Modifikasi Metoda Full Wave di sekitar titik singular

Kontribusi Fisika Indonesia
Vol. 13 No.3, Juli 2002
Modifikasi Metode Full Wave di Sekitar Titik Singular
Titiek Setiawati
Bidang Aplikasi Geomagnet dan Magnet Antariksa,
Pusat Pemanfaatan Sains Antariksa LAPAN,
Jl. Dr. Junjunan 133 Bandung, Indonesia
e-mail : [email protected]
Abstrak
Modifikasi Metode full wave dilakukan untuk menyelesaikan persamaan gelombang elektromagnetik di sekitar titik
singular yang disebabkan oleh efek resonan. Diasumsikan bahwa medium plasma yang non-homogen distratifikasi secara
horisontal. Modifikasi terhadap matriks transisi di sekitar titik singular dengan menggunakan fungsi eksponensial dan
integrasi Picard diperlukan untuk memperoleh solusi tunggal (konvergen). Solusi tersebut berupa medan elektromagnetik
pada lapisan teratas yang dinyatakan sebagai perkalian sejumlah matriks transisi dengan medan elektromagnetik pada
lapisan terbawah.
Kata kunci : Full wave, resonan, matriks transisi, integrasi Picard
Abstract
Modification of the full wave method is carried out for solving the electromagnetic wave equation in the vicinity of a
singular point which is caused by a resonance effect. It is assumed that an inhomogeneous plasma medium is stratified
horizontally. Modification towards the transition matrix in the vicinity of the singular point, by using an exponential
function and Picard integration is needed for obtaining a unique (convergent) solution. The solution in the form of the
electromagnetic field at the top layer can be represented as a multiplication of a number of the transition matrices with the
electromagnetic field at the bottom layer.
Keywords : Full wave, resonance, transition matrix, Picard integration
sejumlah lapisan tipis (stratifikasi) yang homogen.
Dengan cara demikian maka solusi persamaan gelombang
dapat dinyatakan sebagai perkalian medan gelombang
pada lapisan di bawahnya yang melibatkan matriks
transisi. Matriks tersebut mengandung karakteristik
medium dalam setiap lapisan dan mempunyai harga yang
berhingga, dengan demikian akan diperoleh solusi yang
konvergen. Solusi menjadi tidak konvergen di sekitar titik
singular karena efek resonan. Secara fisis efek resonan
ditunjukkan dengan peningkatan amplitudo yang
merupakan indikator adanya fenomena gelombang
whistler yang muncul di lapisan D dan di magnetosfer1).
Untuk memperoleh solusi yang konvergen
diperlukan modifikasi terhadap matriks transisi di sekitar
titik singular dengan menggunakan integral Picard.
Makalah ini akan menguraikan langkah modifikasi
tersebut yang dilanjutkan dengan simulasi menggunakan
profil kerapatan elektron tertentu serta beberapa
parameter gelombang lainnya untuk memperoleh profil
medan magnet dan medan listrik bagi gelombang
elektromagnetik.
1. Pendahuluan
Ionosfer khususnya lapisan F merupakan sarana
komunikasi radio pada frekuensi tinggi (HF), karena
kemampuan medium tersebut untuk memantulkan energi
gelombang secara total. Lapisan terbawah yaitu lapisan D
meskipun tidak digunakan secara langsung sebagai media
komunikasi pada frekuensi tersebut akan tetapi
mempunyai pengaruh terhadap gelombang radio HF yang
melintasinya. Ionosonda adalah salah satu jenis radar
yang sangat umum digunakan untuk mengukur kerapatan
elektron baik pada lapisan F maupun lapisan E. Akan
tetapi pengukuran terhadap lapisan D sulit dilakukan
karena tingginya tingkat penyerapan energi gelombang
HF. Ini berbeda dengan gelombang radio pada frekuensi
sangat rendah (VLF) yang mengalami pantulan sebagian
saat melintasi lapisan D dan kurang dipengaruhi oleh
gangguan di lapisan tersebut. Oleh karena itu rentang
VLF dapat dimanfaatkan untuk menurunkan karakteristik
kerapatan elektron menggunakan wahana roket. Karena
pengukuran dengan roket sifatnya tidak kontinu dan
hanya pada rentang waktu yang sangat pendek maka perlu
dilakukan simulasi dengan cara memasukkan profil
kerapatan elektron dan frekuensi tumbukan antara
elektron dan partikel netral. Simulasi tersebut tidak lain
adalah dengan cara menyelesaikan persamaan gelombang
elektromagnetik. Solusi analitik bagi medium plasma
yang non-isotropik dan non-homogen sangat sulit
diperoleh. Metode full wave yang melibatkan matriks
merupakan salah satu solusi numerik yang dipergunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial gelombang.
