BAB III PEMBAHASAN

BAB III
PEMBAHASAN
Telah diungkapkan Polya (1954: 14) bahwa bidang-empat merupakan
analogi dari segitiga dan bola merupakan analogi dari lingkaran. Setiap segitiga
memiliki lingkaran-luar serta lingkaran-dalam. Pada bab ini akan ditunjukkan
eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat. Lebih lanjut juga akan
dibahas sifat-sifat dari bola-luar serta bola-dalam pada bidang-empat.
A. Bola-Luar Bidang-Empat
Menurut Hvidsten (2012: 69) sebuah lingkaran dengan pusat circumcenter
dari segitiga dan jari-jari dari pusat ke salah satu titik sudut dan melalui titik sudut
yang lain, disebut lingkaran-luar dari segitiga. Mengadopsi pernyataan tersebut
maka bola-luar dapat diartikan sebagai sebuah bola yang mana berpusat di sebuah
titik dan panjang jari-jarinya merupakan jarak dari pusat ke salah satu titik sudut
bidang-empat dan melalui titik sudut yang lainnya. Titik pusat suatu bola-luar
berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat.
Sebelum mengkaji sifat-sifat dari bola-luar suatu bidang-empat maka harus
ditunjukkan
eksistensi
dari
bola-luar
bidang-empat
itu
sendiri.
Untuk
menunjukkan eksistensi bola-luar harus ditunjukkan eksistensi titik pusat bola
tersebut. Perlu ditunjukkan adanya sebuah titik yang berjarak sama dari keempat
titik sudut suatu bidang-empat. Misalkan terdapat sebuah bidang-empat sebarang
D.ABC maka harus ditunjukkan bahwasannya ada titik O sedemikian hingga
43
. Untuk menunjukkan eksistensi titik tersebut maka perlu
dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Titik yang berjarak sama dari A,B,C
Merujuk Teorema 2.5, setiap segitiga memilki sebuah titik pada bidang
tersebut yang berjarak sama dari titik-titik sudutnya. Misalkan titik E merupakan
pusat lingkaran-luar dari ΔABC. Dilukiskan sebuah garis g yang mana garis g
adalah sebuah garis yang tegak lurus bidang ABC serta melalui titik E.
Gambar 46. Garis g tegak lurus bidang ABC.
Gambar 47. Segitiga AEF dan segitiga BEF.
44
Dipilih sebarang titik F pada garis g sehingga terdapat ΔAEF, ΔBEF, dan
ΔCEF. Jika diamati segitiga AEF dan segitiga BEF merupakan segitiga yang
saling kongruen. Kekongruenan antara keduanya diperoleh karena memenuhi
kriteria kekongruenan S-Sd-S. Titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC,
oleh karenanya
. Kekongruenan antara
dan
telah dijamin oleh
Teorema 2.5. Sudut AEF dan sudut BEF sama-sama sudut siku-siku karena garis
F tegak lurus dengan bidang yang memuat titik A dan B. Syarat terakhir
terpenuhinya kriteria kekongruenan S-Sd-S diperoleh dari ruas garis EF yang
merupakan sisi ΔAEF maupun ΔBEF.
Selain kongruen dengan ΔAEF, ΔBEF juga kongruen dengan ΔCEF.
Seperti halnya dengan ΔAEF, kriteria kekongruenan S-Sd-S juga terpenuhi antara
ΔBEF dan ΔCEF. Kriteria kekongruenan S-Sd-S terpenuhi karena
merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, sudut siku
BEF dan
yang
CEF, serta
sisi EF.
Akibat dari
dan
maka
. Kekongruenan ini mengakibatkan sudut serta sisi yang bersesuaian antara
ketiganya juga kongruen. Salah satunya
atau dapat dikatakan
bahwa jarak dari titik A, B, dan C ke titik F sama. Di awal pengambilan titik F
pada garis g dilakukan sebarang, sehingga setiap titik pada garis g berjarak sama
dengan titik A, B, dan C.
Hasil di atas dapat dipaparkan ke dalam sebuah Teorema 3.1 berikut.
Teorema 3.1. Jika terdapat segitiga ABC dengan E merupakan pusat lingkaranluarnya serta terdapat garis g yang mana garis tersebut melalui E dan tegak
45
lurus terhadap bidang ABC maka setiap titik pada g berjarak sama dengan titik
A, B, dan C.
Garis yang melalui pusat lingkaran luar sebuah bidang sisi bidang-empat
dan tegak lurus dengan bidang tersebut selanjutnya disebut sebagai garis sumbu
dari bidang-empat. Hal ini dikarenakan sifatnya juga memiliki kemiripan dengan
garis sumbu pada segitiga. Garig g pada Gambar 46 merupakan salah satu contoh
dari garis sumbu suatu bidang-empat.
