Sistem Bilangan dan Kode

Updated : 12/11/2009
Sistem Bilangan dan Kode
Dosen : Agung Prasetyo ST.
Sistem Bilangan
• Sistem Bilangan (numberic system) adalah sebuah
simbol atau kumpulan dari simbol yang
mempresentasikan sebuah angka.
• Numerik berbeda dengan angka. Simbol “11” dan
“XI” adalah numerik yang berbeda, tetapi
mempresentasikan angka yang sama yaitu sebelas
• Sistem bilangan yang banyak dipergunakan manusia
adalah sistem bilangan desimal, yaitu sistem
bilangan yang menggunakan 10 macam simbol
untuk mewakili suatu besaran.
• Sistem bilangan desimal banyak digunakan manusia
karena manusia mempunyai 10 jari untuk dapat
membantu perhitungan-perhitungan.
Sistem Bilangan pada Komputer
• Lain halnya dengan komputer, logika di
komputer diwakili oleh bentuk elemen 2
keadaan yaitu OFF dan ON (dalam konsep
binari yaitu 0 dan 1).
• Disamping sistem binari (binary system
number), komputer juga menggunakan sistem
bilangan yang lain, yaitu sistem bilangan oktal
(octal number system) dan bilangan
hexadecimal (hexadecimal number system)
Basis yang dipergunakan
• Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10
(deca berarti 10), menggunakan 10 macam simbol
bilangan (0-9).
• Sistem bilangan binari menggunakan basis 2 (binary
berarti 2), menggunakan 2 macam simbol bilangan
(0 dan 1).
• Sistem bilangan oktal menggunakan basis 8 (octal
berarti 8), menggunakan 8 macam simbol bilangan
(0-7).
• Sistem bilangan hexadesimal menggunakan basis 16
(hexa berarti 6 dan deca berarti 10), menggunakan
16 macam simbol bilangan (0-9 dan A-F).
Tabel Sistem Bilangan (antara Desimal, Binari, Oktal, Hexadesimal)
Desimal
(1)
Binari
(2)
Oktal
(3)
Hexadesimal
(4)
0
0000
000
0
1
0001
001
1
2
0010
002
2
3
0011
003
3
4
0100
004
4
5
0101
005
5
6
0110
006
6
7
0111
007
7
8
1000
010
8
9
1001
011
9
10
1010
012
A
11
1011
013
B
12
1100
014
C
13
1101
015
D
14
1110
016
E
15
1111
017
F
Sistem Bilangan Desimal
• Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10
• Sistem bilangan desimal menggunakan 10
macam simbol bilangan berbentuk 10 digit
angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Masing-masing digit angka mempunyai position
value yang merupakan penimbang atau bobot
dari masing-masing digit tergantung dari letak
posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan
dengan urutan posisinya.
Sistem Bilangan Desimal
106
105
104
103
102
101
100
Power Base
7th
6th
5th
4th
3th
2th
1th
Position
1000000
100000
10000
1000
100
10
1
Value
Sistem Bilangan Desimal
• Contoh: 8598
8598 = (8 x 103)+(5 x 102)+(9 x 101)+(8 x 100)
= (8 x 1000)+(5 x 100)+(9 x 10)+(8 x 1)
8
5
9
8
X
X
X
X
103
102
101
100
=
=
=
=
8000
500
90
8
8598
Konversi : Desimal -> Binari
• Contoh 25(10) = ?
(2)
(bagikan angkanya dengan 2)
2
25
Sisa
2
12
1
2
6
0
2
3
0
2
1
1
2
0
1
25(10) = 1
1
0 0 1 (2)
Konversi : Desimal -> Oktal
• Contoh 8159(10) = ?
(8)
(bagikan angkanya dengan 8)
8
8159
Sisa
8
1019
7
8
117
3
8
14
5
8
1
6
8
0
1
25(10) = 1
6
5 3 7 (8)
Konversi : Desimal -> Hexadesimal
• Contoh 745(10) = ?
(16)
(bagikan angkanya dengan 16)
16
745
Sisa
16
46
9
16
2
E
16
0
2
Pada bilangan Hexadesimal 14 = E