Dalam metode ini diasumsikan bahwa medium terdiri atas
2. Persamaan Gelombang
Secara umum persamaan dasar yang berkaitan
dengan penjalaran gelombang dalam medium plasma
yang non-isotropik dan non-homogen diturunkan dari
persamaan Maxwell dan relasi konstitutif. Persamaan
tersebut dijabarkan dalam sistem koordinat kartesian
dengan sumbu z menunjukkan arah vertikal, sedangkan
sumbu (x-z) dan sumbu (x-y) masing-masing merupakan
tempat kedudukan bidang datang, dengan normal
gelombang membuat sudut θ terhadap vertikal, serta
179
180
KFI Vol. 13 No. 3, 2002
bidang horizontal. Dengan demikian persamaan
gelombang
dapat
dinyatakan
oleh
persamaan
diferensial2,3) berikut,
~
de( z )
(1)
= − jk0T e( z )
dz
Vektor e terdiri dari komponen medan listrik dan medan
magnet : Ex, Ey, Hx dan Hy. Notasi j menyatakan bagian
imajiner. ko=ω/c merupakan bilangan gelombang di ruang
~
hampa. Matriks T (4x4) memuat kosinus dan sinus sudut
~
datang gelombang (θ) serta matriks suseptibilitas M
yang merupakan fungsi ketinggian dengan elemen-elemen
sebagai berikut,
⎛ M xx
~ ⎜
M = ⎜ M yx
⎜⎜
⎝ M zx
M xy
M yy
M zy
M xz ⎞
⎟
M yz ⎟
⎟
M zz ⎟⎠
Karakteristik ionosfer seperti kerapatan elektron dan
frekuensi tumbukan antara elektron dan partikel netral
terkandung dalam matriks tersebut dengan rincian sebagai
berikut,
Mxx = -X(U2-l2Y2)/U(U2-Y2)
Mxy = -X(-jUnY-lnY2)/U(U2-Y2)
Mxz = X(jUmY+lmY2)/U(U2-Y2)
Myx = X(jUnY+lmY2)/U(U2-Y2)
Myy = -X(U-m2Y2)/U(U2-Y2)
Myz = -X(jUlY-nmY2)/U(U2-Y2)
Mzx = -X(jUmY-lnY2)/U(U2-Y2)
Mzy = X(jUlY+mnY2)/U(U2-Y2)
Mzz = -X(U-n2Y2)/U(U2-Y2)
U = 1-jZ, Z = ν/ω, X = (ωp/ω)2, ωp=e2N/mε0
ωh=eB/m, Y=|ωh/ω⏐.
Besaran ωp, ω dan ωh masing-masing setara dengan
frekuensi plasma, frekuensi gelombang dan frekuensi
giro. N, ν dan B menyatakan kerapatan elektron, frekuensi
tumbukan (antara elektron dan partikel) serta induksi
medan magnet bumi. Notasi ε0, e dan m merupakan
permitivitas ruang hampa, muatan elektron dan massa
elektron. Faktor (l, m, n) menunjukkan kosinus arah dari
vektor medan magnet bumi.
