vektor 01 xii ipa

PENDAHULUAN
DEFINISI VEKTOR
NOTASI VEKTOR
VEKTOR DI R2
VEKTOR DI R3
PANJANG VEKTOR
VEKTOR SATUAN
ALJABAR VEKTOR
RUMUS PERBANDINGAN
MGMP MATEMATIKA
SMP
SMA
SD
SKKK JAYAPURA
Kami mohon Donasi dari saudara-saudara sekalian agar blog ini tetap
Eksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat mengakses
materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk
“POWERPOINT” sIlahkaN saluRkaN lEWaT REkENINg BaNk MaNDIRI aTas NaMa
HENDRIK PICAL,A.Md,S.Sos dengan No. ac Bank
1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima Kasih.
Setelah menyaksikan tayangan ini
anda dapat
Menentukan penyelesaian
operasi aljabar vektor
Adalah Himpunan ruas garis-ruas
garis berarah yang mempunyai
besar dan arah yang sama,dimana
panjang ruas garis berarah itu
disebut panjang vektor dan arah
ruas garis berarah disebut arah
vektor
Besar vektor
artinya panjang vektor
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah
Gambar Vektor
B
u
45
A
X
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:
 3
u   
 4
atau
 1 


PQ    2 
 0 


 Bentuk vektor baris:
AB  3, 4 atau v   2, 3, 0
 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR DI
2
R
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y
VEKTOR DI R2
Y
A(x,y)
yQ
j
a
x
O
i
P
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
X
OP  PA  OA
OP  OQ  OA
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z
Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
Z
S
zk
O
xi
P
X
T(x,y,z)
yj
Q
Y
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Z
S
zk
t
O
xi

X P
T(x,y,z)
Jadi
yj
OT = xi + yj + zk
Y
Q
R(x,y) atau t = xi + yj + zk
Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’
a1 

Di R2, panjang vektor: a   
a2 
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
a  a1  a 2
2
2
 x


Di R3 , panjang vektor: v   y 
z
 
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
v  x y z
2
2
2
Contoh:
 3
1. Panjang vektor: a   4 
 
adalah a 
32  4 2 = 25 = 5
2. Panjang vektor: v  2i  j - 2k
adalah v  2  1  (2)
2
= 9 = 3
2
2
Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
 0
 0
 
 
 
i   0 , j   1  dan k   0 
 0
 0
1
 
 
 
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+ a3k
adalah
a
ea  a 
e
a
a1i  a 2 j  a3 k
a1  a 2  a3
2
2
2
Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+ 2k
adalah….
e
a
e
a
a

a

i  2 j  2k
12  (2) 2  2 2
e
a

i  2 j  2k
12  (2) 2  2 2
i  2 j  2k
e

e
 13 i  23 j  23 k
a
a
3
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b 3
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
 a1 
 b1 
 
 
Misalkan: a   a 2  dan b   b 2 
b 
a 
 3
 3
Jika: a + b = c , maka vektor
 a1  b1 


c   a 2  b2 
a b 
 3 3
Contoh
p
 3 
 
 
Diketahui: a   - 2p  b   6 
 3
 -1 
  - 5   
 
dan c   4q 
2
 
Jika a + b = c , maka p – q =....
jawab:
a+b=c
 3   p    5
     
 - 2p    6    4q 
 -1   3  2 
     
 3  p    5

  
   2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 

  
 3  p    5

  
  2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 

  
3 + p = -5  p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½
Pengurangan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Perhatikan gambar:
Y
B(2,4)
vektor AB =
b
A(4,1) vektor posisi:
a
O
- 2
 
3
X
titik A(4,1) adalah:
 2
titik B(2,4) adalah: b   
 4
 4
a   
1
vektor AB =
 4
a   
1
- 2
 
3
 2
b   
 4
2 4
b  a       
4  1
- 2
 
3
 AB
Jadi secara umum: AB  b  a
Contoh 1
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB
Jawab: AB  b  a
1  3   2
 2

     
 
 2  -  5     3  Jadi AB    3 
 4  2  2 
 2 
     
 
Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
1
 
Jawab: P(-1,3,0)  p   2 
  2
 
  1
 
Q(1,2,-2)  q   3 
0
 
 1   - 1  2 
     
PQ = q – p =  2  -  3     1 
- 2  0    2
     
2 
 
PQ    1 
  2
 
PQ  2  (1)  (2)
2
Jadi PQ  9  3
2
2
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
 a1 
 
Misalkan: a   a 2  dan
 a  m = bilangan real
 3
Jika: c = m.a, maka  a1   m.a1 
  

c  m a 2    m.a 2 
 a   m.a 
3
 3 
Contoh
2
2
 
 
Diketahui: a   - 1 dan b   - 1
6


4
 
 
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:  x1   2   x1   2 








misal x   x     1  2 x   3  1
2
x 
 3
6
 
2
x 
 3
4
 
 2   x1   2 
     
  1  2 x2   3  1 
 6  x   4 
   3  
 2   2 x1   6 
     
  1   2 x2     3
 6   2 x   12 
   3  
2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2
-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1
6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3
Jadi
  2
 
vektor x   1 
  3
 
Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)
Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)
Y
Contoh:
B(2,4)
Vektor posisi
b
a
O
A(4,1) titik A(4,1) adalah
X
 4
OA  a   
1
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
OB  b  2i  4 j
B(x 2 , y2 )

b 
c
O
n
C(x, y)
m

a
A(x1 , y1 )
   
AC : CB  m : n  c - a : b - c  m : n
 

 

c-a m
    c n  na  b m  c m
b-c n




 cn  cm  mb  na



 c(m  n)  mb  na


 mb  na
c
mn
 xc 
 nx 1  mx 2 
 

mb  na
1 
c
  yc  
 ny 1  my 2 
mn
 z  m  n  nz  mz 
2 
 1
 c
nx 1  mx 2
xc 
mn
ny 1  my 2
yc 
mn
nz 1  mz 2
zc 
mn
Rumus Perbanding an dalam bentuk koordinat
Pada gambar disamping ABC adalah bangun Geometri
segitiga.V ektor - vektor posisi dari titik - titik sudut A, B, dan C
 

pada segitiga ABC itu berturut - turut adalah a, b, dan c.
Tunjukan bahwa :
 
a. AB  b - a
 
b. BC  c - b