Definisi 3. 1. Garis sumbu suatu bidang-empat adalah garis yang tegak lurus
dengan salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui pusat lingkaran-luar
bidang sisi tersebut.
2. Titik yang berjarak sama dari B dan D
Menurut Fogiel (1993: 20) setiap ruas garis memiliki tepat satu titik
tengah. Titik tengah suatu ruas garis adalah sebuah titik yang terletak pada ruas
garis tersebut dan berjarak sama dari kedua titik ujungnya. Pada bidang-empat
D.ABC diberikan titik G di mana titik tersebut merupakan titik tengah dari
Bidang α merupakan bidang yang tegak lurus dengan
dan memuat titik G.
Dipilih sebarang titik H pada bidang α.
Gambar 48. Segitiga BGH dan segitiga DGH.
46
.
Pada ΔBGH dan ΔDGH memiliki sisi yang sama yaitu sisi GH. Keduanya
juga merupakan segitiga siku-siku yang mana ΔBGH siku –siku di
sementara ΔDGH siku–siku di
terjamin karena
terletak pada
DGH. Sudut
dan
BGH
BGH merupakan sudut siku-siku
terletak pada bidang α. Sudut DGH
juga telah terjamin merupakan sudut siku-siku. Titik G merupakan titik tengah
, sehingga
dan
Akibat dari
sama panjang.
,
, dan
maka ΔBGH dan
ΔBGH memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Setiap sudut dan sisi yang
bersesuaian pada keduanya segitiga tersebut juga saling kongruen, tidak terkecuali
sisi BH dan sisi DH. Hal ini berarti jarak titik H dengan titik B maupun D sama.
Titik H merupakan sebarang titik pada bidang α, dengan demikian setiap titik
pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D.
3. Titik pusat bola-luar
Garis g tegak lurus dengan bidang ABC, sedangkan bidang α
garis
. Ruas
tidak sejajar dengan bidang ABC, akibatnya bidang α juga tidak sejajar
dengan garis g.
Sebuah bidang dan garis yang tidak sejajar akan saling
berpotongan. Menurut Definisi 2.6 jika sebuah garis memotong sebuah bidang
yang tidak memuat garis tersebut, maka perpotongan keduanya adalah tepat satu
titik.
47
Gambar 49. Titik O berjarak sama dengan A, B, C, dan D.
Telah ditunjukkan bahwa setiap titik pada garis g berjarak sama dengan
titik A, B, dan C. Misal titik O merupakan titik perpotongan antara g dan α, karena
O merupakan berada pada garis g maka
. Telah ditunjukkan pula
bahwa titik-titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D. Titik O juga
berada pada bidang α maka
, dengan demikian maka
. Bisa disimpulkan bahwa titik O berjarak sama dengan titik A, B, C,
maupun D.
Dengan langkah 1, 2, dan 3 telah terbukti bahwa terdapat titik yang
berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat D.ABC. Terbukti pula bahwa
bidang-empat D.ABC memiliki bola-luar, yaitu bola yang melalui keempat titik
sudut bidang-empat. Di awal dipilih sebarang bidang-empat D.ABC, dengan
demikian hal ini berlaku untuk setiap bidang-empat.
48
Gambar 50. Bola-luar dari bidang-empat D.ABC.
Teorema 3.2. Setiap bidang-empat mempunyai bola-luar.
Untuk sebarang bidang-empat pasti terdapat sebuah bola yang melalui
keempat titik sudutnya. Keempat titik sudut suatu bidang-empat merupakan titiktitik yang non koplanar. Analogi dengan Teorema 2.6 yang menyatakan setiap tiga
titik nonkolinier terletak pada tepat satu lingkaran, akibatnya untuk setiap empat
titik yang nonkoplanar terletak pada sebuah bola.
Akibat 3.1. Untuk sebarang empat titik yang tidak sebidang terletak pada tepat
satu bola.
Telah dibuktikan eksistensi bola-luar suatu bidang-empat. Pada sub bab
berikutnya akan dikaji sifat-sifat bola-luar. Pengkajian yang dilakukan akan
difokuskan pada pusat bola-luar.
