Vektor Singgung Satuan

FUNGSI VEKTOR DAN
TURUNAN FUNGSI VEKTOR
Fungsi Vektor dan Kurva Ruang
Fungsi bernilai vektor atau fungsi vektor adalah fungsi yang daerah
asalnya berupa himpunan bilangan real dan daerah hasilnya berupa
himpunan vektor. Fungsi vektor r(t) yang nilanya adalah vektor tiga
dimensi dapat dinotasikan dengan
r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k
dengan f, g dan h adalah fungsi bernilai real, dan disebut fungsi komponen
dari r.
CONTOH 1
Jika
r (t )  t 2 , ln(2  t ), t  1
tentukan fungsi komponen dan daerah asal dari r.
Limit dari suatu fungsi vektor r didefinisikan dengan cara mengambil limit
dari fungsi-fungsi komponennya, yaitu
lim r(t )  lim f (t ),lim g (t ),lim h(t )
t a
t a
t a
asalkan limit dari fungsi komponen ada.
t a
CONTOH 2
Carilah
lim r (t ) dengan r (t )  (1  t 2 ), tet ,
t 0
sin t
t
Fungsi vektor r dikatakan kontinu di a,
lim r (t )  r ( a)
t a
Jadi, r kontinu di a jika hanya jika fungsi-fungsi komponennya kontinu di a.
Jika r fungsi kontinu pada selang I, maka himpunan C yang terdiri dari
semua titik (x,y,z) di ruang, dengan
(*)
x = f (t)
y = g(t)
z = h(t)
dan t berubah-ubah sepanjang selang I, disebut kurva ruang. Persamaan
(*) disebut persamaan parametrik dari C dan t disebut parameter.
CONTOH 3
Jelaskan kurva yang didefinisikan oleh fungsi vektor
1. r(t) =1 + t, 2 +5t, -1 + 6t
2. r(t) = t2 – 2t, t + 1
CONTOH 4
Carilah fungsi vektor yang menyatakan kurva perpotongan dari silinder
x2 + y2 = 1 dan bidang y + z = 2.
Turunan Fungsi Vektor
Jika r = r (t), maka turunannya didefinisikan sebagai
dr
r (t  h)  r (t )
 r'(t )  lim
h 0
dt
h
Apabila r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan h
fungsi yang terdiferensiasi, maka
r'(t) =f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t)i + g'(t)j + h'(t)k.
Teorema Jika u dan v dadalah fungsi vektor yang terdeferensialkan, c
adalah skalar, dan f fungsi bernilaui real, maka
1. d  cu(t )   cu'(t )
2.
3.
4.
5.
6.
dt
d
u(t )  v(t )  u'(t )  v'(t )
dt
d
 f (t )u(t )  f '(t )u(t )  f (t )u'(t )
dt
d
u(t ) v(t )  u'(t ) v(t )  u(t ) v'(t )
dt
d
u(t )  v(t )  u'(t )  v(t )  u(t )  v'(t )
dt
d
u( f (t ))  f '(t )u'( f (t ))
dt
Vektor Singgung Satuan
Garis singgung kurva terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui
P yang sejajar terhadap vektor singgung r'(t). Vektor singgung satuan
diberikan oleh
T(t ) =
Jika titik P dan Q mempunyai vektor
r(t+h) – r(t)
z
posisi r(t) dan r(t+h), maka r(t+h) - r(t)
r'(t)
P
r(t)
C
r'(t )
r'(t )
menyatakan vektor
Q
PQ. Pada saath  0
vektor ini mendekati vektor yang terletak
r(t+h)
pada garis singgungnya. Vektor r'(t)
disebut vektor singgung kurva yang
0
x
diberikan oleh r di titik P.
y
Garis singgung kurva terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui
P yang sejajar terhadap vektor singgung r'(t). Vektor singgung satuan
diberikan oleh
T(t ) =
r'(t )
r'(t )
Teorema Jika r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan
h fungsi yang terdiferensiasi, maka
r'(t) =f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t)i + g'(t)j + h'(t)k.
CONTOH 1
(a) Carilah turunan dari r(t) = (1+ t3)i + tet j + sin2t k.
(b) Carilah vektor singgung satuan di titik dimana t = 0.
CONTOH 2
Untuk kurva
r (t )  t i  (2  t ) j, carilah r'(t) dan buat sketsa untuk vektor
posisi r(1) dan vektor singgung r'(1).
CONTOH 3
Carilah persamaan parametrik untuk garis singgung terhadap heliks dengan
persamaan
x = 2cos t
di titik (0,1,/2).
y = sin t
z=t
Teorema Jika u dan v adalah fungsi vektor yang terdeferensialkan, c
adalah skalar, dan f fungsi bernilai real, maka
1.
2.
3.
4.
5.
6.
d
u(t )  v(t )  u'(t )  v'(t )
dt
d
cu(t )  cu'(t )
dt
d
 f (t )u(t )  f '(t )u(t )  f (t )u'(t )
dt
d
u(t ) v(t )  u'(t ) v(t )  u(t ) v'(t )
dt
d
u(t )  v(t )  u'(t )  v(t )  u(t )  v'(t )
dt
d
u( f (t ))  f '(t )u'( f (t ))
dt
CONTOH 4
Tunjukkan bahwa jika |r(t)| = c (konstanta), maka r'(t) ortogonal terhadap
r(t) untuk semua t.
Integral tentu dari fungsi vektor kontinu r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k
diberikan oleh