3. Solusi Persamaan Gelombang
Stratifikasi (pembagian) dilakukan terhadap
rentang ketinggian secara horizontal menjadi lapisanlapisan tipis yang homogen dengan asumsi kerapatan
elektron konstan. Medan gelombang (persamaan 1) dapat
didefinisikan sebagai kombinasi linear empat komponen
(mode) karakteristik yang terdiri dari gelombang ordiner
dan gelombang ekstra-ordiner, ketika dipancarkan dan
dipantulkan. Kombinasi tersebut dirumuskan dalam
persamaan berikut3),
~
e = Sf j
(2)
~
~
Matriks S dengan orde 4x4 memuat matriks T dan nilai
eigen (q) yang tidak lain merupakan akar dari persamaan
karakteristik (persamaan 3); sedangkan fj merupakan
amplitudo komponen karakteristik yang berbentuk
e
-jk 0 q j z
. Dengan mensubstitusi persamaan (2) ke dalam
persamaan (1) beserta asumsi di atas maka persamaan
gelombang dapat dinyatakan sebagai persamaan
diferensial linear simultan dengan koefisien konstan.
Solusi non-trivial bgi sistem persamaan diferensial
ini didapat melalui persamaan karakteristik4)
~ ~
(3)
det (T -qI ) = 0
~
dengan I menyatakan matriks satuan (4x4). Penjabaran
persamaan (3) menghasilkan persamaan pangkat empat
yang dikenal dengan persamaan Booker. Variabel q yang
tidak lain adalah solusi bagi persamaan di atas
menyatakan indeks bias arah vertikal. Apabila persamaan
(2) diterapkan pada setiap lapisan maka diperoleh total
medan pada lapisan teratas sebagai perkalian dari total
medan pada lapisan terbawah5)
e ( zn ) =
1
∏ K ie( z1 )
~
(4)
i = n -1
~ ~~ ~
K i = S i ∆ i S i-1
(5)
~
K i adalah matriks transisi, sedangkan elemen α dan β
~
pada matriks berikut merupakan fungsi elemen matriks T
~
dan q. Matriks S i dinyatakan dalam bentuk,
α i1 α i 2
1
~
Si =
qi1
βi1
αi3
αi 4
1
1
1
qi 2
βi 2
qi 3
βi 3
qi 4
βi 4
(6)
~
− jk q h
Matriks diagonal ∆ i (4x4) memuat elemen e 0 j ,
dengan ketebalan lapisan (interval lapisan) h = zi+1 – zi.
Indeks i dan indeks 1 sampai 4 menunjukkan lapisan ke i,
komponen ordiner dan ektraordiner saat gelombang
dipancarkan dan dipantulkan.
3. Titik Singular
Proses pantulan yang diidentifikasi oleh indeks
bias mempunyai peranan penting dalam penjalaran
gelombang radio di ionosfer. Secara umum gelombang
radio pada rentang VLF akan mengalami pantulan
sebagian ketika menjalar di lapisan D. Akan tetapi dalam
kondisi tertentu indeks bias menjadi sangat besar (tak
berhingga) yang berarti tidak terjadi pantulan. Fenomena
ini disebabkan oleh efek resonan yang berkaitan erat
dengan munculnya gelombang whistler.
Indeks bias q yang tak berhingga mengakibatkan
~
matriks K (persamaan 4) juga mempunyai nilai yang
tidak berhingga. Oleh karena itu metode full wave tidak
dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan
gelombang yang memuat titik singular. Kondisi seperti ini
terjadi apabila frekuensi tumbukan jauh lebih kecil dari
frekuensi gelombang (ν << ω) dan X yang sebanding
dengan kerapatan elektron mempunyai harga,
1−Y 2
1 − n 2Y 2
Notasi X, Y dan n telah dijelaskan pada bagian 2.
X =
(7)
KFI Vol. 13 No. 3, 2002
181
4. Modifikasi Metode Full wave
Solusi persamaan gelombang dapat
dinyatakan sebagai fungsi ekponensial matriks,
pula
~
e( z ) = e − jk 0Ti e( z i ) , zi ≤ z ≤ z i +1
(8)
6)
dengan mengambil z = zi+1 maka didapat ,
~
e( zi +1 ) = Qi e( zi )
~
yang mana Qi = e
(9)
~
− jk o Ti h
.