B. Sifat-Sifat Bola-Luar pada Bidang-Empat
Garis sumbu pada segitiga adalah sebuah garis yang membagi dua suatu
sisi segitiga dan tegak lurus dengan sisi tersebut. Membagi dua ruas garis dapat
diartikan pula bahwa jarak antara titik potong tersebut dengan kedua titik ujung
ruas garis sisi tersebut sama. Garis sumbu dari sebuah segitiga dapat pula
49
didefinisikan sebuah garis yang tegak lurus suatu sisi segitiga dan melalui titik
pada sisi tersebut yang mana titik tersebut berjarak sama dari kedua titik sudut.
Jika dianalogikan pada bidang-empat maka garis sumbu merupakan garis
yang tegak lurus salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui sebuah titik
yang berjarak sama dari titik-titik sudut bidang sisi tersebut. Bidang sisi suatu
bidang-empat berbentuk segitiga maka titik yang berjarak sama dari ketiga titik
sudutnya adalah pusat lingkaran-luar dari segitiga. Hal ini sesuai dengan Teorema
3.1 dengan demikian garis yang dimaksud adalah garis sumbu bidang-empat.
Jika pada segitiga garis-garis sumbunya berpotongan di sebuah titik,
seperti yang telah dinyatakan oleh Teorema 2.5. Titik tersebut juga merupakan
pusat dari lingkaran-luar segitiga tersebut. Garis-garis sumbu suatu bidang empat
juga memiliki sifat yang juga merupakan analogi dari hal tersebut. Hal ini
dinyatakan dalam
Teorema 3.3. Garis-garis sumbu suatu bidang-empat berpotongan di sebuah titik
yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat tersebut.
Bukti:
Setiap segitiga memiliki tiga buah garis sumbu. Telah ditunjukkan pula
bahwa ketiganya berpotongan di sebuah titik. Titik hasil perpotongan ketiga garis
sumbu tersebut juga merupakan titik pusat lingkaran-luar segitiga itu. Sebuah
bidang-empat memiliki empat buah bidang sisi. Setiap bidang sisi memiliki
sebuah garis sumbu bidang-empat, dengan demikian bidang-empat memiliki
empat buah garis sumbu bidang-empat. Akan diteliti apakah keempat garis sumbu
pada bidang-empat bertemu di sebuah titik yang juga merupakan titik pusat bolaluar.
50
Misalkan terdapat bidang-empat D.ABC dengan titik E merupakan pusat
lingkaran-luar dari segitiga ABC. Terdapat pula bidang titk G yang mana titik
tersebut merupakan titik tengah dari
. Telah ditunjukkan bahwa garis yang
tegak lurus bidang sisi ABC dan melalui E berpotongan dengan bidang yang tegak
lurus
dan melalui G. Titik perpotongan keduanya merupakan titik pusat bola-
luar yang selanjutnya akan disebut sebagai titik O.
Dilukiskan sebuah sinar garis yang berpangkal di titik O dan tegak lurus
bidang-sisi BCD. Sinar garis tersebut memotong bidang-sisi BCD di titik H. Akan
ditunjukkan bahwa titik H merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔBCD.
Gambar 51. Garis
dan sinar garis
.
Terdapat ΔOBH dan ΔOCH yang mana keduanya memiliki sisi yang
sama yaitu OH. Telah diketahui bahwa ruas garis OH tegak lurus dengan bidang
sisi BCD. Merujuk Teorema 2.5 maka setiap garis pada bidang sisi BCD yang
melalui H tegak lurus terhadap
, termasuk
dan
Hal tersebut
menunjukkan bahwa ΔOBH dan ΔOCH merupakan segitiga siku-siku. Ruas garis
51
karena keduanya merupakan jari-jari bola-luar bidang-empat D.ABC.
Merujuk Teorema 2.4 maka
.
Berdasarkan Teorema 2.4 maka ΔOCH dan ΔODH juga merupakan
pasangan segitiga yang saling konguen. Hal ini berarti ΔOBH, ΔOCH, dan ΔODH
saling kongruen akibatnya
. Titik H pada bidang sisi BCD
berjarak sama dengan titik B, C, dan D. Terbukti bahwa H merupakan titik pusat
lingkaran-luar ΔBCD.
Sinar garis yang berpangkal di O dan tegak lurus terhadap bidang-sisi
ACD memotong bidang sisi tersebut di titik J. Menggunakan cara yang sama
maka terbukti pula bahwa J merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔACD. Titik K
yang merupakan titik potong antara sinar garis
dengan bidang-sisi ABD juga
merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔABD.
Garis-garis yang memuat
,
,
, dan
juga tegak lurus secara
berturut-turut terhadap bidang sisi ABC, BCD, ACD, dan ABD. Masing-masing
garis tersebut juga melalui sebuah titik pusat lingkaran-luar. Berdasarkan Definisi
3. 1 maka garis
, dan
meupakan garis sumbu bidang-empat.
