VEKTOR

MODUL KULIAH
ALJABAR LINIER – PKKP- STTI NIIT “I-TECH”
Mata Kuliah
ALJABAR LINIER
Semester
I
Kelas
Dosen
PKKP SISTEM INFORMASI & TEKNIK
INFORMATIKA
Ir. Dwi Martisunu, M.Si
Pertemuan
: 1 (Satu)
Waktu
: Minggu, 11 Maret 2012
Modul
Topik
Sub Topik
Materi
Tujuan
1 (Satu)
Pengenalan Vektor dalam penentuan besar
dan arah dalam perhitungan aljabar linier
Pengertian dasar besaran Vektor

Pengertian besaran dan arah Vektor

Operasi Perhitungan Vektor

Vektor dalam ruang 1,2,dan 3 dimensi
Menjelaskan Cara menghitung
besaran vektor dibantu
dengan metode jajaran
genjang, segitiga dan
perkalian skalar yang dalam
ruang 1,2 dan 3 dimensi
1
VEKTOR
Definisi :
Vektor adalah suatu potongan (ruang; segmen) garis yang
mempunyai arah. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang vektor
panah menyatakan besarannya. Ekor panah dinamakan titik permulaan
(initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal
(terminal point).
Contoh :
A
B
(a)
(b)
Catatan :
(a) Vektor AB
(b) Vektor Vektor Ekivalen
Vektor vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama
disebut ekivalen. Jika v dan w ekivalen, maka kita menuliskann V = W.
Definisi :
Dua buah vector dikatakan sama, jika panjang dan arahnya sama, Jadi
vektor tidak tergantung keapda letaknya, tetapi tergantung pada panjang
dan arahnya.
2
OPERASI OPERASI PADA VEKTOR
1.
PENJUMLAHAN VEKTOR
Misal penjumlahan vektor V dan W kita mengenal 2 metode :
a. METODE JAJARAN GENJANG
w
V
Vektor hasil (resultan) didapat dari diagonal jajaan genjang yang
dibentuk oleh V serta W setelah titik awal ditempatkan berimpit.
b. METODE SEGITIGA
Resultant diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu
vektor (misal W) pada titik ujung vektor yang lainnya, maka
resultant adalah vektor bertitik awal V, dan bertitik ujung dititik
W.
V+W
W
W
V
V
3
V+W
2.
PERKALIAN SKALAR
Jika K suatu skalar bilangan riil dan V suatu vektor maka perkalian
skalar KV menghasilkan suatu vektor yang panjangnya IKI kali
panjang V, dan arahnya sama dengan arah V bila K positif atau
berlawanan dengan V bila K negative. Bila K = 0 maka KV = 0,
disebut vektor nol yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnnya
berhimpit.
Contoh :
(1).
V = (1, -2) dan W = (7,6)
Maka v + w = (1,-2) +(7,6) = (8,4) dan 4 V =4(1, -2) = (4, -8)
Karena V – W = V + - (W),
Maka V – W = = V + (- W) = (1 – 7, -2 -6) = (- 6, -8)
(2).
V = (1, -3, 2) dan W = (4, 2, 1)
Maka V +W = (1,--3, 2) + (4, 2, 1) = (5, 2, 3)
Dan 2 V = 2 (1 , -3, 2) = (2, -6, 4)
Maka V – W = V + (- W) = (-3, -5, 1)
RUANG BERDIMENSI SATU (R1)
Setiap bilangan riil dapat diawali oleh sebuah titik pada suatu garis
lurus, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi 1,
ditulis R1 misal pilih O sebagai titik awal susunan koordinat dan suatu titik
E dimana panjang OE = 1 Satuan
R
O
P
E
Titik O mewakili bilangan nol, Titik E mewakili bilangan satu.
4
RUANG BERDIMENSI DUA (R2)
Setiap bilangan riil dapat diwakili
oleh sebuah titik pada suatu
bidang rata, yang membuat susunan koordinat di dalam ruang berdimensi
dua, ditulis R2 Masing masing garis disebut sumbu koordinat.
O
E
C
RUANG BERDIMENSI TIGA (R3)
Setiap triple bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam
ruang berdimensi tiga ditulis R3 dengan membentuk suatu susunan
koordinat
yaitu
mengambil
3