~
Matriks transisi Qi , bila diuraikan dalam bentuk
deret maka hasilnya akan sama dengan matriks transisi
~
K i . Substitusi persamaan (9) pada lapisan teratas hingga
lapisan terbawah dan diuraikan dalam deret MacLaurin
serta dituliskan kembali dalam bentuk deret integral
Picard dengan h→0, diperoleh persamaan7),
~
e( z n ) = ( I -jk 0
z n-1
~
∫ T ( z ) dz
z1
z n-1
+ ( jk 0 ) 2
∫
z n-1
~
~
T ( z ) T (v)dvdz − L).e( z1 )
∫
z1
(10)
z1
Deret di atas akan konvergen absolut dan konvergen
uniform dalam setiap lapisan tertutup yang termuat dalam
rentang ketinggian z1 hingga zn. Deret tersebut juga
merupakan solusi dari persamaan gelombang (persamaan
~
1). Kondisi ini terpenuhi apabila matriks T kontinu.
Linearisasi kerapatan elektron dalam lapisan yang
~
memuat titik singular dilakukan agar integrasi matriks T
konvergen, seperti dinyatakan oleh persamaan di bawah
ini,
X = az + b
(11)
~
Berdasarkan teori matriks nilai ∫ T ( z )dz konvergen dan
suku ketiga, keempat dan berikutnya dalam persamaan
(10) lambat laun menjadi kecil sehingga dapat diabaikan.
~
Selanjutnya matriks transisi baru K s dibangun dari
persamaan (10) dalam bentuk,
~
~
K s ≡ I − jk 0
z i +1
~
∫ T ( z ) dz
(12)
zi
Dengan mensubstitusikan persamaan (11) ke dalam
persamaan (12) akan diperoleh matriks transisi yang
berhingga, sehingga secara keseluruhan total medan
gelombang (persamaan 4) dalam suatu rentang ketinggian
dapat disusun kembali yang dinyatakan oleh persamaan
berikut,
j+2
e( z n ) =
∏ Ki
i = n-1
~ ~s
Kj
1
∏ K i e( z1 )
i = j-1
~
(13)
Solusi khusus diperoleh dari pers. (13) dengan
menerapkan syarat awal dan syarat batas. Syarat awal
mengasumsikan bahwa pada lapisan ke-n hanya ada dua
komponen (peredaman dan penjalaran) yang dipancarkan
sedangkan medium di bawah ionosfer dipandang sebagai
ruang
hampa,
dengan
demikian
gelombang
elektromagnetik dapat diuraikan menjadi komponen yang
sejajar dan komponen tegak lurus terhadap arah
penjalaran gelombang.
5. Simulasi dan Pembahasan
Untuk dapat melakukan perhitungan numerik
diperlukan beberapa data masukan sebagai studi kasus
seperti yang tertera dalam tabel 1.
Tabel 1. Data yang digunakan dalam simulasi
Parameter
Kerapatan elektron
Rentang ketinggian
Sudut datang
Frekuensi gelombang
Frekuensi giro
Azimuth
Sudut DIP
Banyak lapisan
Kuantitas
Eksponensial
70 ~ 100 [km]
0 [derajat]
10 [kHz]
1.2 [MHz]
125 [derajat]
41 [derajat]
10000,5000,
3000,1000,500
Dengan mengambil ν<<ω maka titik singular atau
resonansi terjadi di sekitar ketinggian 77.8 km yang
bersesuaian dengan harga
kerapatan elektron pada
persamaan (7). Titik singular yang terjadi pada ketinggian
tersebut menyebabkan matriks transisi mempunyai harga
tak berhingga sehingga tidak diperoleh solusi yang
konvergen. Untuk mengetahui hal tersebut dilakukan
pengambilan ketebalan lapisan yang bervariasi.