Keempatnya juga melalui titik O yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat
D.ABC. Terbukti bahwa empat buah garis sumbu bidang-empat berpotongan di
sebuah titik. Titik perpotongan dari keempat garis tersebut juga merupakan pusat
bola-luar.
Pada bab sebelumnya telah dibahas bahwa terdapat keunikan dari pusat
lingkaran-luar dari segitiga siku-siku. Pada segitiga siku-siku pusat lingkaranluarnya terletak pada titik tengah hipotenusanya. Bidang-empat yang merupakan
52
analogi dari segitiga siku-siku adalah bidang-empat siku-siku. Meskipun
demikian, ternyata titik pusat bola-luarnya tidak pada bidang sisi miringnya.
Misalkan bidang-empat D.ABC merupakan bidang-empat siku-siku yang
siku-siku di A. Pusat lingkaran-luar dari
titik tengah
. Hal ini dikarenakan
merupakan titik tengah
berada di titik E yang merupakan
merupakan segitiga siku-siku. Titik F
. Pusat lingkaran-luar
adalah titik F, karena
siku-siku di A.
Gambar 52. Titik potong garis g dan garis h .
Garis g merupakan garis yang melalui E dan tegak lurus terhadap bidang
yang memuat A, B, dan C. Garis yang melaui F dan tegak lurus terhadap bidang
yang memuat A, B, dan D adalah garis h. Menurut Teorema 3.3 titik potong antara
garis g dan h merupakan pusat bola-luar D.ABC. Perpotongan garis g dan h tidak
53
terletak ada bidang BCD. Hal tersebut dikarenakan g memotong bidang BCD di
titik E, sementara garis h memotong bidang tersebut di titik F. Terbukti bahwa
pusat bola-luar suatu bidang-empat siku-siku tidak pada bidang miringnya.
Telah ditunjukkan bahwa meskipun bidang-empat siku-siku merupakan
analogi dari segitiga siku-siku namun sifat pusat lingkaran-luar segitiga siku-siku
berlaku pada pusat bola-luar bidang-empat siku-siku. Pada bidang-empat sikusiku titik pusat bola-luarnya tidak pada bidang miringnya. Meskipun demikian
tidak menutup kemungkinan bahwa terdapat bidang-empat yang pusat bolaluarnya pada bidang sisi miringnya. Untuk itu akan di cari suatu bidang-empat
yang memenuhi kondisi tersebut.
Teorema 3.4. Jika titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari
, titik D
pada
sedemikian hingga
dan terdapat titik E yang nonkoplanar
dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut siku-siku maka O
merupakan titik pusat bola-luar bidang-empat A.BCE.
Bukti:
Terdapat segitiga ABC. Titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari
. Dipilih titik D pada
sedemikian hingga
yang tidak koplanar dengan A, B, C sedemikian hingga
dan terdapat titik E
DEA merupakan sudut
siku-siku. Akan dibuktikan bahwa O merupakan pusat bola-luar bidang-empat
A.BCE.
54
Gambar 53. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika
Titik O merupakan pusat lingkaran luar
segitiga tumpul.
sehingga
dan
. Segitiga DEA merupakan sebuah segitiga siku-siku. Ruas garis AD
merupakan sisi miring segitiga tersebut sehingga pusat lingkaran-luar
terletak pada titik tengah
. Titik O merupakan titik tengah
yang telah diketahui bahwa
, oleh karenanya
. Titik O merupakan pusat lingkaran luar
.
Dari segitiga ABC diperoleh
segitiga DEA didapatkan
karena seperti
dan
, sedangkan dari
. Itu artinya titik O merupakan titik yang
berjarak sama dari A, B, C, maupun E. Terbukti bahwa O merupakan pusat bolaluar dari bidang-empat A.BCE.
55
Gambar 54. Bola-luar bidang-empat A.BCE.
Berdasarkan Teorema 3.4 maka letak dari titik pusat bolanya sangat
bergantung pada segitiga ABC. Hal ini dikerenakan titik pusat bola-luar dari
bidang-empat A.BCE merupakan pusat dari lingkaran-luar
. Berikut letak
pusat-bola luar berdasarkan jenis segitiga ABC.
1. Segitiga ABC merupakan segitiga tumpul
Jika segitiga ABC merupakan segitiga tumpul maka titik O berada di
eksterior
. Pusat bola-luarnya kolinier dengan A, B, C, karena merupakan
pusat-lingkaran luar segitiga ABC. Meskipun demikian titik usat bola-luarnya
tidak terletak pada bidang-empat A.BCE seperti yang telah diilustrasikan pada
Gambar 53.