garis
berpotongan di titik awal O .
Latihan
Diketahui V = (4, -3) dan W = (3, -2)
Ditanya :
a) V + W
b) V – W
c) 5 V
5
lurus.(tidak
sebidang
)
yang
VEKTOR DI DALAM RN
Perhatikan susunan koordinat yang tegak lurus (Orthogonal)
disebut pula susunan koordinat courtesian di R2.Suatu vektor disebut
satuan bila panjangnya = 1
Y2
E2
o
E1
X1
e1 = OE1 yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E1 (1,0), e2 = OE2 yang
titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnnya E2 (0,1)
Kita tulis
e1 = 1e1 + Oe2
e2 = O e1 + 1e2
Disingkat menjadi
e1 = ( 1, O)
e2 = ( O, 1)
Vektor a yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya titik A (a1, a2), Vektor
a disebut Vektor posisi (radius vektor) dari titik A.
Y2
E2
o
E1
a = a1 e1 + a2 e2 atau a = (a1, a2)
6
X1
DALIL DALIL OPERASI VEKTOR
Untuk setiap vektor a = (a1, a2, ..,an), b = (b1, b2,….,bn) c = (c1, c2,…..cn) ε Rn
dan k,m, skalar skalar berlaku :
1.
a+b=b+q
Komutatif
2.
(a + b) + c = a + (b + c)
Asosiatif
3.
K(a + b) = k a + k b
Distributif
4.
a+0=a
5.
a + (-a) = 0
6.
(k + m) a = k a + ma
7.
(km)a = k(ma) = m(ka)
Definisi :
Dapat produk dari a dan b ditulis a.b adalah suatu skalar :
a.b = IaI . IbI cos Ɵ
Dalam persamaan linier perkalian antara panjang a , panjang b dan
cosinus sudut antara a dan b .
SOAL DAN PEMBAHASAN :
1.
Diketahui vektor vektor a,b,c,d,e,dan f dibawah ini
Tentukan: (i)
a
2
a+b–c
(ii)
a + d + 2f
(iii)
b+e+ f
(iv)
a+½f
b
c
Cari x dan y dari (4,zY) = X(2,3) = (2X,3X)
Jawab : 4 = 2x ; y = 3x; berarti x = 2 , y = 6.
7
d
e
f
3.
Koordinat titik sudut segitiga ABC adalah A (2,3,3) B(4,1,0) dan
C(0,0,0) Tentukan koordinat titik beratnya
Jawab :
Z titik berat segitiga ABC
[CZ] = 1/3 [CD] JADI CZ = 1/3 CD = 1/3 (CA + CB)
= 1/3 [2,2,3] + 1/3 [4,1,0] = [2,1,1]
Koordinatnya = Z (2,1,1)
----------------------
3.
(i) Tentukan a, b bila a = [ 2, - 3, 6 ]
b = [ 8, 2, - 3 ]
(i) Jarak A( 2,4,0 ) ; B ( - 1,- 2, 1 )
(i) Jarak vektor a = [ 1, 7 ]
b = [ 6, - 5 ]
Jawab :
(i) a.b = [ 2, - 3, 6 ] . [ 8, 2, - 3 ] = 2.8 +(- 3).2 + 6. (- 3) = - 8
(ii) Jarak A dan B = distance = ѵ ( -1 - 2 )2 + ( -2 - 4 )2 + ( 1 - 0 )2
= ѵ 46
(iii) Jarak 2 vektor a dan b kita tulis d (a,b) dirumuskan Ia – bI
Jadi d(a,b) = ѵ (6 - 1)2 + (-5 - 7)2 = 13
4.
(i)Tentukan k, supaya a = [ 1, k, -2.5 ] mempunyai panjang = ѵ 39
(ii)Berapa sudut antara a = [ 1,2,3,4 ] ; B (- 1,- 2, 1)
(iii) Jarak vektor a = [ 1, 7 ]
b = [ 6, - 5 ]
Jawab :
(i) I a I = ѵ 12 + k2 + (-2)2 + 52 = ѵ 39 berarti k2 = 39 atau k = +/- 3
(ii) Sudut antara a dan b
a.b
Cos Ɵ = ----------IaI IbI
8
1.0 + 2.0 + 3.1 + 4.1
Cos Ɵ = -----------------------------------------------------{ѵ12 22+32+42}. {ѵ02 02+12+12}
7
Cos Ɵ = -------ѵ 60
(iii)
7
jadi Ɵ = arc cos ----ѵ 60
a tegak lurus b berarti a. b = 0 = 1 . 4 + k . (-k) + (-3) . 1
diperoleh k2 = 1 a tau k = + / - 1 .
5.
Tunjukan bahwa :
(i) Titik A [ 1, 1, 1 ] terletak pada g
(ii) Titik B [ 6, 2, 1 ] tidak terletak pada g,
bila g : [x1,x2,x3,] = [ 2, 1, 0 ] + λ [ 1, 0, 1 ]
Jawab :
(i) Ada yang memenuhi persamaan
[ 1, 1, 1 ] = [ 2, 1, 0 ] + λ [ 1, 0, -1 ] atau
1=2+λ
1=1
1=-λ
Jadi λ = - 1 memenuhi menunjukkan bahwa [ 1, 1, 1 ] terletak
pada g
(ii) Persamaan
[ 6, 2, 1 ] = [ 2, 1, 0 ] + λ [ 1, 0, -1 ] atau
6=2+λ
2=1
1=-λ
Tidak memenuhi menunjukkan bahwa [ 6, 2, 1 ] tidak terletak
pada g
9