
I1 dan I2 sebagai fungsi tl
Tinjau besaran-besaran J, H, dan K sebagai fungsi dari I1
dan I2
 Besaran J (Intensitas rata-rata)
2 
1
1
Jl = 4 Il d = 4
bola
0 0
/2
= 41 2
Il sinq dq df

I1 sinq dq + I2 sinq dq
0
/2
/2
= 1 I1  cosq + 1 I2  cosq
2
= 1 I1 + I2
2
DND - 2007
0
2

/2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-34)
 Besaran H
2 
1
1
Hl = 4 Il cosq d  4
bola
0 0
/2
= 41 2
Il cosq sinq dq df

I1 cosq sinq dq + I2 cosq sinq dq
/2
0
/2
= 1 I1 1 sin2q + 1 I2 1 sin2q
2
2
= 1 I1 - I2
4
DND - 2007
0
2
2

/2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-35)
atau bisa dicari dengan cara berikut
2 
Fl =
Il cos q sin q dq df
/2
0 0
= 2

I1 cosq sinq dq + I2 cosq sinq dq
0
/2
/2
= 2 I1 1 sin2q + 2 I2 1 sin2q
2
=  I1 - I2
1
Karena Hl = Fl
4
DND - 2007
2
0

/2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-36)
Hl =
1
1
 I1 - I2 = I1 – I2
4
4
 Besaran K
2 
1
1
Kl = 4 Il cos2q d  4
bola
0 0
/2
= 41 2

I1 cos2q sinq dq + I2 cos2q sinq dq
/2
0
/2
=
Il cos2q sinq dq df
1
1
I1  cos3q
2
3
+
0

1
1
I2  cos3q
2
3
/2
= 1 I1 + I2
6
1
= Jl
3
DND - 2007
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-37)
Dari pers. (1-22) : Kl = Hltl + Kons
Dari pers. (1-37) :
1
Kl = Jl
3
1
J = Hltl + Konst
3 l
. . . . . . . . . (1-38)
Untuk menentukan konstanta, kita ambil t = 0, jadi
1
J (0) = Konst
3 l
Untuk syarat batas. diandaikan tidak ada radiasi yang
datang dari luar bintang, yaitu
I2(0) = 0
Dari pers. (1-34) : Jl = 1 I1 + I2 = 1 I1
2
2
1
1
Dari pers. (1-35) : Hl =
I1 - I2 = I1
4
4
DND - 2007
Jl (0) = 2Hl
Oleh karena
1
J (0) = Konst
3 l
Jl(0) = 2Hl
Konst =
2
Hl . . . . . . . . . . (1-39)
3
Subtitusikan pers. (1-39) ke pers. (1-38), didapatkan
1
2
J = Hltl + Hl
3 l
3
atau
Jl(tl) = Hl (3tl + 2) . . . . . . . . . . . . . . . . (1-40)
Persamaan ini sangat berguna karena menyatakan J
dalam term kedalaman optik (t) dan salah satu sifat dasar
sebuah bintang H
DND - 2007
Sekarang akan ditentukan I1(t) dan I2(t)
Dari pers. (1-34) :
Dari pers. (1-35) :
Jl = 1 I1 + 1 I2
2
2
1
1
2Hl = I1  I2
2
2
Jl + 2Hl = I1
. . . . . . . . . . . . (1-41)
Subtitusikan per. (1-40) ke pers. (1-41)
Pers. (1-40) : Jl(tl) = Hl (3tl + 2)
akan diperoleh,
atau,
DND - 2007
Hl (3tl + 2) + 2Hl = I1 (t)
I1 (tl) = Hl (4 + 3tl) . . . . . . . . . . . . . (1-42)
Dari pers. (1-34) :
Dari pers. (1-35) :
1
Jl = I1 + 1 I2
2
2
2Hl = 1 I1  1 I2
2
2
Jl - 2Hl = I2 . . . . . . . . . . . . (1-43)
Subtitusikan per. (1-40) ke pers. (1-43)
Pers. (1-40) : Jl(tl) = Hl (3tl + 2)
akan diperoleh, Hl (3tl + 2)  2Hl = I2 (t)
atau,
DND - 2007
I2 (tl) = 3 Hl tl . . . . . . . . . . . . . (1-44)
Penggelapan Tepi Matahari
Apabila kita bandingkan intensitas di bagian tepi
dengan di bagian tengah piringan Matahari dengan
menggunakan Pers (1-32), maka akan didapatkan
bahwa bagian tepi lebih gelap daripada bagian tengah
piringan matahari
Efek penggelapan tepi pada Matahari
Matahari
DND - 2007
Il(0, q)
Il(0, 0)
1,0
Il(0, q)
Matahari
Il(0, 0) 0,8
q
Il(0, q)
Il(0, 0)
0,6
0,4
0,2
1,0
DND - 2007
0,8
0,6
0,4
0,2
cos q
Untuk menjelaskan terjadinya efek penggelapan tepi,
subtitusikan pers. (1-18) ke pers. (1-32)
Pers. (1-18) : Bl(tl ) = Jl(tl)