2. Segitiga ABC merupakan segitiga lancip
Hal yang berbeda terjadi jika
lingkaran-luar
merupakan segitiga lancip. Pusat
terletak di interior segitiga tersebut. Padahal pusat lingkaran-
56
luar
juga merupakan pusat bola-luar bidang-empat A.BCE, sehingga pusat
bola-luarnya terletak pada salah satu bidang sisinya.
Gambar 55. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika
segitiga lancip.
3. Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku
Pusat lingkaran-luar sebuah segitiga siku-siku terletak pada titik tengah
sisi miringnya. Dibentuk sebuah bidang-empat A.BCE dengan mengikuti Teorema
3.4 dan
merupakan segitiga siku-siku. Titik pusat bola-luarnya akan
terletak pada salah satu rusuk bidang-empat tersebut. Jika
siku-siku maka
dapat dibentuk bidang-empat yang hanya memiliki satu bidang sisi berbentuk
segitiga siku-siku maupun bidang-empat yang memiliki dua bidang sisi bebentuk
segitiga siku-siku.
Misalkan terdapat segitiga ABC yang siku-siku di A. Jika
siku-siku
di A maka titik pusat lingkaran-luarnya merupakan titik tengah
. Mengikuti
Teorema 3.4 maka pada bidang-empat A.BCE hanya terdapat
merupakan segitiga siku-siku.
57
yang terjamin
Gambar 56. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika
Akan berbeda hasilnya jika
siku-siku di A.
merupakan segitiga siku-siku, namun
bukan merupakan sudut siku-sikunya. Misalkan
merupakan sudut
siku-siku segitiga tersebut. Titik O yang mrupakan titik tengah
merupakan pusat lingkaran-luar
. Titik C terletak pada
. Dipilih titik D pada
dan
sehingga
maka titik D dan C berimpit.
Gambar 57. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika
58
yang
siku-siku di B.
Dipilih sebuah titik E sehingga
DEA merupakan sudut siku-siku. Telah
ditunjukkan sebelumnya jika D dan C berimpit, sehingga sudut
CEA juga
merupakan sudut siku siku. Bidang-empat A.BCE memiliki dua bidang sisi yang
berbentuk segitiga siku-siku. Keduanya adalah
dan
yang siku-siku di titik B
yang siku-siku di E.
Dari 1, 2, dan 3 dapat disimpulkan bahwa dengan Teorema 3.4 dapat
dibentuk bidang-empat yang pusat bola-luarnya terletak pada bidang-empat
tersebut. Jika segitiga ABC merupakan segitiga lancip maka titik pusat bola-luar
bidang-empat terletak pada salah satu bidang sisi. Jika segitiga ABC segitiga sikusiku maka pusatnya pada titik tengah salah satu rusuk bidang-empat tersebut.
C. Bola-Dalam Bidang-Empat
Lingkaran-dalam
suatu
segitiga
adalah
sebuah
lingkaran
yang
menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran-dalam suatu
segitiga adalah sebuah titik yang berjarak sama dari sisi segitiga. Titik tersebut
disebut sebagai innercenter segitiga tersebut.
Seperti halnya lingkaran-dalam segitiga, sebuah bola-dalam suatu bidangempat juga menyinggung sisi-sisi bidang-empat tersebut. Pada bidang-empat sisisisinya berupa bidang-bidang bukan garis. Untuk menunjukkan eksistensi sebuah
bola-dalam perlu ditunjukkan bahwasannya ada sebuah titik yang berjarak sama
dari keempat bidang sisi bidang-empat.
Menunjukkan eksistensi bola-dalam erat kaitannya dengan bidang-bidang
sisi bidang-empat D.ABC. Guna mempermudah penulisan maka selanjutnya
59
bidang yang memuat ΔABC , ΔABD, ΔBCD, dan ΔACD berturut-turut disebut
sebagai bidang α, β, γ, dan δ.
Berikut langkah-langkah untuk menunjukkan eksistensi bola-dalam pada
bidang-empat D.ABC.
1. Titik yang berjarak sama dari dua bidang
Pembuktian eksistensi lingkaran-dalam pada segitiga menggunakan sifat
dari garis-bagi-sudut. Mengadopsi hal tersebut maka akan digunakan sebuah
bidang yang membagi sudut dua bidang sama besar. Misalkan bidang θ adalah
bidang yang membagi sudut antara bidang α dan β menjadi sama besar. Hal ini
berarti besar sudut antara bidang θ dan α sama dengan besar sudut antara bidang β
dan θ.