b
a
r (t )dt 

b
a
   g(t)dt  j    h(t)dt  k
f (t )dt i 
b
b
a
a
Teorema Fundamantal Kalkulus fungsi vektor , yaitu

b
a
r(t )dt  R(t ) |ba  R(b)  R(a)
dengan R adalah anti turunan dari r, yaitu R'(t) = r'(t).
CONTOH 5
Jika r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2 t k, tentukan
 r(t )dt
Panjang Busur dan Kelengkungan
Pada kuliah Kalkulus, panjang kurva bidang dengan persamaan parametrik
x = f(t), y = g(t) a
L
b
a
t
b, diberikan oleh
 f '(t )   g '(t ) dt  a
2
b
2
2
2
 dx   dy 
 dt    dt  dt
Dengan analogi itu, maka panjang kurva ruang dengan persamaan vektor
r(t) =f (t), g(t), h(t), a
t
b atau ekuivalen dengan persamaan parametrik
x = f(t), y = g(t), z = h(t), dengan f ', g', dan h' kontinu adalah
L
b
a
 f '(t )   g '(t )   h '(t )
2
2
2
dt  
b
a
Rumus ini dapat dituliskan kembali sebagai
b
L   r '(t ) dt
a
2
2
2
 dx   dy   dz 
 dt    dt    dt  dt
CONTOH 1
Tentukan panjang busur dari heliks melingkar dengan persamaan vektor
r(t) = cos t i + sin t j + t k dari titik (1,0,0) sampai titik (1,0,2).
Fungsi panjang busur dari kurva C dengan persamaan vektor r(t) = f (t)i +
g(t)j + h(t)k, a
t
b didefinisikan sebagai
t
s(t )   r '(u) du
a
Jadi, s(t) adalah panjang C diantara r(a) dan r(t). Dengan menerapkan
Teorema Fundamental Kalkulus diperoleh
ds
 r '(t )
dt
Dengan hasil ini, maka kurva dapat diparameterisasi terhadap panjang
busurnya.
CONTOH 2
Parameterkan ulang heliks r(t) = cos t i + sin t j + t k terhadap panjang busur
yang diukur dari titik (1,0,0) dalam arah pertambahan t.
Kelengkungan (curvature) C di suatu titik yang diberikan adalah ukuran
seberapa cepat kurva berubah arah di titik tersebut. Dengan kata lain,
kelengkungan ( ) adalah besarnya laju perubahan vektor singgung satuan
berdasarkan panjang busur,

dT
ds
Dengan Aturan Rantai, rumus kelengkunan ini dapat dituliskan kembali
sebagai

