Matematika Ekonomi dan Bisnis

Matematika Ekonomi
FEUG
VEKTOR, MATRIKS, DAN DETERMINAN
PENGERTIAN VEKTOR DAN PENULISANNYA
 Dalam pengertian matematika, Vektor adalah himpunan (set) dengan elemenelemen (bilangan) yang dituliskan dalam bentuk satu baris (vektor baris) atau satu
kolom (vektor kolom).
 Penulisan vektor menggunakan huruf besar yang dicetak tebal atau diberi garis
bawah, misalnya vektor A ditulis A atau A
 Elemen vektor menggunakan huruf kecil (jika menggunakan huruf)
Vektor baris:
A=[3
B=[4
C=[1
D = [ x1
7 ] adalah vektor berdimensi dua
9 2 ] adalah vektor berdimensi tiga
5 6 9 ] adalah vektor berdimensi empat
x2 x3 x4 ... xn ] adalah vektor berdimensi n
Vektor kolom:
5
𝐏 = [ ] adalah vektor berdimensi dua
9
2
𝐐 = [7] adalah vektor berdimensi tiga
4
1
4
𝐑 = [7] adalah vektor berdimensi empat
8
𝑦1
𝑦2
𝐒 = 𝑦3 adalah vektor berdimensi n
⋮
[𝑦𝑛 ]
 Suatu vektor kolom bisa dinyatakan sebagai vektor baris, demikian sebaliknya.
4
5
Misalnya 𝐏 = [ ] menjadi P’ = [ 5 9 ] atau B = [ 4 9 2 ] menjadi 𝐁′ = [9]
9
2
JENIS-JENIS VEKTOR
 Vektor satuan (unit vector), yaitu vektor yang mempunyai satu elemen bernilai satu
dan elemen lainnya bernilai 0. Misalnya A = [ 0 0 1 0 0 ]
 Vektor nol (null vector), yaitu vektor dengan semua elemennya bernilai 0. Misalnya
B=[0 0 0 0]
 Vektor jumlah (sum vector), yaitu vektor dengan semua elemennya bernilai 1.
Misalnya C = [ 1 1 1 1]
OPERASI VEKTOR
 Dua vektor dikatakan sama jika semua elemennya sama dan berdimensi sama.
Misal diketahui tiga vektor berikut: A = [ 3 8 9 ], B = [ 3 8 9 ], dan C = [ 3 8 ],
maka A = B tetapi A ≠ C juga B ≠ C
©Rina Sugiarti
Page 1
Matematika Ekonomi
FEUG
 Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika vektor-vektor
tersebut berdimensi sama.
Contoh: A = [ 4 7 3 ] dan B = [ 3 2 7] maka A + B = [ 7 9 10 ]
1
4
5
𝐏 = [9] dan 𝐐 = [2] maka 𝐏 + 𝐐 = [11]
8
4
12
Apakah A bisa ditambahkan dengan P ?
 Perkalian skalar dengan vektor.
Contoh: Skalar k = 2 dan A = [ 3 7 4 ] maka kA = 2 [ 3 7 4 ] = [ 6 14 8 ].
4
4
2
Diketahui skalar k = ½ dan 𝐏 = [8] maka kP = ½ [8] = [4]
6
6
3
 Perkalian vektor dengan vektor dapat dilakukan jika dimensi vektor baris/kolom di
sebelah kiri sama dengan dimensi kolom/baris di sebelah kanan.
Contoh:
Diketahui A = [ 12 8 15 ] dan B = [ 2 4 3 ] maka selesaikan A’B dan AB’
12
24 48
A’B = [ 8 ][ 2 4 3 ] = [16 32
15
30 60
36
24]
45
2
AB’ = [ 12 8 15 [4]] = 24 + 32 + 45 = 101
3
Jadi vektor kolom kali vektor baris akan menghasilkan matriks, sedangkan vektor
baris kali vektor kolom menghasilkan skalar.
PENGERTIAN MATRIKS DAN PENULISANNYA
 Dalam pengertian matematika, matriks merupakan himpunan (set) dengan
elemen-elemennya (bilangan) dituliskan dalam baris dan kolom, sehingga matriks
juga bisa diartikan sebagai himpunan dari vektor-vektor baris yang berdimensi
sama atau sebagai himpunan vektor-vektor kolom yang berdimensi sama.
 Suatu matriks dituliskan dengan hurup besar yang dicetak tebal, misalnya matriks
A dituliskan sebagai A. Elemen-elemen matriks ditulis dengan huruf kecil (jika
menggunakan huruf).
 Suatu matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang tidak sama disebut
sebagai matriks segiempat, misalnya matriks A berikut:
𝐀=[
2 5
3 1
6
] adalah matriks berukuran 2 x 3
9
 Suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama disebut
sebagai matriks bujur sangkar (square matrix), misalnya matriks B berikut:
1 5
𝐁 = [4 3
9 7
©Rina Sugiarti
8
2]
4
Page 2
Matematika Ekonomi
FEUG
 Dalam penyajian data dan analisis data ekonomi, penggunaan matriks dapat
menghemat tempat penulisan dan dapat menganalisis dua variabel atau lebih yang
berbeda secara simultan.
Misalnya, suatu toko elektronik yang menjual 4 jenis barang elektronik mencatat
penjualan bulanannya sebagai berikut:
TV LCD
Home Theater
Lemaris Es
AC
Kipas Angin
Minggu I
7
6
5
8
9
Minggu II
5
8
7
6
9
Minggu III
3
4
6
5
7
Minggu IV
2
3
4
6
5
Dalam bentuk matriks, data penjualan tersebut dapat ditulis sebagai:
S=
7
5
3
2
6
8
4
3
8
6
5
6
9
9
7
5
PERKALIAN VEKTOR DENGAN MATRIKS
 Perkalian vektor baris dengan matriks dapat dilakukan
sama dengan jumlah baris dalam matriks.
Contoh:
2
Perkalian vektor baris A = [ 2 1 1 ] dan matriks 𝐁 = [3
1
2
AB = [ 2 1 1 ] [3
1
jika dimensi vektor baris
4 2
1 1] adalah:
2 3
4 2
1 1] = [ 8 11 8 ]
2 3
 Perkalian matriks dengan vektor kolom dapat dilakukan jika jumlah kolom dalam
matriks sama dengan dimensi vektor kolom.
2
BA’ = [3
1
4 2 2
10
]
[
]
=
[
1 1 1
8]
2 3 1
7
JENIS-JENIS MATRIKS
 Matriks bujur sangkar (square matrix), yaitu matriks yang memiliki jumlah baris
sama dengan jumlah kolom.
 Matriks identitas, yaitu matriks dengan semua elemen pada diagonal utama
bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol.
 Matriks diagonal, yaitu matriks dengan semua elemen di luar diagonal utama
bernilai nol, sedangkan pada diagonal utama elemennya paling sedikit satu ≠ 0.
©Rina Sugiarti
Page 3