Dipilih sebarang titik P pada bidang θ, maka akan terdapat titik Q pada
sedemikian hingga
berpotongan tegak lurus dengan
dan S sedemikian hingga
dan
. Ditentukan titik R
.
Gambar 58. Segitiga PQS dan segitiga PRS.
60
Titik-titik P, Q, R, S dapat dibentuk dua buah segitiga, yaitu
dan
merupakan sudut-bidang antara θ dan α. Sudut
. Sudut
merupakan sudut-bidang antara θ dan β. Sudut antara bidang θ dan α sama
besar dengan sudut antara θ dan β maka
Pada
dan
.
tidak hanya memiliki sepasang sudut yang
kongruen. Sudut
dan
kongruen. Sudut
juga merupakan sepasang sudut yang
kongruen dengan
sudut siku-siku. Segitiga
dan
karena keduanya merupakan
memiliki dua pasang sudut yang
kongruen maka pasangan sudut yang lainnya juga kongruen, sehingga
. Tidak hanya pasangan-pasangan sudutnya saja yang kongruen,
dan
juga memiliki pasangan sisi yang kongruen. Pasangan sisi tersebut
kongruen karena merupakan sisi yang sama. Ruas garis
dan
merupakan sisi dari
.
Segitiga
karena
dan
memenuhi kriteria kekongruenan Sd-S-Sd,
,
.
Pasangan
sisi
yang
bersesuaian antara keduanya segitiga tersebut juga kongruen, sehingga
juga kongruen. Bisa juga dikatakan bahwa jarak antara titik P ke α sama dengan
jarak antara P ke β.
Penentuan titik P pada bidang θ diawal dilakukan secara sebarang,
sehingga untuk setiap titik pada bidang θ berjarak sama dengan bidang α dan β.
Hal tersebut berarti bahwa bidang θ merupakan bidang yang berjarak sama
dengan bidang α dan β.
61
Penentuan bidang α dan β dilakukan sebarang. Begitu pula dengan
penentuan titik P. Ini berarti sifat tersebut berlaku untuk setiap dua bidang yang
saling berpotongan. Bidang yang memiliki sifat seperti bidang θ selanjutnya
disebut sebagai bidang bagi.
Teorema 3.5. Jika tedapat α dan β yang saling berpotongan maka himpunan titik
yang berjarak sama dari keduanya terletak pada bidang θ, yaitu bidang yang
membagi sudut antara bidang α dan β menjadi dua sudut yang kongruen.
Cara yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bidang yang
berjarak sama dari β dan γ. Bidang tersebut adalah bidang ι, bidang bagi sudutbidang β dan γ. Bidang κ merupakan bidang bagi sudut-bidang α dan δ juga pasti
merupakan bidang yang berjarak sama dari keduanya.
2. Titik pusat bola-dalam
Bidang α dan γ merupakan bidang-bidang yang memotong β. Bidang α dan
γ merupakan bidang yang memuat sisi bidang-empat D.ABC maka keduanya tidak
sejajar, maka bidang θ dan bidang ι juga tidak sejajar. Dua buah bidang yang tidak
sejajar akan saling berpotongan. Berdasarkan Definisi 2.4 perpotongan dua buah
bidang yang berbeda adalah sebuah garis. Garis yang merupakan perpotongan
bidang θ dan ι selanjutnya akan disebut sebagai garis m.
Bidang κ dan garis m tidak sejajar. Sebuah garis dan bidang yang tidak
sejajar juga akan berpotongan. Pepotongan antara keduanya merupakan sebuah
titik. Titik tersebut selanjutnya disebut titik I. Titik I merupakan anggota garis m,
oleh karenanya jarak bidang α , β dan γ terhadap Titik I sama. Titik I merupakan
perpotongan bidang κ dan garis m, maka I juga terletak pada bidang κ. Bidang κ
62
merupakan bidang yang berjarak sama dari α dan δ. Hal tersebut menunjukkan
titik I juga berjarak sama dari α dan δ.
Gambar 59. Titik I yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat
D.ABC.
Penjelasan di atas menunjukkan bahwa titik I berjarak sama dari α, β, γ,
dan δ. Titik I berjarak sama dengan keempat bidang yang membentuk bidangempat D.ABC. Terbukti bahwa untuk sebarang bidang-empat terdapat titik yang
berjarak sama dari bidang pembentuknya. Hal tersebut berarti untuk setiap
bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam, yaitu bola yang menyiggung keempat
bidang sisinya, seperti dalam teorema berikut.
Teorema 3.6. Setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam.