T '(t )
r '(t )
CONTOH 3
Perlihatkan bahwa kelengkungan sebuah lingkaran berjari-jari a adalah 1/a.
Teorema Kelengkungan kurva yang diberikan oleh fungsi vektor r adalah
 (t ) 
r '(t )  r "(t )
r '(t )
3
CONTOH 4
Carilah kelengkungan dari kubik terpelintir r(t) = t i + t2 j + t3 k di t dan di
(0,0,0).
Vektor Normal Satuan dan Vektor Binormal
Mudah ditunjukkan bahwa T(t)
T'(t) = 0, sehingga T'(t) ortogonal terhadap
T(t), tetapi T'(t) bukan vektor satuan. Vektor normal satuan utama (atau
normal satuan) didefinisikan sebagai
T '(t )
N(t ) 
T '(t )
Vektor satuan yang ortogonal terhadap T maupun N disebut vektor
binormal, yang diberikan oleh
B(t) = T(t) N(t)
CONTOH 5
Carilah vektor normal satuan dan vektor binormal satuan untuk heliks
melingkar r(t) = cos t i + sin t j + t k.
Bidang normal dari kurva C di titik P adalah bidang yang memuat vektor
normal N dan vektor binormal B di titik P. Bidang oskulasi dari kurva C di
titik P adalah bidang yang memuat vektor T dan N di titik P. Lingkaran
oskulasi atau lingkaran kelengkungan dari kurva C di titik P adalah
lingkaran dengan jari-jari
= 1/
yang terletak pada bidang oskulasi.
Lingkaran ini terletak pada sisi cekung dari C dan mempunyai garis
singgung persekutuan dengan C di P.
CONTOH 6
1. Carilah persamaan bidang normal dan bidang oskulasi dari kurva heliks
r(t) = cos t i + sin t j + t k. di titik P(0,1,/2).
2. Carilah dan sketsakan lingkaran oskulasi dari parabola y = x2 di titik
asal.
Kecepatan dan Percepatan
Misalkan partikel bergerak menembus ruang sehingga vektor posisinya
saat t adalah r(t). Untuk nilai h kecil, vektor
r (t  h)  r (t )
h
menghampiri arah partikel yang bergerak sepanjang kurva r(t). Lihat gamb
r(t+h) – r(t)
z
Vektor di atas memberikan kecepatan
rata-rata pada selang waktu sepanjang h
r'(t)
P
C
r(t)
Q
dan limitnya adalah vektor kecepatan
v(t) pada saat t:
r(t+h)
r (t  h)  r (t )
 r'(t )
h 0
h
v (t )  lim
0
x
y
Laju partikel pada saat t adalah besarnya vektor kecepatan, yaitu |v(t)|.
Oleh karena itu,
v(t )  r '(t ) 
ds
dt
Percepatan didefinisikan sebagai turunan dari kecepatan:
a(t )  v '(t )  r"(t )
CONTOH 1
Vektor posisi dari suatu benda yang bergerak di bidang diberikan oleh r(t)
= t3i + t2 j, t  0. Carilah kecepatan, laju, dan percepatan ketika t = 1.
CONTOH 2
Carilah kecepatan, laju, dan kecepatan sebuah partikel dengan vektor
posisi r(t) =  t2, et, tet .
CONTOH 3
Partikel bergerak memulai pergerakannya dari posisi awal r(0) = 1, 0, 0
dengan kecepatan awal v(0) = i – j + k. Percepatannya adalah a(t) = 4t i +
6t j + k. Carilah kecepatan dan posisinya pada saat t.