Pers. (1-32) : Il(0, q ) = e tl sec q Bl(tl ) sec q dtl
0
diperoleh

: Il(0, q ) = e tl sec q Jl (tl ) sec q dtl . . . . (1-45)
0
Subtitusikan pers. (1-40) ke pers (1-45).
Pers (1-40) :
diperoleh
Jl(tl) = Hl (3tl + 2)

: Il(0, q ) = Hl(2+3tl) e tl sec q sec q dtl
0
DND - 2007
Atau,


Il(0, q ) = 2Hl e tl sec q secq dtl  3Hl tl e tl sec q secq dtl
0
0
d(tl secq) = secq dtl  tl d(secq)
jadi : d(tl secq) = secq dtl
Sehingga,
 0 karena q dianggap konstan
utk suatu harga I


Il(0, q ) = 2Hl e tl sec q d(tlsecq )  3Hl tl etl sec q d(tlsecq )
0
0
= 1/secq
=1
Buktikan !!
DND - 2007
Akhirnya kita peroleh,
3Hl
Il(0, q ) = 2Hl 
= 2Hl + 3Hl cosq
secq
Intensitas bergantung pada q
Untuk q = 0
Untuk q = /2
. . . . . (1-46)
I(0,0) = 2Hl + 3Hl = 5Hl
I(0,/2) = 2Hl
Intensitas di bagian tengah piringan bintang lebih besar
daripada dibagian tepi
Efek penggelapan tepi
DND - 2007
Skema Penggelapan Tepi
q=0
q q
q = /2
q = /2
q q
q=0
q q
q = /2
DND - 2007
q = /2
q = /2
q=0
q = /2
Distribusi temperatur
Distribusi temperatur sebagai fungsi kedalaman optik
dapat ditentukan sebagai berikut :
jl
Dari pers. (1-18) : Bl T(tl) = Jl(tl) =
kl
Apabila k dan j tidak bergantung pada l(atmosfer kelabu
– gray atmosphere), maka

s 4
= Bl (T) dl = B(T) = T
kl

0
s 4
Karena J(t) = B(T) = T
s 4

T = H (3t + 2) . . . (1-47)

J(t) = H (3t + 2)
dan
jl
DND - 2007
Untuk t = 0, diperoleh temperatur permukaan bintang
yaitu,
s 4
T = 2H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-48)
 o
Apabila pers. (1-48) disubtitusikan ke pers. (1-47),
s 4
Pers (1-47) :
T = H (3t + 2)