Gambar 60. Bola-dalam dari bidang-empat D.ABC.
63
Telah ditunjukkan bahwasannya setiap bidang-empat memiliki boladalam. Pada sub bab selanjutnya akan di kaji tentang sifat-sifat bola-luar. Seperti
pada bola-luar, pengkajian sifat-sifat bola-dalam juga akan lebih difokuskan pada
pusat bola tersebut.
D. Sifat-Sifat Bola-Dalam pada Bidang-Empat
Menurut Teorema 2.7 garis bagi sudut segitiga bertemu di sebuah titik
yang merupakan titik pusat lingkaran-luar segitiga tersebut. Teorema yang hampir
sama juga berlaku pada bidang-empat. Hanya saja jika pada segitiga berupa garis
bagi, sedangkan pada bidang-empat berbentuk bidang. Bidang tersebut adalah
bidang yang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat.
Teorema 3.7. Bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat
bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
Bukti:
Terdapat sebarang bidang-empat D.ABC dengan titik I merupakan pusat
bola-dalamnya. Bidang yang memuat ΔABC, ΔABD, ΔBCD, dan ΔACD berturutturut adalah bidang α, β, γ, dan δ. Bidang θ adalah bidang yang bagi sudut antara
bidang α dan β. Bidang ι dan κ berturut-turut merupakan bidang bagi sudutbidang β dan γ serta bidang bagi sudut-bidang α dan δ. Terdapat pula bidang λ
yaitu bidang bagi sudut γ dan δ. Akan dibuktikan bahwa θ, ι, κ, dan λ melalui
titik I.
Pada sub bab sebelumnya telah dibuktikan bahwa bidang θ, ι, dan κ
melaui titik I. Titik I merupakan pusat bola-dalam dari bidang-empat D.ABC,
sehingga jarak I dengan kempat bidang sisi bidang-empat D.ABC sama. Tidak
terkecuali jarak I dengan bidang γ maupun δ. Terdapat bidang λ yang merupakan
64
bidang bagi sudut γ dan δ. Berdasarkan Teorema 3.7 maka titik yang berjarak
sama dengan γ dan δ terletak pada bidang λ.
Terbukti bahwa bidang bidang λ juga melalui titik I. Terbukti pula bahwa
bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah
titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa titik pusat lingkaran-luar
pada segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat lingkaran-dalamnya. Segitiga
sama sisi merupakan sebuah segitiga yang semua sisinya kongruen. Karena
bidang-empat merupakan analogi dari segitiga maka bidang-empat teratur
merupakan analogi dari segitiga sama sisi.
Bidang-empat teratur adalah sebuah bidang-empat yang keempat sisinya
merupakan segitiga yang kongruen. Segitiga-segitiga tersebut merupakan segitiga
sama sisi dengan sisi dari sebuah segitiga dengan segitiga lainnya kongruen.
Lingkaran-luar dan lingkaran-luar suatu segitiga sama sisi memiliki pusat yang
sama. Analogi dari Teorema 2.8 tesebut akan dibuktikan apakah juga berlaku pada
bola-luar dan bola-dalam suatu bidang-empat teratur.
Teorema 3.9. Pusat bola-luar suatu bidang-empat teratur juga merupakan pusat
bola-dalamnya.
65
Gambar 61. Bidang α, β, γ, dan δ.
Bukti:
Misalkan ada sebuah bidang-empat teratur D.ABC. Bidang-empat D.ABC
teratur maka
Sebuah bidang yang memuat
titik A,B, dan C disebut bidang α. Bidang β merupakan bidang yang memuat titik
A,B,D. titik B,C,D termuat pada bidang γ serta titik A,C,D pada bidang δ.
Terdapat titik E yang mana E merupakan pusat melalui pusat lingkaranluar ΔABC. Titik-titik yang berjarak sama dari titik A, B, C terletak pada garis g.
Garis g merupakan sebuah garis yang tegak lurus bidang α dan melalui E. Hal
tersebut telah ditunjukkan sebelumnya.
Pada pembahasan sebelumnya juga telah ditunjukkan bahwa setiap
bidang-empat memiliki lingkaran luar. Misal titik O merupakan titik pusat bolaluar bidang-empat D.ABC maka O terletak pada garis g. Jarak O ke titik-titik A, B,
C, dan D sama sehingga maka
.
66
Gambar 62. Bidang-empat D.ABC dengan pusat bola-luar O.
Titik F merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔBCD. Titik B, O, D, dan F
dapat membentuk duabuah segitiga yang saling kongruen, yaitu ΔBOF dan
ΔDOF. Keduanya kongruen karena setiap pasang sisi yang bersesuaian saling
kongruen atau dengan kata lain kariteria kekongruenan S-S-S terpenuhi.