25(10) =
2 E 9 (16)
Sistem Bilangan Binari
• Sistem bilangan binari adalah sebuah sistem
penulisan angka dengan menggunakan dua
simbol yaitu 0 dan 1
• Sistem bilangan ini merupakan dasar dari
semua sistem bilangan berbasis digital
Konversi : Binari -> Desimal
Contoh : 101101(2) = ? (10)
101101= (1 x 25)+(0 x 24)+(1 x 23)+(1 x 22)+(0 x 21)+(1 x 20)
= (1 x 32)+(0 x 16)+(1 x 8)+(1 x 4)+(0 x 2)+(1 x 1)
= 32+0+8+4+0+1
Jadi 101101(2) = 45 (10)
Konversi : Binari -> Oktal
Contoh: 11010100(2) = ? (8)
[011][010][100]
3
2
4
Jadi 11010100(2) = 324 (8)
Digroupkan menjadi 3 digit
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3
Konversi : Binari -> Hexadesimal
Contoh : 11010100(2) = ?(16)
[1101][0100]
D
4
Digroupkan ke dalam 4 digit
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
Jadi 11010100(2) = D4(16)
Sistem Bilangan Oktal
• Sistem bilangan oktal menggunakan basis 8
• Sistem bilangan oktal menggunakan 8 macam
simbol bilangan yaitu 0,1,2,3,4,5,6, dan 7.
• Position Value sistem bilangan oktal merupakan
perpangkatan dari nilai 8.
Konversi : Oktal -> Desimal
Contoh 324(8) = ? (10)
324(8) = (3 x 82)+(2 x 81)+(4 x 80)
= (3 x 64)+(2 x 8)+(4 x 1)
= (192)+(16)+(4)
= 212(10)
Jadi 324(8) = 212 (10)
Konversi : Oktal -> Binari
Contoh 6502(8) = ? (2)
6
5
0
2
[110][101][000][010]
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3
Jadi 6502(8) = 110101000010 (2)
Konversi : Oktal -> Hexadesimal
Contoh 2537(8) = ? (16)
Pertama konversikan dulu ke bilangan binari
2 5
3
7
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3
[010][101][011][111]
Dari binari kemudian dikonversikan ke hexadesimal
[0101][0101][1111]
Digroupkan menjadi 4 digit
5
5
F
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
Jadi 2537(8) = 55F (16)
Sistem Bilangan Hexadesimal
• Sistem bilangan hexadesimal menggunakan
basis 16.
• Sistem bilangan hexadesimal menggunakan 16
macam simbol bilangan yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, A, B, C, D, E dan F
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
F
15
Konversi : Hexadesimal -> Desimal
Contoh B6A(16) = ? (10)
B6A(16) = (11 x 162)+(6x161)+(10x160)
= (11 x 256)+(6x16)+(10x1)
= 2816+96+10
= 2922(10)
Pada Hexadesimal (lihat tabel sistem bilangan kolom 1 dan 4):
B = 11
A =10
Konversi : Hexadesimal -> Binari
Contoh: D4(16) = ? (2)
D
4
[1101][0100]
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
Jadi D4(16) = 11010100 (2)
Konversi : Hexadesimal -> Oktal
Contoh 55F(16) = ? (8)
Pertama konversikan dulu ke Binari
5
5
F
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 4
[0101] [0101] [1111]
Dari Binari kemudian dikonversikan ke Oktal
[010][101][011][111]
Digroupkan ke dalam 3 digit
2
5
3 7
Lihat tabel sistem bilangan kolom 2 dan 3
Maka 55F(16) = 2537 (8)
Penjumlahan Biner
Penjumlahan bilangan biner dilakukan sama
seperti penjumlahan bilangan-bilangan desimal.
Contoh penjumlahan desimal:
3
7
6
4
6
1
_________ +
8
3
7
Langkah-langkah yang sama berlaku pula pada
penjumlahan biner, tetapi bagaimanapun juga
hanya ada empat kasus yang terjadi pada
penjumlahan biner pada setiap posisi yaitu :
0+0=0
1 +0=1
