matematika kombinatorik - Himatika `Identika` UPI

LATIHAN SOAL
MATEMATIKA KOMBINATORIK
1.
Berapa banyaknya bilangan bulat 1 − 9999 yang merupakan bilangan ganjil yang semua
digitnya berbeda.
2.
Berapa banyak bilangan bulat 1 − 100 yang habis dibagi 2 atau 6.
3.
Berapa banyaknya solusi dari 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 15 dengan 𝑥1 ≤ 2, 𝑥2 , 𝑥3 > 2 dan
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 bilangan bulat nonnegatif.
3
30
4.
Tentukan koefisien 𝑥 20 dari (2𝑥 − (𝑥)) .
5.
Misal mahasiswa-mahasiswa dalam sebuah universitas berasal dari 20 negara (asumsikan
bahwa setiap paling sedikit terdapat 150 mahasiswa dari tiap negara). Berapa jumlah
minimum mahasiswa yang harus dipilih untuk menjamin bahwa dari pemilihan tersebut
kita akan mendapatkan paling sedikit 100 mahasiswa dari sebuah negara yang sama.
6.
Berapa banyak bilangan biner 10 digit yang memuat paling sedikit 3 buah digit 1 dan
paling sedikit 4 buah digit 0.
7.
Berapa banyak string berbeda dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata ORONO jika
sebagian atau semua huruf dapat digunakan.
8.
Jika tersedia 10 rasa es krim, berapa banyak cara memilih 7 es krim (tidak harus
mempunyai rasa yang sama).
9.
Tentukan n agar 𝐶(𝑛, 3) = 𝑃(𝑛, 2)
10. Sebuah tes terdiri dari 100 pertanyaan benar-salah. Ada berapa banyak jawaban yang
mungkin dapat dibuat jika kita diperbolehkan untuk mengosongkan jawaban suatu
pertanyaan.
11. Seorang pelajar mempunyai 3 buah mangga, 2 buah papaya, dan 2 buah kiwi. Jika setiap
hari ia harus memakan paling sedikit 1 buah dari jenis yang sama, berapa banyak cara
untuk memakan buah-buahan tersebut setiap harinya.
12. Dalam suatu kelas terdapat 10 pria dan 15 wanita. Berapa banyak cara menyusun komite
yang terdiri dari 10 orang jika banyaknya pria dan wanita dalam komite tersebut harus
sama.
13. Berapa jumlah minimium kabel yang dibutuhkan untuk menghubungkan 8 komputer ke
4 printer agar setiap kita memilih 4 komputer, keempat komputer tersebut dapat
mengakses 4 buah printer yang berbeda (asumsikan bahwa setiap printer dapat
dihubungkan ke setiap komputer).
Page 1
14. Misal 𝐴 = {1,2,3,4,5,6}, 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
a.
Tentukan banyaknya fungsi yang mungkin terbentuk dari A ke B
b.
Berapa banyak fungsi satu-satu yang mungkin terbentuk dari B ke A?
c.
Tentukan banyaknya fungsi ‘pada’ yang mungkin terbentuk dari A ke B
15. Pada suatu jalan terdapat 51 rumah. Jika setiap rumah diberi nomor sebuah bilangan dari
1000-1099 (asumsikan bahwa tidak boleh ada 2 rumah yang bernomor sama), tunjukkan
bahwa terdapat 2 rumah dengan nomor berurutan.
16. Tunjukkan bahwa:
𝑟
∑(
𝑘=0
𝑛+𝑘
𝑛+𝑟+1
)=(
)
𝑟
𝑘
17. Himpunan X terdiri dari 9 elemen.
a.
Tentukan banyaknya himpunan bagian X.
b.
Tentukan banyaknya himpunan bagian X yang anggotanya 3.
18. Tentukan banyaknya cara mendudukan 8 orang dari 12 orang yang duduk dalam suatu
meja yang berbentuk lingkaran.
19. Berapa cara mendudukan 14 orang sehingga 8 orang dari mereka harus duduk melingkar.
20. Tentukan banyaknya solusi dari persamaan: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 10, jika
a.
Semua variabelnya adalah bilangan bulat nonnegative.
b.
Semua variabelnya adalah bilangan bulat positif.
c.
Semua variabelnya adalah bilangan positif dan a adalah bilangan ganjil.
21. Misal X = {1,2,3, … . ,600}.
a.
Tentukan banyaknya bilangan dalam X yang habis dibagi 3 atau 5 atau 7.
b.
Tentukan banyaknya bilangan dalam X yang tidak habis dibagi 3 atau 5 atau 7.
22. Empat laki-laki dan 3 wanita duduk dalam satu baris kursi. Berapa banyak pengaturan 7
orang tersebut jika anak laki-laki harus duduk dalam 2 ujung kursi.
23. Buktikan bahwa berlaku
a.
𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑘)
b.
∑𝑛𝑘=0 𝐶(𝑛, 𝑘) = 2𝑛
24. Tentukan banyaknya penyelesaian bilangan bulat.
a.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 10, jika 0 ≤ 𝑥1 ≤ 5, 1 ≤ 𝑥2 ≤ 8, 𝑥3 ≥ 0.
b.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 16, jika0 ≤ 𝑥1 ≤ 5, 0 ≤ 𝑥2 ≤ 6, 0 ≤ 𝑥3 ≤ 7, 0 ≤ 𝑥4 ≤ 8.
Page 2
25. Buktikan bahwa dalam tiap kumpulan 6 mata pelajaran pasti ada dua mata pelajaran
yang terjadwal pada hari yang sama, jika tak ada pelajaran yang diselenggarakan di hari
Sabtu.
26. Sebuah laci lemari diisi selusin kaus kaki berwarna biru dan selusin kaus kaki berwarna
coklat yang bercampur tidak berpasangan. Seorang anak mengambil beberapa kaus kaki
tersebut dalam kegelapan malam.
a.
Berapa kaus kaki harus diambil agar dia yakin bahwa paling sedikit dia memperoleh
dua kaus kaki yang berwarna sama?
b.
Berapa kaus kaki harus dia ambil agar paling sedikit diperoleh dua kaus kaki
berwarna biru?
27. Perlihatkan bahwa jika 7 bilangan dipilih dari 10 bilangan asli pertama, maka pasti
terdapat paling sedikit dua pasang bilangan yang jumlahnya 11.
28. Dalam sebuah kelompok yang terdiri atas 10 orang, di antara dua orang dalam kelompok
tersebut saling merupakan teman atau saling merupakan musuh. Perlihatkan bahwa pasti
terdapat tiga orang dalam kelompok tersebut yang saling merupakan musuh satu sama
lain, atau empat orang yang saling merupakan teman satu sama lain, dan tiga orang yang
saling merupakan musuh satu sama lain atau empat orang yang satu sama lainnya
merupakan teman.
Page 3