Pasangan-pasangan sisi tersebut adalah
yang saling berimpit,
yang merupakan jari-jari lingkaran-luar ΔBCD, serta
kekongruenan ini diantaranya
. Akibat
,
, dan
.
Guna menunjukkan bahwa titik O juga merupakan titik pusat bola-dalam
bidang-empat D.ABC sebelumya perlu ditunjukkan bahwa
.
Kekongruenan dua sudut tersebut akan lebih mudah ditunjukkan dengan
melakukan sebuah rekayasa. Dilukiskan ΔA’BO dengan E pada
Hal lain yang perlu diperhatikan adalah
ΔBD’O dengan F pada
serta
. Dilukiskan pula
.
67
serta
Gambar 63. Segitiga A’BO dan segitiga BD’O.
Menurut Murdanu (2003: 6) misalkan titik-titik A, B, C pada garis g dan
titik-titik D, E, F pada garis h. Jika
dan
maka
Berpegang pada pernyataan tersebut maka pada ΔA’BO dan ΔBD’O
Hal Ini dikarenakan
. Ruas garis
,
.
.
,
saling
kongruen, ketiganya kongruen karena sama panjang dengan jari-jari bola-luar
kongruen dengan A’BO karena memenuhi
bidang-empat D.ABC. Segitiga
kriteria kekongruenan S-S-S.
Segitiga A’BO dan BD’O saling kongruen, artinya sudut-sudut yang
bersesuaian juga kongruen. Berdasar Teorema 2.1 dan karena A’B’O dan B’D’O
merupakan segitiga sama kaki maka
Sudut
terletak pada
dan sudut
serta F pada
saling kongruen berarti
.
68
.
karena E
Kekongruenan antara
dan
melengkapi sayarat terpenuhi
kriteria kekongruenan S-Sd-S pada ΔOBE dan ΔOBF. Hal tersebut dikarenakan
kedua segitiga tersebut telah memiliki dua pasang ruas garis yang kongruen. Ruas
garis
merupakan sisi dari keduanya. Terdapat pula ruas garis
dan
yang
saling kongruen. Kedua ruas garis tersebut kongruen karena
dan
secara berturut-turut E serta F merupakan pusat lingkaran-luar dari keduanya.
Segitiga
dan
saling kongruen maka
merupakan sudut siku-siku maka
. Sudut
juga merupakan sudut siku-siku.
Kekongruenan antara OBE dan OBF juga menghasilkan
. Jarak antara
titik O dengan bidang α dan β sama.
Cara yang hampir sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jarak
antara titik O dengan bidang α dan γ, begitu pula dengan jarak antara titik O
dengan bidang α dan δ. Titik O berjarak sama dengan keempat bidang yang
membangun bidang-empat D.ABC. Terbukti bahwa titik pusat bola-luar pada
suatu bidang-empat teratur juga merupakan titik pusat bola-dalamnya.
Gambar 64. Bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat teratur D.ABC.
69
Telah berhasil ditunjukkan eksistensi dari bola-dalam maupun bola- luar
pada bidang-empat. Telah dikaji pula sifat-sifat dari bola-luar dan bola-dalam.
Sifat-sifat tersebut merupakan analogi dari lingkaran-luar dan lingkaran-dalam
dari segitiga.
Seperti pada segitiga, garis-garis sumbu suatu bidang-empat juga
berpotongan di sebuah titik yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat
tersebut. Bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat juga
bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
Analogi dari sifat pusat lingkaran-luar dan pusat lingkaran-dalam pada segitiga
samasisi juga berlaku. Pusat bola-luar suatu bidang-empat teratur juga merupakan
pusat bola-dalamnya.
Meskipun demikian terdapat sifat yang berlaku pada lingkaran-luar
segitiga namun jika dianalogikan di bola-luar bidang-empat tidak berlaku. Sifat
tersebut yaitu pusat lingkaran-luar segitiga siku-siku terletak pada sisi miringnya.
Pusat bola-luar bidang-empat siku-siku tidak terletak pada bidang miringnya,
walaupun begitu tetap ada bidang-empat yang pusat bola-luarnya terletak pada
salah satu bidang sisinya. Bidang empat tersebut adalah bidang-empat A.BCE
dengan titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari
segitiga tumpul , titik D pada
sedemikian hingga
E yang nonkoplanar dengan A, B, C sedemikian hingga
siku-siku.
70
dan
bukan
dan terdapat titik
DEA merupakan sudut