s 4 s 4 3s 4
akan diperoleh,  T =  To + 2 To t
atau
T4 = To4(1 + 3 t)
2
distribusi temperatur  t
DND - 2007
. . . . . . . . . . . . . . . (1-49)
Temperatur efektif dapat dinyatakan oleh,
F = sTef4
Dari pers (1-20) : F = 4H
s 4
H=
T
. . . . . . . . (1-50)
4 ef
Dengan mensubtitusikan pers. (1-50) ke
s 4
Pers. (1-48) :
T = 2H
 o
s 4 s 4
T = T
diperoleh
 o 2 ef
atau
DND - 2007
4
4
4
atau Tef = 2 To
Tef = 2 To = 1,189 To
. . . . . . . . . (1-51)
Penyerapan Energi
Dalam proses penghantaran emergi di dalam bintang
terjadi penyerapan energi oleh materi bintang. Ada
empat macam proses penyerapan energi yaitu,
 penyerapan terikat-terikat (bound-bound absorption)
 penyerapan terikat-bebas (bound-free absorption)
 penyerapan lepas-lepas (free-free absorption)
 penyebaran (scattering)
DND - 2007
 Penyerapan lepas-lepas
terikat-terikat
terikat-bebas
terjadi
terjadi
terjadi
apabila
apabila
apabila
elektron
energi
foton bebas
diserap
diserap
di
oleh atom
sekitar
elektron
suatu
untuk
inti
untuk
melepaskan
atau
mengeksitasikan
ion elektron
positif menambah
yang
elektronnya
terikatenergi
oleh
ke
atom tersebut
kinetiknya
tingkat
energi
dengan
atau
yangmenyerap
untuk
lebih tinggi
mengionisasikan
foton.
elektronnya
Elektron bebas
hn bebas-bebas
terikat-bebas hn
hn
DND - 2007
terikat-terikat
 Penyerapan terikat-terikat
 menimbulkan garis-garis absorpsi yang diamati
pada spektrum bintang
Hz HeHd
Hg
H
Hb
Spektrum Bintang Kelas A
200
180
160
Intensitas
140
120
100
80
60
40
20
0
3500
DND - 2007
4000
4500
5000
5500
Panjang Gelombang
6000
6500
 Penyerapan terikat-bebas
 hanya foton yang energinya lebih besar atau
sama dengan energi ikat elektron yang dapat
diserap
 apabila energi yang diserap lebih besar
daripada energi ikat elektron, maka kelebihan
energi akan digunakan elektron sebagai energi
kinetiknya
 proses ini menimbulkan penyerapan pada
pancaran kontinum
DND - 2007
 Penyerapan lepas-lepas
 tidak ada pembatasan pada energi yang diserapnya
 supaya
terjadi penyerapan lepas-lepas, harus
tersedia sejumlah inti atau ion positif di tempat
tersebut
 suatu elektron di ruang bebas tidak mungkin
menambah energinya dengan menyerap foton
kecuali bila elektron tersebut bergerak dalam
medan listrik suatu inti atau ion positif.
DND - 2007
 Dalam penyerapan terikat-lepas dan lepas-lepas, foton
dengan energi rendah (l besar) lebih mudah diserap.
kl  l3
 proses ini menimbulkan penyerapan pada panca-
ran kontinum
 Suatu foton dapat disebarkan oleh suatu elektron atau
atom. Dalam hal ini tidak terjadi penyerapan yang
sebenarnya karena foton hanya dibelokan dari arah
semula.
 dampaknya seperti pada penyerapan
DND - 2007
 Suatu aliran pancaran yang bergerak ke suatu arah
akan kehilangan sejumlah foton dalam berkas
pancaran itu karena foton disebarkan ke arah lain.
 akan mengakibatkan melemahnya intensitas
pancaran pada arah itu
 Contoh :
 Penyebaran Thomson, yaitu penyebaran oleh
elektron bebas dalam bintang yang panas
 Penyebaran Rayleigh yaitu penyebaran oleh
atom hidrogen netral pada bintang yang dingin
DND - 2007
 Perhitungan
koefisien absorpsi dapat dilakukan
berdasarkan mekanika kuantum dan merupakan
perhitungan yang rumit
 Apabila akan menghitung koefisien absorpsi suatu
materi bintang dengan komposisi kimia tertentu
sebagai fungsi T, tekanan elektron Pe, maka harus
dihitung derajat eksitasi dan ionisasi setiap ion.
 Pada umumnya koefisien absorpsi merupakan
fungsi panjang gelombang, komposisi kimia,
tekanan gas (dan tekanan pancaran) serta
temperatur
kl = k(l, Pg, T, komposisi kimia)
 Koefisien
absorpsi yang dihitung merupakan
gabungan semua proses yang dibicarakan di atas
DND - 2007
 R. Wildt (1938) menunjukkan bahwa penyerapan
terikat-lepas dan lepas-lepas oleh ion hidrogen negatif
(ion H) memegang peranan penting dalam atmosfer
bintang
 Ion H adalah atom hidrogen yang mengikat elektron
kedua dengan energi ikat 0,75 eV.
 Di
dalam atmosfer bintang, apabila diketahui
tekanan dan temperatur sebagai fungsi dari tebal
optik tl, maka dapat ditentukan kl sebagai fungsi tl.
DND - 2007
 Model atmosfer bintang dapat dibagi dalam dua jenis
yaitu, atmosfer kelabu dan atmosfer bukan kelabu.
 Pada atmosfer kelabu, koefisien absorpsi dan juga
tebal optik bukan fungsi panjang gelombang,
sehingga pers. (1-23) dapat dituliskan kembali
menjadi
dI(q, t)
cos q
= I(q, t)  B T(t) . . . . . . . . . . (1-52)
dt
 Pada atmosfer bukan kelabu, koefisien absorpsi dan
tebal optik tetap merupakan fungsi
gelombang seperti dalam kenyataanya.
DND - 2007
panjang
 Model atmosfer kelabu dapat diperoleh dengan
merata-ratakan kl untuk seluruh panjang gelombang rata-rata yang diperoleh (k )
 Penentuan kl atau k merupakan perhitungan yang
rumit, namun untuk perhitungan sederhana dapat
digunakan rumus pendekatan yaitu,
k = ko r T3,5 . . . . . . . . . . . . . . . . (1-53)
Hukum Kramers
tetapan bergantung
pada komposisi kimia
DND - 2007
-19
H Lyman
limit
C
-20
log k(l)
-21
Koefisien absorpsi sebagai
fungsi l pada T = 5040 K
dan Pg = 5,8 x 104 dyne cm-2
di dalam Matahari
Si
-22
Mg1S
-23
Al
-24
Mg3P
H boun-free
log k
-25
Rosseland
H Balmer
limit
-26
1000
DND - 2007
10 000
l(Å)
100 000
Sering sekali materi di dalam bintang dianggap seperti
gas yang terkurung dalam ruang dengan temperatur
yang seragam dan konstan
 Gas berada dalam kesetimbangan termodinamik
(thermodynamic equilibrium - TE)
 Semua proses diimbangi proses kebalikannya
dengan laju yang sama.
 ionisasi dimbangi dengan rekombinasi
 eksitasi diimbangi dengan deeksitasi
 dll
Demikian juga energi yang diserap dipancarkan
kembali dengan laju yang sama, walaupun tidak
perlu pada arah semula. Frekuensinya pun tidak
perlu sama dengan frekuensi semula
DND - 2007
Keadaan setimbang termodinamik berlaku di dalam
bintang ?
 Temperatur di pusat Matahari > 10 juta derajat,
sedangkan temperatur di permukaan hanya ribuan
derajat
 Temperatur tidak seragam
 Medan pancaran tidak isotrop
 energi yang mengalir keluar lebih banyak
daripada yang ke dalam
DND - 2007
Walaupun demikian gradien temperatur di dalam
Matahari kecil, hanya 10o per km, atau 0,1% per km
 Jadi
walaupun secara keseluruhan anggapan
keadaan setimbang termodinamik tidak benar,
namun secara lokal keadaan ini merupakan
pendekatan yang cukup baik
 Anggapan ini disebut keadaan setimbang termod1namik lokal (local thermodynamic equilibrium –
LTE)
DND - 2007