Pembagian rentang ketinggian terhadap banyaknya
lapisan (Tabel 1) yang digunakan dalam simulasi ini
memberikan variasi ketebalan lapisan (h) yaitu 60 m, 30
m, 10 m, 6 m dan 3 m. Masing-masing ketebalan lapisan
~
merupakan elemen yang membentuk matriks diagonal ∆ i
(persamaan 5). Dengan menggunakan persamaan 4,
diperoleh profil amplitudo medan magnet dan medan
listrik dari gelombang VLF untuk setiap ketebalan lapisan
(Gambar 1a dan 1b). Perilaku amplitudo medan magnet
pada arah-x, Hx, selain memperlihatkan solusi yang tidak
konvergen pada setiap ketebalan lapisan, juga berharga
tak hingga di sekitar titik singular (Gambar 1a).
182
KFI Vol. 13 No. 3, 2002
~
transisi K s , dalam lapisan yang memuat titik singular,
sehingga diperoleh profil amplitudo medan magnet, Hx,
yang konvergen seperti diperlihatkan dalam Gambar 2a,
meskipun ketebalan lapisan bervariasi.
Gambar 1a Profil medan magnet Hx sebelum modifikasi
Hal ini disebabkan oleh karena indeks bias arah
vertikal, q (mempunyai harga tak berhingga di sekitar titik
singular), setara dengan perbandingan komponen medan
magnet terhadap komponen medan listrik (Hx/Ex).
Penyebab lain adalah syarat batas yang digunakan dalam
perhitungan ini yaitu medan gelombang datang
(komponen medan listrik) sejajar dengan arah penjalaran
gelombang (mode TM), sehingga pengaruh nilai q yang
tak berhingga lebih dominan pada komponen medan
magnet, Hx, daripada komponen medan listrik Ex (Gambar
1b).
Gambar 2a Profil medan magnet Hx modifikasi
Gambar 2b. Profil medan listrik Ex modifikasi
Dengan prosedur yang sama diperoleh profil
amplitudo medan listrik, Ex, yang berharga tunggal
(Gambar 2b).
Gambar 1b Profil medan listrik Ex modifikasi
Akurasi modifikasi metode full wave cukup tinggi,
terbukti hingga ketebalan lapisan mencapai 3 meter dapat
~
dijamin kontinuitas integrasi matriks T . Matriks ini
selanjutnya dipergunakan untuk mendapatkan matriks
KFI Vol. 13 No. 3, 2002
6. Kesimpulan
Modifikasi metode full wave terhadap matriks
transisi yang memuat titik singular, memberikan solusi
persamaan gelombang elektromagnetik yang konvergen.
Modifikasi terhadap metoda tersebut memiliki akurasi
yang cukup tinggi. Harga amplitudo yang tak berhingga
sebagai efek resonansi pengaruhnya lebih dominan
terhadap komponen medan magnet. Hal ini berkaitan erat
dengan asumsi bahwa gelombang datang sejajar dengan
arah penjalaran gelombang (mode TM).
Daftar Pustaka
1. Neubert, T., et al., Observations on the GEOS 1
satellite of whistler mode signals transmitted by the
omega navigation system transmitter in Northern
Norway, J. of Geophys. Res., 88, A5, (1983).
183
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Thomas, A.S., Numerical full wave solution
techniques for the calculation of low frequency plane
wave fields in the ionosphere, Journal Inst. Telecom.
Engrs, 12, 4, (1966).
Budden, K.G., Radio wave propagation in the
ionosphere, Cambridge Univ. Press.,
London,
(1985).
Yuji, I. And S. Horowitz, Magneto-iononic coupling
in an inhomogeneous anisotropic medium, Radio
Sci., 1, (1966).
Nagano, I., M. Mambo and G. Hutatsuishi,
Numerical calculation of electromagnetic waves in an
anisotropic multilayered medium, Radio Sci. , 10, 6,
(1975).
Setiawati, T., Master thesis, study on the vicinity of
resonance, Kanazawa University, Japan, (1994).
Gantmacher, F.R., The theory of matrices, Chelsea
publishing company, New York, (1964).