Logika, Himpunan, dan Fungsi - FMIPA Personal Blogs

Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)
Hendra Gunawan∗
∗ Analysis
and Geometry Group, FMIPA-ITB
E-mail: [email protected].
http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan
August 8, 2011
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1 Pernyataan dan Logika Matematika
-1.2 Pernyataan Berkuantor
-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian
-1.4 Himpunan dan Notasinya
-1.5 Fungsi
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud dengan
pernyataan atau kalimat matematika.
Setiap pernyataan dapat bernilai “benar” atau “salah”, tetapi
tidak mungkin benar dan salah sekaligus.
Sebagai contoh, “1 + 1 = 2” merupakan sebuah pernyataan yang
benar.
Pernyataan seperti “n + 1 = 2” merupakan sebuah kalimat
terbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1,
maka pernyataan tersebut benar; tetapi bila n 6= 1, maka
pernyataan tersebut salah.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Matematika sarat dengan kalimat atau pernyataan yang berkaitan
antara satu dan lainnya.
Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara apabila keduanya
mempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, maka
Q benar; dan sebaliknya, jika P salah, maka Q juga salah).
Dalam hal P dan Q setara, kita sering menulis “P jika dan hanya
jika Q”. Sebagai contoh, “n + 1 = 2 jika dan hanya jika n = 1.”
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Terdapat beberapa cara membentuk sebuah pernyataan baru dari
pernyataan yang diberikan, yaitu dengan menggunakan kaitan
logis.
Jika P adalah suatu pernyataan, maka “tidak P” adalah
pernyataan baru yang merupakan negasi dari P.
Jika P benar, maka negasinya salah; dan jika P salah, maka
negasinya benar.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Diberikan dua buah pernyataan P dan Q, kita dapat membentuk
konjungsi dari P dan Q, yaitu “P dan Q”, yang bernilai benar jika
P dan Q keduanya benar, dan bernilai salah selain itu.
Kita juga dapat membentuk disjungsi dari P dan Q, yaitu “P atau
Q”, yang bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Q
benar.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Tabel kebenaran untuk konjungsi dan disjungsi dari P dan Q
diberikan di bawah ini.
P Q P dan Q P atau Q
B B
B
B
B S
S
B
S B
S
B
S S
S
S
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Selain konjungsi dan disjungsi, kita dapat pula mempunyai sebuah
implikasi “jika P, maka Q”, yang sering dilambangkan sebagai “P
⇒ Q”.
Di sini P merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakan
syarat perlu bagi P.
Dalam implikasi ini P disebut sebagai hipotesis, sementara Q
disebut sebagai kesimpulan.
Berdasarkan konsensus, pernyataan “jika P, maka Q” bernilai salah
jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar selain itu.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Tabel kebenaran untuk implikasi “jika P, maka Q” diberikan di
bawah ini.
P Q P⇒Q
B B
B
B S
S
S B
B
S S
B
Dalam hal ”jika P, maka Q” benar dan ”jika Q, maka P” benar,
kita katakan ”P jika dan hanya jika Q”, yakni, P setara dengan Q.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Contoh 1
Implikasi “jika n = 1, maka n2 = n” bernilai benar, karena ketika P
benar, Q juga benar.
(Ketika n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun ini tidak
menjadikan implikasi di atas salah.)
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Soal Latihan
1
Mungkinkah “P dan tidak P” benar? Bagaimana dengan “P
atau tidak P”?
2
Implikasi “jika tidak Q, maka tidak P” merupakan
kontraposisi dari “jika P, maka Q”. Periksa kesetaraan kedua
implikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran.
3
Implikasi “jika Q, maka P” merupakan konvers dari “jika P,
maka Q”. Berikan sebuah contoh implikasi yang benar tetapi
konversnya salah.
4
Buatlah tabel kebenaran untuk “P dan tidak Q” dan
bandingkan dengan tabel kebenaran untuk “jika P, maka Q”.
Apa kesimpulan anda?
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataan
yang mengandung frase “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk
suatu”, “terdapat”, dan sejenisnya.
“Untuk setiap”, “untuk semua”, atau frase yang setara dengannya,
merupakan kuantor universal; sedangkan “untuk suatu”,
“terdapat”, atau yang setara dengannya, merupakan kuantor
eksistensial.
Catat bahwa dalam matematika, “untuk suatu” berarti “terdapat
setidaknya satu” (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalah
beberapa contoh pernyataan berkuantor.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Contoh 2
(i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n2 > n.
(ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari
beberapa bilangan kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 12 = 1,
22 = 4, 32 = 9, dan seterusnya.)
(iii) Terdapat bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Negasi dari pernyataan “untuk setiap n berlaku P” adalah
“terdapat n yang tidak memenuhi P”.
Sebagai contoh, negasi dari “setiap bilangan asli n memenuhi
n2 > n” adalah “terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi
n2 > n”. (Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar.)
Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salah
setelah memeriksa bahwa negasinya benar, atau sebaliknya.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Perhatikan bahwa pernyataan “setiap bilangan asli n memenuhi
n2 > n” dapat ditulis ulang sebagai implikasi “jika n adalah
bilangan asli, maka n2 > n.”
Jadi, selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa
kebenaran suatu pernyataan berkuantor universal sebagai sebuah
implikasi.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Soal Latihan
1
Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 2(ii) dan (iii).
2
Tulis ulang pernyataan pada Contoh 2(ii) sebagai sebuah
implikasi.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Bukti (Bhs. Ing. ‘proof’) merupakan sesuatu yang membedakan
matematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang
berpijak pada eksperimen.
Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebih
esensial. Pernyataan seperti “setiap bilangan kuadrat mempunyai
sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4” tidak dapat disimpulkan
benar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat,
karena terdapat tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kita
takkan pernah selesai dengan mereka).
Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu
bukti untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar
adanya.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyak
latihan.
Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perlu
dilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut: apa
yang diketahui (hipotesis) dan apa yang harus dibuktikan
(kesimpulan).
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait dengan
pernyataan tersebut.
Sebagai contoh, dalam pernyataan “setiap bilangan kuadrat
mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4”, kita berurusan
dengan bilangan asli (1, 2, 3, . . . ).
Selain itu, pernyataan di atas juga mengandung kuantor ‘setiap’,
yang memerlukan aksi tertentu dalam pembuktiannya kelak.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatu
pernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajari
bagaimana membuktikan pernyataan tanpa kuantor yang
berbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi.
Untuk membuktikan bahwa “P dan Q” benar, tentunya kita harus
membuktikan bahwa P benar dan juga Q benar.
Sementara itu, untuk membuktikan bahwa “P atau Q” benar, kita
dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian
berusaha menunjukkan bahwa Q benar. (Jika P benar, maka “P
atau Q” benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Untuk membuktikan bahwa implikasi “jika P, maka Q” benar, kita
mulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha
menunjukkan bahwa Q juga benar. (Jika P salah, maka “P ⇒ Q”
otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)
Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu
“jika tidak Q, maka tidak P”.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung,
yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian
berusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa
salah.
Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi “R dan tidak
R”, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n genap dan ganjil
(tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Contoh 3
Buktikan jika n memenuhi n2 = n, maka n = 0 atau n = 1.
(Di sini kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesis
n memenuhi n2 = n dan kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0
atau n = 1.)
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Bukti
Misalkan n memenuhi n2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akan
ditunjukkan bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar).
Untuk itu, misalkan n = 0 salah, yakni n 6= 0. Tugas kita sekarang
adalah menunjukkan bahwa n = 1.
Untuk itu, perhatikan bahwa n2 = n setara dengan n(n − 1) = 0.
Karena n 6= 0, maka mestilah n − 1 = 0. Jadi mestilah n = 1.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu
pernyataan berkuantor.
Secara umum, untuk membuktikan pernyataan “terdapat n
sehingga P”, kita harus mendapatkan n (entah bagaimana
caranya) yang membuat P benar.
Sebagai contoh, pernyataan “terdapat bilangan asli n sehingga
n2 ≤ n” terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1
yang memenuhi n2 ≤ n.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan “untuk setiap n
berlaku P”, kita harus memulainya dengan mengambil n
sembarang (tentunya dalam konteks yang sesuai), dan kemudian
berusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n.
Cara lainnya adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor ini
sebagai sebuah implikasi, baru kemudian kita membuktikannya.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Contoh 4
Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1
ketika dibagi dengan 4.
Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n2 . Ada dua
kemungkinan tentang n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap,
sebutlah n = 2k, maka n2 = 4k 2 . Dalam hal ini n2 mempunyai
sisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil, sebutlah
n = 2k + 1, maka n2 = 4k 2 + 4k + 1. Dalam hal ini n2 akan
mempunyai sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n2
akan mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Soal Latihan
1
Buktikan jika n2 ganjil, maka n ganjil.