1 + 1 = 0 + carry 1 ke dalam posisi berikutnya
1 + 1 + 1 = 1 + carry 1 ke dalam posisi berikutnya
Kasus terakhir terjadi apabila pada suatu posisi tertentu
ada 2 bit yang dua-duanya 1 dan ada carry dari posisi
sebelumnya.
Berikut adalah contoh penjumlahan biner :
011 (3)
110(6)
______+
1001(9)
1001(9)
1111(15)
______ +
11000(24)
11011(27)
10111(23)
______ +
110010 (50)
Penjumlahan adalah operasi aritmetik yang paling
penting dalam sistem digital. Operasi pengurangan,
perkalian dan pembagian seperti yang dilakukan
pada komputer dan kalkulator digital sesungguhnya
hanya menggunakan penjumlahan sebagai operasi
dasarnya.
Bit Bertanda
Bit 0 menyatakan bilangan positif
Bit 1 menyatakan bilangan negatif
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
0
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
Magnitude
B6
B5
B4
B3
B2
B1
B0
1
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
= + 52
Magnitude
= - 52
Bentuk Komplemen ke 1
Bentuk komplemen ke 1 dari setiap bilangan biner
diperoleh dengan mengubah setiap 0 di dalam
bilangan tersebut menjadi 1, dan setiap 1 di dalam
bilangan menjadi 0.
Dengan kata lain mengubah setiap bit menjadi
komplemennya.
Misalnya komplemen ke 1 dari 101101 adalah
010010, dan komplemen ke 1 dari 011010 adalah
100101.
Komplemen 2 bilangan biner
Komplemen 2 bilangan biner diperoleh
dari komplemen 1 ditambah dengan 1.
Komplemen ke 2
Contoh :
Hitung komplemen 2 dari (10101)2 !
Pertama, hitung komplemen 1 dari (10101)2
Hasil komplemen 1 : (01010)2
Kedua, hasil komplemen 1 ditambah dengan 1
Hasil komplemen 2 : (01010)2 + (1)2
: (1011)2
Hitung komplemen 2 dari :
a. (11001)2
 (111)2
b. (1000110)2  (111010)2
c. (11101100)2  (10100)2
Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2
Dua bilangan positif
Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4
+9

0
1
0
0
1
+4

0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif
yang lebih kecil
Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari
komplemen ke dua dari +4
+9

0
1
0
0
1
-4

1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif
yang lebih Besar
Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari
komplemen ke dua dari +9
-9

1
0
1
1
1
+4

0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Dua Bilangan Negatif
Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing –
masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4
-9

1
0
1
1
1
-4

1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Carry diabaikan
SISTEM SANDI (KODE)
Apabila bilangan-bilangan, huruf-huruf, kata-kata dinyatakan
dalam suatu grup simbol-simbol tertentu, ini disebut pengkodean,
dan grup simbol-simbol tersebut dinamakan kode.
Barangkali salah satu kode yang paling dikenal adalah kode Morse,
dimana serangkaian titik dan garis menyatakan huruf-huruf alphabet.
Semua sistem digital menggunakan beberapa bentuk bilangan biner
untuk operasi internalnya, tetapi untuk menyajikan hasilnya ke luar
digunakan bilangan desimal. Ini berarti bahwa konversi-konversi
antara sistem biner dan desimal sering dilakukan.
Contoh:
Binary-Coded-Decimal Code
Kode Excess-3
Kode Gray
Kode ASCII