2
Buktikan jika m2 + n2 = 0, maka m = 0 dan n = 0.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu
himpunan disebut sebagai anggota himpunan itu.
Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita katakan x di H
dan kita tuliskan
x ∈ H.
Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan y ∈
/ H.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunan
adalah dengan mendaftarkan anggotanya.
Sebagai contoh, kita menuliskan
√
A = {0, 1, 2, e, π}
untuk
√menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan
0, 1, 2, e, π.
Serupa dengan itu,
B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar}
menyatakan himpunan dengan anggota Bagong, Gareng, Petruk,
dan Semar.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untuk
menyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknya
anggota.
Himpunan demikian biasanya dinyatakan dengan menyebutkan
sifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya. Sebagai contoh,
C = {x : x real, x > 0}
menyatakan himpunan semua bilangan real positif.
Serupa dengan itu,
D = {y : y menghormati Semar}
menyatakan himpunan semua orang yang menghormati Semar.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Selanjutnya kita gunakan notasi ∅ untuk menyatakan himpunan
kosong, yakni himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Sebagai contoh, himpunan bilangan asli n yang genap dan ganjil
sekaligus merupakan himpunan kosong; yakni
{n : n bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus} = ∅.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut G
himpunan bagian dari H dan kita tuliskan
G ⊆H
apabila setiap anggota G merupakan anggota H.
(Jadi, bila diberikan dua buah himpunan H dan G , dan kita
diminta untuk membuktikan bahwa G ⊆ H, maka yang harus kita
lakukan adalah mengambil x ∈ G sembarang dan kemudian
berusaha menunjukkan bahwa x ∈ H.)
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G ⊆ H dan H ⊆ G .
Jika G ⊆ H dan G 6= H, maka G disebut sebagai himpunan bagian
sejati dari H, ditulis G ⊂ H.
Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulat
yang habis dibagi 10 dan B adalah himpunan semua bilangan yang
habis dibagi 2, maka A ⊂ B.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Soal Latihan
1
Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat
mendefinisikan irisan dari A dan B, yaitu
A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B}.
2
Buktikan bahwa A ∩ B = A jika dan hanya jika A ⊆ B.
Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat
mendefinisikan gabungan dari A dan B, yaitu
A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B}.
Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang
berlaku
1
2
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, ditulis
f :A→B
a 7→ b
adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap a ∈ A dengan tepat
sebuah b ∈ B; dalam hal ini kita menulis f (a) = b dan menyebut b
sebagai peta atau nilai f di a.
Himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal f , dan
himpunan
f (A) := {b ∈ B : b = f (a) untuk suatu a ∈ A}
disebut sebagai daerah nilai f .
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Fungsi f : A → B dikatakan onto atau pada B apabila f (A) = B.
Fungsi f dikatakan satu-satu apabila f (a) = f (a0 ) mengakibatkan
a = a0 .
Jika f : A → B dan H ⊆ A, maka f terdefinisi pada H dan
himpunan f (H) := {b ∈ B : b = f (a) untuk suatu a ∈ H}
disebut sebagai peta dari H di bawah f .
Jika G ⊆ B, maka himpunan f −1 (G ) := {a ∈ A : f (a) ∈ G }
disebut sebagai prapeta dari G di bawah f .
Grafik fungsi f : A → B adalah himpunan {(a, f (a)) : a ∈ A}
yang secara umum merupakan himpunan bagian dari
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi
-1. PROLOG: LOGIKA, HIMPUNAN, DAN FUNGSI
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
Pernyataan dan Logika Matematika
Pernyataan Berkuantor
Bukti dan Metode Pembuktian
Himpunan dan Notasinya
Fungsi
Soal Latihan
1
Buktikan bahwa f : R → R dengan f (x) = x 3 merupakan
fungsi satu-satu dan pada R. [Gunakan pengetahuan tentang
bentuk aljabar.]
2
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A ∼ B,
apabila terdapat fungsi satu-satu f dari A pada B. Buktikan
bahwa (i) A ∼ A; (ii) A ∼ B jika dan hanya jika B ∼ A; dan
(iii) jika A ∼ B dan B ∼ C , maka A ∼ C .
3
Diketahui f : A → B dan H1 , H2 ⊆ A. Buktikan bahwa
(i) f (H1 ∩ H2 ) ⊆ f (H1 ) ∩ f (H2 ) dan
(ii) f (H1 ∪ H2 ) ⊆ f (H1 ) ∪ f (H2 ).
Apakah kesamaan berlaku?
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL